已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点,且两
2022-2023学年江苏省扬州市新华中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省扬州市新华中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线10x ++=的倾斜角是 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】D【解析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.【详解】因为直线10x ++=的斜率为所以其倾斜角为150︒ 故选：D2．抛物线22x y =的准线方程是（ ） A ．12x =-B ．14x =- C ．18x =-D ．116x =-【答案】C【分析】化为标准形式求解即可.【详解】解：22x y =可化为212y x =， 所以抛物线22x y =的准线方程为18x =-．故选：C3．平行直线1:34100l x y -+=与2:6850l x y --=之间的距离为（ ）A ．35B ．310 C ．32D ．52【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式即可求得平行直线1:34100l x y -+=与2:6850l x y --=之间的距离 【详解】在直线1:34100l x y -+=上取点5(0,)2A则点5(0,)2A 到直线2:6850l x y --=的距离52d == 则平行直线1:34100l x y -+=与2:6850l x y --=之间的距离为52故选：D4．圆()()22119x y -+-=和圆228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离【答案】A【分析】根据两圆的圆心距离以及半径之和和半径之差的关系，即可判断. 【详解】()()22119x y -+-=的圆心记为()11,1O ，半径3r =，将228690x y x y +-++=化成标准式为：()()224316x y -++=，故得圆心()24,3O -，半径4R =，则两圆的圆心的距离()()221241315O O =-+--=,由于1217R r OO r R =-<<+= ，故两圆相交， 故选：A5．图1展示的是某电厂的冷却塔，已知该冷却塔的轴截面是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的一部分（图2），该冷却塔上口的直径是塔身最窄处直径的2倍，且塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径．则该双曲线的离心率是（ ）A ．72B ．213C ．74D ．73【答案】B【分析】设出双曲线的方程，根据题意可知：双曲线过点(2,2)a a ，将其代入曲线方程，求出,a b 的关系，再根据,,a b c 的关系即可求出离心率.【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图：由题意可知：2CD a =，24AB CD a ==，又因为塔身最高处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径，所以点(2,2)A a a ， 将点A 代入曲线方程2222441a a a b -=，解得：2234a b =，所以该双曲线的离心率c e a =，故选：B.6．设a ，b 为实数，若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(),P a b 与圆的位置关系是（ ） A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．不能确定【答案】B【分析】根据直线与圆的位置关系，求得,a b 满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.1<，即221a b +>，故点(),P a b 在圆221x y +=外.故选：B.7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】B【分析】表示出各点坐标，由90ABF ∠=︒可得0BA BF ⋅=，得出,,a b c 的等式，变形后可求离心率． 【详解】由题意(,0),(0,),(,0)A a B b F c -，则(,),(,)BA a b BF c b =--=-，90ABF ∠=︒，∴20BA BF ac b ⋅=-+=，即220a c ac --=，可得2()10c ca a+-=，∴c e a ==． 故选：B ．8．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．5+D ．3+【答案】C【解析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，5CD ==，∴AB 的最大值为5CD =+ 故选：C.【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．若直线l 过()2,1，且l 的横截距是纵截距的2倍，则直线l 的方程为240x y +-=C ．直线20x y --=关于x 轴对称直线方程为20x y +-=D ．经过点()2,1M -，且与()1,2A -，()3,0B 两点距离相等的直线l 的方程为20x y += 【答案】AC【分析】根据直线的截距、直线对称、点线距离等知识确定正确答案. 【详解】A 选项，直线20x y --=的横截距为2，纵截距为2-，所以直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是12222⨯⨯=，A 选项正确.B 选项，直线12y x =过点()2,1，且l 的横截距是纵截距的2倍，所以B 选项错误. C 选项，直线20x y --=关于x 轴对称直线方程为20x y +-=（横坐标相同，纵坐标相反），C 选项正确.D 选项，直线1y =经过点()2,1M -，且与()1,2A -，()3,0B 两点距离相等（都为1），所以D 选项错误. 故选：AC10．已知圆22:420C x y x +-+=，则下列说法正确的有（ ）A ．直线10x y --=与圆CB ．圆C 关于直线0x y -=对称的圆的方程为()2222x y +-=C ．若点(),P x y 是圆C 上的动点，则22x y +的最大值为2D ．若圆C 上有且仅有三个点到直线0x y m ++=，则1m =-或3- 【答案】ABD【分析】对于A ，求出直线到圆心距离，再利用垂径定理结合勾股定理可得答案. 对于B ，相当于求以点C 关于直线对称点为圆心，半径不变的圆的方程. 对于C ，注意到2242x y x +=-，结合x 范围可得答案.对于D ，题目等价于直线0x y m ++=，进而可得答案. 【详解】圆22:420C x y x +-+=()2222x y ⇒-+=对于选项A ，设10x y --=到圆心()2,0距离为1d ==又圆C所以直线10x y --=与圆C 的相交弦长l ==故A 正确.对于选项B ，点C 关于0x y -=对称点为()0,2，又关于直线对称的圆半径不变. 则圆C 关于直线0x y -=对称的圆的方程为()2222x y +-=.故B 正确.对于选项C ，由圆C ：()2222x y -+=，可得22x ≤.又2242x y x +=-，得2266x y ⎡+∈-+⎣，故C 错误.对于选项D ，圆C 上有且仅有三个点到直线0x y m ++=等价于直线0x y m ++=到圆心()2,0距离2d =-==1m =-或3-.故D 正确. 故选：ABD【点睛】结论点睛：本题A ，B ，C 选项所涉知识较为基础，选项D 涉及的结论为： 设直线l 与圆O 相交，l 到O 距离为d ，圆O 半径为r ，圆上一点P 到l 距离为1d . （1）若10d =，满足条件的点P 有2个.（2）若10d r d <<-，满足条件的点P 有4个 （3）若1d r d =-，满足条件的点P 有3个 （4）若1r d d r d -<<+，满足条件的点P 有2个 （5）若1d r d =+，满足条件的点P 有1个 11．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为6π的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且1MP MF =，下列判断正确的是（ ） A ．123F PF π∠=B ．E 的离心率等于23C ．双曲线渐近线的方程为2y x =±D ．12PF F △的内切圆半径是313-【答案】AC【分析】根据已知条件可得出2PF x ⊥轴，可判断A 项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B 项；结合222c a b =+，得到2ba=，即可求得渐近线方程，可判断C 项；利用三角形等面积法得到内切圆半径r 的表达式与c 有关，故内切圆的半径不是定值，可判断D 项错误. 【详解】如图所示，因为M ，O 分别是1PF ，12F F 的中点，所以12PF F △中，2PF MO ∥，所以2PF x ⊥轴， A 选项中，因为直线1PF 的倾斜角为6π，所以123F PF π∠=，故A 正确；B 选项中，12Rt PF F 中，122F F c =，223PF =，143PF =， 所以12232PF PF a -==，得：3==c e a B 不正确；C 选项中，由222c a b =+，即223c a =，即2223a b a +=，即2ba=， 所以双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±，故C 正确；D 选项中，12PF F △的周长为()223c +，设内切圆为r ，根据三角形的等面积法，有()2322323cr c c +=⋅，得：313r c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，是与c 有关的式子，所以D 错误.故选：AC.12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F （0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A ．椭圆的长轴长为2B ．AFG 的周长为442+C ．线段AB 长度的取值范围是4,222+⎡⎤⎣⎦D ．ABF △面积的最大值是42【答案】BC【分析】由题意可得b 、c ，然后可得a ，可判断A ；由椭圆定义可判断B ；由椭圆性质可判断C ；设AB 所在直线方程为y kx =，分别联立椭圆、圆的方程，求出A ，B 两点的横坐标，得出ABF S △根据单调性可得最大值判断D.【详解】对于A ，由题知，椭圆中2b c ==，得2222a b c +=242a =，故A 错误； 对于B ，由椭圆定义知，242AF AG a +==AFG 的周长42442L FG =++B 正确；对于C ，2AB OB OA OA =+=+，由椭圆性质可知222OA ≤≤4222AB ≤≤+C 正确；对于D,设AB 所在直线方程为y kx =，联立22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得A x =， 联立224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得B x =，则11||||||||22ABF AOF OBF A B S S S OF x OF x =+=+=△△△ 显然当20k ≥时，函数y =所以当0k =时，ABF S △有最大值4，故D 错误. 故选：BC三、填空题13．若椭圆()22144x y m m +=<m 的值为__________．【答案】2【分析】根据椭圆方程确定,,a b c ，即可由离心率求解m 的值. 【详解】解：因为4m <，椭圆的焦点在x 轴上，所以224,a b m ，则2224c a b m =-=-所以离心率c a==2m =. 故答案为：2.14．已知圆22:240C x y x y m +--+=.若圆C 与圆22:(2)(2)1D x y +++=有三条公切线，则m 的值为___________. 【答案】11-【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由22240x y x y m +--+=，得22(1)(2)5x y m -+-=-， 所以圆C 的圆心为()1,2C因为圆22:(2)(2)1D x y +++=，所以圆D 的圆心为()22D ,--，半径为1， 因为圆C 与圆D 有三条公切线，所以圆C 与圆D 相外切， 即1CD ==，解得11m =-，所以m 的值为11-. 故答案为：11-.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线20ax y -+=与圆22:230C x y x +--=交于A ，B 两点，若钝角ABCa 的值是______． 【答案】34-##0.75-【分析】由钝角ABCsin ACB ∠=，得到23ACB π∠=，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解． 【详解】解：由圆22:230C x y x +--=，即()2214x y -+=， 可得圆心坐标为(1,0)C ，半径为2r =，因为钝角ABC 122sin 2ABCS ACB =⨯⨯∠=解得sin ACB ∠=，因为2ACB ππ<∠<，所以23ACB π∠=，可得||AB =设圆心到直线的距离为d ，又由圆的弦长公式，可得1d =， 根据点到直线20ax y -+=的距离公式1d ==，解得34a =-．故答案为：34-．16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，圆22():21M x y -+=，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于,,,A P Q B 四点，则||4||AP BQ +的最小值为_________. 【答案】13【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“||4||5AF BF +-”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将||4||5AF BF +-表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以4p =，所以抛物线方程为28y x =， 如下图，P 1F QF ==，因为()()||4||||||4||||||4||5AP BQ AF PF BF QF AF BF +=-+-=+-， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1122||2,||222p pAF x x BF x x =+=+=+=+， 所以12||4||45AP BQ x x +=++，设:2l x my =+，所以282y x x my ⎧=⎨=+⎩，()224840x m x -++=，所以124x x =，所以1212||4||4524513AP BQ x x x x +=++≥+=，取等号时1244x x ==， 所以||4||AP BQ +的最小值为13， 故答案为：13.【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.四、解答题17．已知直线l 1：2x +y +2=0；l 2：mx +4y +n =0． (1)若l 1⊥l 2，求m 的值．(2)若l 1//l 2 ， 5m ，n 的值 【答案】(1)2m =- (2)8m =，28n =或12n =-【分析】（1）根据两条直线垂直的条件列方程，化简求得m . （2）根据两条直线平行以及距离列方程，化简求得,m n .【详解】（1）由于12l l ⊥，所以240,2m m +==-.（2）依题意12//l l ，则2418m m ⨯=⨯⇒=，此时2:840l x y n ++=，即204n x y ++=，故2,84n n ≠≠.254n =-=⇒28n =或12n =-. 18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>20y ±=，且过点(． (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线l 交双曲线于,A B 两点，求弦长AB ．【答案】(1)22143x y -=； (2)24AB =.【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点(可构造方程求得,a b ，由此可得双曲线方程；（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得AB 方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线斜率b k a =±20y ±=，b a ∴=；双曲线过点(，22831a b ∴-=；由22831b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得：2a b =⎧⎪⎨⎪⎩∴双曲线C 的方程为：22143x y -=； （2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为()；若直线AB过双曲线的左焦点()，则:AB y x =+由22143y x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得：2400x ++=；设()11,A x y ，()22,B x y，则121240x x x x ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩24AB ∴==；由双曲线对称性可知：当AB 过双曲线右焦点时，24AB =；综上所述：24AB =.19．已知圆C 的方程为：2224690()x y mx y m m R +--+-=∈.（1）试求m 的值，使圆C 的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C 相切，且过点1,2的直线方程.【答案】（1）3m =；（2）1x =或34110x y --=.【分析】（1）先求圆的标准方程222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，由半径最小则周长最小；（2）由3m =，则圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=，直线和圆线切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与x 轴垂直和直线与x 轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.【详解】（1）2224690x y mx y m +--+-=，配方得：222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小.（2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=.当直线与x 轴垂直时，1x =，此时直线与圆相切，符合条件；当直线与x 轴不垂直时，设为()12y k x =--，2=，解得34k =， 所以切线方程为31144y x =-，即34110x y --=. 综上，直线方程为1x =或34110x y --=.20．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．(1)若直线l 过点()2,0-且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值．【答案】(1)2x =-或3460x y -+=； (2)3510. 【分析】（1）讨论直线l 是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解；（2）根据题意以及几何关系，求得点P 的轨迹方程，再求PM 的最小值即可.【详解】（1）根据题意，圆C 的方程为：222430x y x y ++-+=，变形可得()()22122x y ++-=， 其圆心为1,2，半径为2，当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =-，易求直线l 与圆C 的交点为()2,1A -，()2,3B -，2AB =，符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设其方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，则圆心C 到直线l 的距离222222121k kd k --+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭+， 解可得34k =，所以直线l 的方程为3460x y -+=， 综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=.（2）如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM PM ⊥，所以PMC △为直角三角形，即222PM PC MC =-设(),P x y ，由（1）知()1,2C -，2MC =PM PO =，所以()()2222122x y x y ++--=+化简得点P 的轨迹方程为2430x y -+=求PM 的最小值，即求PO 的最小值，也即求原点O 到直线2430x y -+=的距离，由距离公式可求得PM 35.21．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22. (I )求椭圆E 的方程；(II )经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），问：直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．【答案】(1) 2212x y += (2)2 【详解】（Ⅰ）由题意知21c b a ==，综合222a b c =+，解得2a =所以，椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得 22(12)4(1)2(2)0+--+-=k x k k x k k ，由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+ 121212112(2)2(2)x x k k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-. 【解析】1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.22．已知双曲线C 1：2211612x y -=，抛物线C 2：22y px =（0p >），F 为C 2的焦点，过F 垂直于x 轴的直线l 被抛物线C 2截得的弦长等于双曲线C 1的实轴长．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过焦点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线C 2分别相交于点A 、B 和C 、D ，点P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值．【答案】(1)28y x =；(2)16.【分析】（1）由题设有直线l 为2p x =，联立抛物线求相交弦长有28p =，即可写出抛物线方程.（2）由题意，可设直线AB 为(2)y k x =-且0k ≠，联立抛物线应用韦达定理求P 、Q 坐标，再由两点距离公式求||QF 、||PF ，进而得到FPQ S关于k 的表达式，结合基本不等式求最小值，注意等号成立条件.【详解】（1）由题意，双曲线实轴长28a =，直线l 方程为2px =，由222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，得y p =，则过F 垂直于x 轴的直线l 被抛物线C 2的弦长为2p ， 所以28p =，故抛物线2C 的方程为28y x =.（2）因为(2,0)F ，若直线AB 、CD 分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；所以，直线AB ，CD 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，则直线AB 的方程为(2)y k x =-联立()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得28160ky y k --=，则2Δ61640k =+>， 设1122,(,)(,)A x y B x y ，则128y y k +=． 设(,)P P P x y ，则1242P y y y k +==，则2422,P P y x k k =+=+即244(2,)P k k+，同理得2(42,4)Q k k +-， 故2224222||(422)(4)16164(1)QF k k k k k k =+-+-++242161641||k PF k k +=+，又PF QF ⊥，所以2118(1)||||22||FPQ k S PF QF k +=⋅=⨯==18(||)816,||k k ⨯+≥⨯= 当且仅当1||||k k =，即1k =±时等号成立，故△FPQ 面积的最小值为16．。
重庆市名校联盟2023-2024学年高三下学期第一次联考数学试题
重庆市名校联盟2023-2024学年高三下学期第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________由④⑤得()()24-+-=g x g x ，则()()24++=g x g x ，所以()()424+++=g x g x ，得到()()4g x g x +=，()g x 周期为4，因为()()24-+-=g x g x ，令1x =，则()()114g g +-=，又因为()g x 为偶函数，则()()11g g =-，则()241=g ，所以()12g =，()()()20254506112=´+==g g g ，故选项B 错误；因为()()422f x g x -+-=， 得()()22f x g x +-=，()()22f x g x -+=，又因为()()24-+=g x g x ，所以()()20f x f x +-=，又因为()()4f x f x =-，所以()()420-+-=f x f x ，所以()()20f x f x ++=，则()()42()f x f x f x +=-+=，所以()f x 周期为4，由③知，()()()4f x f x f x =-=-，所以()f x 是R 上的偶函数，故选项C 正确；由选项B 知，()()22f x g x +-=，()()4f x f x =-，()()24-+=g x g x ，对三个式子分别关于x 求导可得，()()20¢¢--=f x g x ⑥，()()4f x f x ¢¢=--⑦，()()20¢¢--=g x g x ⑧，由⑥得()()20¢¢--=f x g x ⑨，⑥-⑨结合⑧可得()()2f x f x ¢¢=-，又因为()()4f x f x ¢¢=--，则()()()22¢¢¢+=--=-f x f x f x ，即()()2f x f x ¢¢+=-，则()()()42f x f x f x ¢¢¢+=-+=，()f x ¢周期为4，由()()4f x f x ¢¢=--知，()()22¢¢=-f f ，()20f ¢=，所以DM AD^，因为AP^平面ABCD，且DMÌ平面ABCD，，所以AP DM^因为AP AD AAP ADÌ平面PAD，Ç=，,所以DM^平面PAD，且ANÌ平面PAD，所以DM AN^，因为AP AD=，且点N是线段PD的中点，所以AN PD^，又因为DM PD DDM PDÌ平面PDM，I，,=所以AN^平面PDM，（2）因为AP^平面ABCD，且90Ð=°，BAD所以直线,,AB AD AP两两垂直，以A为原点，分别以直线,,AB AD AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由2224====得，BC AB AP AD利用切合函数得到两个关键等式；三是把多变量转化为单变量，构造函数，利用单调性证明不等式.。
专题22 双曲线(解答题压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
x2 a2
y2 4
1 a
0 的中心为原点 O ，左、右
焦点分别为
F1 、
F2
，离心率为
35 5
，点
P
是直线
x
a2 3
上任意一点，点 Q
在双曲线
E
上，
且满足 PF2 QF2 0 .
（1）求实数 a 的值；
（2）证明：直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值；
（3）若点 P 的纵坐标为1，过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、N ，在线段
(2)是否存在直线 l，使得 l 与 M 交于 A，B 两点，且弦 AB 的中点为 P 4, 6 ？若存在，求 l
的斜率；若不存在，请说明理由.
②双曲线中的最值问题
1．（2022·全国·高三阶段练习）在一张纸上有一圆 C : (x 2 3)2 y2 36 ，定点 M 2 3, 0 ，
折叠纸片 C 上的某一点 M1 恰好与点 M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 KQ ，设 折痕 KQ 与直线 M1C 的交点T .
专题 22 双曲线（解答题压轴题）
双曲线（解答题压轴题）
①双曲线的中点弦问题 ②双曲线中的最值问题 ③双曲线中定点、定值、定直线问题
④双曲线中向量问题 ⑤双曲线综合问题 ①双曲线的中点弦问题 1．（2022·四川·树德中学高三期中（文））已知抛物线 C ： x2 2 py （ p 0 ）的焦点为 F ， P 为 C 上的动点，Q 为 P 在动直线 y t （ t 0 ）上的投影.当 △PQF 为等边三角形时，其面
曲线 C 的实轴长为 2，焦距为 2 3 ，且点 P（0，-1）到渐近线的距离为 3 . 3
（1）求双曲线 C 的方程；
2 双曲线渐近线有关问题 讲义及练习
讲次2.双曲线渐近线有关问题-教师版一.综述在双曲线的几何性质中,渐近线是双曲线所特有的性质,因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时,应先画出它的渐近线.理解“渐进”两字的含义,当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.即:(1)已知双曲线方程求渐近线:(2)已知渐近线设双曲线标准方程在考题中,常结合双曲线方程和离心率进行考查,只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过的关系进行相互转化即可.几何性质中我们除了要掌握对称性,还需要熟记焦点到渐近线的距离为. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( ) A . B .C .D . 分析:双曲线渐近线为过原点的两条相交直线,且斜率分别为.由已知条件根据直线与圆的位置关系可以求出其中一条渐近线的斜率然后再利用求出离心率. 解析: 由题意得圆方程即为，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐近线为，即，故圆心到渐近线的距离为。
∵渐近线被圆截得的弦长为2,∴，整理得. ∴选D. 答案：D .点评: 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a 、b 、c 的方程或不等式，利用和转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的22221x y a b -=22220x y by x a b a-=⇒=±y mx =222m x y λ-=222a b c +=b 22221x y a b-=0,0a b >>22650x y x +-+=2ba±222a b c +=22(3)4x y -+=by x a=0bx ay -=d ==22212⎛⎫+=2212b a =c e a =====222a b c +=e=ca值或取值范围．规律总结:相关渐近线斜率k 与离心率e 的问题,由,可以得到进行相互转化.现学现用1: 已知焦点在x 轴上双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A .B .C .D . 解析: ∵双曲线的离心率为2∴，即∵∴，即∴双曲线的渐近线方程为故选D例2. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线与N ,若,则双曲线的渐近线方程为 .分析:题目中给出的向量表达式,从代数的角度讲就是给出向量坐标的比例关系,通过这个比例关系,列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而求出渐近线方程.从几何的角度讲,就是给出点M 分线段NF 的比例,再利用渐近线的对称性结合三角函数知识进而解决问题. 解析: (解法一)如下图所示:由对称性,令,渐近线的斜率为.易知, 故, 所以①; 由已知得:; 在和中,易得② 由①②得: 解得;所以渐近线方程为: 222a b c +=2221k e +=C 3y x =±y =2y x =±y =2222:1(0,0)x y Ca b a b -=>>2c a=224c a =222c a b =+223b a =ba=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =2222:1x y C a b-=73FM FN =73FM FN =2,MOF NOF MON αβ∠=∠=∠=1l tan k α=2αβπ+=()222tan 2tan tan 2tan 21tan 1kkαβπααα=-=-=-=---222tan 21tan 1kk k k βα--==--73FM FN =43MN MF=MOF Rt #MON Rt #tan 4tan 3MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭22413k -=-2k =±2y x =±(解法二) 由题意得双曲线的右焦点F (c ,0)，设一渐近线OM 的方程为，则另一渐近线ON 的方程为．设，∵，∴， ∴，解得．∴点M 的坐标为， 又，∴，整理得，∴双曲线的渐近线方程为答案:. 点评: 本题主要考查双曲线及渐近线,解法一利用对称性与三角函数列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而解出k .解法二代数法列方程求出坐标,再利用垂直关系,解出k规律总结:关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用渐近线的对称性结合三角方法来处理.现学现用2: 点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 答案: 解析:如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即，两边平方并化简得，所以， 因此.by x a=b y x a =-,,,bm bn M m N n a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73FM FN =7,3,bm bn m c n c a a ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()73 73m c n c bm bn a a -⎧=-=-⎪⎨⎪⎩27 23c m c n ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩22,77c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭OM FM ⊥27127OM FMbc b a k k c a c ⋅=⨯=--2252b a=b y x a =±=y x =P 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 1PF O a A 1PF 2F 43±A B 1PF OA a =22BF a =122F F c =12BF b =24PF b =2122PF F F c ==122PF PF a -=422b c a -=223250c ac a --=53c a=43b a ==例3: 已知双曲线过其左焦点 作斜率为的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A 、 ，若 ，则双曲线的两条渐近线方程为 A .B .C .D .分析:答案:C解析:由题意设直线 的直线的方程为.与两条渐近线联立.，得 ;，得 若，则，解得 ，故双曲线的两条渐近线方程为故选C .点评:本题给出直线的斜率,较适宜列方程解出坐标.再利用转化为坐标的比例关系.规律总结: 关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用解析法求出交点坐标,利用坐标的关系解答问题.现学现用3: 已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A .B .C .D . 解析:设双曲线的标准方程为，由题意知c =3,a 2+b 2=9，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则有:, C ()3,0F C F l C A B AB ()12,15N --y x =y x =y =2y x =±()222210,0x y a b a b-=>>2211222222221 1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩两式作差得： ，又AB 的斜率是，所以将4b 2=5a 2代入a 2+b 2=9得：a 2=4,b 2=5.则双曲线的渐近线方程为. 本题选择A 选项.三.课堂练习 强化技巧1. 已知以原点为中心，实轴在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为（ ）A .B .C .D .答案:C解析:∵双曲线的一条渐近线方程是，∴∴c =10.∵c 2=a 2+b 2∴a 2=64 b 2=36∴双曲线方程为=1故答案为.2.已知双曲线， 为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ） A . B .C .D . 答案:A解析:由题意，设，则，则，即双曲线的方程为，其渐近线方程为；故选A .22212122221212124155y y x x b b b x x a y y a a-+-=⨯=⨯=-+-1501123--=--2y x =±x 34y x =221169x y -=221916x y -=2216436x y -=2213664x y -=34y x =34b a =610c =⇒=226436x y -C 22221(00)x y a b a b-=>>，,A B M ABM ∆120︒=y x ±=y ±=2y x ±=y x ±()()(),0,,0,,A a B a M x y -tan30tan60AM BMy k x ay k x a ==︒+=⎧⎪︒-⎨=⎪⎪⎪⎩2221y x a =-222x y a -=y x =±3. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于N ,若,则双曲线的渐近线方程为 . 解析:如下图所示:令,渐近线的斜率为. 由对称性知,故,所以①; 由已知得:; 在和中,易得②由①②得:解得;所以渐近线方程为:四.课后作业 巩固内化 1.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A .B .C .D .答案:B解析:设双曲线的标准方程 ,选B2. 已知双曲线，其一渐近线被圆所截得的弦长等于 ，2222:1x y C a b-=2MF FN =,MOF MON αβ∠=∠=1l tan k α=2βα=222tan 2tan tan 21tan 1kk αβαα===--222tan 21tan 1kk k kβα-==-2MF FN =31MN MF =MOF Rt #MON Rt #tan 3tan 1MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭2231k =-k =y =()1,2y =2212x y -=2212y x -=2213y x -=2213x y -=2222242212y y x x λλ-=∴=-=∴-=则 的离心率为( ) A .B .C .或 D .或 答案:D解析: 的渐近线为渐近线被 截得的弦长为或或。
广东省广州增城市2025届高考数学押题试卷含解析
广东省广州增城市2025届高考数学押题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ） A ．5B ．3C ．10D ．45．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b6．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE =50cm ．EF =40cm ．FC =30cm ，∠AEF =∠CFE =60°，则该正方形的边长为（ ）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm7．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．223B ．23C 3或62D 23或628．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 B ,,a b c C ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列9．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>10．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．6011．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭12．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
双曲线的性质的练习题及答案
双曲线的性质1、已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆1022=+y x 相交于点()1,3-P ，若此圆过点P 的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线方程。
2、已知21F F 、是双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于x轴的双曲线的弦，若︒=∠902Q PF ，求双曲线的离心率。
3、双曲线()0,112222>>=-b a b y a x 的焦距为c 2，直线l 过点()0,a 和()b ,0，且点()0,1到直线l 的距离与点()0,1-到直线l 的距离之和c S 54≥，求双曲线的离心率e 的取值范围。
4、如图，21F F 、分别是双曲线()0,012222>>=-b a b ya x的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是正三角形，求e 。
5、在双曲线12222=-b ya x中，设0>>a b 。
直线l 过点()0,a A 和()b B ,0，原点到直线l 的距离为c 43(c 为半焦距)，求双曲线的离心率。
6、已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的离心率25=e ，点()1,0A 与双曲线上的点的最小距离是3052，求双曲线方程。
7、如图，已知双曲线C 的方程为()0,012222>>=-b a by ax ；离心率25=e ；顶点到渐近线的距离为552。
(1)、求双曲线C 的方程；(2)、如图，P 是双曲线C 上一点，B A 、两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,31,λλPB AP ，求AOB S ∆的取值范围。
8、双曲线C 与椭圆14822=+y x 有相同的焦点，直线x y 3=为双曲线C 的一条渐近线。
(1)、求双曲线C 的方程；(2)、如图，过()4,0P 的直线l 交双曲线C 于B A 、两点， 交x 轴于Q 点(Q 点与双曲线C 的顶点不重合)，当,21QB OA PQ λλ==且3821-=+λλ时，求Q 点坐标。
2017选修2-1《双曲线》练习题经典(含答案)
《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是()A.17B.15C.174 D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞0）1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．7．的圆相切，则双曲线的离心率为（）A B C D 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.62 C.63D.339．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点，则m 等于( ) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 11．ABC ∆是等腰三角形，B ∠=︒120，则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 （ D ）12．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．83C ．24D ．4813．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( ) A ．28B ．14－82C ．14＋8 2D ．8 214．双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A. 12-=x y B. 22-=x y C. 32-=x y D. 32+=x y15．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=116．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．217．半径不等的两定圆O 1、O 2无公共点（O 1、O 2是两个不同的点），动圆O 与圆O 1、O 2都内切，则圆心O 轨迹是（ ）A ．双曲线的一支B ．椭圆或圆C ．双曲线的一支或椭圆或圆D ．双曲线一支或椭圆18. 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ ）条。
2007年江苏省南通市高三数学押题(35题)
2007年江苏省南通市高三数学押题(35题)一、选择题1． （命题人：启东中学）函数f （x ）＝|x 2－a | 在区间［－1，1］上的最大值M （a ）的最小值是 A ．41 B ．21C ．1D ．2 【解析】选B ．f （x ）是偶函数，所以M （a ）是在［0，1］内的最大值，当a ≤0时，f （x ）＝x 2－a ，则M （a ）＝1－a ；当a >0时，由图像可知，若12≥a ，则M （a ）＝a ，若12<a ，则M （a ）＝f （1）＝1－a ，从而M （a ）＝ 11212a a a a ⎧-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，≤，， M （a ）min＝12． 2． （命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞）在网络游戏《变形》中，主人公每过一关都以32的概率变形（即从“大象”变为“老鼠”或从“老鼠”变为“大象”），若将主人公过n 关不变形的概率计为P n ，则 A ．P 5>P 4 B ．P 8<P 7 C ．P 11<P 12 D ．P 15>P 16【解析】由题32)1(3111⋅-+⋅=--n n n P P P （*)N n ∈，即13132--=n n P P （*)N n ∈，以n ＋1代n ，得n n P P 31321-=+，所以)(3111-+--=-n n n n P P P P （*)N n ∈．而31,110==P P ，所以n n n P P )31(321--=-+（N n ∈）． 所以22121200k k k k P P P P -+->⎧⎨-<⎩，，所以偶数项比它相邻项大，所以答案为C ．3． （命题人：海门市悦来中学何振华，审题人：沈康生）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 在AD 和DC 上运动，设θ=∠ABP ，将A B P ∆沿BP 折起，使得二面角C BP A --成直二面角，当θ为（ ）时，AC 长最小． A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒75 【解析】过A 作AH ⊥BP 于H ，连CH ，∴BCP 面⊥AH ．∴θθcos 3BH sin 3AH A t ==∆，中，在BH R ． 在）（）（中，θθθ-︒⨯⨯⨯-+=∆90cos cos 3424cos 3CH 222BHC ，∴在中ACH R ∆t ，θ2sin 12252-=AC ，∴︒=45θ时，AC 长最小；选B ．4． （命题人：通州中学陈颖，审题人：严东来）如图，非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角分 别为 6π和23π，且0OA OB OC ++=，则OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围是A ．(0,)3π B ．5(,)36ππy AOxBCC ．2(,)23ππD ．25(,)36ππ【解析】OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量,OA OB --与x 轴正半轴的夹角之间，故选B ． 5． （命题人：通州中学严东来，审题人：王淦华）已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],(,)a b a b Z ∈，值域是[]0,1，则满足条件的整数对(,)a b 共有A ．2个B ．5个C ．6个D ．无数个【解析】()f x 在R 上是偶函数，故()f x 的图象关于y 轴对称，作出()f x 的图象，截取值域是[]0,1 的一段，发现a ，b 的取值只可能在－2，－1，0，1，2中取得，但必须取0，－2﹑2必须至少取一个，故选B ．6． （命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）三角形ABC 中AP 为BC 3=，2-=⋅BC AP ＝ A ．2 B ．3 C ．5 D ．7【解析】22PC BP =，即22)()(AC PA AP BA +=+，5222=⋅+=BC AP BA AC ，=5，故选C ．7． （命题人：如皋中学薛钧，审题人：冒红玉）已知双曲线22221(0)25x y a a a-=>-的左右两焦点分别为12,F F ，P 是双曲线右支上的一点，Q 点满足112PQ PF PF PF ⋅=⋅，12F F 在1F P 上的投影的大小恰为1F P ，且它们的夹角为6π，则a 等于A C 【解析】因为112PQ PF PF PF ⋅=⋅，所以1,PQ PF 是一对同向向量，且2PQ PF =． 又因为12F F 在1F P 上的投影的大小恰为1F P ，所以122F PF π∠=．在12Rt F PF ∆中，1212,||10, 5.6PFF F F PQ π∠===又112FQ PF PQ a =-=，所以25a =，所以a =A ．8． （命题人：如皋一中潘佩，审题人：戴圩章） 如图1，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，AQ ＝23AB ＋14AC ，则 △ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13图1 图2【解析】如图2，设25AM AB =，15AN AC =，则AP AM AN =+．由平行四边形法则，知NP∥AB，所以ABP AN ABC AC∆=∆＝15，同理可得14ABQ ABC ∆=∆．故45ABP ABQ ∆=∆，选B ．9． （命题人：海安中学王光华，审题人：王光华）现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A 、B 两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有A ．12种B ．15种C ．20种D ．30种 【解析】法一：分类，“42000型”，共有2种方案；“33000型”，共有1种方案；“32100型”，共有种21236A C ⋅=种方案；“22200型”，共有3种方案；“22110型”，共有3种方案；故共有15种不同的分配方案．选B ． 10．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）已知f （x ）＝x ＋1，g （x ）＝2x ＋1，数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧f (a n ) (n 为奇数)，g (a n ) (n 为偶数)，则数列{a n }的前2007项的和为A ．5×22008－2008B ．3×22007－5020C ．6×22006－5020D ．6×21003－5020 【解析】∵a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝（2a 2n ＋1）＋1＝2a 2n ＋2，∴a 2n ＋2＋2＝＝2（a 2n ＋2）， ∴数列{a 2n ＋2}是以2为公比、以a 2＝a 1＋1＝2为首项的等比数列．∴a 2n ＋2＝2×2 n －1，∴a 2n ＝2 n－2．又a 2n ＋a 2n ＋1＝ a 2n ＋2a 2n ＋1＝3a 2n ＋1，∴数列{a n }的前2007项的和为a 1＋（ a 2＋ a 3）＋ （ a 4＋ a 5）＋ （ a 6＋ a 7）＋ …＋ （ a 2006＋ a 2007） ＝ a 1＋（3a 2＋1）＋ （3a 4＋1）＋ （3a 6＋1）＋ …＋ （3a 2006＋1）＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×22－5）＋ （3×23－5）＋ …＋ （3×21003－5）＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×22－5）＋ （3×23－5）＋ …＋ （3×21003－5）＝ 3×（2＋22＋23＋…＋21003＋1－5×1003＝6×（21003－1）＋1－5×1003＝6×21003－ 5020 ，故选D ． 二、填空题 11．（命题人：启东中学） 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________．【解析】答案：5 2 ．连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算可得∠A 1C 1C ＝90︒．又∠BC 1C ＝45︒，∴∠A 1C 1C ＝135︒ 由余弦定理，可求得A 1C ＝52． 12．（命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞 ）已知函数f （x ）、g （x ）满足x∈R 时，f′（x ）>g′（x ），则x 1<x 2时，则f （x 1）－f （x 2）___g （x 1）－g （x 2）．（填>、<、＝）【解析】记)()()(x g x f x F -=，则)()()(x g x f x F '-'='．由已知，0)(>'x F ，所以)(x F 在R 上单调递增，所以x 1<x 2时，)()(21x F x F <，即f （x 1）－f （x 2） < g （x 1）－g （x 2）． 13．（命题人：通州中学王淦华，审题人：瞿国华） △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=．则 C ∠＝ ，cos A ＝ ．【解析】通过画图，可求AOB ∠，即OA 与OB 的夹角，再 通过圆心角与圆周角的关系，求得C ∠，而A ∠是BOC ∠ 的一 半，可用半角公式进行计算．答案：135C ∠=，cos A =． 14．（命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）若关于x 的方程x ax x =-23有不同的四解，则a 的取值范围为 ． 【解析】x ＝0是方程的一个根，其余根即方程12=-axx （x ＞0）的根．由f （x ）＝ax x -2（x ＞0）与y ＝1的交点个数，可知a ＞0．且f （2a）＞1，得a ＞2． 15．（命题人：如东中学赵延贵，审题人：刘卫东）已知,,a b c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两实根为1212,()x x x x ≠，且12||1,||1x x <<，则a b c ++的最小值为________________________．【解析】提示：依题意，可知212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩，，， 从而可知12,(1,0)x x ∈-，所以有21240(1)01.b ac f a b c c x x a ⎧⎪->⎪-=-+>⎨⎪⎪=<⎩，，24,,.b ac b a c c a ⎧>⎪⇒<+⎨⎪<⎩ 又,,a b c 为正整数，取1c =，则 1a b a b +>⇒≥，所以22444a b ac a a ≥>=⇒>．从而5a ≥，所以2420b ac >≥． 又516b <+=，所以5b =，因此a b c ++有最小值为11．下面可证2c ≥时，3a ≥，从而2424b ac >≥，所以5b ≥． 又5a c b +>≥，所以6a c +≥，所以11a b c ++≥． 综上可得，a b c ++的最小值为11．16．（命题人：如东县马塘中学张志军，审题人：徐永华） 如图，在ΔABC 中，|AB|=3，|AC|=1， l 为BC 的垂直平分线，E 为l 上异于 D 的一点，则⋅AE (AB-AC )等于____．【解析】⊥∴⋅DE BC BC DE =0，又AE =AD +DE ， ∴⋅⋅⋅AE(AB-AC )=(AD+DE )CB =AD CB⋅22111=(AB+AC )(AB-AC )=(AB -AC )=(9-1)=4222． 17．（命题人：海安中学游余祥，审题人：王光华）O 为坐标原点，正△OAB 中A 、B 在抛物线x y 22=上，正△OCD 中C 、D 在抛物线22x y =上，则△ OAB 与△OCD 的面积之比为 ．【解析】设△OAB 的边长为a，则不妨设11,,,2222A a a B a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入x y 22=，得a =；同理，设△OCD 的边长为b ，可得b =:4a b ∴=．18．（命题人：南通中学陆玉英，审题人：顾军）如图，在∠AOB 的两边上分别为1234,,,A A A A ，12345,,,,B B B B B 共9个点，连结线段(14,15)i j A B i j ≤≤≤≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图 中共有___________对“和睦线”【解析】一个四边形，有且只有一对“和睦线”，这9图中关于60对“和睦线”． 19．（命题人：南通一中秦志国）已知二次函数f （x ）＝x 2－2x ＋6，设向量a ＝（sin x ，2），b ＝（2sin x ，21），c ＝（cos2x ，1），d ＝（1，2）．当x ∈[0，π]时，不等式f （a ·b ）>f （c ·d ）的解集为___________．【解析】a ·b ＝2sin 2x ＋1≥1， c ·d ＝cos 2x ＋1≥1 ，f （x ）图象关于x ＝1对称， ∴f （x ）在（1，＋∞）内单调递增．由f （a ·b ）>f （c ·d ）⇒a ·b >c ·d ，即2sin 2x ＋1>2cos 2x ＋1，又∵x ∈[0，π] ，∴x ∈（434ππ,）．故不等式的解集为（434ππ,）．20．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设P 为双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-上除顶点外的任意一点，21F ,F 分别为左右点，21PF F ∆ 的内切圆交实轴于点M ，则21MF M F ⋅值为 ．【解析】 由已知，得 121222PF PF a F M F M a -=±-=±，即． 又2c M F M F 21=+，a c a c M F ,a c a c M F 21+-=-+=∴或或． 因此22221b a c )a c )(a c (MF M F =-=-+=⋅． 三、解答题 21．（命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞）已知函数a ax x x f ,13)(3-+=为实常数．（1）a 在什么范围内时，3)(==y x f y 与只有一个公共点？ （2）若]2,0()0,2[1)()(2⋃-+=在xx f x ϕ上有最小值2，求a 的值． 【解析】（1）)(333)(22a x a x x f +=+='．①当0≥a 时，0)(≥'x f ，所以)(x f 在R 上单调增，此时3)(==y x f y 与只有一个公共点； ②当0<a 时，))((3)(a x a x x f ---+=' ．由0)(='x f ，得a x a x -=--=21,． 在x3)(==y x f y 与极大值极小值所以3)(,3)(>-<--a f a f 或，得043<<-a ． 综上，1->a ，3)(==y x f y 与只有一个公共点．（2）x ax xax x x x f x 31131)()(232+=+-+=+=ϕ． 由)()(x x ϕϕ=-，可知)(x ϕ为偶函数，则原题即为)(x ϕ在]2,0(上有最小值2． 设x ax x g 3)(+=（]2,0(∈x ），则222331)(x a x x a x g -=-='．①0<a 时，0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,0(上单调增，所以]232,()(ax g +-∞∈． 因为)(x ϕ在]2,0(上有最小值2，所以2232-=+a ，所以38-=a ． ②0=a 时，x x =)(ϕ，无最小值，不合题意． ③0>a 时，)()(x g x =ϕ，222)3)(3(3)(x a x a x x a x x g -+=-='．（I 423a ≥，即时，0)(<'x g ，所以)(x g 在]2,0(上单调减，所以),232[)(+∞+∈ax g ，此时)(x ϕ在]2,0(上的最小值为2232≠+a，不合．（II 4203a <<，即时，由0)(='x g ，得a x 3=．在]2,0(∈x 上列表：∴min min ()()2 3x g x g a ϕ====，所以．综上，a 的值为3138或-．22．（命题人：海门市悦来中学邢素琴，审题人：董卫平）设()x f ＝cx bx ax +++12（a >0）为奇函数，且()x f min ＝22，数列{a n }与{b n }满足如下关系：a 1＝2，2)(1nn n a a f a -=+，11+-=nn n a a b ．（1）求f （x ）的解析表达式；（2）证明：当n ∈N ＋时，有b n ≤n )31(．【解析】（1）由f （x ）是奇函数，得 b ＝c ＝0．由|f （x ）min |＝22，得a ＝2，故f （x ）＝ xx 122+．（2） 2)(1nn n a a f a -=+＝n n n n n a a a a a 2121222+=-+，2112111121112n n nn nn na a ab a a a ++++--==+++＝211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nn a a ＝2nb ， ∴n b ＝21-n b ＝42-n b ＝…＝121-n b ．而b 1＝31，∴n b ＝12)31(-n ．当n ＝1时，b 1＝31，命题成立．当n ≥2时，∵2ｎ－1＝（1＋1）ｎ－1＝1＋112111----+++n n n n C C C ≥1＋11-n C ＝n ，∴12)31(-n ＜n )31(，即 b n ≤n )31(．23．（命题人：通州中学陈颖，审题人：王淦华）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，（O 为坐标原点），P 为椭圆上一点，2,OP F P的斜率分别为247-和34-．（1）求证：120PF PF =；（2）若△1OPF 的面积为3，求椭圆方程． 【解析】解法一 （1） 依题意，令21,PF O POF αγ∠=∠=，则324tan tan 2tan 47ααγ===，．∴2γααβαβ==+∴=，．∴21,90OP OF OF θβ==+=，所以120PF PF =． （2）在Rt △12PF F 中，111214562342OPF PF m F F m S m m ∆=∴===⋅⋅，，，所以21 27 25 6m a c b ===∴=，，，． 所以椭圆方程为2214964x y +=． 解法二 （1）令0012()( 0)( 0)P x y F c F c -，，，，，，由题意，得 00247y x =-， ① 0034y x c =--． ②由①、②，可知00217572.75x c y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 1007247521375PF c y k x c c c ∴===+-+．∴12121PF PF k k PF PF =-∴⊥，，∴120PF PF =．24．（命题人：通州中学陈颖，审题人：羌达勋）某地区1986年以来人口总数和居民住宅总面积分别按等比数列和等差数列逐年递增．已知1986年底人均住房面积为102m ，2006年底人均住房面积为202m ．据此计算： （1）1996年底人均住房面积超过142m ，试给出证明； （2）若人口年平均增长率不超过3﹪，能否确保2008年底人均住房面积比2006年底有所增加？为什么？ 【解析】（1）设86年底人口总数为a ，住宅总面积10a ，年人口增长的公比为q （即后一年是前一年人口的q 倍），年住宅总面积的公差为d ，则2006年底人均住房面积为20102020a d s aq +==，则20105(21)d q a =-，故1996年底人均住房面积201010101010514a d q A aq q ++==≥>．（2）2008年底人均住房面积2022221022221a d q p aq q +-==，2008年与2006年底人均住房面积之差2022222220120q q s p q --=-=．∵0q >，∴只需考虑分子2022202()222012(1110) 1 (1)f q q q q q q =--=-->． ∵1921()440()0f q q q '=-<，∴()f q 单调递减．又2021.03 ()(1.03)2 1.03(1110 1.03)1q f q f ∴=⨯-⨯-≥≤，，∴220201110 1.030.39 2 1.032(10.03)2(1200.03) 3.2-⨯>⨯=⨯+>⨯+⨯=，． ∴() 3.20.3910f q >⨯->．此即表明，2008年底人均住房面积仍超过2006年底人均住房面积． 25．（命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y ＝x 对称． （1）求双曲线C 的方程；（2）若Q 是双曲线C 上的任一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程；（3）设直线y ＝m x ＋1与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，另一直线L 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围． 【解析】（1）设双曲线C 的渐近线方程为y ＝k x ，即k x －y ＝0．∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为x y ±=．设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ，∵双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴1,2222==a a ．∴双曲线C 的方程为122=-y x ．（2）若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T ，使|QT|＝|OF 1|； 若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T ，使|QT|＝|QF 1|．根据双曲线的定义，|TF 2|＝2，所以点T 在以F 2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ． ① 由于点N 是线段F 1T 的中点，设N （x ，y ），T （T T y x ,），则2 2.2TT Tx x x y y y y ⎧=⎪⎧=+⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩即， 代入①并整理，得点N 的轨迹方程为221(x y x +=≠． （3）由22221(1)2201y mx m x mx x y =+⎧---=⎨-=⎩，得，．令22)1()(22---=mx x m x f ， 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 )0,(0)(-∞=在x f 上有两个不等实根，因此22020 1120.1m m m m ⎧⎪∆>⎪⎪<<<⎨-⎪⎪->⎪-⎩，，解得 又AB 的中点为)11,1(22m m m --，∴直线L 的方程为)2(2212+++-=x m m y ． 令x ＝0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ． ∴故b 的取值范围是),2()22,(+∞⋃---∞．26．（命题人：如东中学赵延贵，审题人：刘卫东）已知2)1x ()x (f -=，)1x (10)x (g -=，数列{}n a 满足2a 1=，0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+， 1)a )(2n (109b n n -+=．（1）求证：数列{}1a n -是等比数列；（2）当n 取何值时，n b 取最大值，并求出最大值；（3）若1m 1m m m b t b t ++<对任意*N m ∈恒成立，求实数t 的取值范围． 【解析】（1）∵0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+，2n n )1a ()a (f -=，)1a (10)a (g n n -=， ∴01)-(a 1)-10(a )a a (2n n n 1n =+-+，即01)-9a -(10a )1a (n 1n n =-+．又2a 1=，可知对任何*N n ∈，01≠-n a ，所以101a 109a n 1n +=+．∵1091a 1101a 1091a 1a n n n 1n =--+=--+，∴{}1a n -是以11a 1=-为首项，公比为109的等比数列．（2）由（I ），可知1a n -＝1n )109(-（*N n ∈）． ∴n n n )109)(2n ()1a )(2n (109b +=-+=，)2n 11(109)109)(2n ()109)(3n (b b n1n n1n ++=++=++．当n ＝7时，1b b 78=，78b b =；当n<7时，1b bn1n >+，n 1n b b >+；当n>7时，1b bn1n <+，n 1n b b <+．∴当n ＝7或n ＝8时，n b 取最大值，最大值为7887109b b ==．（3）由1m 1m m m b t b t ++<，得0])3m (910t 2m 1[t m<+-+． （*） 依题意，（*）式对任意*N m ∈恒成立，①当t ＝0时，（*）式显然不成立，因此t ＝0不合题意．②当t<0时，由0)3m (910t2m 1>+-+，可知0t m <（*N m ∈）． 而当m 是偶数时0t m>，因此t<0不合题意．③当t>0时，由0t m >（*N m ∈），∴0)3m (910t 2m 1<+-+，∴)2m (10)3m (9t ++>（*N m ∈）． 设)2m (10)3m (9)m (h ++=（*N m ∈），∵)2m (10)3m (9)3m (10)4m (9)m (h )1m (h ++-++=-+ ＝0)3m )(2m (1109<++⋅-， ∴h(1)h(2)h(m 1)h(m)>>>->>．∴m)(h 的最大值为56)1(h =．所以实数t 的取值范围是56t >． 27．（命题人：如东中学葛张勇，审题人：刘卫东）在△ABC 中，已知A （0，1），B （0，－1），AC 、BC 两边所在的直线分别与x 轴交于E 、F两点，且·＝4． （1）求点C 的轨迹方程；（2）若8-=，①试确定点F 的坐标；②设P 是点C 的轨迹上的动点，猜想△PBF 的周长最大时点P 的位置，并证明你的猜想．【解析】（1）如图，设点C （x ，y ）（x≠0），E （x E ，0），F （x F ，0），由A ，C ，F 三点共线，0)1()1(·=---⇒E x y x ，x E ＝y x -1．同理，由B 、C 、F 三点共线可得x F ＝yx+1． 化简，得点C 的轨迹方程为x 2＋4y 2－4（x ≠0）． ∵·＝4，∴x E ·x F ＝yxy x +-1·1＝4． （2）若CF BC 8-=， ①设F （x F ，0），C （x C ，y C ），∴8-=⇒（x c ，y c ＋1）＝－8（x F －x c ，y c ）． ∴x c ＝F x 78，y C ＝71．代入x 2＋4y 2＝4， 得x F ＝±3．∴F（±3，0），即F 为椭圆的焦点．②猜想：取F （3，0），设F 1（－3，0）是左焦点，则当P 点位于直线BF 1与椭圆的交点处时，△PBF 周长最大，最大值为8．证明如下：|PF|＋|PB|＝4－|PF 1|＋|PB|≤4＋|BF 1|， ∴△PBF 的周长≤4＋|BF 1|＋|BF|≤8． 28．（命题人：如东县马塘中学张志军，审题人：徐永华）已知三角形ABC 的两顶点A 、B 分别是曲线2255x y +=的左右焦点，且内角满足s i n s i n A B =． （1）求顶点C 的轨迹方程E ；（2）若x 轴上有两点(2 0)(10)M N ，，，，过N 的直线与曲线E 的交点是D 、E ．求D M E Mk k +的值． 【解析】由s i 2c os iosA B =，得sin B A C=，1||||||||2AC BC AB AB -==， 所以顶点C 的轨迹E 的方程为222(1)x y x -=>． （2）设l ：(1)y k x =-（斜率不存在时不合题意），1122(,),(,)D x y E x y由222,(1),x y y k x ⎧-=⎨=-⎩得2222(1)220k x k x k -+--=，则0∆>时，有2212122222,11k k x x x x k k ++=⋅=--． 1221121212121[(1)(1)2(2)22(2)(2)DM EM y y k k kx x kx x k x x x x x x +=+=-+--+-----33121222*********[23()4](4)0(2)(2)(2)(2)11k k k kx x k x x k k x x x x k k +=-++=-+=------．29．（命题人：如皋中学姚新国，审题人：薛钧）第一行是等差数列0，1，2，3，…，2006，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2007行．（1）求证：第1行至第2006行各行都构成等差数列．（定义只有两项的数列12,a a 也称等差数列）；（2）各行的公差组成数列{}(1,2,3,,2006)i d i =．求通项公式i d ；（3）各行的第一个数组成数列{}(1,2,3,,2006)j a j =，求通项公式j a ；（4）求2007行的这个数． 【解析】（1）记i j a ⋅表示第i 行第j 列的项．由已知知第1行是等差数列；2(1)21(1)1(2)11(1)1(2)1()2k k k k k k k k a a a a a a a a ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅-=+-+=-=，所以第2行数列是等差数列．3(1)32(1)2(2)22(1)2(2)2()4k k k k k k k k a a a a a a a a ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅-=+-+=-=，所以第3行数列是等差数列．同理可证，第4，5，…，都是等差数列．（2）1(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)2i i k i k i k i k i k i k i k i k i d a a a a a a a a d ++⋅++⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=-=+--=-=，12i id d +∴=，则{}i d 是等差数列，11122i i i d d --=⋅=． （3）11222j j j j j j j j a a a a a d a -+⋅=+=++=+，111224j j j ja a ++∴=+． ∴数列{}2j j a 是等差数列，1(1)24j j a j =-，所以21(1)2(1)24j j j a j j -=⋅-⋅=-⋅．（4）2005200720062a =⋅．30．（命题人：如皋中学姚新国，审题人：刘建华） 已知集合2{||1|,}A x x a a x a R =+≤+∈．（1）求A ；（2）若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为n S ，对于任意的n N +∈，均有n S A ∈，求a 的取值范围．【解析】（1）由2|1|,,x a a x a R +≤+∈得2210,10,(1)0;(1)0.a a x a x a x a x a +≥+<⎧⎧⎨⎨-+++++⎩⎩≤≤ 当1a >时，1x a ≤≤．当1a -1≤≤时， 1a x ≤≤，当1a <-时，1x a --≤≤． 综上，1a >当时，{|1}A x x a =≤≤；1a ∴≤≤当-1时，{|1}A x a x =≤≤；当1a <-时， {|1}A x x a =-≤≤-．（2）当1a ≥时，{|1}A x x a =≤≤．而22S a a A =+∉，故1a ≥时，不存在满足条件的a ；当01a <<时，{1}A a x =≤≤，而(1)1n n a a S a-=-是关于n 的增函数，所以n S 随n 的增大而增大，当1n a S a <-且无限接近1aa-时，对任意的n N +∈，n S A ∈，只须a 满足01,1.1a aa<<⎧⎪⎨⎪-⎩≤ 解得102a <≤． 当1a <-时，{|1}A x x a =-≤≤-．显然1S a A =∉，故不存在实数a 满足条件．当1a =-时，{|11}A x x =-≤≤．2121,0n n S S -=-=，适合．当10a -<<时，{|1}A x a x =≤≤．22122121221212121(1)n n n n n n n n n n S S a a S a a S a a S ++-+---=++=++=++>，2122212222122222(1)n n n n n n n n n n S S a a S a a S a a S ++++++=++=++=++<， 2121222,n n n n S S S S -++∴<<，且2211.S S a S =+> 故1352122242n n n S S S S S S S S S +-<<<<<<<<<<<．故只需21,,S A S A ∈⎧⎨∈⎩ 即21,10.a a a ⎧+≤⎨-<<⎩解得10a -<<．综上所述，a 的取值范围是1{|010}2a a a <≤-≤<或．31．（命题人：如皋一中潘佩，审题人：戴圩章）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j，坐标平面上点n A 、n B )(*N n ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =且1+n n A ＝＋；②OB 31=且1+n n B B ＝2()33ni ⨯． （1）求n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ，求n a )(*N n ∈的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切)(*N n ∈都有n a ＜M 成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由． 【解析】（1）1121n n n OA OA A A A A -=+++(1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-．1121n n n OB OB B B B B -=+++1212223()3()3()3333n i i i i -=+⨯+⨯++⨯21()23399(),02313nn i -⎛⎫=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-． （2）1111212[109()](1)[109()]2323n n n n n n n PA B PA B a S S n n +++=-=-⨯⨯+--⨯⨯△△ 125(2)()3n n -=+-⨯．（3）1122[53(2)()][53(1)()]33n nn n a a n n -+-=+-⨯-+-⨯112223()[(2)(1)()](4)()333n n n n n --=⨯---⨯=-⨯．∴ 120a a -<，230a a -<，340a a -<．450a a -=， 560a a ->，670a a ->，等等． 即在数列{}n a 中，45859a a ==+是数列的最大项，所以存在最小的自然数6M =，对一切*n N ∈，都有n a ＜M 成立．32．（命题人：海安中学游余祥，审题人：王光华）函数()326f x x x =-的定义域为[]2,t -，设()()2,f m f t n -==．（1）求证：n m ≥ ；（2）确定t 的范围使函数()f x 在[]2,t -上是单调函数； （3）求证：对于任意的2t >-，总存在()02,x t ∈-，满足()'02n mf x t -=+；并确定这样的0x 的个数．【解析】（1）设()h t n m =-，则()h t =223)4)(2(326-+=+-t t t t 0≥，所以n m ≥． （2）()2312f x x '=-，令()0f x '=，得120,4x x ==． 当()2,0t ∈-时，[]2,x t ∈-时，()'0f x >，()f x 是递增函数； 当0t =时，显然()f x 在[]2,0-也是递增函数．∵0x =是()f x 的一个极值点，∴当0t >时，函数()f x 在[]2,t -上不是单调函数． ∴当(]2,0t ∈-时，函数()f x 在[]2,t -上是单调函数．（3）由（1），知2(2)(4)n m t t -=+-，∴()242n m t t -=-+． 又∵()'2312f x x =-， 我们只要证明方程()*()2231240x x t ---=在()2,t -内有解即可． 记()()223124g x x x t =---，则()()()()22364210g t t t -=--=-+-，()()()()223124224g t t t t t t =---=+-，()()()()22223640,31240g t g t t t t -=-->=--->， ∴()()()()()2222410g g t t t t -⋅=-+--．①当()()2,410,t ∈-⋃+∞时，()()()()()22224100g g t t t t -⋅=-+--<， 方程()*在()2,t -内有且只有一解；②当()4,10t ∈时，()()()22100g t t -=-+->，()()()2240g t t t =+->，又()()221240g t =---<，∴方程()*在()()2,2,2,t -内分别各有一解，方程()*在()2,t -内两解；③当4t =时，方程()23120g x x x =-=在()2,4-内有且只有一解0x =；④当10t =时，方程()()()2312363260g x x x x x =--=+-=在()2,10-内有且只有一解6x =．综上，对于任意的2t >-，总存在()02,x t ∈-，满足()'02n mf x t -=+． 当(][)2,410,t ∈-⋃+∞时，满足()'02n mf x t -=+，()02,x t ∈-的0x 有且只有一个；当()4,10t ∈时，满足()'02n mf x t -=+，()02,x t ∈-的0x 恰有两个． 33．（命题人：南通一中朱柏华）两名大学毕业生去某单位应聘，该单位要从参加应聘的人中录用5人，且两人同时被录用的概率为191． （1）求参加应聘的人数；（2）求两人中至少有一人被录用的概率．【解析】（1）设参加应聘的人数为x ，则191532=-XX C C ，得x ＝20． （2）设两人中至少有一人被录用的概率为1P ，则1P ＝1－520518C C ＝3817． 34．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设椭圆22a x ＋22by ＝1，a ＞b ＞0的左焦点为F 1，上顶点为A ，过点A 与AF 1垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P 、Q 两点，且P 分向量所成的比为λ．（1）当λ∈（1，2）时，探求椭圆离心率（e1－e ）2的取值范围；（2）当λ＝58时，过A 、Q 、F 1三点的圆恰好与直线L ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆的方程．【解析】（1）设Q （x 0，0），F 1（－c ，0），A （0，b ），∵P 分向量所成的比为λ， ∴P（λλ+10x ，λ+1b ），∴（λλ+10x ）221a ＋（λ+1b ）221b＝1． ①而A F 1＝（c ，b ），＝（x 0，－b ），F 1·＝0，∴cx 0－b 2＝0． ②由①、②消去x 0，得（λλ+12b ）2221a c ＋（λ+11）2＝1，即λ2224a cb ＝（1＋λ）2－1，即（e 1－e ）2＝1＋λ2∈（（2）当λ＝58时，e －e 1＝－23，∴e＝21，a ＝2c ．又∵△AF 1Q 是直角三角形，其外接圆圆心是斜边中点，∴圆心为（2)(2c c b -+，0）＝（c c c a 2222--，0）＝（c ，0），半径为r ＝22cc b +＝ca 22＝a ．由圆恰好与直线L ：x ＋3y ＋3＝0相切，得2|3|+c ＝a ，∴a＝2，b ＝3．∴椭圆方程为42x ＋32y ＝1．35．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设一动点M 在x 轴正半轴上，过动点M 与定点)2,1(P 的直线交y ＝x （x>0）于点Q ，动点M在什么位置时，11PM PQ +有最大值，并求出这个最大值． 【解析】 设:(2)1l y k x =-+，要它与(0)y x x =>相交，则10k k ><或．令10(2,0)y M k =-，得，令x y =，得2121(,)11k k Q k k ----．∴MP PQ∴0)111).k u PM PQ k <=+==>，于是222222(12)(4)4101k u u k k u k-=⇒-++-=+． 由220(5)0u u ∆-≥，得≤，∴205u u ∴≤≤， 而当l 的方程为x ＝2时，u ＝2，∴max u =k ＝－2，进而求得5( 0)2M ，．。