双曲线专题1：焦点渐近线三角形问题
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
双曲线的焦点三角形面积的公式推导
双曲线的焦点三角形面积的公式推导双曲线的焦点三角形是数学中的一个经典问题，涉及到双曲线的性质和几何形状，也与三角形的面积计算有关。
在本文中，笔者将以从简到繁的方式，全面评估双曲线的焦点三角形面积公式，逐步推导并加深理解，从而能更深入地探讨这个问题。
让我们简单地了解一下双曲线这个基本概念。
双曲线是一个数学曲线，与椭圆、抛物线一样，属于二次曲线的一种。
它的数学定义是一组满足特定方程的点的集合，形式一般为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
双曲线的性质非常丰富多样，其焦点三角形面积的公式推导将会涉及到双曲线的几何性质。
现在，让我们来思考一下如何计算双曲线的焦点三角形面积。
在给定双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的情况下，我们需要利用双曲线的几何性质和三角形的面积计算方法来推导出公式。
我们知道双曲线有两条渐近线，它们与双曲线相交于两个点，分别称为焦点。
我们可以得到双曲线的焦点坐标$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
我们选择双曲线上的一点$(x,y)$，并连接它与两个焦点，得到一个三角形。
现在，我们要计算这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式，我们可以得到双曲线的焦点三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$。
通过这个公式，我们可以简单地计算出双曲线的焦点三角形的面积，而不需要进行繁琐的几何证明和计算过程。
然而，这只是一个简单的推导过程。
如果我们要更深入地理解双曲线的焦点三角形面积公式，我们需要对双曲线的性质和相关定理进行更深入的研究和探讨。
我们可以结合双曲线的参数方程和极坐标方程来推导公式，或者利用双曲线的曲率和弧长来进行推导，这些都将有助于我们对双曲线的焦点三角形面积更深入地理解。
在总结回顾本文的内容时，我们可以看到，双曲线的焦点三角形面积公式是通过数学推导和几何性质相结合得到的。
几类转化为双曲线特征三角形的问题的解法
解法1（代数法）
由抛物线定义AN=2a,可得N点横坐标x=2a-c
在△NF1F2中由面积法可求得N点纵坐标 y =
ab c
由N在抛物线上代入坐标化简可得：e4-2e3+e2-1=0，结合b＞a求
得e =
5 +1 2
特征三角形的问题的模型，体会巧妙结合特征三角形解题的魅力。
一、以准线与渐近线交点为背景的特征三角形问题
根据特征三角形的性质，准线与渐近线交点与相应焦点连线
与该渐近线垂直，可以形成特征三角形。
例1.设 双 曲 线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
>
0, b
>
0)
的两条渐近线与直线
x = a2 分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点,若60°＜∠AFB＜90°,
很多医学生在中小学是单纯啃书本长大，进入大学后玩电脑和 手机成为他们唯一的兴趣。医疗卫生人员尤其需要素质的全面发 展。因为医疗卫生是一项独特的工作，救死扶伤特别需要人文关怀 和情感。看罗生特治病的故事，我们仿佛就看到是罗生特的医术、 灵性和人文情感在给人治病。当代医学生需要素质的全面发展以完 善自己。
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b
>
0) 的左、右焦点为
F1,F2，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴
切于点(1,0)，且P与点F1关于直线
y
=
−
b a
x
对称,则双曲线的方程为
分析：首先由内切圆的性质易知切点（a,0),则a=1.
高二数学难题
（2010•浙江）设F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A、3x±4y=0B、3x±5y=0C、4x±3y=0D、5x±4y=0考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2 4c2-4a2=4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得ba= 43∴双曲线渐进线方程为y=± 43x，即4x±3y=0故选C点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题（2010•辽宁）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为-3，那么|PF|=（）A、43B、8C、83D、16考点：抛物线的简单性质；抛物线的定义．分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为-3求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．解答：解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=-2，直线AF的方程为y=-3(x-2)，所以点A(-2，43)、P(6，43)，从而|PF|=6+2=8故选B．点评：本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．（2006•江西）设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA→•AF→=-4则点A的坐标是（）A、（2，±2 2）B、（1，±2）C、（1，2）D、（2，2 2）考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：先求出抛物线的焦点F （1，0），根据抛物线的方程设A （ y024，y 0），然后构成向量 OA→、 AF→，再由 OA→•AF→=-4可求得y 0的值，最后可得答案．解答：解：F （1，0）设A （ y024，y 0）则 OA→=（ y024，y 0）， AF→=（1- y024，-y 0），由 OA→• AF→=-4∴y 0=±2，∴A （1，±2）故选B ．点评：本题主要考查抛物线的标准方程．抛物线的标准方程是高考的考点，是圆锥曲线的重要的一部分，要重视复习．（2009•安徽）设a ＜b ，函数y=（a-x ）（x-b ）2的图象可能是（ ）A 、B 、C 、D 、考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：根据所给函数式的特点，知函数值的符号取决于x 的值与a 的值的大小关系，当x≥a 时，y≤0，当x≤a 时，y≥0，据此即可解决问题．解答：解：∵y=（a-x ）（x-b ）2的∴当x≥a 时，y≤0，故可排除A 、D ；又当x≤a 时，y≥0，故可排除C ；故选B ．点评：本题主要考查了函数的图象，以及数形结合的数学思想方法，属于容易题．（2009•辽宁）若函数f （x ）= x2+ax+1在x=1处取极值，则a=3．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．解答：解：f′（x）= 2x2+2x-x2-a(x+1)2= x2+2x-a(x+1)2．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力．f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）-f（x）＞0，对任意的正数a、b，若a＞b，则必有（）A、af（a）＜bf（b）B、bf（a）＜af（b）C、af（b）＜bf（a）D、bf（b）＜af（a）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题．分析：令F（x）= f(x)x，F'（x）= 1x2[xf′（x）-f（x）]，由xf′（x）-f（x）＞0，知F（x）是增函数，当a ＞b＞0时，F（a）＞F（b），所以af（b）＜bf（a）．解答：解：令F（x）= f(x)x，F'（x）= 1x2[xf′（x）-f（x）]，∵xf′（x）-f（x）＞0 所以F'（x）＞0 即F（x）是增函数，即当a＞b＞0时，F（a）＞F（b）∴f(b)b ＜f(a)a，从而af（b）＜bf（a）．故选C．试题已知F是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（）A、22B、24C、12D、32考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先把x=c代入椭圆方程求得y，进而求得|PF|，根据OP∥AB，PF∥OB推断出△PFO∽△ABO，进而根据相似三角形的性质求得|PF||OF|= |OB||OA|求得b和c的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．解答：解：把x=c 代入椭圆方程求得y=±b2a∴|PF|= b2a∵OP∥AB，PF∥OB∴△PFO∽△ABO∴|PF||OF|= |OB||OA|，即b2ac= ba，求得b=c∴a= b2+c2= 2c∴e= ca= 22故选A点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．若双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|=3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是1＜e≤21＜e≤2．考点：双曲线的简单性质；双曲线的定义．分析：先根据双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a 进而根据|PF1|=3|PF2|，求得a=|PF2|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，ca=2且双曲线离心率大于1，可得最后答案．解答：解根据双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a，即3|PF2|-|PF2|=2a．∴a=|PF2|．|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2||，c＜2|PF2|=2a，∴ca＜2，当p为双曲线顶点时，ca=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故答案为：1＜e≤2．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P在椭圆顶点位置时的情况，以免遗漏答案．。
双曲线的渐近线与焦点
双曲线的渐近线与焦点双曲线是高等数学中的一个重要概念，它与渐近线和焦点有着密切的关系。
本文将围绕双曲线的渐近线和焦点展开讨论，详细介绍它们的定义、性质以及它们在数学和实际生活中的应用。
同时，我们将探讨如何通过双曲线的渐近线和焦点来解决相关的问题。
一、双曲线的定义与性质双曲线是由一个动点P与两个焦点F1和F2之间的距离之差恒为常数的点的轨迹。
对于双曲线而言，与其相对应的还有一个重要的参数，即离心率e。
离心率决定了双曲线的形状，当离心率大于1时，双曲线呈现拉长的形态，当离心率等于1时，双曲线退化为一对直线。
双曲线除了具有曲线本身的性质外，还有两个重要的特征：渐近线和焦点。
二、双曲线的渐近线双曲线的渐近线是指在双曲线的两侧，与双曲线趋于无限远时的直线。
具体来说，有两种情况需要考虑：当离心率e大于1时，双曲线的两个渐近线呈现斜线形态，而当离心率等于1时，双曲线的渐近线则是两条垂直交于曲线的渐近线。
另外，渐近线还有一个重要的性质，即双曲线的切线与渐近线的夹角在趋于无穷大时趋于零。
三、双曲线的焦点双曲线的焦点是指在双曲线上具有特殊意义的两个点，它们与双曲线上的其他点具有不同的性质。
对于离心率大于1的双曲线而言，焦点是由公式c = √(a^2 + b^2)计算得出的点，它们与双曲线的中心相距为c个单位。
而对于离心率等于1的双曲线，焦点是曲线的两个端点。
双曲线的焦点在数学学科中有着广泛的应用，尤其是在几何、物理、工程和光学等领域。
例如，在天文学中，双曲线的焦点可以用来描述天体的运动轨迹；在建筑工程中，双曲线的焦点可以用来设计拱顶等结构。
四、双曲线焦点与渐近线的应用举例1. 天文学应用：通过双曲线的焦点和渐近线，我们可以研究近地小行星或彗星的运动轨迹，进而了解它们与地球的相对关系，并预测可能的撞击风险。
2. 工程应用：在建筑设计中，通过双曲线的渐近线和焦点，可以用来构造特殊形状的拱顶或者设计照明设备，优化室内或室外的照明效果。
秒杀题型 双曲线的渐近线(双曲线)(详细解析版)
秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线:
秒杀思路： 已知双曲线方程求渐近线方程: ;
若焦点在x轴上，渐近线为 ；
若焦点在y轴上，渐近线为 。
1.(高考题)双曲线 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
【解析】：选C。
2.(2013年新课标全国卷 4)已知双曲线 : ( )的离心率为 ,则 的渐近线方程为( )
12.(2018年新课标全国卷I11)已知双曲线 , 为坐标原点, 为 的右焦点,过 的直线
与 的两条渐近线的交点分别为 .若 为直角三角形,则 = ( )
A. B.3C. D.4
【解析】：渐近线方程为 ，∵ 为直角三角形，假设 ， ,
∴ ，∴ ，选B。
13.(2018年新课标全国卷 11)设 是双曲线 的左，右焦点， 是坐标原
A. B. C. D.
【解析】：由上题，选C。
7.(2009年新课标全国卷4)双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为( )
A. B.2 C. D.1
【解析】：由秒杀公式得 ，选A。
8.(2014年新课标全国卷I4)已知 是双曲线 : 的一个焦点,则点 到 的一条渐近线的距离为( )
A. B.3 C. D.
【解析】：由秒杀公式得 ，选A。
9.(高考题)已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线
的距离等于( )
A. B. C.3 D.5
【解析】：抛物线与双曲线的焦点为 ，则b= ，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ，选
A。
10.(2018年江苏卷)在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是．
秒杀思路： 。
高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导
高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导庞敬涛渐近线是双曲线的几何性质中特有的性质，加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于同学们对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握。
一、深刻理解双曲线的渐近线概念1、对关键词“渐近”的理解，它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限地靠近，但永远都不会相交。
也可以这样理解，当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限地远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小且无限趋近于0。
2、渐近线的作法，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线。
二、掌握双曲线的渐近线方程的求法根据双曲线的标准方程求渐近线，把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程。
比如，双曲线方程为),0b ,0a (1by a x 2222>>=-则渐近线方程的求法是令0by a x 2222=-，渐近线方程为.0b y a x =±三、掌握双曲线的渐近线常见结论1、两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数。
2、两条渐近线关于x 轴、y 轴对称。
3、等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x 。
4、共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同。
四、例题分析1、根据几何性质求双曲线的渐近线。
例1 已知21F F 、为双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的焦点，过2F 作垂直x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且︒=∠30F PF 21，则双曲线的渐近线方程为（ ）。
A. x 22y ±= B. x 3y ±= C. x 33y ±= D. x 2y ±= 由条件知21F PF ∆为直角三角形，又︒=∠=30F PF ,c 2|F F |2121，可利用a 、b 、c 三者的关系式与三角形中边的关系式联立，解得a 与b 的关系，从而求解。
高中数学破题致胜微方法(双曲线中的离心率、渐近线、焦点三角形)：8.双曲线焦点三角形的一个面积公式
由任意三角形的面积公式得：
.
同理可证，在双曲线 （ ＞ ＞0）中，公式仍然成立.
整理：
焦点三角形的面积求法：
， ；
。
注意：结论不重要，证明的思路比较重要，关键在于掌握思维过程。
再看一个例题，加深印象
例:已知双曲线的两个焦点为 ，P是此双曲线上的一点，若 ，则双曲线的方程为（）
解：设 ，则 ，
又
， 故选答案D.
若Rt△F1PF2的面积为1，那么 的值是（）
A、 B、1C、2D、
答案：
2.
3.答案B，
今天我们研究双曲线焦点三角形的面积。 由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形.若 ，则焦点三角形的面积 。
例:设双曲线方程为 , 分别为它的左右焦点，P为双曲线上异于实轴端点的任意一点，若 则 。特别地，当 时，有 。证明：记 ，
由双曲线的第一定义得：
在△ 中，由余弦定理得：
配方得：
总结：
双曲线焦点三角形是一个很重要的三角形，相关的知识有双曲线的定义、余弦定理等.
双曲线方程确定后，双曲线焦点三角形的面积只和焦半径的夹角有关.
ห้องสมุดไป่ตู้练习：
1.若 、 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且
求 的面积。
2.设 、 为 的两个焦点，点 在曲线上，若 ，求 的面积。
3.设F1、F2是双曲线 － =1( ＞0)的两焦点，点P在双曲线上,∠F1PF2=90°，
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曹大师高考数学专题总结（理科）
双曲线专题1：焦点渐近线三角形问题
一、 题型特点
已知条件中的三角形构成了焦点渐近线三角形，直接利用焦点渐近线三角形的特征来解题。
焦点渐近线三角形OAF 的三个顶点中，O 为原点，F 为焦点，A 在渐进线上。
点A 具有如下特点：
（1） OA 的长度为a；
（2） FA 的长度为b；
（3） FA 垂直于OA；
（4） 过焦点F 做双曲线渐近线的垂线，则垂足为A；
（5） 双曲线的渐进线与准线交于点A；
（6） 圆心为焦点的圆与双曲线的渐近线相切，则切点为A。
二、 真题回顾
1、（2016•北京卷）双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，求a 的值。
2、（2016•海淀一模）已知双曲线C：22
22
1x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3p ，且C 的一个焦点到l
3、（2014•朝阳一模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，求此双曲线的离心率．
4、（2018•丰台零模）过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点F 作一条与其
渐近线垂直的直线，垂足为,A O 为坐标原点，若12
OA OF =
，求此双曲线的离心率。
5、（2013•丰台零模）圆22()1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切，求a 的值.
6、（2016•西城一模）若圆()22
21x y -+=与双曲线()2
22:10x C y a a -=>的渐近线相切，求双曲线C 渐近线方程.
7、（2014•东城一模）若双曲线的渐近线与圆相切，求双曲线的离心率。
8、（2014•朝阳二模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，求双曲线离心率的取值范围。
三、 解题方法
解题思路：
（1） 先判断题设中的三角形是否为焦点渐近线三角形；
（2） 再利用焦点渐近线三角形的特性进行解题。
注意要点：
（1） 焦点渐近线三角形的点A 具有很多特点，要熟记；
（2） 双曲线题型中最核心的步骤是求出a，b，c，而这三个值分别是焦
点渐近线三角形的三边，因此，如果能判断三角形为焦点渐近线三
角形，则很多问题（如求离心率、渐近线方程等）就迎刃而解了。
（3） 圆心为焦点F 的圆如果和双曲线的渐进线相切，则切点为焦点三角
形的顶点A ，且圆的半径等于b，知道这个特性后，此类问题可以
直接写出答案而不用繁琐求解了。
四、 真题练习
()2222100x y a b a b
-=>>，()2221x y -+=
1、（2016•北京卷）双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，求a 的值。
解：
易知三角形OAB 和OCB 均为焦点渐近线三角形，故a=2，b=2，c=2.
2、（2016•海淀一模）已知双曲线C：22
22
1x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3p ，且C 的一个焦点到l
解：
过焦点F 做渐进线垂线，垂足为A，易知三角形OAF 为焦点渐近线三角形。
故
b=AF=，tan 3p
=b/a, 则a=1， 故双曲线的方程为2
213y x -=．
3、（2014•朝阳一模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，求此双曲线的离心率．
解：
由焦点渐近线三角形的特征知，b=2，又a=1，则c=
离心率
e=
c a
= 4、（2018•丰台零模）过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点F 作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为,A O 为坐标原点，若12
OA OF =
，求此双曲线的离心率。
解：
易知三角形OAF 为焦点渐近线三角形。
由焦点渐近线三角形的特征知，OA=a，OF=c，即有c=2a，故e=2.
5、（2013•丰台零模）圆22()1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切，求a 的值.
解：
由焦点渐近线三角形的特征知，圆心和双曲线的焦点重合，故
a=
6、（2016•西城一模）若圆()22
21x y -+=与双曲线()2
22:10x C y a a -=>的渐近线相切，求双曲线C 渐近线方程.
解：
设切点为A ，焦点为F ，易知焦点即为圆的圆心。
则有c=OF=2 ，b=AF=1，故
∵ 双曲线C 渐近线方程为x a
b y ±= ∴
渐近线方程为
y =，
7、（2014•东城一模）若双曲线的渐近线与圆相切，求双曲线的离心率。
解：
设切点为A ，焦点为F ，三角形OAF
为焦点渐近线三角形，易知渐近线方程为3y x =±，可设c=OF=2 ，b=AF=1，故
故离心率e=c/a =
8、（2014•朝阳二模）双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多()2222100x y a b a b
-=>>，()2221x y -+
=3
有一个交点，求双曲线离心率的取值范围。
解：
a=1，双曲线的一条渐近方程是y=bx；当直线与圆相切时，
b=b≤,
∵ 所以e≤2，而双曲线的离心率大于1，
故双曲线的离线率的取值范围为(1,2].
（注：在焦点渐近线三角形中，∠AOF越小，则a越接近于c，双曲线越扁,e越接近1。
∠AOF越大，则a越小于c，双曲线越不扁，e越接近于无穷大。
）。