固体物理-一维周期场中电子运动的近自由电子近似
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一维周期场中电子运动的近自由电子近似_固体物理资料
—— 布洛赫函数形式
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波
—— 前进的平面波
散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
—— 势场作用产生的散射波
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
散射波
相邻原子的散射波有相同的相位 电子入射波波长
微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
0 k
(
x)
(1) k
(x)
.
0 k
(
x
)
(1
/
L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k
k | Ek0
H|k Ek0
0 k
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
—— 计入微扰电子的波函数
k (x)
1 eikx L
1 eikx L
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子能量的意义
Байду номын сангаас
二级能量修正
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
当
E(2) k
—— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量____k和k’态简并
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
k
k| H|k 2 Ek0 Ek0
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
5.2近自由电子近似 固体物理研究生课程讲义
上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；
(3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。
利用以上特点，可以画出在波矢空间近自由电子的能带。
5.2.3 能带的三种图示法
E
3π a
2π a
π a
O
π 2π 3π aa a
E6
E5
允许带
E4
禁带
E3
允许带
E2
E1 允许带
k
(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。
d2 dx 2
0 k
(
x
)
Ek0
(
x)
0 k
(
x
)
2 2m
d2 dx 2
0 k
(
x)
Ek0
(
x)
0 k
(
x)
得到
A
Ek0
E
V
0 k
(
x)
B
Ek0EVຫໍສະໝຸດ 0 k(x)
0
将上式分别左乘
0* k
(
x
)和
0* k
(
x
)再对
x
积分
:
利用： k0*V ( x) k0dx V0 0
k' V (x) k
电子能带的三种图示法
E
3 a
2 a
a
O
2 3 aa a
扩展区图
E6
E5
允许带
E4
禁
带 E3
允许带
E2
E1 允许带
k
(b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一 布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。
(c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带 (强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。
固体物理 04-02一维周期场中电子运动的近自由电子近似
0 k
2 2 k 0 Ek V 2m
固 体 物 理
Solid State Physics
波函数和能量本征值
2 2 k 0 Ek V 2m
k E 2m
0 k
2
2
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
周期边界条件
1 ikx 1 ik ( x Na ) ( x) e e L L
0 k (1) k
k0 ( x ) (1/ L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
西 南 科 技 大 学
k k n(2 / a)
k | H | k V (n)
k k n(2 / a)
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 ) .
Ek(1) k | H ' | k
k | V ( x) V | k
E
西 南 科 技 大 学
(1) k
0 L
L
1 ikx 1 ikx e [V ( x ) V ] e dx L L
E
(1) k
1 ikx 1 ikx [ e V ( x ) e dx ] V 0 L 0 L
k | H | k 0
固 体 物 理
Solid State Physics
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
k0 ( x ) (1/ L )eikx
2 2 k 0 Ek V 2m
固 体 物 理
Solid State Physics
波函数和能量本征值
2 2 k 0 Ek V 2m
k E 2m
0 k
2
2
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
周期边界条件
1 ikx 1 ik ( x Na ) ( x) e e L L
0 k (1) k
k0 ( x ) (1/ L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
西 南 科 技 大 学
k k n(2 / a)
k | H | k V (n)
k k n(2 / a)
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 ) .
Ek(1) k | H ' | k
k | V ( x) V | k
E
西 南 科 技 大 学
(1) k
0 L
L
1 ikx 1 ikx e [V ( x ) V ] e dx L L
E
(1) k
1 ikx 1 ikx [ e V ( x ) e dx ] V 0 L 0 L
k | H | k 0
固 体 物 理
Solid State Physics
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
k0 ( x ) (1/ L )eikx
固体物理--近自由电子近似和能带电子的经典近似
(0) (1)
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
令
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
L
mx a
dx um
ˆ (1) k 0 k' H
E
(2) k
m
'
um
2
2 2 2 2 [k (k m ) ] 2me a
求和号加撇代表不包括m=0的项
非简并微扰小结
非简并微扰下一维系统的能量和波函数：
k Ek U0 ' 2 2 2 2m 2 m [k (k m ) ] 2m a 2 im x u 1 ikx m k e 1 ' 2 e a 2 2 L m 2 k ( k m ) 2 m a e
Ｌ
( 0 )* k'
dx k k
( 0) k
'
非简并微扰（波函数）-1
按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：
k k k
(0)
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
令
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
L
mx a
dx um
ˆ (1) k 0 k' H
E
(2) k
m
'
um
2
2 2 2 2 [k (k m ) ] 2me a
求和号加撇代表不包括m=0的项
非简并微扰小结
非简并微扰下一维系统的能量和波函数：
k Ek U0 ' 2 2 2 2m 2 m [k (k m ) ] 2m a 2 im x u 1 ikx m k e 1 ' 2 e a 2 2 L m 2 k ( k m ) 2 m a e
Ｌ
( 0 )* k'
dx k k
( 0) k
'
非简并微扰（波函数）-1
按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：
k k k
(0)
固体物理学：第四章 第三节近自由电子近似
由于En(k)是k的周期函数，有时候在每一个布里渊区 内绘出所有能带，对一些问题的处理更方便一些。这 种图示称为周期能区图示（repeated zone scheme）。
对于二维和三维情况，往往画出等能线或者等能面 是有意义的。只要等能面与布里渊区界面相交，就 会发生等能面的不连续。下图给出了自由电子球型 等能面，越过布里渊区界面O点时，分裂成双曲面 的截面图。
我们讨论了周期势场中的单电子运动规律，这里的 公式也适用于X射线衍射动力学理论。第一章中讨 论X射线运动学理论时，我们忽略了晶体中入射束 与衍射束之间的相互作用。实际上，在周期结构中 传播的X射线，不能用单一波矢k的平面波去描述。 它应该是一个布洛赫波，也就是一系列相差一个倒 格矢的平面波的叠加。
特别是满足或者接近满足布拉格条件，即入射波矢 在布里渊区界面附近时，一个能量与之相等且相差 一个倒格矢的平面波被激发。这样至少两个波的混 合必须考虑。
从麦克斯韦方程出发，可以得到类似于方程4.3.16的 光子能量作为波矢函数的二次方程，产生能量的分 裂，导致X射线速度色散，得到如图的色散面
七、能带的能区图示
像近自由电子近似那样，不同的能带绘于k空间不同 的布里渊区内，称为扩展能区图式 (extended zone scheme)。根据布洛赫定理，k和k+K h是等价的，k的 取值限制在第一布里渊区内，可以将所有能带En(k)绘 于第一布里渊区内，称为简约能区图示（reduced zone scheme）。第一布里渊区也常常称为简约布里渊区。
令
得到
F(K h)就是晶体的几何结构因子，因此如果 即满足布拉格条件，能隙也为零。这种情况通常在复 式晶格中发生。
六、简约波矢和自由电子的波矢
近自由电子近似中，以自由电子作为零级近似，借用 自由电子的波矢k取标志周期势中单电子状态。 k是动量算符本征值hk对应的量子数，它可以遍及整个 空间，其波函数仍然是一个调幅平面波：
对于二维和三维情况，往往画出等能线或者等能面 是有意义的。只要等能面与布里渊区界面相交，就 会发生等能面的不连续。下图给出了自由电子球型 等能面，越过布里渊区界面O点时，分裂成双曲面 的截面图。
我们讨论了周期势场中的单电子运动规律，这里的 公式也适用于X射线衍射动力学理论。第一章中讨 论X射线运动学理论时，我们忽略了晶体中入射束 与衍射束之间的相互作用。实际上，在周期结构中 传播的X射线，不能用单一波矢k的平面波去描述。 它应该是一个布洛赫波，也就是一系列相差一个倒 格矢的平面波的叠加。
特别是满足或者接近满足布拉格条件，即入射波矢 在布里渊区界面附近时，一个能量与之相等且相差 一个倒格矢的平面波被激发。这样至少两个波的混 合必须考虑。
从麦克斯韦方程出发，可以得到类似于方程4.3.16的 光子能量作为波矢函数的二次方程，产生能量的分 裂，导致X射线速度色散，得到如图的色散面
七、能带的能区图示
像近自由电子近似那样，不同的能带绘于k空间不同 的布里渊区内，称为扩展能区图式 (extended zone scheme)。根据布洛赫定理，k和k+K h是等价的，k的 取值限制在第一布里渊区内，可以将所有能带En(k)绘 于第一布里渊区内，称为简约能区图示（reduced zone scheme）。第一布里渊区也常常称为简约布里渊区。
令
得到
F(K h)就是晶体的几何结构因子，因此如果 即满足布拉格条件，能隙也为零。这种情况通常在复 式晶格中发生。
六、简约波矢和自由电子的波矢
近自由电子近似中，以自由电子作为零级近似，借用 自由电子的波矢k取标志周期势中单电子状态。 k是动量算符本征值hk对应的量子数，它可以遍及整个 空间，其波函数仍然是一个调幅平面波：
固体物理学§4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
1
L
L 0
n
Vnei
kk
2 a
n
x
dx
Vn
,
0,
k k 2n
a
k k 2n
a
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
8
固体物理
固体物理学
计算到一级修正，电子的波函数为
k
x
0 k
x
1
k
x
式中 k为1x波 函数的一级修正
17
固体物理
固体物理学
代入薛定谔方程
并利用
d2
dx
2
2m 2
E
V x
0x
0
2 2m
d2 dx2
V0
0 k
x
Ek0
0 k
x
得到
2 2m
d2 dx2
V0
0 k
x
Ek0
0 k
x
A
Ek0
E
V
0 k
x
B
Ek0
E
V
0 k
x
0
分别从左边乘上
0 k
或
k0，然后对
dx
积分，并考虑到
18
固体物理
二、运动方程与微扰计算
Schrödinger方程：
2 2m
2
V
x
x
E
x
2
固体物理
固体物理学
周期性势场： V x V x na a：晶格常数
Fourier展开： V x V V V
Vnei
2 a
nx
n0
V 1
a
孙会元固体物理基础第三章能带论课件32近自由电子近似
计入微扰后波函数的一级修正为:
kVk
k(1)(x) '
k
(0) (0)
k
k
k(0 )(x)
波函数的一级修正为:
k(1)(x)
k
kVk
'
(0) (0)
k
k
k(0 )(x)
计入微扰后能量本征值的一级和二级修正为：
2
kVk
(1) k
kVk，k(2)
'
k
(0) (0)
k
k
式中求和号上的一撇表示不包含k=k/一项。
零级近似解 k(0)和k(0)(x)是对应周期势为零时 的波函数和能量本征值.显然,对应的就是第一章 自由电子费米气体的本征函数和能量本征值,只 是这里是一维情形.
所以有：
(0) k
(x)
1 eikx; L
(0) k
2k 2 2m
且满足
N a k (0 )(x)k (0)(x)d xkk
分析：对
e
i
2 a
,n当x x改变a的任意整数倍时,其值不
变，因而 uk(xn,a这)=u表k(x明) 考虑了弱周期场近似后,
计算到一级修正,波函数已从平面波过渡到了布
洛赫波。
k(x)
1
eikx1
L n
/ 2m 2 k2V ne (k i2a nx2 an)2 eikxuk(x)
k
2π
n
nπ
Gn
a a2
时,振幅
un
2m2 k2
Vn (k
2π a
n)2
已足够大,这时散射波不能再忽略.
也就是当波矢位于布里渊区边界（或布拉格 平面）时，此时它的振幅已足够大，散射波不能 再忽略。
理学一维周期场中电子运动的近自由电子近似
V V(x) 周期性势场的起伏量作为微扰来处理 V (x) V V
01/ 52
1）零级近似下电子的能量和波函数
一维N个原子组成的金属链，金属的线度 L Na
零级近似下
H0
2 2m
d2 dx2
V
薛定谔方程
2 2m
d 2 0
dx 2
V 0
E 0 0
波函数和能量本征值
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k 2 2m
V
满足周期 边界条件
0 k
(
x)
1 eikx L
1 eik (xNa) L
kNa l2
k l 2 —— l 为整数
Na
L
波函数满足
正交归一化
0 k'
*
0 k
dx
kk '
0
2）微扰下电子的能量本征值
哈密顿量 H H0 H '
H0
2 2m
d2 dx2
V
H ' V (x) V V
ea
n 2 )2 ]
2m
a
k (x)
1 eikx{1 L
n
2
[k 2
Vn (k
i 2 n x
e a}
n 2 )2 ]
2m
a
令 uk (x) 1
n
2
[k 2
Vn (k
i2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
可以证明 uk ( x ma) uk ( x)
电子波函数
k (x)
1 L
将 k l (2 ) 和 k' l' (2 ) 代入
01/ 52
1）零级近似下电子的能量和波函数
一维N个原子组成的金属链，金属的线度 L Na
零级近似下
H0
2 2m
d2 dx2
V
薛定谔方程
2 2m
d 2 0
dx 2
V 0
E 0 0
波函数和能量本征值
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k 2 2m
V
满足周期 边界条件
0 k
(
x)
1 eikx L
1 eik (xNa) L
kNa l2
k l 2 —— l 为整数
Na
L
波函数满足
正交归一化
0 k'
*
0 k
dx
kk '
0
2）微扰下电子的能量本征值
哈密顿量 H H0 H '
H0
2 2m
d2 dx2
V
H ' V (x) V V
ea
n 2 )2 ]
2m
a
k (x)
1 eikx{1 L
n
2
[k 2
Vn (k
i 2 n x
e a}
n 2 )2 ]
2m
a
令 uk (x) 1
n
2
[k 2
Vn (k
i2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
可以证明 uk ( x ma) uk ( x)
电子波函数
k (x)
1 L
将 k l (2 ) 和 k' l' (2 ) 代入
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一级能量修正
E (1) k
0
二级能量修正
Ek(2)
k'
k'| H'|k 2
Ek0
E
0 k'
——
—— 按原胞划分写成
—— 引入积分变量 x na
利用势场函数的周期性
x na
k'|V (x) | k
1
N 1
ei(k 'k )na
a ei(k 'k )V ( )d
Na n0
能量降低
两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-
E V Tn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E V Tn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
ii) 当 0 时
E V Tn Vn
0
i) ii)
将
和
代入
k ' k n 2
a
k ' k n 2
a
k ' |V (x) | k V (n) 1 a ei(k 'k)V ( )d
a0
k ' |V (x) | k 0 —— 周期场V(x)的第
n个傅里叶系数
k'k n2 / a k'| H '| k V (n)
k'k n2 / a k'| H '| k 0
(1) k
(
x)
.
0 k
(
x)
1 eikx L
波函数的一级修正
(1) k
k'
k'| Ek0
H
'| k Ek0'
0 k'
(1) k
1 eikx L
n
2
[k 2
Vn (k
i2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
计入微扰电子的波函数
k (x)
1 eikx L
1 eikx L
n
2
[k 2
零级近似下
薛定谔方程
波函数和能量本征值
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k 2 2m
V
满足周期 边界条件
k l 2
Na
L
波函数满足
正交归一化
0 k'
*
0 k
dx
kk '
0
2）微扰下电子的能量本征值
—— l 为整数
哈密顿量
根据微扰理论，电子的能量本征值
Ek— 平面波受到周期性势 场作用产生的散射波
散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
散射波
若相邻原子的散射波有相同的位相
电子入射波波长
2a n
—— 布拉格反射条件在正入射时的结果
入射波波矢
散射波成份的振幅 波函数一级修正项
2
[k 2
Vn (k
n
2 )2 ]
2m
a
1 eikx
Ln
2
[k 2
Vn (k
i2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
—— 微扰法不再适用了
ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用
在原来的零级波函数
中
掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数
0 k'
(
x)
i(k n 2 ) x
1e a L
—— 它们的能量差越小 掺入的部分就越大
当
时
—— 两个状态具有相同的能量
—— 导致了波函数的发散
E
Ek0' Ek0
Vn 2 Ek0' Ek0
Vn 2 Ek0' Ek0
—— k和k’能级相互作用的结果是原来能级较高的k’提高 原来能级较低的k下压
—— 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是 原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了
—— 能级间“排斥作用”
E
1 2
{E
§4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
1. 模型和微扰计算 近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子
实周期性势场的作用 —— 假定势场的起伏较小 零级近似 —— 用势场平均 值代替原子实产生的势场
V V(x) 周期性势场的起伏量作为微扰来处理 V (x) V V
1）零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 一维N个原子组成的金属，金属的线度
0 k
Ek0'
(
E
0 k
Ek0' )2
4Vn
2
}
ii)
波矢k非常接近
，k状态的能量和k’能量差别很小
将
按
泰勒级数展开
E
1 2
{Ek0
Ek0'
2 Vn
(Ek0 Ek0' )2 } 4 Vn
E
V V
Tn Tn
Vn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1) 1)
结果分析
i) 两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-， 原来能量高的状态 ，能量提高；原来能量低的状态
i) Ek0 Ek0' Vn
k n (1 ) k' n (1 )
a
a
波矢k离
较远，k状态的能量和状态k’差别较大
将
按
泰勒级数展开
E
1 2
{Ek0
Ek0'
( Ek0'
Ek0 )[1
(
2 Ek0'
Vn 2 Ek0
)2
]}
E
Ek0' Ek0
Vn 2 Ek0' Ek0
Vn 2 Ek0' Ek0
电子能量的意义
二级能量修正
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn 2
(k n 2 )2 ]
2m
a
当
E (2) k
—— 电子的能量是发散的
—— k和k’两个状态具有相同的能量，k和k’态是简并的
4）电子波矢在
附近的能量和波函数
—— 简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成
状态 k n (1 )
Vn (k
i 2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
k (x)
1 eikx{1 L
n
2
[k 2
Vn (k
i 2 n x
e a}
n 2 )2 ]
2m
a
令
可以证明
电子波函数 k (x)
1 L
eikxuk
(x)
—— 具有布洛赫函数形式
电子波函数的意义 i) 电子波函数和散射波
— 波矢为k的 前进的平面波
二级能量修正式
Ek(2)
k'
k'| H'|k 2
Ek0
E
0 k'
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
计入微扰后电子的能量
Ek
2k2 V 2m
n
'
Vn 2
2 [k 2 (k n 2 )2 ]
2m
a
3）微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
0 k
(
x)
a
—— 是一个小量 0
周期性势场中，对其有主要影响的状态
k' n (1 )
a
—— 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响
状态
对状态
的影响
简并波函数
(
x)
a
0 k
b
0 k'
薛定谔方程 H0 (x) H ' (x) E (x)
考虑到
H0
0 k
Ek0
0 k
and
H
0
0 k'
E0 0 k' k'
得到
分别以
或
利用
从左边乘方程，对 x 积分
线性代数方程 (Ek0 E)a Vn*b 0 & Vna (Ek0' E)b 0
a, b有非零解
能量本征值
E
1 2
{Ek0
E
0 k'
(Ek0 Ek0' )2 4Vn 2 }
E
1 2
{Ek0
Ek0'
(Ek0 Ek0' )2 4Vn 2 }