弹性与塑性力学基础-第四章广义虎克定律和弹性力学解题只是分享
弹塑性力学第四章答案
第四章 习题答案4.3有一块宽为a ，高为b 的矩形薄板，其左边及下边受链杆支承，在右边及上边分别受均布压力1q 和2q 作用，见题图4.1，如不计体力，试求薄板的位移。
题图4-1解：1.设置位移函数为123123()()u x A A x A y v y B B x B y =+++⎫⎬=+++⎭（1）因为边界上没有不等于零的已知位移，所以式00,m m m m mmu u A u v v A v =+=+∑∑中的0u 、0v 都取为零，显然，不论式（1）中各系数取何值，它都满足左边及下边的位移边界条件，但不一定能满足应力边界条件，故只能采用瑞兹法求解。
2.计算形变势能。
为简便起见，只取1A 、1B 两个系数。
111111,u A x Au v B y B v ==== （2） 11,0,,0uuvu A B x yyx∂∂∂∂====∂∂∂∂ ()()2222111111112200222(1)2(1)a b E Eab U A B A B dxdy A B A B v v νν=++=++--⎰⎰ （3） 3.确定系数1A 和1B ，求出位移解答。
因为不计体力()0X Y ==，且注意到1m =，式4-14简化为11UXu ds A ∂=∂⎰ （4）11UYv ds B ∂=∂⎰ （5） 对式（4）右端积分时，在薄板的上下边和左边，不是0X =，就是10u =，故积分值为零。
在右边界上有11,,X q u x a ds dy =-===()111bXu ds q ady q ab =-=-⎰⎰ （6）同理，式（5）右端的积分只需在薄板的上边界进行，()1220aYv ds q bdx q ab =-=-⎰⎰ （7）将式（3）、式（6）、式（7）分别代入式（4）、式（5）可解出1A 和1B ：()1112222(1)EabA B q ab v ν+=---()1122222(1)EabB A q ab v ν+=--- 121q q A E ν-=-， 211q q B E ν-=- （8） 122111,q q q q u A x x v B y y E Eνν--==-==- （9）4．分析：把式(8)代入几何和物理方程可求出应力分量，不难验证这些应力分量可以满足平衡微分方程和应力边界条件，即式(8)所示位移为精确解答。
广义虎克定律
12 广义虎克定律在弹性力学中，我们由弹性变形过程是一个可逆过程这个前提出发，依据热力学分析，得到了应力分量ij σ是应变分量ij ε的单值函数的结论. 加上小变形的假设，可将应力按泰勒展开，并略去二阶及二阶以上的高阶小量. 我们还假定物体未变形时内部没有应力，得到kl ijkl ij c εσ= (12-1)式中ijkl c 称为广义弹性常数. (12-1)式也可以写成kl ijkl ij b σε= (12-2)式中ijkl b 称为柔性系数.13 各向同性物体的广义虎克定律13.1 一般的表示(12-1)式中ijkl c 为一个四阶张量，共81个元素. 由于形变张量是对称的，所以将指标i 与j , k 与l 互易，或将i ,j 与k ,l 成对地互易之后，乘积kl ij εε并不改变. 由此可见，张量ijkl c 也可以有这个性质，即当指标互易时具有如下的对称性质:klij ijlk jikl ijkl c c c c === (13-1)经计算可证实，四阶张量的分量中具有以上对称性质的分量，在一般情形中有21个. 因此，对极端各向异性的材料，也只有21个独立的弹性常数. 至于具有三个正交的弹性对称面的物体，则具有9个独立的弹性常数，这样的物体称为正交各向异性体. 正交各向异性体的弹性系数矩阵具有如下的形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛665544332322131211000000000000c c c c c c c c c 对称对于各向同性体，利用坐标轮换时应变能的不变性和坐标轴选取的任意性可以证明，独立的弹性常数减少到只有2个.各向同性材料的弹性常数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++G G G G G G000000200020002对称λλλλλλ广义虎克定律可写为.2,2,2,2,2,2121233333131222223231111εσλθεσεσλθεσεσλθεσG G G G G G =+==+==+= (13-2) 或者简写为ij ij ij G λθδεσ+=2 (13-3)其中u div 321332211=++=++==εεεεεεεθii 为体积应变或应变张量的第一不变量，ij δ为Kroneker 符号.广义虎克定律也可以写成以应力分量表示应变分量的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅+-=ij ij ij I G G δλλσε1)23(21 (13-4) 其中3322111σσσσ++==Θ=ii I 为应力张量的第一不变量.13.2 弹性常数及其相互之间的关系常用的弹性常数有λ、G 、E 、μ、K . 其中λ和G 称为拉梅常数，G 又称为剪切模量或刚性模量. E 称为杨氏弹性模量，μ称为泊松比或横向变形系数，K 称为体积弹性模量.G 可以利用纯剪切试验直接测得， 此时τσ=12， 其余应力分量均为零，根据(13-2),G 2/12τε=. 因此测得τ和12ε即可求得G.E 和μ可以利用单轴拉伸试验测得，此时σσ=11，其余0312*******=====σσσσσ.令11111σEε=， 11113322σE εεεμμ-=⋅-== (13-5)由广义虎克定律(13-2)⎪⎪⎪⎭⎫+=+=+=λθελθελθεσ3322111120202G G G (13-6) 将上三式相加得到)2G 3/(11+=λσθ将上式代入(13-6)的第一式得到GG G E ++=λλ)23( (13-7)代入(13-6)的第二式或第三式得到)(2G +=λλν (13-8)(13-7)、(13-8)也可以化为)21)(1(μμμλ-+=E ， )1(2μ+=EG (13-9)利用(13-9)可将虎克定律表示为如下更常用的形式[][][]）（））（2211333311332222332211111(11σσμσεσσμσεσσμσε+-=+-=+-=EE E ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+=+=121231312323111σμεσμεσμεE E E(13-10)或ij ij ij EE δσμσμε031-+=(13-11) 其中3/3/3/)(13322110I =Θ=++=σσσσ，1I 为应力张量第一不变量，ij δ为Kroneker 符号.在各向均匀压力试验中，p -===332211σσσ, 0312312===σσσ, 将上述应力分量的值代入广义虎克定律公式(13-2)得到λθε+=-112G p ， λθε+=-222G p λθε+=-332G p将上面三式相加就得到θλ)23(3G p +=-定义体积变形模量K 为θ/p K -=就得到G K 32+=λ (13-12)可推出五个弹性常数之间的关系, 结果如下：,9)3(313 )21)(1(323)2(212EK E K K K E G K E G G E G G --=+=-+=-=--=-=μμμμμμμλE K KEK E K G -=+-=+=-=-=93)1(2)21(3 )1(2)(232)21(μμμλμμλ KEK G K G K G E K G 63)3(223 123)(2-=+-=-=-=+=μλλλμ )21(339)1(2 3)(9)21)(1()23(μμλλμμμλλλ-=+=+=--=-+=++=K GK KG G K K K G G G E.)21(3)3(3 )21(3)1(23)1(32μμμμμλλ-=-=-+=+=+=EE G GE G G K (13-13).12+ ,21μμλλμλ-=-=+G G G (13-14)。
弹塑性力学(4)
2. 由于真实的位移场（应变场）必须满足位移边界条件，故真实位移场（应 变场）应视为可能位移场（应变场）的家族成员之一。而对于真实位移场 （应变场）还必须满足“应变协调条件”，即应变可积分条件。 3. 一般而言，与满足位移边界条件的连续变形相协调的位移模式有无限多个。 但对于给定的问题，同时又满足应变协调的位移模式仅存在一个，即真实 位移场仅有一个。 4. 在弹性力学问题的求解思路通常有两种：（a）按应力求解，（b）按位移 求解。而仅当按应力求解时才用到应变可积分条件，即式（4.2b）。
§4.4 定义
弹性材料
当一块材料受力后就会变形，如果施加的力撤除后，物体即恢复它原来的形状和 大小，那么这种材料就可称为弹性的。从数学上来说，这种材料的本构方程为：
σij = Fij (εkl )
(4.3)
其中， Fij为弹性响应函数，因此，由上式描述的弹性性能为既可逆又与路 径无关，即应变仅由当前应力状况所决定，反之亦然。上述定义的弹性材 料通常称为Cauchy弹性材料。 在特定的加载－卸载循环下，Cauchy弹性材料可产生能量，显然这是 与热力学定律相违背的。为此，采用术语超弹性或Green弹性材料去表明 式（4.3）中的弹性影响函数进一步受到弹性应变能函数W存在的限制。 一般而言，W是应变分量的函数，即
弹塑性力学第四章
代入广义胡克定律
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
b
广义胡克定律
由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得：
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
xy l11l22 xy xy 2 x l11 x x 2 y l22 y y 2 z l33 z z
上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下 的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律
广义胡克定律的张量表示： ij cijkl kl cijkl 称为弹性系数，一共有36个。
i, j, k , l 1, 2.3
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将 有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn 是坐标x，y，z 的函数。 如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点， 如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各 点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 因此cmn为弹 性常数，与坐标无关。 各向同性材料，独立的弹性常数只有两个。
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
式中， G
E 2 1 v
为各向同性物体的剪切弹性模量。
表示材料弹性性能的常数有3个，但只有两个是独立的。 张量记法：
1 v v ij ij E E vE ij e E ij ij 1 v 1 v 1 2v
弹塑性力学第四章
若通过物体每一点可作这
样的轴（如x3轴），在此轴 成垂直的平面内，所有射
线方向的弹性性质都是相
同的，称这个平面为各向
同性面，如地层属于此类。
[C]中独立系数为5个：
x1
x3 x2’
x2Fra bibliotek各向同性面
x1’
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.4 横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称
ij
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12
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
W ijij
比较上面二式，得：
W
W
ij
ij
ij
W
ij
fij ( kl )——本构关系（方程）
适用于各种弹性情况（线性、非线性）
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
本构关系
时刻达到 应变增量
t
+t：位移有增量 u
ijeie j
uiei
外力功增量 ：
A V f udV SF udS
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
：函数增量
A V f udV SF udS
WdV
V
S Fi uidS S (ij ui )njdS V ( ji ui ), j dV
代入外力功增量
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
广义胡克定律
第四章 广义胡克定律第四章 广义胡克定律 (1)§4.1节广义胡克定律 (2)§4.2节拉梅常数与工程弹性常数 (5)§4.3节弹性应变能函数 (7)§4.1节 广义胡克定律（一）单向应力状态下胡克定律单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：x x E σε=其中E 为材料的弹性模量。
（二）三维广义胡克定律三维条件下，物体应力状态可由6个分量表示，而应变状态也由6个分量表示。
假设应力与应变的各个分量之间均相关，一般地，1111111222133314121523163122211122222333241225232631333111322233333412352336311241114222433344124523463123511152225c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεε=+++++=+++++=+++++=+++++=++33354125523563131611162226333641265236631c c c c c c c c c εεεεσεεεεεε⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++⎪=+++++⎪⎩ 或写作111213141516111121222324252622223132333435363333121241424344454623235152535455563131616263646566c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεσεσεσεσεσε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 其中，mn C （,1,,6m n ="）为弹性常数。
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
第四章广义胡克定律
式中共有 36 个常数。
（三）弹性常数矩阵的对称性
上述 36 个常数并不都是独立的，从§4.3 节能量角度考虑，弹性常数矩阵是对称的，即极端
2
弹性力学讲义（2013 版），山东大学岩土中心 王者超
各向异性的弹性体其独立弹性常数只有 21 个。 根据材料本身性质的对称性，独立的弹性常数个数将发生变化。 若材料具有一个对称面，则弹性常数减少至 13 个； 若材料具有三个正交的对称面，即材料具有正交各向异性，则弹性常数减少至 9 个； 若材料是横观各向同性的，则弹性常数减少至 5 个； 最后，若材料是各向同性的，则弹性常数只有 2 个。
+
c24ε
′
12
+
c25ε
′
23
+
c26ε
′
31
⎪⎪σ ⎨
′
33
=
c31ε
′
11
+
c32ε
′
22
+
c33ε
′
33
+
c34ε
′
12
+
c35ε
′
23
+
c36ε
′
31
⎪σ ⎪
′
12
=
c41ε
′
11
+
c42ε
′
22
+
c43ε
′
33
+
c44ε12′
+
c45ε
′
23
+
c46ε
′
31
⎪σ ⎪
′
23
=
c51ε11′
1
弹性力学讲义（2013 版），山东大学岩土中心 王者超
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如引用=
E (1)(12)
并注意到 2G E
他的关系式，归纳如下
x 2Gx y 2Gy z 2Gz
xy Gxy yz Gyz zx Gzx
(4-8)
称为拉梅(Lamé)弹性常数。用体积应变表示应力时则有
xy
xy
G
式中，G E 2(1 )
为剪切弹性模量
纯剪应力状态
7
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律
➢ 用相同的方法，可以导 出三维应力状态下的各
向同性均匀材料的广义 胡克定律，其形式为：
（各向同性均匀材料的 含义，即材料内部各处 的不同方向具有相同的 μ、E、G 值）
ez 1Ez 21Gz
11
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式
ex 1Ex 21Gx ey 1 Ey 21Gy
ez 1Ez 21Gz
➢ 因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为：
ex ey ez xy yz zx1 x y z 2xy 2yz 2zx 2G
xE 1[xx(xyz)]
即得式(4-6)的第一式 x E 1[1()x]
利用式(4-5) 便可得
12
E
将其代入式(4-6)
xE 1[1()x(1E 2)]
由上式可得
x 1Ex(1)(1E2)
13
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律的不同形式
(4-7)
➢ 弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：应力或应变球张量对
应力主轴或应变主轴无影响）
12
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律的不同形式
➢ 各向同性体的胡克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题
时，有时需要用应变表示应力关系。将式(4-4)第一式作如下改变
xy z E 1 [( xyz) 2(xyz)]
1E 2(xyz)
如令
x y z 3 0,x y z 3 m
则上式可写为
12
E
或
0 1E2m
(4-5)
(4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的
球张量成正比，而与应力偏量无关。
9
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
弹性与塑性力学基础-第四章广 义虎克定律和弹性力学解题
§4-4 按位移求解弹性力学问题 §4-5 按应力求解弹性力学问题 §4-6 平面问题和应力函数 §4-7 圣维南原理 §4-8 叠加原理 §4-9 悬臂梁受均匀分布载荷作用 §4-10 简支梁受均匀分布载荷作用 §4-11 具有小圆孔的平板的均匀拉伸 §4-12 位错引起的应力与弹性应变能
2
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.1 问题的提出 ➢ 弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用15个变量来 描述。即：6个应力分量，3个位移分量，6个应变分量。
➢ 已学的基本方程－9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元 体的力平衡）3个，几何方程（应变－位移关系）6个。
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 由式(4-6)及式(4-5)，可得
x
0
1 [(1 E
)x
]
12
E
m
1 [(1 E
)x
3m]
12
E
m
1
E
(x
m)
即：
ex 1Ex 21Gx
式中： ex=x- 0 为应变偏量分量，x xm为应力偏量分量。
用相同的方法，可得：
ey 1 Ey 21Gy
平面双向拉（压）应力
纯剪应力状态
5
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
平
面
2、平面应力状态:
应
力
由于应力x的作用：
时
x方向应变为 x
的 胡
E
克
y方向应变为 x
定 律
E
由于应力y的作用： y方向应变为 y
E
x方向应变为 y E
同时有x和y作用在x方向及y方向的应变为
x y
x
E
y
E
y
E
x
E
E1(x E1(y
y)(4-3)
x)
6
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
2、平面应力状态：
在x和y作用下，z方向的应变
εz= -μ(x＋y)/E
在剪应力作用下， X-Y 平面内的剪 应变与纯剪时相同，即：
➢ 未知变量的个数（15）多于方程数（9）→必须研究受力物体 的应力与应变之间的关系→物理方程。对于弹性问题，即广义 胡克定律。
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弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.2 胡克定律
1、单向拉伸（压缩）：
➢ 材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹 性的，两者之间满足胡克定律。其表达式如下：
拉伸或压缩方向：x =·x 与拉伸或压缩垂直的方向： y = z=-μ·x
式中： －弹性模量， μ－泊松比
4
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
2、平面应力状态:
➢ 对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下， 正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的 叠加原理是适用的。
x y
1
E 1
E
[ [
x y
( (
y x
z
)]
z )]
z
1 E
[
z
(
x
y
)]
xy
xy G
yz
yz G
zx
zx G
(4-4)
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弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 引入以上表达式后，广义胡克定律又可写为：
x
1 E
[(1
) x
],
xy
1 G
xy
y
1 E
[(1
)
y
],
yz
1 G
yz
(4-6)
z
1 E
[(1
) z
],
zx
1 G
zx
10
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法