第27讲 串联谐振电路分析

Q(0 ) S sin 0
但 QL (0 )，QC (0 ) 并不分别等于零。
QL (0 ) 0 LI02 ,
QC (0 )
负号。
9
⑤谐振电路的品质因数 设谐振时电路中电流为：
i0
uS r
2U S cos 0t
r
2I 0 cos 0t
则电感瞬时储能为wL0 (t)
2 50106 2001012
1.59106 1.59MHz
Q 1 L， rC
1 L 1 50106
r Q
C 50
2001012 10
16
所以谐振时回路电流为
I0
US r
第27讲 串联谐振电路
主要内容： 1、品质因数的定义，电感线圈、电容器的品质因数； 2、rLC串联电路谐振的条件、谐振特征； 3、rLC串联谐振电路的选择性、带宽与品质因数的关系。
1
一、品质因数
品质因数Q定义：在正弦稳态电路下，元件或谐振电路
储能的最大值与其在一个周期内所消耗能量之比的2
倍。
Q
def
U L (0 ) U C (0 ) j0 LI0
U L (0 )
UC (0 )
r
US
j
0
r
L
U
S
j
r
U
S
对于电力系统，将造成
r
1时 ,U L (0 )，UC (0 )很大
电网的损坏。 对于电子线路，可以应8用
④无功功率互补
(0 ) 0 ∴功率因数 cos0 1
P(0 ) S cos S
I
2 0
rT0
r
r 0Cr r C r
11
Q
2
LI02
I
2 0
rT0
2f0 L
r
0 L
r
1
0Cr
1 r
L
Cr
U L (0 )
UC (0 )
j0 LI0
j
0 L
r
U
S
j
r
U
S
U L (0 ) jQU S
UC (0 ) jQU S
U r0
rI0
r U S r
U S
12
三、rLC串联谐振电路的频率响应
品质因数越高，损耗系数越小，电容器性能越好。 4
二、rLC串联谐振电路
通常，电容器损耗比电感线 圈的损耗小很多，可忽略不 计，故等效电路如右。
Z
U S I
r
j(L
1
C
)
r jX
Z r2 X2
arctan X
r
令X
L
1
C
0
则
1 LC
0
0时 , Z r , 呈阻性 , 电压与电流同相
1 2
Li02
LI02
cos2
0t
又 uC0 (t)
2I0 X C0 cos(0t 90 )
2I0
0C
s in 0 t
则电容瞬时储能为 wC0 (t)
1 2
Cu02
C
(
I0
0C
)
2
sin2 0t
wC 0max
C( I0 )2
0C
I
2 0
02 C
I
2 0
1C
LI02
w L0max
LC
10
结论1：谐振时电感和电容 元件储能的最大值相等。
为抑制临近电台信号干扰要求选择性好，希望Q大；
实际设计时要选取适当Q值，兼顾选择性和带宽要求。15
例1 一串联谐振电路，L=50µH，C=200pF，回路品质 因数Q=50，电源电压Us=1mV，求电路的谐振频率、 谐振时回路电流I0，和电容上的电压Uc0以及带宽B。
解：谐振频率为
f0
2
1 LC
1
5
Z r2 X2
arctan
X r
0
1 LC
X>0 感性
X<0 容性
6
1、谐振定义
对于图示串联电路而言，电 压和电流同相时的工作状况 称为电路发生了谐振。
2、发生谐振的条件
X
L
1
C
0
1 LC
0
3、谐振角频率、谐振频率
谐振角频率： 0
1 LC
谐振频率：f 0
2
1 LC
它们是由电路参数L、C决定的，与外施激励无关，称 为固有频率。
2
储能的最大值 周期内消耗的能
量
1、电感线圈的品质因数
考虑电感线圈的能量损耗时， 其电路模型如右。
设 i 2I cos t
则电感的储能为:
wL (t )
1 2
Li2 (t )
LI 2
cos2
t
w Lmax LI 2
2
电感最大储能为: w Lmax LI 2
一周期内线圈电阻r所消耗能量为:
wr I 2rT I 2r f 电感线圈的品质因数为:
Q 2 LI 2 2fL L
I 2r f r
r
2、电容器的品质因数
考虑电容器的能量损耗时， 其电路模型如右。
设 u 2U cos t
则电容的储能为:
wC
(t)
1 2
Cu2 (t)
CU
2
cos2
t
wC max CU 2
3
电容储能最大值为: wC max CU 2
一周期内电容损耗电导G所消耗能量为:
7
4、rLC串联谐振的特征：
① Z( j0 ) r ，其阻抗模 Z( j0 ) 最小。
当输入电压不变时，I0
US Z
US r
最大
实验时成为达到谐振的表征。
②谐振时感抗与容抗相等。
串联谐振电路的特性阻抗：谐振时的感抗值或容抗值。
0L
1
0C
1 L LC
L C
③可能出现过电压现象：串联谐振又称为电压谐振。
I U S
U S
Z
r
j(L
1
C
)
电路电流的频率响应为：
H(
j )
I U S
令
H0
1 r
r
1
j(L
1
C
)
1
1r
jQ(
0
0
)
H( j)
H0
1
Q
2
(
0
0
)2
——幅频特性
( )
arctan
Q(
0
0
)
——相频特性
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H( j)
H0
1 Q2( 0 )2 0
( ) arctan Q( 0 ) 0
串联谐振电路谐振时总的瞬
时储能为：
w0
w L0
wC0
LI
2 0
结论2：谐振电路中任意时刻t的电磁能量恒为常数，
说明电路谐振时与激励源之间无能量交换。
谐振时，电路中只有r消耗能量。一周期内电阻r所消
耗能量为
wr0
I
2 0
rT0
I
2 0
r
f0
谐振电路的品质因数为：
Q 2 LI02 2f0 L 0 L 1 1 L
Q
0L
r
1
0 Cr
1 r
L
Cr
带宽 B 0 r (rad/s)，或者B f0 r
QL
Q 2L
14
谐振电路具有选频特性 讨论： 1、Q值越高，幅频曲 线越尖锐，电路对偏离 谐振频率的信号的抑制 能力越强，电路的选择 性越好。 2、Q值越高，电路带 宽越窄。 3、谐振电路的实际应用举例——收音机选台 为减小信号失真要求带宽尽可能宽，希望Q小；
wG U 2GT U 2G f 电容器的品质因数为:
Q 2 CU 2 2fC C CR
U 2G f
G
G
电容器的性能也常用损耗角或损耗系数来衡量：
ZC
R //
1
jC
1
R
jCR
R
1 (CR)2
(1
jCR)
阻抗角 arctan CR , 损耗角 90
损 耗 系 数tan
1
CR
1 Q