2020--2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷(四)(答题卡)
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高三第三次模拟检测试题及答案解析
最新高三第三次模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x |-1<x <1}，B ={x |x 2-3x ≤0}，则A ∩B 等于( )． A ．[-1，0] B ．(-1，3] C ．[0，1) D ．{-1，3} 2．已知(1)2i z i +=⋅，那么复数z 对应的点位于复平面内的( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．函数f (x )=sin(-2x )的一个递增区间是( )．A ．(0,)4πB ．(,)2ππ--C ．3(,2)4ππD ．(,)24ππ--4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 1-a 4=0，则42SS =( )．A ．-8B ．8C ．5D ．155．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )．A ．①④B ．②③C ．②④D ．①② 6．直线ax +by -a =0与圆x 2+y 2+2x -4=0的位置关系是( )．A ．相离B ．相切C ．相交D ．与a ，b 的取值有关7．已知△ABC 是非等腰三角形，设P (cos A ，sin A )，Q (cos B ，sin B )，R (cosC ，sin C )，则△PQR 的形状是( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，则这个几何体的体积是( )． A ．8cm 3 B ．12cm 3 C ．24cm 3 D ．72cm 39．下图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是( )．A ．n >2B ．n >3C ．n >4D ．n >510．P 是双曲线24x -y 2=1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左右顶点，O 是坐标原点，直线PA 1，PO ，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是()．A ．(0，1)B ．(0，18)C ．(0，14)D ．(0，12)11．已知函数f (x )=|2x-1|，f (a )>f (b )>f (c )，则以下情 况不可能．．．发生的是()． A ．a <b <cB ．a <c <b C ．b <c <a D ．b <a <c12．点P 在直径为5的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦(两端点均在球面上的线段)，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是( )．A ．214B ．270C ．70D ．1490本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若平面区域||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩是一个三角形，则k 的取值范围是___________．14．一个立方体骰子的六个面分别标有数字1，2，2，3，3，4；另一个立方体骰子的六个面分别标有数字1，3，4，5，6，8．掷两粒骰子，则其最上面所标的两数之和为7的概率是___________．15．设a =(4，3)，a 在b 上的投影为2，b 在x 轴上的投影为1，则b =___________． 16．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =(a +1)n 2+a ，某三角形三边之比为a 2：a 3：a 4，则该三角形的面积___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +kn (k 是不为零的常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3成等比数列．(Ⅰ)求k 的值和{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{n n a kn k-⋅}的前n 项和T n ．18．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC =CA =AA 1=2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB ．(Ⅰ)求证：EF ∥平面BDC 1； (Ⅱ)求三棱锥D －BEC 1的体积．19．(本小题满分12分)为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室 随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位：kg )，获得的所有数据按照区间(40，45]，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．20．(本小题满分12分)已知⊙C 过点P (1，1)，且与⊙M ：(x +2)2+(y +2)2=r 2(r >0)关于直线x +y +2=0对称．(Ⅰ)求⊙C 的方程；(Ⅱ)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．(Ⅱ)设g (x )=f (x )-3x，试问过点(2，2)可作多少条直线与曲线y =g (x )相切？请说明理由．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB =AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．(Ⅰ)求证：PC PDAC BD=； (Ⅱ)若AC =2，求AP ·AD 的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，动点A 的坐标为(2-3sin α，3cos α-2)，其中α∈R ．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρcos(θ-4π)=a ． (Ⅰ)判断动点A 的轨迹表示什么曲线；(Ⅱ)若直线l 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值．24．(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲若实数a ，b 满足ab >0，且a 2b =4，若a +b ≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的最大值；(Ⅱ)若2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．文科数学参考答案一、选择题1．C 解析：∵A =(-1，1)，B =[0，3]，则A ∩B =[0，1)．故选C ．2．A 解析：2211111i i iz i i i i-==⋅=+++-．故选A ．3．D 解析：f (x )=-sin(2x )，由2k π+2π≤2x ≤2k π+32π得k π+4π≤x ≤k π+34π，取k =-1．故选D ． 4．C解析：8a 1-a 4=0⇒q 3=8⇒q =2，242222S S q S S S +==1+q 2=5．故选C ． 5．A 解析：△PAC 在上下底面上的射影为①，在其它四个面上的射影为④．故选A ．6．C 解析：直线即a (x -1)+by =0，过定点P (1，0)，而点P 在圆(x +1)2+y 2=5内，故相交． 故选C ． 7．B 解析：易知这三个点都在单位圆上，而且都在第一，二象限，由平几知识可知，这样的三个点构成的必然是钝角三角形．故选B ． 8．B 解析：三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为6高为4的等腰三角形，三棱锥的高为3，∴这个几何体的体积V =1132⨯×6×4×3=12．故选B ． 9．B 解析：由框图的顺序，s =0，n =1，s =(s +n )n =(0+1)×1=1；n =2，依次循环s =(1+2)×2=6，n =3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s =(6+3)×3=27，n =4，此刻输出s =27．故选B ．10．B 解析：k 1k 2k 3=3322111122(4)44428y y y y y y x x x x x x y x ⋅⋅===⋅<⋅=+--⋅．故选B ．11．D 解析：当x ≤0时，f (x )递减；当x ≥0时，f (x )递增，∴b <a <c 不可能．故选D ．12．C 解析：设三条弦长分别是a ，2a ，h ，则a 2+(2a )2+h 2=25，即5a 2+h 2=25，三条弦长之和S =3a +h ，将h =S -3a 代入5a 2+h 2=25，得14a 2-6aS +S 2-25=0，由∆≥0得S 2≤70．故选C ． 二、填空题13．(-∞，-2)∪(0，23]．解析：直线y +2=k (x +1)过定点(-1，-2)，作图得k 的取值范围是(-∞，-2)∪(0，23]．14．16解析：在36对可能的结果中，和为7的有6对：(1，6)，(2，5)，(2，5)，(3，4)，(3，4)，(4，3)．∴得到两数之和为7的概率是61366=． 15．(1，-1) 解析：由题意可知b 的终点在直线x =1上，可设b =(1，y )，则||⋅=a b b =17y 2+48y +31=0，∴y =-1或y =-3117(增解，舍去)，∴b =(1，-1)．16解析：∵{a n }是等差数列，∴a =0，S n =n 2，∴a 2=3，a 3=5，a 4=7． 设三角形最大角为θ，由余弦定理，得cos θ=-12，∴θ=120°．∴该三角形的面积S =12×3×5×sin120°．三、解答题17．(Ⅰ)解：a 1=2，a 2=2+k ，a 3=2+3k ，由a 22=a 1a 3得，(2+k )=2(2+3k )，∵k ≠0，∴k =2．······················································································2分由a n +1=a n +2n ，得a n -a n -1=2(n -1)， ∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+···+(a n -a n -1)=2+2[1+2+···+(n -1)]=n 2-n +2．·························6分(Ⅱ)解：(1)122n n n n a k n n n n k n ---==⋅⋅．·······························································8分∴T n =12301212222n n -+++⋅⋅⋅+，2341101221222222n n n n n T +--=+++⋅⋅⋅++，························································10分两式相减得，234111111111111111(1)22222222222n n n n n n n n n T +-++--+=+++⋅⋅⋅+-=--=-，∴T n =1-12n n +．·······················································································12分18．(Ⅰ)证明：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分 (Ⅱ)解：∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ，∴C 1D ⊥面ABB 1A 1． 而11D BEC C BDE V V --=，1111BDE ABA B BDB ABE A DE S S S S S ∆∆∆∆=---=1113222121112222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．∵C1D ∴111113332D BEC C BDE BDE V V S C D --∆==⋅=⨯=．………………………………12分 19．(Ⅰ)解：样本中体重在区间(45，50]上的女生有a ×5×20=100a (人)，·····················1分样本中体重在区间(50，60]上的女生有(b +0.02)×5×20=100(b +0.02)(人)，··············2分依题意，有100a =43×100(b +0.02)，即a =43×(b +0.02)．①·································3分根据频率分布直方图可知(0.02+b +0.06+a )×5=1，②··········································4分解①②得：a =0.08，b =0.04．······································································6分(Ⅱ)解：样本中体重在区间(50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，··················································································7分体重在区间(55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B 1，B 2．··················8分从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．·······10分其中体重在(55，60]上的女生至少有一人共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．····························································································11分记“从样本中体重在区间(50，60]上的女生随机抽取两人，体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M ，则P (M )=93155=．··········································12分 20．(Ⅰ)解：设圆心C (a ，b )，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得0a b =⎧⎨=⎩．·······················3分 则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，将点P 的坐标代入得r 2=2， 故圆C 的方程为x 2+y 2=2．·····································································5分(Ⅱ)解：由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y -1=k (x -1)，PB ：y -1=-k (x -1)，且k ≠0，······································6分由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，得(1+k 2)x 2-2k (k -1)x +k 2-2k -1=0，······································7分∵点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得x A =22211k k k --+．····················8分 同理，x B =22211k k k +-+．···········································································9分∴(1)(1)2()B A B A B A AB B A B A B Ay y k x k x k k x x k x x x x x x ------+===---=1=k OP ．······················11分∴直线AB 和OP 一定平行．····································································b =-2．···················································4分 ∴f ′(x )=2-22232223x x x x x---=，令f ′(x )>0，又x>0，∴x ． ∴函数的单调增区间为(，+∞)．······················································6分(Ⅱ)g (x )=f (x )-3x =2x -2ln x ，g ′(x )=2-2x．设过点(2，2)与曲线g (x )的切线的切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0-2=g ′(x 0)(x 0-2)，即2x 0-2ln x 0-2=(2-02x )(x 0-2)，∴ln x 0+2x =2．·····················8分 令h (x )=ln x +2x -2，则h ′(x )=212x x-，∴x =2． ∴h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增．······································10分∵h (12)=2-ln2>0，h (2)=ln2-1<0，h (e 2)=22e>0．∴h (x )与x 轴有两个交点，∴过点(2，2)可作2条曲线y =g (x )的切线．···············12分22．(Ⅰ)证明：∵∠CPD =∠ABC ，∠D =∠D ，∴△DPC ～△DBA ． ∴PC PD AB BD=．又∵AB =AC ，∴PC PDAC BD= ．·····································································5分(Ⅱ)解：∵∠ACD =∠APC ，∠CAP =∠CAD ，∴△APC ～△ACD ．∴AP ACAC AD=，∴AC 2=AP ·AD =4．·······························································10分23．(Ⅰ)解：设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则23sin ,3cos 2.x y αα=-⎧⎨=-⎩∴动点A 的轨迹方程为(x -2)2+(y +2)2=9，其轨迹是以(2，-2)为圆心，半径为3的圆．·····················································5分(Ⅱ)解：直线l 的极坐标方程ρcos(θ-4π)=a 化为直角坐标方程是x +y a ．由=3，得a =3，或a =-3．·············································10分24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a =2422a a a++≥3，当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．·································5分(Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。
2020年山东省新高考数学第三次模拟检测试卷 含解析
2020年新高考数学第三次模拟试卷一、选择题1．设集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|﹣2≤x＜0} 2．若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1+i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．设a∈R，b＞0，则“3a＞2b”是“a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图判断，以下结论中一定正确的是（）A．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D．华为的全年销量最大5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则的值等于（）A．2B．4C．6D．86．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．78．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0]二、多项选择题（共4小题）9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝，则下列说法正确的是（）A．ac的最小值是4B．ac的最大值是4C．a+2c的最小值是2+2D．a+2c的最小值是3+210．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（）A．＜1B．+≥2C．D．a2+a＜b2+b11．已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为（）A．2B．4C．12D．1412．若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝﹣2D．a＝2三、填空题（共4小题）13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n}，则a2019＝，数列{a n}的前2019项的和为．15．若函数f（x）＝mx2﹣e x+1（e为自然对数的底数）在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是．16．若F（c，0）是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作该双曲线一条渐近线的垂线并与两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率为．四、解答题（本题共6小题）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4b cos2＝2b+a sin B．（1）求cos A；（2）若a＝2，c＝5，求b．18．已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．19．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB＝2AF＝2，∠BAD ＝60°，G是BE的中点．（Ⅰ）证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．21．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l：x＝t（t＞2）的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣alnx（无理数e＝2.718…）．（1）若f（x）在（1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围：（2）当a＝0时，设g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x，证明：当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．参考答案一、单项选择题（共8小题）1．设集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|﹣2≤x＜0}【分析】可求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：N＝{x|﹣2＜x＜3}；∴M∩N＝{x|0≤x＜2}．故选：A．2．若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1+i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【分析】由已知求得z2，把z1，z2代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1+i，∴z2＝﹣1+i，∴＝＝．故选：B．3．设a∈R，b＞0，则“3a＞2b”是“a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义；指数函数和对数函数的图象和性质分别进行判断．解：若3a＞2b，b＞0，则a＞log32b，可得a＞log3b；若a＞log3b，可得3a＞b，无法得到3a＞2b，所以“3a＞2b”是“a＞log3b”的充分而不必要条件．故选：A．4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图判断，以下结论中一定正确的是（）A．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D．华为的全年销量最大【分析】根据图象，逐一分析选项，得出答案．解：根据图象，分析如下：A，错误，第四季度三星和苹果总销量之和低于华为的销量；B，错误，苹果第二季度的销量大于第三季度的销量；C，错误，第一季度销量最大的为华为；D，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D正确，故选：D．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则的值等于（）A．2B．4C．6D．8【分析】由题意，＝•（+）＝•+•；⊥；•＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°；从而求得．解：＝•（+）＝•+•＝•＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°＝4×4×＝4；故选：B．6．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性与图象对称性之间的关系，利用特殊值的对应性是否一致利用排除法进行求解即可．解：f（﹣x）＝＝＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（1）＝＜0，排除B，故选：A．7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．7【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．解：由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|＝＝3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．8．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0]【分析】根据题意，分析可得f（a﹣x）＝f（x），即可得函数f（x）的图象关于直线x ＝对称，据此可得a的值，进而可得f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝ln（2x﹣x2），设t＝2x﹣x2，则y＝lnt，由换元法分析可得答案．解：根据题意，对于函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x），有f（a﹣x）＝ln（a﹣x）+ln[a﹣（a﹣x）]＝lnx+ln（a﹣x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝对称，若函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则有＝1，则a＝2，则f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝ln（2x﹣x2），其定义域为（0，2），设t＝2x﹣x2，则y＝lnt，又由t＝﹣（x﹣1）2+1，0＜x＜2，则有0＜t≤1，则y＝lnt≤0，即函数f（x）的值域为（﹣∞，0]；故选：D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝，则下列说法正确的是（）A．ac的最小值是4B．ac的最大值是4C．a+2c的最小值是2+2D．a+2c的最小值是3+2【分析】现根据三角形面积公式得条件，再利用基本不等式求最值．解：有题意知S△ABC＝S△ABD+S△BDC，由角平分线性质以及面积公式可得：，化简得ac＝a+c，∴，当且仅当a＝c时成立，解之得ac≥4，选项A对；∵ac＝a+c，∴1＝，∴≥3+2，当且仅当a＝，选项D对；故选：AD．10．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（）A．＜1B．+≥2C．D．a2+a＜b2+b【分析】当a＜b＜0时，＜1不成立可判断A；当时，不成立可判断B；利用作差可判断C，D．解：当a＜b＜0时，＜1不成立，当时，不成立，因为＝＜0，则一定成立，因为a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b+1）符号不定，故a2a＜b2+b不一定成立．故选：ABD．11．已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为（）A．2B．4C．12D．14【分析】由平行截面的周长求出两个半径，再由截面圆的半径，球的半径和球心到截面的距离构成直角三角形求出球心到截面的距离，分平行平面在球心的同一侧和两边求出平行平面的距离．解：两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，可得两个半径分别为6，8，如果这两个平行平面在球心同一侧时，取球的中截面可得球心到截面的距离OB＝＝＝8，OA＝＝＝6，所以平行线间的距离d＝OB﹣OA＝8﹣6＝2，如果这两个平行平面在球心两侧时，所以平行线间的距离d'＝OB+OA＝8+6＝14，故选：AD．12．若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝﹣2D．a＝2【分析】l1和l3平行，或l2和l3平行，l1和l2平行，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m的值，综合可得结论．解：由于l1的斜率﹣a，l3的斜率为﹣1，则由题意可得l1和l3平行，或l2和l3平行，l1和l2平行．若l1和l3平行，则＝，求得a＝1；若l2和l3平行，则＝，求得a＝1．若l1和l2平行，则＝，求得a＝±1．综上可得，实数a所有可能的值为﹣1，1，故选：AB．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有36种．（用数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除甲乙的三人全排列，排好后有4个空位，②，分析甲乙的安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将除甲乙的三人全排列，有A33＝6种情况，排好后有4个空位，②，由于甲不站在两端，则甲有2个空位可选，乙在剩下的3个空位中任选1个，有3种选法，则甲乙的选法有2×3＝6种，故不同的排法有6×6＝36种；故答案为：36．14．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n}，则a2019＝0，数列{a n}的前2019项的和为1346．【分析】根据题意写出数列{a n}的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，继而可求解．解：∵“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，∴此数列被2整除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，……，即a1＝1，a2＝1，a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0，……，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2019＝a3＝0，∴数列{a n}的前2019项的和为：a1+a2+a3+……+a2019＝673（a1+a2+a3）＝673×2＝1346，故答案为：0，1346．15．若函数f（x）＝mx2﹣e x+1（e为自然对数的底数）在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是．【分析】方法1：f'（x）＝2mx﹣e x，x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，设A（2x1，4mx1），B（2x1，），构造，，在（0，1）递减，转化求解即可．方法2：f'（x）＝2mx﹣e x，有两个不等的实数根x1，x2且x2≥2x1，令，则，利用函数的单调性转化求解即可．解：方法1：f'（x）＝2mx﹣e x，，，直线y＝2mx，曲线y＝e x，x2≥2x1，A（2x1，4mx1），B（2x1，），，x1≤ln2，构造，，在（0，1）递减，．方法2：f'（x）＝2mx﹣e x由题知有两个不等的实数根x1，x2且x2≥2x1，令，则，易知h（x）在（﹣∞，0），（0，1）上为减函数；在（1，+∞）上为增函数．当x2＝2x1时，由，得x1＝ln2，此时；当x2＞2x1时，综上．故答案为：．16．若F（c，0）是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作该双曲线一条渐近线的垂线并与两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ＝tan∠AOB，求出F到渐近线y＝x的距离为b，即有|OB|＝a，△OAB的面积可以表示为•a•a tanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ＝tan∠AOB＝＝，设FB⊥OB，则F到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即有|OB|＝a，则△OAB的面积可以表示为•a•a tanθ＝＝，解得＝，则e＝＝＝．故答案为：．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4b cos2＝2b+a sin B．（1）求cos A；（2）若a＝2，c＝5，求b．【分析】（1）由已知结合正弦定理及同角平方关系即可求解cos A，（2）由已知结合余弦定理可求b．解：（1）因为4b cos2＝2b+a sin B，所以2b（1+cos A）＝2c+a sin B，即4b cos A＝3a sin B，由正弦定理可得，4sin B cos A＝3sin A sin B，因为sin B≠0，所以4cos A＝3sin A，又sin2A+cos2A＝1且sin A＞0，cos A＞0，所以cos A＝；（2）由余弦定理可得，cos A＝＝，整理可得，b2﹣6b+5＝0，解可得，b＝1或b＝5．18．已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）n≥2时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1，化为：＝，a n＞0．化简进而得出．（2）{a n}是递增数列，取a n＝2n﹣1．可得＝＝，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．解：（1）n≥2时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝+4n﹣1﹣[+4（n﹣1）﹣1]，化为：＝，a n＞0．∴a n﹣a n﹣1＝2，或a n+a n﹣1＝2，a n﹣a n﹣1＝2时，数列{a n}是等差数列，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．a n+a n﹣1＝2，∵a1＝1，可得a n＝1．（2）{a n}是递增数列，∴a n＝2n﹣1．＝＝，数列{b n}的前n项和T n＝＝，∵恒成立，∴，解得m≥3．∴实数m的取值范围是[3，+∞）．19．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）完成列联表，由列联表，得k2＝，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×＝7人，偶尔或不用网购的有10×＝3人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意X～B（10，0.6），由此能求出随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X）．解：（1）完成列联表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表，得：k2＝＝，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×＝7人，偶尔或不用网购的有10×＝3人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：P＝＝．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意X～B（10，0.6），∴随机变量X的数学期望E（X）＝10×0.6＝6，方差D（X）＝10×0.6×0.4＝2.4．20．四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB＝2AF＝2，∠BAD ＝60°，G是BE的中点．（Ⅰ）证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理或者面面平行的性质定理即可证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．【解答】（I）证法一：设AC∩BD＝O，BF的中点为H，因为G是BE的中点，，∴OCGH是平行四边形∴CG∥OH，CG⊄平面BDF，OH⊂平面BDF，∴CG∥平面BDF证法二：因为G是BE的中点，，∴CG∥DF，∵CG⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，∴CG∥平面BDF（II）设EF的中点为N，ACEF是矩形，ON⊥AC，平面ACEF⊥平面ABCD，∴ON⊥面ABCD∴ON⊥AC，ON⊥BD四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为Y轴，ON所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，AB＝2，AF＝1，∠BAD＝60°，则平面BEF的法向量为，平面BDF的法向量为，令z1＝1，则，由设二面角E﹣BF﹣D的大小为θ则，则二面角E﹣BF﹣D的余弦值是．21．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l：x＝t（t＞2）的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦点三角形的周长建立方程求出a，c的值即可；（2）先设出直线PQ的方程为x＝my+1，联立方程组得出根与系数关系，利用四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，得出t关于m的表达式，由t＞2建立不等式，解出m的取值范围，进而根据得出k的取值范围．解：（1）因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1|+|PF2|＝2a，又因为|F1F2|＝2c，△PF1F2的周长为6，所以2a+2c＝6，又因为椭圆的离心率为，所以，解得a＝2，c＝1．所以，E的方程为．……………（2）依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x＝my+1，由，消去x得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则有△＞0且．…设四边形PMNQ的面积和△PQT面积的分别为S1，S2，则S1＝3S2，又因为，S2＝．所以，即3（t﹣1）＝2t﹣（x1+x2），得t＝3﹣（x1+x2），又x1＝my1+1，x2＝my2+1，于是t＝3﹣（my1+my2+2）＝1﹣m（y1+y2），所以，由t＞2得，解得，设直线PQ的斜率为k，则，所以，解得，所以直线PQ斜率的取值范围是．……………22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣alnx（无理数e＝2.718…）．（1）若f（x）在（1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围：（2）当a＝0时，设g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x，证明：当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．【分析】（1）由题意可得f′（x）＝（1+x）e x﹣1﹣＝≥0在（1，+∞）上恒成立．可得a≤（x+x2）e x﹣1＝h（x），利用导数研究其单调性可得实数a的取值范围．（2）当a＝0时，g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x＝e x﹣x2﹣x．g′（x）＝e x﹣2x﹣1＝u（x）．利用导数研究其单调性极值，进而证明结论．【解答】（1）解：由题意可得f′（x）＝（1+x）e x﹣1﹣＝≥0在（1，+∞）上恒成立．∴a≤（x+x2）e x﹣1＝h（x），h′（x）＝（1+3x+x2）e x﹣1＞0，∴函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．∴a≤h（1）＝2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．（2）证明：当a＝0时，g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x＝e x﹣x2﹣x．g′（x）＝e x﹣2x﹣1＝u（x）．u′（x）＝e x﹣2，可得x＝ln2时，函数u（x）取得极小值，g′（ln2）＝u（ln2）＝1﹣2ln2＜0．∵g′（0）＝0，又＝﹣2（1+ln2）﹣1＝e﹣3﹣ln2＞0．∴存在x0∈（ln2，1+ln2），使得g′（x0）＝﹣2x0﹣1＝0，＝2x0+1．由单调性可得：x＝x0时，函数g（x）取得极小值即最小值，∴g（x）≥g（x0）＝﹣﹣x0＝2x0+1﹣﹣x0＝﹣+x0+1＝﹣+．由x0∈（ln2，1+ln2），可得函数y＝g（x0）单调递减，故g（x））≥g（x0）＞﹣+＞1﹣﹣（）2．∴当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．。
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高三第三次模拟检测试题及答案解析
最新高三第三次模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x ||x -12|≤32}，B ={x |y =lg(4x -x 2)}，则A ∩B 等于A ．(0，2]B ．[-1，0)C ．[2，4)D ．[1，4)2．若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，那么复数1zi+对应的点位于复平面内的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数f (x )=cos(2x -6π)，若存在a ∈(0，π)，使得f (x +a )=f (x -a )恒成立，则a 的值是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S n =n m ，S m =mn(m ≠n )，则S m +n -4的符号是A ．正B ．负C ．非负D ．非正5．从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为A ．17B ．27C ．37D ．676．设f (x )=(1+x )6(1-x )5，则导函数f ′(x )中x 2的系数是A ．0B ．15C ．12D ．-157．设直线x +y =1与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则△OAB 的面积为A ．1 BCD ．28．某几何体的三视图如图所示，当a +b 取最大值时，这个几何体的体积为A ．16B ．13C ．23D ．129．下图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是 A ．n >2 B ．n >3 C ．n >4 D ．n >510．已知双曲线22221x ya b-=(a >0，b >0)，被方向向量为k =(6，6)的直线截得的弦的中点为(4，1)，则该双曲线离心率的值是 A ．5 B ．6 C ．10 D ．211．函数f (x )=(x -a )e x 在区间(2，3)内没有极值点，则实数a 的取值范围是A ．(-∞，3]∪[4，+∞)B ．[3，4]C ．(-∞，3]D ．[4，+∞)12．两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内部，且互相外切，若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切，球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切，则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为A ．3(2-3)πB ．4(2-3)πC ．3(2+3)πD ．4(2+3)π共分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6个儿童分坐两行，每行3人面对着做游戏，其中甲、乙二人既不对面，又不相邻的坐法有___________种．(用数字作答)14．△ABC 外接圆的圆心为O ，且2()5AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则cos ∠BAC =___________．15．如果双曲线x 2-y 2=a 2经过圆(x -3)2+(y -1)2=5的直径AB 的两个端点，则正实数a 的值等于___________．16．关于x 的不等式2222xbax +-<有唯一整数解x =1，则21b a --的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若△ABC 的面积S =3，a =1，求边AC 上的中线BD 的长．18．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC =CA =AA 1=2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB ．(Ⅰ)求证：EF ∥平面BDC 1； (Ⅱ)求二面角E －BC 1－D 的余弦值．19．(本小题满分12分)已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a ，b ，c ，然后将所得的数代入函数f (x )=ax 2+bx +c ，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数有零点，则乙输四个枣给甲． (Ⅰ)记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？20．(本小题满分12分)如图，椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)的离心率e =35，左焦点为F ，A ，B ，C为其三个顶点，直线CF 与AB 交于点D ，若△ADC 的面积为15． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在分别以AD ，AC 为弦的两个相外切的等圆？ 若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )=a ln x +x 2(a 为实数)．(Ⅰ)求函数f (x )在区间[1，e ]上的最小值及相应的x 值；(Ⅱ)若存在x ∈[1，e ]，使得f (x )≤(a +2)x 成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲设AB 为圆O 的直径，AB =10．E 为线段AO 上一点，OE =17AB ．过E 作一直线交圆O 于C ，D 两点，使得∠CEA =45°．试求CE 2+ED 2的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．设直线l 的参数方程为35sin 26cos6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=26cos sin θθ． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |．24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲若实数a ，b 满足ab >0，且a 2b =4，若a +b ≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的最大值；(Ⅱ)若2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．理科数学参考答案一、选择题1．A 解析：∵A =[-1，2]，B =(0，4)，则A ∩B =(0，2]．故选A ．2．D 解析：由图知，z =2+i ，∴221311121122z i i i i i i i i ++-==⋅=-+-+-，则对应的点位于复平面内的第四象限．故选D ．3．D 解析：依题意可得，2x +2a -6π=2x -2a -6π+2k π(k ∈Z )，∴a =2k π(k ∈Z )，∵a ∈(0，π)，∴a =2π．故选D ． 4．A解析：∵S n =na 1+(1)2n n -d =n m ，S m =ma 1+(1)2m m -d =m n，解得d =2mn ，a 1=1mn． ∵故S m +n -4=(m +n )a 1+()(1)2m n m n ++-d -4=2()m n mn ->0(∵m ≠n )．故选A ．5．D 解析：四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，故所求概率为P =5812467C ⨯=．故选D ．6．D解析：计算f ′(x )中x 2的系数较麻烦，只需计算f (x )中x 3的系数．f (x )=(1+x )(1-x 2)5=(1-x 2)5+x (1-x 2)5，x 3的系数为0-15C =-5，∴含x 3的项为-5x 3，故函数f ′(x )中x 2的系数是-15．故选D ． 7．B 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x +y =1与抛物线y 2=2px ，得y 2+2py -2p =0，解得y 1=-p+，x 1=1+p-，y 2=-p-，x 2=1+p由x 1x 2+y 1y 2=0，即[(1+p )2-(p 2+2p )]+[p 2-(p 2+2p )]=0，化简得2p =1，从而A，B)，OA 2=x 12+y 12， OB 2=x 22+y 22，△OAB 的面积S =12|OQ ||OB．故选B ．8．D 解析：由三视图知这个几何体是一个三棱锥P —ABC ，其中PA ⊥面ABC ，AB =1，PB =a ，BC =b ，PC=，∠BAC =90°，设PA =x ，AC =y ，则2222221,1,6.x a y b x y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩⇒a 2+b 2=8，由2a b+≤知当a =b =2时a +b 取最大值，此时x =y锥P —ABC 的体积V =111322xy ⨯=．故选D ．9．B 解析：由框图的顺序，s =0，n =1，s =(s +n )n =(0+1)×1=1；n =2，依次循环s =(1+2)×2=6，n =3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s =(6+3)×3=27，n =4，此刻输出s =27．故选B ．10．A 解析：点差得，1212121222()()()()x x x x y y y y a b +-+--=0，即224ka b -=0，∴2214b a =，e 2=1+2254b a =．故选A ． 11．A 解析：f ′(x )=(x +1-a )e x ，依题意，x +1-a ≥0或x +1-a ≤0区间(2，3)内恒成立，∴a ≤3或a ≥4．故选A ．12．A 解析：∵AO 11，C 1O 22，O 1O 2=R 1+R 2，∴R 1+R 2R 1+R 2，球O 1和O 2的表面积之和为4π(R 12+R 22)≥4π·2(122R R +)2= 2π(R 1+R 2)2=3(2-π．故选A ． 二、填空题13．384 解析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：(1)甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有14A 种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3个位中选一个坐下有13A 种，其余4人有44A 种，此类有114434A A A 种方法．(2)甲在中间两个位上找一个位子坐下，有12A 种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有12A 种，其余4人有44A 种坐法．此类坐法有114224A A A 种． 所以满足条件的坐法共有114114434224A A A A A A +=384(种)．故填384． 14．14 解析：设BC 边中点为M ，则2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，由题设45AO AM =u u u r u u u u r ，∴A 、O 、M 共线，且AO =4OM ，而∠BOM =2∠BAM ，∴∠BOM =∠BAC ，即cos ∠BAC =14OM OM OB OA ==．故填14．15．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程作差得(x 1+x 2)(1-2)=(y 1+y 2)(y 1-y 2)，∵x 1+x 2=6，y 1+y 2=2，1212y y x x --=3，∴AB 的方程为y =3x -8，与圆方程联立得10(x -3)2=5，∴(x -3)2=12，∴a 2=(x +y )(x -y )=(4x -8)(8-2x )=8-8(x -3)2=4．a =2．故填2．16．(14，1) 解析：∵2222x b ax +-<⇔x 2+ax +2b <0，依题意方程x 2+ax +2b =0只有唯一的整数解x =1，∴方程x 2+ax +2b =0一根在[0，1)内，另一根在(1，2]内，即函数f (x )=x 2+ax +2b 的图象与x 轴在[0，1)和(1，2]内各有一个交点． ∴(0)00(1)0210(2)020f b f a b f a b ≥≥⎧⎧⎪⎪<⇒++<⎨⎨⎪⎪≥++≥⎩⎩，作出可行域，如图所示： ∵21b a --为可行域内的点(a ，b )与定点P (1，2)的连线的斜率，由图可知，k PA <21b a --<k PB ，其中点A (-3，1)，B (-1，0)， ∴k PA =14，k PB =1，故21b a --的取值范围是(14，1)．三、解答题 17．(Ⅰ)解：由cos sin cos 2sin sin B BC A C=-+⇒2sin A cos B +sin(B +C )=0，……………………2分 即2sin A cos B +sin A =0，…………………………………………………………………4分而sin A ≠0，∴cos B =-12，B =23π．……………………………………………………6分(Ⅱ)解：因S =12ac sin B ，又S =3，a =1，sin B =3，则c =4．……………………8分解法一：由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，得b =21，………………………………10分由cosC=222222()2222ba BD abc b ab a +-+-=⋅，得22114212121BD +-=⨯⨯，解得BD =13．………………………………………………………………………12分 解法二：作AE 平行于BC ，并延长BD 交AE 于E ，在△ABE 中，∠BAE =3π，AB =4，AE =1，且BD =12BE ，又BE 2=AB 2+AE 2-2AB ·AE cos A ，即BE 2=16+1-2×4×1×12=13，这样BD =12BE 12分18．(Ⅰ)证明(证法一)：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分(证法二)建立如图所示的坐标系．(坐标系建立仅为参考) ∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ．E (-1，0，1)，F (-12，0，0)，B (1，0，0)，D (0，0，2)，C1(02)．设平面1的法向量为n =(x ，y ，z )．EF u u u r =(12，0，-1)，BD u u u r =(-1，0，2)，1BC u u u u r=(-12)．BD u u u r ·n =-x +2z =0，1BC u u u u r·n =-x +2z =0，令z =1，则y =0，x =2，∴n =(2，0，1)． EF u u u r ·n =12×2+0×0+(-1)×1=0，∴EF u u u r ⊥n ．又EF ⊄平面BDC 1，∴EF ∥平面BDC 1．……………6分 (Ⅱ)解：设平面EBC 1的法向量为m =(x ，y ，z )．BE u u u r =(-2，0，1)，1BC u u u u r=(-12)．BE u u u r ·m =-2x +z =0，1BC u u u u r·n =-x +2z =0， 令x =1，则z =2，y m =(1，2)．cos< m ，n >=||||⋅==m n m n || ∴二面角－1－D 的余弦值为．……………………………………………12分 19．(Ⅰ)解：ξ的可能取值为0，1，2．f (x )=ax 2+bx +c 的判别式∆=b 2-4ac ，当∆=0时，b 为偶数，b =2时，a =1，c =1；b =4时，a =1，c =4或a =2，c =2或a =4，c =1；b =6时，a =3，c =3，∴P (ξ=1)=5216．…………………………………………………4分 当∆≥0时，有b ≥3，b =3时，ac ≤2，有3种；b =4时，ac ≤4，有9种；b =5时，ac ≤6，有14种；b =6时，ac ≤9，有17种，共计43种．∴ξ=1的情形有43-5=38种，∴P (ξ=2)=38216．P (ξ=0)=1-P (ξ=1)-P (ξ=2)=173216．…………………………………………………………6分∴ξ数望E ξ=1735388130122162162162168⨯+⨯+⨯==．…………………………………8分(Ⅱ)甲得枣的数学期望是43173141216216216⨯-⨯=-，…………………………………10分 乙得枣的数学期望是17343114216216216⨯-⨯=．………………………………………11分 ∴该游戏不公平，甲吃亏．……………………………………………………………12分20．(Ⅰ)解：设左焦点F 的坐标为(-c ，0)，其中c∵e =35c a =，∴a =53c ，b =43c ． (1)分∴A (0，43c )，B (-53c ，0)，C (0，-43c )，······················································2分 ∴AB ：33154x yc c-+=，CF ：314x yc c--=，····················································3分 联立解得D 点的坐标为(-54c ，13c )．····························································4分∵△ADC 的面积为15，∴12|x D |·|AC |=15，即12·54c ·2·43c =15， 解得c =3，∴a =5，b =4，∴椭圆C 的方程为2212516x y +=．································6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，A 点的坐标为(0，4)，D 点的坐标为(-154，1)．····························7分假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中AD 是圆M 的弦，AC 是圆N 的弦， 则点M 在线段AD 的垂直平分线上，点N 在线段AC 的垂直平分线y =0上．·······8分当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有A ，M ，N 在一条直线上，且AM =AN ．∴M 、N 关于点A 对称，设M (x 1，y 1)，则N (-x 1，8-y 1)，································9分根据点N 在直线y =0上，∴y 1=8．∴M (x 1，8)，N (-x 1，0)，而点M 在线段AD 的垂直平分线y -52=-54(x +158)上，可求得x 1=-25140．···········10分 故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为M (-25140，8)，N (25140，0)．·····································································12分21．(Ⅰ)解：f (x )=a ln x +x 2的定义域为(0，+∞)，f ′(x )=ax+2x =22x a x +．·····················1分当x ∈[1，e ]时，2x 2∈[2，2e 2]．································································2分若a ≥-2，f ′(x )在[1，e ]上非负(仅当a =-2，x =-1时，f ′(x )=0)， 故f (x )在[1，e ]上单调递增，此时f (x )min =f (1)=1；··········································3分若-2e 2<a <-2，令f ′(x )<0，解得1≤x ，此时f (x )单调递减；令f ′(x )>0x ≤e ，此时f (x )单调递增， ∴f (x )min =f ln()222a a a--；······················································4分若a ≤-2e 2，f ′(x )在[1，e ]上非正(仅当a =-2e 2，x =e 时，f ′(x )=0)，故f (x )在[1，e ]上单调递减，此时f (x )min =f (e )=a +e 2．······································5分综上所述，得a ≥-2时，f (x )min =1，相应的x =1；当-2e 2<a <-2时，f (x )min =ln()222a a a --，相应的xa ≤-2e 2时，f (x )min =a +e 2，相应的x =e ．·······················6分(Ⅱ)解：不等式f (x )≤(a +2)x 可化为a (x -ln x )≥x 2-2x ．∵x ∈[1，e ]，∴ln x ≤1≤x 且等号不能同时成立，∴ln x <x ，即x -ln x >0，·················8分因而a ≥22ln x x x x --，x ∈[1，e ]，令g (x )=22ln x x x x--(x ∈[1，e ])，则g ′(x )=2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+--， 当x ∈[1，e ]时，x -1≥0，ln x ≤1，x +2-2ln x >0，················································10分从而g ′(x )≥0(仅当x =1时取等号)，∴g (x )在[1，e ]上是增函数， 故g (x )min =g (1)=-1，∴实数a 的取值范围是[-1，+∞)．··································12分22．解：∵AB =10，OE =17AB ．作OH ⊥CD 于H ，则OHOE ， CDAB ．·············································5由相交弦定理知CE ·ED =AE ·EB =(12AB -17AB )(12AB +17AB )=45196AB 2． ∴CE 2+ED 2=(CE +ED )2-2CE ·ED =4749AB 2-4598AB 2=12AB 2=50．···························10分23．(Ⅰ)解：由ρ=26cos sin θθ得ρsin 2θ=6cos θ，ρ2sin 2θ=6ρcos θ，∴y 2=6x ． ∴曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 上的抛物线．··········································5分(Ⅱ)解：将35sin 26cos 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为3122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入y 2=6x 得t 2-4t -12=0(*)，|AB |=|t 1-t 2=8．·······································10分或由(*)式解得t 1=6，t 2=-2，|AB |=|t 1-t 2|=8．或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可．24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a =2422a a a ++≥3， 当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．···········································5分(Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考第三次模拟检测试题及答案解析
最新高三年级统一考试数学试卷（理科）注意事项：1、本试卷本分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）～（24）题为选考题，其它题为必考题.2、考生作答时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效.3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(∁UA )I =B（A ）{}3（B ）{}4,5 （C ）{}4,56，（D ）{}0,1,2 2 ．双曲线2213y x -=的渐近线方程为 （A ）3y x =± （B ）33y x =± （C ）2y x =± （D ）233y x =±3．二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是（A ）240（B ）60（C ）192（D ）1804．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（A ）2)(x x f =（B ）xx f 1)(=（C ）xe xf =)( （D ）x x f sin )(=5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=I ，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的（A ）充分且不必要条件 （B ）必要且不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．若2(2)3ln 21ax dx x+=+⎰，则常数a 的值为（A ）1（B ）2（C ）-1 （D ）07．在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =，π3A ∠=，则B ∠等于 （A ）6π（B ）3π （C ）4π （D ）3π或23π8．设函数()11sin 3cos 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于y 轴对称，则函数()y f x =的一个单调递减区间是()A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()B ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()C ,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()D 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为10. 已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为 （A 51- （B 31- （C 3 （D 211. 在△ABC 中，AB=1，AC=2，120A ∠=︒，点O 是△ABC 的外心，存在实数,λμ，使AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则（A ）53,44λμ== （B ）45,36λμ== （C ）57,36λμ== （D ）43,34λμ==12.已知函数()22211,,2(),()441ln 1,,2x x x f x g x x x x x ⎧+⎛⎫∈-∞- ⎪⎪⎪⎝⎭==--⎨⎡⎫⎪+∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭⎩，对于任意的a R ∈，存在实数b 使得()()0f a g b +=，则b 的取值范围是 （A ）1ln,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）11,ln 2⎛⎤- ⎥⎝⎦ （C ）()1,5- （D ）[)1,5-2015年宁城县高三年级统一考试（5.20）数学试卷（理科）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第：24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分. 13．i 是虚数单位，复数iiZ -+=221，则=Z ． 14．某校举行的数学建模比赛，全体参赛学生的比赛成绩ξ近似服从正态分布2(70,)N σ，(0)σ>，参赛学生共600名.若ξ在()70,90内的取值概率为0.48，那么90分以上（含90分）的学生人数为.15．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M落在圆221x y +=内的概率为___________．16．设P 是函数()2()0f x x x x =+>的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r= ___________.三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分12分）已知数列{n a }满足()()*11222,1n n n a a a n N n ++==∈+（I ）求{n a }的通项公式；（II ）设{n a }的前n 项和为n S ，证明：12311111n nS S S S n ++++≤+L .18．（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（Ⅱ）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .19. （本小题满分12分）己知三棱柱111ABC A B C -，1A 在底面1日销售量个频率组距日销售量（个）ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，又知11BA AC ⊥ (Ⅰ)求证：1AC ⊥平面1A BC ； (Ⅱ)求二面角1A A B C --的余弦值.20．（本小题满分12分）已知直线l 的方程是1y x =-和抛物线2:C x y =，自l 上任意一点P 作抛物线的两条切线，设切点分别为,A B ， （Ⅰ）求证：直线AB 恒过定点.（Ⅱ）求△PAB 面积的最小值. 21．（本小题满分12分）已知bx ax x x f --=2ln )(．记()f x 的导函数是/()f x .(Ⅰ)若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；(Ⅱ))(x f 的图象与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <)两点,AB 中点为0(,0)C x ，求证：0)(0<'x f ．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，ABC △内接于圆O ，AD 平分BAC ∠交圆O 于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E .（Ⅰ）求证：EBD CBD ∠=∠； （Ⅱ）求证：AB BE AE DC ⋅=⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=.(Ⅰ)写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点1M 、2M 的极坐标分别为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭和()2,0，直线12M M 与曲线2C 相交于,P Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211OA OB +的值.24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数()|2||2|,f x x x a a R =---∈. （Ⅰ）当3a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.数学试卷（理科）参考答案一、选择题：BAAD CABC DABC 二、填空题：13、1；14、12；15、8π；16、1-. 三、解答题： 17．（Ⅰ）解： 12211231n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅L ()()11*1132221122n n n n n n a n n N n n n --+-=⋅⋅⋅⋅=+∈--L -------------------5分 （Ⅱ）()012122324212n n S n -=⋅+⋅+⋅+++L 设2n S =()12322324212nn ⋅+⋅+⋅+++⋅L二式相减得()()()112122122221221221n n n n n S n n ----=++++-+⋅=+-+⋅-L所以2n n S n =⋅ -----------------8分因为()0111nn n C C +=++L ，所以1n ≥时，21nn ≥+（直接写21nn ≥+不扣分）所以()11111211n n S n n n n n =≤=-⋅⋅++ ---------------10分 所以123111111111111223111n n S S S S n n n n ++++≤-+-++-=-=+++L L -----12分 （当且仅当1n =时等号“=”成立）18．解（1）设天未来连续，个日销售量低于，个日销售量不低于3{B }50{A }100{A 21===50个.所以分分布列为:-----------8分72.06.016.03D 8.16.03E 6.0,3B ~=-⨯⨯==⨯=）（）（，）（），所以（因为X X X---------------------------------------12分 19.解（Ⅰ）︒=∠90BCA 得AC BC ⊥， 因为⊥D A 1底ABC ，所以BC D A ⊥1 又D AC D A =I 1，所以⊥BC 面AC A 1， 所以1AC BC ⊥因为11AC BA ⊥，B BC BA =I 1， 所以⊥1AC 底BC A 1……………………4分 (Ⅱ)以C 为坐标原点，射线CA ，CB 为别为,x y 轴，过C 垂直于底面ABC 的直线为z 轴建立空间直线坐标系（如图），---------------5分由（Ⅰ）知平面1A BC的法向量为(()(12,0,0AC =--=-u u u u r，-----6分()((10,2,01,2,A B =-=-u u u r，()()()0,2,02,0,02,2,0AB =-=-u u u r设平面1ABA 的法向量为()000,,m x y z =u r ，则10,0m A B m AB ⋅=⋅=u r u u u r u r u u u r即0000020220x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，从而m ⎛= ⎝u r --------------------------9分111cos ,m AC m AC m AC ===u r u u u u ru r u u u u r g u r u u u u r g 分 因为1,m AC u r u u u u r 均指向1A A B C --外部，所以二面角1A A B C --的余弦为7-----12分20．（Ⅰ）证明：设()()()22112200,,,,,A x x B x x P x y因为()/'22y x x ==，所以切线PA 的方程是()21112y x x x x -=-即2112y x x x += ①，同理切线PB 的方程是2222y x x x +=②--------3分1由①②得0120122,x x x y x x =+=，显然直线AB 存在斜率. 设直线AB 的方程是y kx b =+，代入2x y =得20x kx b --=所以1212,x x k x x b +==-，即00,2kx y b ==-，③ 代入001y x =-得12kb -=--------------------------------------------5分 即直线AB 的方程是112y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，恒过定点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭-------------6分 （Ⅱ）解：AB =====--------------------9分点P 到直线AB的距离是d ==-----10分△PAB 的面积()3322221112413244AB d k k k =⋅=⋅-+=-+≥当1k =时△PAB 的面积取得最小值4-----------------------12分21解(1)依题意：2()ln f x x ax bx =--．∴1()2f x x b x'=+-∵()f x 在(0,)+∞上递增，∴1()20f x x b x'=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立， 即12b x x ≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，只需min 1(2)b x x≤+．---------- 3分 ∵0x >，∴12xx +≥2x =时取“＝”， ∴b ≤b 的取值范围为(-∞．------------------- 5分(2)由已知得221111111222222222()ln ln ()ln ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--=+⎪⎪⇒⎨⎨=--=+⎪⎪⎩⎩两式相减，得11212122ln ()()()x a x x x x b x x x =+-+-112122ln ()[()]x x x a x x b x ⇒=-++． 由1()2f x ax b x'=--及0122x x x =+，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=+-=-++=-++- 11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+------------8分 令()()()1221.ln 011t x t t t t x t ϕ-==-<<+． ∵()()()2/101t t t t ϕ-=-<+，∴()t ϕ在(0,1)上递减，---------10分 ∴()(1)0t ϕϕ>=． 又12x x <，0()0f x '∴< ------------- 12分 22. （1）∵BE 为圆O 的切线，∴∠EBD =∠BAD ………………2分又∵AD 平分∠BAC ∴∠EBD =∠CAD ………………4分 又∵∠CBD =∠CAD ∴∠EBD =∠CBD …………5分（2）在△EBD 和△EAB 中，∠E =∠E ，∠EBD =∠EAB∴△EBD ∽△EAB ………………7分 ∴BE BD AE AB=∴AB •BE =AE •BD ………9分 又∵AD 平分∠BAC ∴BD =DC 故AB •BE =AE •DC ………………10分 23.解：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=， 化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=-----------3分 曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-=……………5分（2）在直角坐标系下，()10,1M ，()22,0M ，线段PQ 是圆()2211x y +-=的直径 E D O AC B∴90POQ ∠=o 由OP OQ ⊥得OA OB ⊥,A B 是椭圆2214x y +=上的两点，在极坐标下，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中， 有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭ 22211cos sin ,4θθρ∴=+22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+=，即221154OA OB +=. ……………10分 24．解：（1）1, 23()53, 2231, 2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩……………………2分 210, 1,35352530, ,2323x x x x x x x >-><∅≤≤-><≤<当时，即解得当时，即解得 3310, 1,122x x x x <->><<当时，即解得 513x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭不等式解集为……………………6分 （2）22|2|02|2|23a x x a x x a x a x +---<⇒-<-⇒<->或恒成立 即4a ≥……………10分。
高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷(四)(解析版)
2020-2021学年高三数学第三次月考模拟卷（四）注意事项：1.本试卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题，共40分）、多项选择题（第9题～第12题，共20分）、填空题（第13题～第16题，共20分）和解答题（第17题～第22题，共70分）四部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷或草稿纸上均无效.4.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1.设集合A={1,2，3，4}，B={−1,0，2，3}，C={x∈R|−1≤x<2}，则(A∪B)∩C=()A. {−1,1}B. {0,1}C. {−1,0，1}D. {2,3，4}【答案】C【解析】【分析】本题考查交集、并集及其运算，属于基础题．直接利用交集、并集运算得答案．【解答】解：∵A={1,2，3，4}，B={−1,0，2，3}，∴A∪B={1,2，3，4}∪{−1，0，2，3}={−1，0，1，2，3，4}，又C={x∈R|−1≤x<2}，∴(A∪B)∩C={−1,0，1}．故选：C．2.已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“sinα=sinβ”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数值的性质，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键．难度不大．根据充分条件和必要条件的定义，分别讨论k为偶数和奇数时，是否成立即可．【解答】解：当k=2n，为偶数时，α=2nπ+β，此时sinα=sin(2nπ+β)=sinβ，当k=2n+1，为奇数时，α=2nπ+π−β，此时sinα=sin(π−β)=sinβ，即充分性成立，当sinα=sinβ，则α=2nπ+β，n∈Z或α=2nπ+π−β，n∈Z，即α=kπ+(−1)kβ，即必要性成立，则“存在k∈Z使得α=kπ+(−1)kβ”是“sinα=sinβ”的充要条件，故选：C．3.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 14AC⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 12AC⃗⃗⃗⃗⃗ +14BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AC⃗⃗⃗⃗⃗ +23BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AC⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗【答案】D【解析】【分析】本题考查几何图形中的向量的线性运算，属于基础题．根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与BA之比，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果． 【解答】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 又∵△DEF∽△BEA ，∴DF ：BA =DE ：BE =1：3，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：D ．4. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A. √5−14 B. √5−12 C. √5+14 D. √5+12【答案】C【解析】解：设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，侧面三角形底边上的高为ℎ′， 则依题意有：{ℎ2=12aℎ′ℎ2=ℎ′2−(a2)2,因此有ℎ′2−(a2)2=12aℎ′⇒4(ℎ′a )2−2(ℎ′a )−1=0⇒ℎ′a=√5+14(负值舍去)； 故选：C ．先根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而求解结论． 本题主要考查棱锥的几何性质，属于中档题．5.如果a<b<0，那么下列不等式正确的是()A. ab>a2B. a2<b2C. 1a <1bD. −1a<−1b【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键，题目比较基础．由已知中a<b<0，结合不等式的基本性质，可得结论．【解答】解：∵a<b<0，∴ab<a2，故A错误；a2>b2故B错误；ab>0，故aab <bab，即1a>1b，故C错误；因为−1a −(−1b)=a−bab<0，所以−1a<−1b，故D正确．故选D．6.函数f(x)=15sin(x+π3)+cos(x−π6)的最大值为()A. 65B. 1 C. 35D. 15【答案】A【解析】【分析】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力，属于基础题．利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．【解答】解：函数f(x)=15sin(x+π3)+cos(x−π6)=15sin(x+π3)+cos(−x+π6)=15sin(x+π3)+sin(x+π3)=65sin(x+π3)≤65．7. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K 1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I(t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为( )(ln19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题． 根据所给材料的公式列出方程K1+e −0.23(t−53)=0.95K ，解出t 即可． 【解答】解：由已知可得K1+e −0.23(t−53)=0.95K ，解得e −0.23(t−53)=119， 两边取对数有−0.23(t −53)=−ln19≈−3， 解得t ≈66， 故选：C ．8. 函数f(x)定义在实数集R 上，f(2−x)=f(x)，且当x ≥1时f(x)=log 2x ，则有( )A. f(13)<f(2)<f(12) B. f(12)<f(2)<f(13) C. f(12)<f(13)<f(2)D. f(2)<f(12)<f(13【答案】C【解析】解：∵x ≥1时f(x)=log 2x ， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增， ∵f(2−x)=f(x)，∴f(12)=f(2−12)=f(32)，f(13)=f(2−13)=f(53)， 又1<32<53<2，∴f(32)<f(53)<f(2)，即f(12)<f(13)<f(2)，易判断f(x)在[1,+∞)上的单调性，根据f(2−x)=f(x)可把f(12)，f(13)转化到区间[1,+∞)上，借助函数单调性可作出大小判断．本题考查函数的单调性及其应用，解决本题的关键是利用所给条件把问题转化到已知区间上利用函数性质解决问题．二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有 选错的得0分.）9. 在▵ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，以下说法中正确的是( )A. 若A >B ，则sinA >sinBB. 若a =4,b =5,c =6，则▵ABC 为钝角三角形C. 若a =5,b =10,A =π4，则符合条件的三角形不存在 D. 若bcosC +ccosB =asinA,则▵ABC 为直角三角形【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查解三角形，利用正弦定理和余弦定理，结合三角函数求解．利用正弦定理判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦定理判断C ，由正弦定理结合两角和公式判断D ，属于中档题． 【解答】解：A.若A >B ，则a >b ，由正弦定理得2RsinA >2RsinB ，则sinA >sinB ，正确； B .若a =4,b =5,c =6，则最大的角为C ，根据余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=16+25−362×4×5>0，则三角形为锐角三角形，故错误；C .若a =5,b =10,A =π4，则根据正弦定理可得a sinA=b sinB，则sinB =10×√225=√2>1，所以这样的B 不存在，所以符合条件的三角形不存在，故正确；D .若bcosC +ccosB =asinA ，根据正弦定理可得sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA =sin 2A ，因为sinA ≠0，则sinA =1，又因为，则，故三角形为直角三角形，故正确．10.已知P是椭圆E：x28+y24=1上一点，F1，F2为其左右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是()A. P点纵坐标为3B. ∠F1PF2>π2C. △F1PF2的周长为4(√2+1)D. △F1PF2的内切圆半径为32(√2−1)【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的几何性质，椭圆的定义，属于中档题．根据相关的知识点逐个判断即可．【解答】解：椭圆E：x28+y24=1中，a2=8，b2=4，c2=4，SΔF1PF2=12×2c×|y B|=2×|y B|=3，解得|y B|=32，故A错误；当P在短轴端点时，sin∠OPF2=ca =2√2=√22，所以此时∠F1PF2=90°，由A知|y B|=32时，∠F1PF2<90°当故B不正确；△F1PF2的周长为2a+2c=4√2+4=4(√2+1)，故C正确；设△F1PF2的内切圆半径为r，SΔF1PF2=12×(2a+2c)×r=(2√2+2)r=3，解得r=2√2+2=32(√2−1)，故D正确．故答案为CD．11.将函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数为y=g(x)，则下列结论正确的是A. 函数g(x)的图象关于直线x=π3对称B. 函数g(x)的图象关于点(−π3,0)对称C. 函数g(x)在[−π24,5π24]上单调递减D. 函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点【答案】AD【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，以及函数函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．由函数图像的平移得g(x)的解析式，由函数函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质逐个进行判断即可．【解答】解：函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数为，当时，，所以函数g(x)的图象关于直线x=π3对称，A正确，当时，，所以函数g(x)的图象关于点(−π3,0)对称错误，即B错误，当x∈[−π24,5π24]，，所以函数g(x)在[−π24,5π24]上单调递增，故C错误，当，，函数g(x)的周期为π，一个周期有2两个极值点，所以函数函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点，故D正确，故选AD．12.已知a>0，b>0，下面四个结论正确的是()A. 2aba+b ≤a+b2；B. a+b2>√a2+b22；C. 若a>b，则c2a ≤c2b；D. 若1a+1+1b+1=1，则a+2b的最小值为2√2；【答案】ACD【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查了不等式性质、基本不等式、利用基本不等式求最值，属于中档题．由重要不等式推出A成立，举反例说明B错误，利用不等式性质推导C成立，利用基本不等式求最值推出D成立．【解答】对于A.∵a2+b2⩾2ab,∴(a+b)2⩾4ab,a>0,b>0,∴2aba+b ⩽a+b2，A成立；对于B.当a=b=1时1>1不成立，B错误；对于C．a>b>0⇒0<1a <1b,c2⩾0,∴c2a⩽c2b，C成立；对于D.∵a+2b+3=(a+1)+2(b+1)=[(a+1)+2(b+1)](1a+1+1b+1)=1+2+a+1b+1+2(b+1)a+1⩾3+2√2，当且仅当a+1b+1=2(b+1)a+1时,即a=√2,b=√22时等号成立，故a+2b的最小值为2√2.故选ACD．三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥C−MBD的体积为______．【答案】24【解析】由已知求得M到底面的距离，再由等体积法求解．本题考查由等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．【解答】解：∵点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，∴M到底面的距离d=23AA1=4，又S△BCD=12×6×6=18，∴V C−MBD=V M−BCD=13×18×4=24．故答案为：24．14.若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C(2,0)为圆心，半径长等于1的圆上运动，则|PQ|+|PC|的最小值为______ ．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想，属于中档题．先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离d等于点P到焦点的距离，则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3，当等号成立时，P在原点，Q在x轴近原点处，此时，|PQ|+|PC|有最小值，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：抛物线焦点坐标为(2,0)，所以点C为抛物线的焦点，则|PC|等于点P到抛物线准线x=−2的距离d，又圆心C到抛物线准线的距离为4，则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3，当点P为原点，Q为(1,0)时取等号，故|PQ|+|PC|得最小值为3，故答案为：3．15.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=______．【答案】6【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和的求法，属于基础题．由已知条件利用等差数列的通项公式求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S n为其前n项和，设公差为d，a1=6，a3+a5=0，∴a1+2d+a1+4d=0，∴12+6d=0，解得d=−2，∴S6=6a1+6×52d=36−30=6．故答案为：6．16.已知定义域为R的函数f(x)满足：当x∈(−1,1]时，f(x)={−xx+1,−1<x≤0 22−x−2,0<x≤1，且f(x+2)=f(x)对任意的x∈R恒成立．若函数g(x)=f(x)−m(x+1)在区间[−1,5]内有6个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】[25,2 3 )【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，难度较难．若函数g(x)=f(x)−m(x+1)在区间[−1,5]内有6个零点，则y=f(x)与y=m(x+1)的图象在区间[−1,5]内有6个交点．画出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：∵f(x+2)=f(x)对∀x∈R恒成立，∴函数f(x)的周期为2．又∵当x∈(−1,1]时，f(x)={−xx+1,−1<x≤0 22−x−2,0<x≤1，∴函数f(x)的图象如下图所示：令函数g(x)=f(x)−m(x+1)=0，则f(x)=m(x+1)，若函数g(x)=f(x)−m(x+1)在区间[−1,5]内有6个零点，则y=f(x)与y=m(x+1)的图象在区间[−1,5]内有6个交点．∵y=m(x+1)恒过点(−1,0)，过(−1,0)，(4,2)点的直线斜率为25，过(−1,0)，(2,2)点的直线斜率为23，根据图象可得：m∈[25,23 )，故答案为[25,2 3 ).四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=−12．(Ⅰ)求b，c的值；(Ⅱ)求sin(B−C)的值．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．(Ⅰ)利用余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；(Ⅱ)sin(B−C)=sinBcosC−cosBsinC，根据正弦定理可求出sin C，然后求出cos C，代入即可得解．【答案】解：(Ⅰ)∵a=3，b−c=2，cosB=−12．∴由余弦定理，得b2=a2+c2−2accosB=9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b =7，∴c =b −2=5；(Ⅱ)在△ABC 中，∵cosB =−12，∴sinB =√32，由正弦定理有：c sinC =bsinB ， ∴sinC =csinB b=5×√327=5√314， ∵b >c ，∴B >C ，∴C 为锐角， ∴cosC =1114，∴sin(B −C)=sinBcosC −cosBsinC =√32×1114−(−12)×5√314=4√37．18. 已知等差数列{a n }满足a 3=2，前3项和S 3=92．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=a 15，求{b n }前n 项和T n ．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，可得a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1，d.即可得出;(Ⅱ)b 1=a 1=1，b 4=a 15=8，可得等比数列{b n }的公比q ，利用求和公式即可得出． 【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 3=2，前3项和S 3=92．∴a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1=1，d =12． ∴a n =1+12(n −1)=n+12；(Ⅱ)b 1=a 1=1，b 4=a 15=8， 可得等比数列{b n }的公比q 满足q 3=8， 解得q =2． ∴{b n }前n 项和T n =2n −12−1=2n −1．19. 根据预测，某地第n(n ∈N ∗)个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n (单位：辆)，其中a n ={5n 4+15,1⩽n ⩽3−10n +470,n ⩾4,b n =n +5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． (1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =−4(n −46)2+8800(单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题． (1)计算出{a n }和{b n }的前4项和的差即可得出答案；(2)令a n ≥b n 得出n ≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论． 【答案】解：(1)前4个月共投放单车为a 1+a 2+a 3+a 4=20+95+420+430=965， 前4个月共损失单车为b 1+b 2+b 3+b 4=6+7+8+9=30， ∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965−30=935． (2)令a n ≥b n ，显然n ≤3时恒成立， 当n ≥4时，有−10n +470≥n +5，解得n ≤46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n ≥4，{a n }为公差为−10等差数列，而{b n }为公差为1的等差数列， ∴到第42个月底，单车保有量为a 4+a 422×39+535−b 1+b 422×42=430+502×39+535−6+472×42=8782．S 42=−4×16+8800=8736． ∵8782>8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD//BC ，PA =AD =CD =2，BC =3.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PFPC =13． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面PAD ； (Ⅱ)求二面角F −AE −P 的余弦值；(Ⅲ)设点G 在PB 上，且PGPB =23.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)推导出PA ⊥CD ，AD ⊥CD ，由此能证明CD ⊥平面PAD ．(Ⅱ)以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F −AE −P 的余弦值．(Ⅲ)求出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,−23,23)，平面AEF 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，m ⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =43−23−23=0，从而直线AG 在平面AEF 内．【答案】解：(Ⅰ)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，，∴PA ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，PA ∩AD =A ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ．(Ⅱ)以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴， AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，E(0,1，1)，F(23,23,43)，P(0,0，2)，B(2,−1,0)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,43)， 平面AEP 的一个法向量为n⃗ =(1,0，0)， 设平面AEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0m⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23x +23y +43z =0，取y =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，−1)， 设二面角F −AE −P 的平面角为θ，由图可知θ为锐角， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3=√33． ∴二面角F −AE −P 的余弦值为√33．(Ⅲ)直线AG 在平面AEF 内，理由如下： ∵点G 在PB 上，且PGPB =23.∴G(43,−23,23)， ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,−23,23)，∵平面AEF 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，m ⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =43−23−23=0，故直线AG 在平面AEF 内．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．(1)由椭圆的离心率公式求得a =2c ，由椭圆的准线方程x =±2a 2c，则2×2a 2c=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2−c 2=3，即可求得椭圆方程；(2)设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02−1，联立即可求得P 点坐标；【答案】解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e =c a =12，则a =2c ，① 椭圆的准线方程x =±a 2c ，由2×a 2c=8，②由①②解得：a =2，c =1， 则b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 23=1；(2)设P(x 0,y 0)，当x 0=1时，直线PF 2斜率不存在，此时直线l 1，l 2的交点为F 1，不满足题意； 故x 0≠1，则直线PF 2的斜率k PF 2=yx 0−1，则直线l 2的斜率k 2=−x 0−1y 0，直线l 2的方程y =−x 0−1y 0(x −1)，直线PF 1的斜率k PF 1=yx 0+1，则直线l 2的斜率k 1=−x 0+1y 0，直线l 1的方程y =−x 0+1y 0(x +1)，联立{y =−x 0−1y 0(x −1)y =−x 0+1y(x +1)，解得：{x =−x 0y =x 02−1y 0，则Q(−x 0,x 02−1y 0)， 由P ，Q 在椭圆上，P ，Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y 0=x 02−1y 0，∴y 02=x 02−1，则{x 024+y 023=1y 02=x 02−1，解得：{x 02=167y 02=97，则{x 0=±4√77y 0=±3√77，又P在第一象限，所以P的坐标为：P(4√77,3√7 7).22.已知函数f(x)=a x，g(x)=log a x，其中a>1．(1)求函数ℎ(x)=f(x)−xln a的单调区间；(2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行，证明x1+g(x2)=−2lnlnalna；(3)证明当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．【解析】本题考查利用导数研究函数单调性，导数的几何意义，考查函数与方程思想，化归思想，考查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题．(1)把f(x)的解析式代入函数ℎ(x)=f(x)−xlna，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；(2)分别求出函数y=f(x)在点(x1,f(x1))处与y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；(3)分别求出曲线y=f(x)在点(x1,a x1)处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,log a x2)处的切线方程，把问题转化为证明当a≥e1e时，存在x1∈(−∞,+∞)，x2∈(0,+∞)使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a≥e1e时，方程a x1−x1a x1lna+x1+1lna +2lnlnalna=0存在实数解．然后利用导数证明即可．【答案】(1)解：由已知，ℎ(x)=a x −xlna ，有ℎ′(x)=a x lna −lna ， 令ℎ′(x)=0，解得x =0．由a >1，可知当x 变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化情况如下表：∴函数ℎ(x)的单调减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)；(2)证明：由f′(x)=a x lna ，可得曲线y =f(x)在点(x 1,f(x 1))处的切线的斜率为a x 1lna ． 由g′(x)=1xlna ，可得曲线y =g(x)在点(x 2,g(x 2))处的切线的斜率为1x 2lna．∵这两条切线平行，故有a x 1lna =1x2lna，即x 2a x 1(lna)2=1，两边取以a 为底数的对数，得log a x 2+x 1+2log a lna =0， ∴x 1+g(x 2)=−2lnlna lna;(3)证明：曲线y =f(x)在点(x 1,a x 1)处的切线l 1：y −a x 1=a x 1lna(x −x 1)， 曲线y =g(x)在点(x 2,log a x 2)处的切线l 2：y −log a x 2=1x2lna(x −x 2)．要证明当a ≥e 1e 时，存在直线l ，使l 是曲线y =f(x)的切线，也是曲线y =g(x)的切线， 只需证明当a ≥e 1e 时，存在x 1∈(−∞,+∞)，x 2∈(0,+∞)使得l 1与l 2重合， 即只需证明当a ≥e 1e 时，方程组{a x 1lna =1x 2lna ①a x 1−x 1a x 1lna =log a x 2−1lna②由①得x 2=1a x 1(lna)2，代入②得： a x 1−x 1a x 1lna +x 1+1lna +2lnlna lna=0，③因此，只需证明当a ≥e 1e 时，关于x 1 的方程③存在实数解． 设函数u(x)=a x −xa x lna +x +1lna +2lnlna lna，即要证明当a ≥e 1e 时，函数y =u(x)存在零点．u′(x)=1−(lna)2xa x ，可知x ∈(−∞,0)时，u′(x)>0；x ∈(0,+∞)时，对u′(x)求导，易知u′(x)单调递减，又u′(0)=1>0，u′[1(lna)2]=1−a1(lna)2<0，故存在唯一的x0，且x0>0，使得u′(x0)=0，即1−(lna)2x0a x0=0．由此可得，u(x)在(−∞,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).∵a≥e1e，故lnlna≥−1．∴u(x0)=a x0−x0a x0lna+x0+1lna +2lnlnalna=1x0(lna)2+x0+2lnlnalna≥2+2lnlnalna≥0．下面证明存在实数t，使得u(t)<0，由(1)可得a x≥1+xlna，当x>1lna时，有u(x)≤(1+xlna)(1−xlna)+x+1lna +2lnlnalna=−(lna)2x2+x+1+1lna+2lnlnalna．∴存在实数t，使得u(t)<0．因此，当a≥e1e时，存在x1∈(−∞,+∞)，使得u(x1)=0．∴当a≥e1e时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线．。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)下学期第三次模拟试题及答案解析
最新高三5月第三次模拟考试数学（文史类）本试卷共4页，共22题。
满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标是( ) (A) (1,1)-(B) (1,1)-- (C)(1,1)-(D) (1,1)2.设,A B 为两个不相等的集合，条件:()p x A B ∉⋂， 条件:()q x A B ∉⋃，则p 是q 的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）充要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件3.已知32log 2a =，14log 2b =，132c -=，则,,a b c 的大小关系是( )（A ）c b a >> （B ）a b c >> （C ）b a c >> （D ）b c a >>4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 则输出的K 和S 值分别为( )（A ）9，49（B ）11，511 （C ）13，613 （D ）15，7152x 分别表示5．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设1x ，甲、乙两名同学测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有 ( )(A) 12x x =，12s s < (B) 12x x =，12s s > (C) 12x x >，12s s > (D)12x x =，12s s =6．已知函数sin y a bx =+（0b >且1b ≠）的图象如图所示，那么函数log ()b y x a =-的图象可能是( )(A) (B) （C ）（D ）7.已知双曲线221ax by -=（0,0a b >>）的一条渐近线方程是0x -=，它的一个焦点在抛物线24y x =-的准线上，则双曲线的方程为（ ）（A ）224121x y -= （B ）224413x y -=（C ）221241x y -=（D ）224413x y -= 8.已知函数x x x f ωωcos 3sin )(-=（0ω>）的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，若将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为（ ） （A ）(,0)3π-（B ）(,)44ππ-（C ）(0,)3π （D ）(,)43ππ9.在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心C 在l上．若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为（ ）（A ）]512,0[ （B ）)512,0( （C ）)3,1( （D ）]3,1[ 10.已知函数()1(0)f x mx x m =-->，若关于x 的不等式()0f x <的解集中的整数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ）（A ）01m <≤ （B ）4332m ≤< （C ）312m << （D ）322m ≤< 第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
高三数学第三次月考试题含解析 试题
四中2021届高三数学第三次月考试题〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由，应选A.2. 设集合为，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，，为不能被整除的数，为整数，又分母一样，故，应选B.3. 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. 或者 D. 2或者【答案】A【解析】因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以，应选A.4. 一支田径队有男运发动40人，女运发动30人，要从全体运发动中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，那么抽取的男运发动人数为〔〕A. 20B. 18C. 16D. 12【答案】C【解析】因为田径队男运发动，女运发动人，所以这支田径队一共有人，用分层抽样的方法从该队的全体运发动中抽取一个容量为的样本，所以每个个体被抽到的概率是，因为田径队有男运发动人，所以男运发动要抽取人，应选C.5. 等差数列中，是函数的两个零点，那么的前9项和等于〔〕A. -18B. 9C. 18D. 36【答案】C【解析】等差数列中，是函数两个零点，的前项和，，应选C...................6. ，那么〔〕A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．那么．在原二项展开式中令，可得．故此题答案选．7. 下列图所示中，为某次考试三个评阅人对同一道题的HY评分，为该题的最终得分，当，，时，等于〔〕A. 11B. 10C. 7D. 8【答案】D【解析】当，时，不满足，，故此时输入的值，并判断，假设满足条件，此时，解得，这与与条件矛盾，假设不满足条件，此时，解得，此时不成立，符合题意，综上所述，，应选D.【方法点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3) 注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4) 处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.8. 的面积为12，假如，那么的面积为〔〕A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】设，以为邻边作平行四边形，连接那么，，，，所以可得的面积为，应选C.9. ，，，，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为〔〕A. B. C. D. 1【答案】B【解析】对求导得假设函数有极值点，那么有2个不相等的实数根，故，解得，而满足条件的有2个，分别是，故满足条件的概率应选：B．【点睛】此题考察了函数的单调性、极值问题，考察导数的应用以及对数、指数的性质，解题时准确理解题意是解题的关键．10. 三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如下图，且满足那么其外接球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题可知，O为△ABC的重心，△ABC外接圆的半径为，且三棱锥的高为1．故∴球＝＝，应选D考点： 三棱锥外接球的半径 球的外表积公式11. 为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，那么的倾斜角为，由过焦点的弦长公式，可得，，所以可得，的最大值为，应选D.12. ，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】化简，的图象关于对称，由可得,可得的图象也关于对称，因此与的图象的个交点为，…，，也关于对称，所以，，设，那么，两式相加可，同理可得，，应选D. 【方法点睛】此题主要考函数的对称性、函数的图象与性质、倒序相加法求和以及数学的转化与划归思想. 属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特成效，大大进步理解题才能与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准打破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们可以纯熟掌握并应用于解题当中.解答此题的关键是将等式与解析式转化为对称问题，将对称问题转化为倒序相加求和.二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13. __________．【答案】1【解析】由，故答案为.14. 在中，三顶点，，，点在内部及边界运动，那么最大值为__________．【答案】【解析】画出符合题意的的平面区域如图：〔阴影局部〕，由得，平移直线，由平移可知当直线，经过时，直线的截距最小，此时获得最大值，代入，即的最大值是，故答案为.【方法点晴】此题主要考察线性规划中利用可行域求目的函数的最值，属简单题.求目的函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目的函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目的函数，最先通过或者最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目的函数求出最值.15. 假设半径为1的球与的二面角的两个半平面切于两点，那么两切点间的球面间隔〔即经过两点的大圆的劣弧长〕是__________．【答案】【解析】画出图形，如图，在四边形中，是球的大圆的切线，，，两切点间的球面间隔是弧，故答案为.16. 在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，，______．【答案】【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，那么，即为此等比数列的公比，，，由，又，，，，故答案为.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. 不是直角三角形，它的三个角所对的边分别为，.〔1〕求证：；〔2〕假如，求面积的最大值.【答案】〔1〕见解析；〔2〕48【解析】试题分析：〔1〕由，根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；〔2〕视为定点,求出满足条件下的轨迹为一个圆，圆心在直上，当上升到离直线最远时面积最大. 试题解析：〔1〕由，根据正弦定理可得，，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；〔2〕方法一：b=2a.c=12，余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆，圆心在直线AB上，当C上升到离直线AB最远时面积最大。
2020-2021学年高三数学(文科)第三次联考检测题及答案解析
最新度高三年级第三次联考数学试题(文科)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}|410,|3x 7P x x Q x =<<=<<，则P Q 等于A. {}|3x 7x <<B. {}|3x 10x <<C. {}|3x 4x <<D. {}|4x 7x <<2.设复数2z i =+，则复数()1z z -的共轭复数为A. 13i --B. 13i -+C. 13i +D. 13i - 3. cos 250sin 200的值为A. 2B. 1C. 2-D. 1-4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，且DE x AB y AD =+，则A. 11,2x y =-=- B. 11,2x y ==C. 11,2x y =-= D.11,2x y ==-5.已知函数()()2303f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()2cos 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为A. 12x π=B. 6x π=C. 3x π= D. 2x π=6.在等差数列{}n a 中，3645a a a +=+，且2a 不大于1，则8a 的取值范围是A. (],9-∞B. [)9,+∞C. (),9-∞D. ()9,+∞7.若,x y 满足约束条件1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为A. 2B. 3C. 11D. 188.执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于A. 12B. 35C. 56D.679.一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为A. 21B. 6C. 7D. 310.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 72B. 80C. 86D. 9211.已知双曲线222:1(0)y M x b b -=>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P ，若点P在焦点为()0,1的抛物线2y mx =上，则双曲线M 的离心率为 A. 7 B. 65 C. 87 D. 35 12.设函数()()1232,2x f x x a g x x -=-+=-，若在区间()0,3上，()f x 的图象在()g x 的图象的上方，则实数a 的取值范围为A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. ()3,+∞D.[)3,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某公司13个部门接受的快递的数量如茎叶图所示，则这13个部门接收的快递的数量的中位数为.14.椭圆()2211mx y m +=>2，则m =. 15.若函数()()3222f x a x ax x =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程为. 16.记n 表示正整数n 的个位数，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，2,2n n n n n a b a ==+则4n S =.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图，在四边形ABCB '中，ABC AB C '≅,3,cos ,2 2.4AB AB BCB BC ''⊥∠==（1）求sin ;BCA ∠（2）求BB '及AC 的长.18.(本小题满分12分)已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设,x y 分别表示数学成绩与地理成绩，例如：标准地理成绩为A 等级的共有14401064++=人，数学成绩为B 等级且地理成绩为C 等级的有8人.已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求,a b 的值；（2）已知8,6a b ≥≥，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥A EFCB -中,AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =四边形EFCB 3的等腰梯形，//,EF BC O 为EF 的中点.（1）求证：;AO CF ⊥（2）求O 的平面ABC 的距离.20.(本小题满分12分) 已知圆M 与圆22255:33N x y r ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线y x =对称，且点15,33D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆M 上. （1）判断圆M 与圆N 的位置关系；（2）设P 为圆M 上任意一点，551,,1,33A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,PA 与PB 不共线，PG 为APB ∠的平分线，且交AB 于G ，求证：PBG 与APG 的面积之比为定值.21.(本小题满分12分)设函数()()()2cos ,ln 0.k f x x x g x x k x =--=--> （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若对任意110,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x <，求实数k 的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABO 三边上的点,,C D E 都在O 上，已知//,.AB DE AC CB = （1）求证：直线AB 与O 相切； （2）若2AD =，且1tan 3ACD ∠=，求AO 的长.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的方程为()3cos 4sin 2,ρθθ-=，曲线C 的方程为()0.m m ρ=>（1）求直线l 与极轴的交点到极点的距离； （2）若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为15，求实数m 的取值范围.24.(本小题满分10分)不等式选讲 已知不等式2210x x ++-<的解集为A.（1）求集合A ；（2）若,a b A ∀∈，x R ∈，不等式()149a b x m x ⎛⎫+>--+⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.。
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姓名： 班级： 考场/座位号：
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对
条形码上的姓名和准考证号。
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答
无效。
要求字体工整、笔迹清晰。
作图时，必须用2B铅笔，并描浓。
4．在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。
贴条形码区（正面朝上，切勿贴出虚线方框）正确填涂缺考标记客观题
1 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D]
6 [A] [B] [C] [D]
7 [A] [B] [C] [D]
8 [A] [B] [C] [D]
9 [A] [B] [C] [D]
10 [A] [B] [C] [D]
11 [A] [B] [C] [D]
12 [A] [B] [C] [D]
填空题13. 14. 15. 16.
解答题
17.
18.
19.
20. 2021新高考数学河北六校联考试题（四）
21.
22.。