一题多解与发散思维的培养

对 方 程 一２ ｘ ＝０求 导 可 得 ｎ＋
ｙ ｘ＝
Ｙ
①
将 ％ ＝—
ｎ ＋
— —
代 人 曲线 的方 程 解 得
１
— —
， ｋ 即 ＝
ｙｌ ，
＝
．
ｎ＋ ｌ
，
ｎ ∈Ｎ＋ ．
从 另 一 个 角度 考 虑 ． 率 的公 式 为 ｋ＝垒二苎 ． 斜 Ｌ
●
解 题 技巧 与 方法
・ ・
１ 腰 西
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６谢
雾
魏 穗蚴 螬恭
◎ 欧德 义 （ 西省 汉 阴县 汉 阴 中学 陕 ７５０ ） ２ １０
在 数学 教学 中 培 养 学 生 的 发 散 思 维 能 力 是 数 学 新 课 标 的 要求 ． 而在 应 试 教 育 的 指 引下 ， 堂 教学 中 ， 师 往 往 用 然 课 教 （ ＋１ 联 立 Ｘ 一２ ｘ＋ ＝０， Ｙ得 ： １＋ ） ＋（ 一 ）， ｎ 消 （ ２
联 ②解 立① 得％ ＝
ｎ 十
Ｉ
， ＝， ｛ ，∈ ． Ｙ ｌ ｎＭ
ｎ 十 ｌ
此解 题 思 路 主 要考 查 了学 生 思 维 的 广 阔性 ． 因此 日常 教
学 中 教师 应 该 引 导 学生 从 多 角 度 去 分 析 ， 出规 律 之 间 的 联 找
学 生 的 思维 才 不 会 僵 化 ，才会 达到 提 升 学 习 效 率 的 目的 。 真 正从 题 海 战 术 中解 脱 出 来．
自己的 独特 见 解 ． 何 培养 学 生 的发 散 思 维 能力 呢 ？ 如
因为 直线与 曲线相切 ， Ａ＝（ｋ２ ｎ ｋｚ１ ） ， 则 ２ｎ —２ ）一４ ． ＋ （ ＝０
解 ：—＋ ， ‰旱 ｎ ＋， ｎ＋ ＝ 得ｋ 、ｎｌ这 等 ｎ 一 （ １ ２ 时 ｌ ％ ） ／ 十
综 合 两方 面 思 考 的结 果 ：
＝ ：
吃 天 ，无 法 下 抓 的 可 能． 育 家 奥 苏伯 尔 指 出 ：我 们 宁 愿 要 教 “
１＋
②
少 而精 的知 识 ， 愿 要 多 而 囫 囵 吞 枣 的知 识 ． 这 就 要 求 我 们 不 ”
在 教 学 过 程 中 ， 置 少 量 “ 选 ” 的 习 题 ， 要 求 学 生在 做 布 精 过 并 题 时 ， 虑 多 种 解 法或 思 路 ， 用 不 同 的 数 学 知 识 和 教 学 方 考 运 法 解 同一 个 数学 问 题 ， 到 一 题 多 解 ． 而 培 养 了学 生 发 散 做 从 思 维 的能 力 ．因为 只有 让 学 生 的 思 维 长 时 间 处 于 开 阔状 态 ，
总 结 ， 所 学 知识 形成 网络 ， 问题 进 行深 入 的分 析 ， 将 对 只有 充分
２ ： 手 ， ＝ 时２ 有 大 ＋ 一 一 ）３当 手 ， 最 值 ． ｝ ＋ Ｘ － ｔ － ３
解 题 过 程似 乎 天 衣无 缝 ， 答 案 是 错 的 ． 因 是 隐含 条 件 但 原
系 ， 而较 顺 利地 分 析 题 意 ， 出解 题 思 路． 从 理 思路二 求 交 点 、 点 ， 直线 与 曲线 的交 点 ． Ｌ ： 切 即 设 Ｙ＝
例 ５ 已知实数 Ｙ满足 ＋３ ， ｙ＝３ ， ＋ 的最大 ｘ则
值是（ ） ．
因为３ 一ｘ ３ ≥０ 即０ ≤｝，的 ＝ ４ ＋ｘ ， ≤ 取值不能
， 一 ｙｌ ， ２
此 解 题 思 路 主要 考 查 了学 生 运 用 逆 向思 维 的 能力 ．
由于切线 Ｌ 过 点 一 ， ） １ｏ 和 （ ）所 以有 ＝— ‰， ，
ｌ 十
从 以上 解 题 思 路 我们 可 以看 出 ， 考题 测试 的是 学 生 多 高 方 面 的 知识 ． 而且 避 免 了学 生 因 某 一 方 面没 有 复 习到 而 老 虎 ‘
ｎ
、 ｖ ／
广
发 散思 维 是 对 同 一个 问题 从 多 种 角 度 着 眼 ， 寻 多种 可 搜 能 性 ， 多 方 面 探 求 答 案 的思 维 过程 ， 学 过 程 中要 鼓 励 学 从 教 生 发 散 思 维 ， 学 生 敢 于 发 表 与 常 人 相 异 ， 又 高 于 常人 的 使 而
在 作怪 ．
发 掘隐藏 在问题 中的条 件 ． 才不 至于在 解决 问题 时措手 不及 ．
数 学 学 习与研 究
２ １ ． ０ ０６
曲 线 引切 线 ． 切点 坐 标 问 题． 求
思路一 因为 点 ｛ｎｙ ｝ 曲线 ｅ。 ， 足 的方 程 ， 得 ： Ｘ ｎ在 上 满 可
将 Ｐ 一 ，） 人 ， （ １０ 代 得
一
ｎ ｘ 一１ （ ）＝０， 得 ‰ ＝— 一 解
ｎ ＋ ｌ
Ｘ２ ｎ ｙＺ ． ｎ—２ｘ＋ ＝０
真 知 灼 见 ． 题 多 解 ． 反 映 了 思 维 的 广 阔 性 、 向 性 ． 题 一 就 多 一
—
『 ‘ －
思路三 数 形结合 ， 掘曲线的几何特征 ， 挖 曲线 配方
得（ —ｎ） ＋Ｙ ＝Ｆ ｔ 以 Ｃ（ ， 为 圆 心 ， 是 ｎ ０） ｎ为半 径 的 圆 ， 点 从
为 ．
Ａ Ｂ ｃ Ｄ ． ． ． ． ｝ ｝
本 题 是 一 个 选择 题． 多 数 同 学 的 答 案 是 Ｃ 可 以想 见 学 大 ．
生 是 这样 演 算 的 ：
所 当 ＝ ， 最 值ｎ 应 Ｄ 以 ｝ 取 大 ． 选 ． ４ ＋ 时 Ｉ故
数 学 问 题 的 隐 含条 件 多 种 多 样 ． 要 经 过 不 断 的训 练 和 需
— 。 ． —
＋ ｌ 一 ｎ
＝一 ． １
①
由点 （ ， ） 曲线 上 得 方 程 ： 在
Ｘｚ２ ＋Ｙ ０ ｎ ＿ ｎ ．
②
联立①②解得 ‰＝— ｎ
十 Ｉ
， 一 ｎ ＋１ ， Ｍ ． ｖ￣ —２ ｎ
几 十 ｌ
思路 四 公 式 法 ， 用 切 线方 程 公 式 ， 套 过切 点 （ ， ） 的切 线方 程 为 一ｎ（ ）＋ ｘ＋ ＝０ ．
对 培 养 学生 发 散 思 维能 力 的 重要 性 ． 例 （０ ９年 广 东 卷 ２ｌ题 ） ２０ 已知 曲 线 Ｃ 一２ ｘ＋ｖ ＝ ： ｎ ０（ ｎ＝１ ２， … ） 从 点 Ｐ（ ｌ ０） 曲线 引 斜 率 为 （ ＞０ ， ３ ， 一， 向 ） 的切 线 ， 点 为 （ ） 求数 列 ｛ 与 ｛ 的通 项 公 武． 切 ‰， ． Ｘ｝ Ｙ｝ 分析 此 题 以 数 列 的形 式 ｍ现 ，实 质 是 从 曲线 外 一 点 向 方 程 思想 ， 立 关 于 未知 量 ，ｎ 方 程组 ． 建 ｙ的
２） ｎ ＋ｋ ＝０ ．
固 定 的模 式 去 培 养学 生 ， 教 师 自己 的思 维 去 代 替 学 生 的 思 以 维 ， 狭 隘 的正 确 性 和 外 表 的 完全 一 致 性 ， 使 学 生 就 范 ， 从 迫 束 缚 了学 生 的 创造 性 思 维 包 括 发 散思 维 ， 使 有些 学 生 放弃 了 致
Ｐ 一 ，） （ １ ０ 向上 半 圆 引切 线 （ 率 ｋ ＞ ） 切 点 坐标 ． 斜 ０求
由 上Ｃ ． ｋ ・ ｐ ＝一 ． 方 程 ： Ｐ 知 Ｋｃ １ 得
பைடு நூலகம்
多 解 的教 学 价 值 在 于开 拓 学 生 的 思路 ， 养 学 生 思 维 的广 阔 培 性 ， 而 培 养 学 生 的发 散 思 维 能 力 ， 提 高 解 题 能 力 具 有 重 从 对 要 意义 ． 面我 们 就 从一 道高 考 题 的 分 析来 看一 看一 题 多 解 下