数学解题之一题多解与多题一解[1]
六年级下册数学试题-奥数：一题多解(解析版)全国通用
第七讲 一题多解学奥数的本意是开发智力，整合知识。
我们通过一题多解的训练形式，要努力形成举一反三、融会贯通的能力，常见的解题方法主要是算术方法和方程等，算术方法是我们解小学奥数题的主力，方程作为一种数学工具也是我们解题时经常依赖的，除了这些以外，我们还有很多非常规、非典型的解题方法，如（1） 特殊值法；（2） 利用图形解题；（3） 取特殊情形、极限考虑.分析：转动小三角形使小三角形和大三角形相反方向，容易看出小三角形的 面积是大三角形的四分之一.Ⅰ 考虑特殊情况与特殊值特殊情况与特殊值的方法一般只适合用于巧解填空题，利用特殊情况和特殊值的原则，主要有：1）不违背题目条件；2）特殊情况或特殊值代入原题后不会产生逻辑或数值上的矛盾； 3）特殊情况或特殊值有利于题目的解决.由于特殊情况和特殊值的特殊性，建议大家不要在解答题或证明题中使用这种方法，这种方法仅仅作为一种应试技巧和参考.教学目标专题精讲想挑战吗 ？一个正三角形中内接一个圆， 圆中又内接一个小三角形，问小 三角形的面积是大三角形面积的 几分之几？【例1】 如图，在一个边长为6正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原长正形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 .分析：（方法一）对于任意一个梯形（如图），上底和下底分别为a 和b 时，阴影部分的面积可以表示为bs1、s2、s3的和，而s3：s4=s1：s2=（s1+s3）：（s2+s4）=a ：b ，同理s1：s3=s2：s4=a ：b ，所以：s1：s2：s3：s4=a2：ab ：ab ：b2，所以阴影部分的面积等于22222a ab a ab b +++.连接两个正方形的对应顶点，则可以得到四个梯形，运用这条结论，每个梯形中阴影部分的面积都占到了222222672226616+⨯⨯=+⨯⨯+，所以阴影部分面积是两个正方形之间的面积的716，阴影部分的面积为227(62)1416⨯-=,（方法二）取特殊情况，使得两个正方形的中心相互重合，由上右图可知，A 、B 、C 、D 均为相邻两格点的中点，则图中四个空白处的三角形的高为1.5，因此空白处的总面积为5.16⨯ 222242=⨯+⨯÷，阴影部分的面积是142266=-⨯.【例2】 （★★★★人大附中入学测试题）如图，有三个正方形ABCD 、BEFG 和CHIJ ，其中正方形ABCDDFI 的面积是 ．S EHIF－21(6+a)(4+a)＝20。
一题多解求发散，巧妙添加辅助线
一题多解求发散，巧妙添加辅助线作者：周强邓晴来源：《数学教学通讯·初中版》2022年第05期[摘要] 几何题是中学数学教学内容的重点，同时也是中考数学中的难点之一，而正确添加辅助线往往是解决一道几何题的关键. 辅助线起到了联系已知条件和未知量的桥梁作用，不同辅助线的做法能够实现一道几何题的“一题多解”. 研究者以一道几何题为例，从不同的角度作出辅助线，在实现一题多解的同时拓展学生思维，以期为学生解题以及教师教学提供参考.[关键词] 辅助线;一题多解;数学几何题一道几何题作不同辅助线实现“一题多解”的例子在一次批改学生测验卷的过程中，发现一道几何填空题学生们做的不是很理想，大多数学生没有做出来. 而在上课评讲此题的过程中，有多种不同的做法，这些不同的做法都是因为从不同思路寻找突破口，作不同的辅助线. 笔者将此题进行了深入的剖析，列举出多种不同的方法.试题呈现如图1，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，等边三角形DEF的顶点D，E，F分别在直角三角形的三边上，则EF长的最小值是多少？解题分析第一，简单分析题目，理清大致方向.初次读题将已知数据在图中对应出来并进行简单分析，理清问题求解的大致方向. △ABC 是固定长度且含有特殊角30°的直角三角形，内嵌一个大小不定的等边三角形DEF，同时△CDF也是一个直角三角形. 所求线段EF长的最小值，这是一个动点求定直线最值的典型例题，虽然动点有三个，但由这三个动点所构成的三角形始终是等边三角形.第二，再次分析题目，挖掘隐含条件.可借助确定性分析，剖析图形结构，根据已知条件分析图形中不变的几何元素，或者变化过程中不变的几何关系[1]，挖掘更多隐含条件. 无论点D，E，F怎样移动，△DEF三边始终相等，于是求线段EF的最小值可以看作是求线段DE或DF的最小值. 且三个角与∠B相等均为60°，于是∠BDE与∠BED的和就等于∠BDE与∠FDC的和等于120°，所以∠BED等于∠FDC，同理可得∠BDE等于∠AEF. 此时有边等、角等的关系，自然会想到全等，但条件不够，所以能够初步想到必须添加辅助线.第三，条件预设处理，寻找解题突破.条件预设处理是指基于已知边与角的条件根据导边或导角找出更多边角关系，最后复盘边角关系找到解题突破口. 观察边角关系，△BDE中始终有一角和一边跟另一个三角形一角一边相等，所以可以通过“边角边”或“角角边”关系构造两个三角形全等. 同时，∠B等于∠EDF等于60°，且均在边BC上，所以可以构造“一线三等角”，同理边BC也可构造“一线三等角”. 于是，本题的突破口就在于通过一线三等角构造三角形全等，再通过勾股定理设参求得最小值.思路1 在△BDE与△FCD中已知一边一角相等，且∠B和∠EDF均在边BC上，所以还需在BC边上构造一个∠G=60°，但构造角通常不易作图，且构造完后DG=BE，所以可以直接延长DC，使DG=BE，再连接GF，这时∠G也等于60°. 构造线段等而不是角等的辅助线的方法，使作图更加精准. 全等后设参，可以将Rt△DCF各边表示出来，通过勾股定理求得最小值.思路2 从分析過程可以知道，除了在BC边上构造一线三等角，也可在BA边上构造. 做法与思路1类似，在EA上截取EM，使EM=BD，证明△BDE与△MEF全等，再设参求最小值.思路3 在△BDE与△FCD中已有一边一角相等，除构造一线三等角，还可从∠B=60°这个特殊角考虑，在△BDE中添加垂线构造直角三角形使之与△FCD全等，过点D作AB的垂线，通过角角边证明全等，再设参求最小值.解后反思1. 打破常规解题思维，提高问题解决能力新一轮基础教育改革指出，要以“培养全面发展的人”为核心，不仅要让学生掌握数学知识，更要发展数学思维，学会用数学的观点思考与解决问题. 几何题型灵活多变，仅靠已知条件往往不能直接得出答案，添加辅助线是必经之路. 在教学过程中，教师可以有意地进行思维教学，引导学生根据数学素材进行具体化数学构思，打破常规刻板的解题思路，让学生从不同的思维方向对同样条件进行整合，会添加不同的辅助线. 所以一题多解能够充分调动学生思维的积极性，提高学生对知识的整合能力以及问题解决能力. 这个过程肯定会耗时很久，但教师只要有耐心就会让学生有信心.2. 发展数学核心素养，培养几何直观能力图形与几何是培养学生几何直观能力的主要载体之一，它既是初中数学的难点，又是重点. 主要题型是求解某个几何量或者证明某些几何量的关系，解答它们的难点就在于通过等量代换或代数计算联系已知与未知，进而求得结论. 这样，能在解题过程中培养学生的模型化思想、类比思想、数形结合思想等.3. 巧添不同辅助线，强化图形解题能力在解决几何题的过程中合理添加辅助线，能够起到在已知条件和未知量之间构建桥梁、将复杂图形简单化、将隐含条件明朗化、将分散条件集中化等的作用[2]. 本题中，已知一对边、一对角相等，显然可添加辅助线构造全等，又知道同一边有两个60°角，能想到构造一线三等角. 辅助线的添加没有固定法则，同一道题目可以从不同角度、不同层次添加不同的辅助线，从而实现同一道题目多种方法与途径解答，即“一题多解”，以此提高学生对图形的感知力，强化解题能力.结束语近年来，几何题一直是中考数学中的压轴题目，它形式不一、灵活多变，往往直接利用所给条件无法解决问题，必须借助辅助线. 而辅助线的做法往往也不是唯一的，教师可以在平时教学中引导学生作不同辅助线解题，这有利于挖掘学生的潜能，激发学习兴趣，培养学生解决问题的能力. 学生本身也应该多动脑思考，养成主动思考的良好数学学习习惯，这样才能从被动变为主动，进而提高学习能力.参考文献：[1]付粉娟，陈法超. 基于通性通法探求一题多解[J]. 中学数学教学参考，2021（02）：16-19.[2]陈玲. 辅助线在初中数学解题中的应用[J]. 科普童话，2016（26）：53.。
浅析高中数学一题多解教学模式对学生能力的促进探讨
㊀㊀㊀１４３㊀㊀浅析高中数学一题多解教学模式对学生能力的促进探讨浅析高中数学一题多解教学模式对学生能力的促进探讨Һ周安勇㊀（上饶幼儿师范高等专科学校，江西㊀上饶㊀３３４０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ新课程改革的深入落实，使考试对于学生的思维能力要求不断提高，但是教师并没有提高重视度，仍然采用题海战术，过度注重基础知识以及解题习惯的培养，从而呈现出教学质量不断下降的发展趋势．目前，有许多学生可以在学习中做到举一反三，但是在生活中遇到问题时并不能变通解决，这便是学生能力缺乏的一种直接体现．对此，为了有效提高教学质量，本文简要分析高中数学一题多解教学模式对提升学生能力的促进作用，希望可以为相关教育者提供一定帮助．ʌ关键词ɔ高中数学；一题多解；能力促进；教学作用高中数学具备丰富的知识与教学内容，大多数教学内容之间都有一定的关联性与互通性，对于同一种数学问题而言，可以从不同的角度进行解决，这便是一题多解．一题多解在高中数学中的合理应用对于学生的思维能力起推动作用，能够促使学生习惯性地在题目之间进行关联性思考，并通过自己所掌握的知识实现对问题的分析判断，从而实现从不同角度解决问题的目标．对此，探讨高中数学一题多解教学模式对学生能力的促进具有显著教育价值．一㊁高中数学教学中一题多解的教学意义１．必要性新课程教育改革的深入落实，促使教师的教学理念以及教学意识均处于不断发展阶段，但是因为应试教育的影响，在高中数学教育期间，教师仍然习惯采用题海战术，实现对学生能力的培养．虽然这样的教学方式可以在一定程度上提高学生的数学基础能力，同时对于学生的数学知识与应用能力有一定的培养作用，但是盲目的高压力训练会导致学生产生疲劳感，此时对于学生的思维能力会形成明显的约束，打压学生的求知欲．对此，有必要在教学中创新或改进教学方法，其中一题多解便显得非常重要．传统的数学课程教学中教师没有注重培养学生解题的思维能力，只注重了题海战术训练，这对学生综合学习能力的提升必然会产生不利影响，也不利于学生良好学习素养的提升．在教学改革进一步深化的背景下，教师在数学课堂教学中所面对的压力和挑战也比较大，为能从整体上提升课堂教学水平，教师应充分注重教学的创新，融入新的观念，将一题多解的教学模式应用到数学课堂中去，从整体上提升学生的学习水平，只有这样，才能真正为学生良好学习发展打下坚实的基础．２．作用体现在高中数学教育中，一题多解对于学生的发展有着多元化推动作用，如以下几点：（１）思维能力的提升高中阶段是学生学习数学知识比较重要的时期，为能有效促进学生学习质量的提升，教师在实际课堂教学中就要加强对多方面措施应用的重视，创新教学方法，运用一题多解的教学模式来培养学生的学习思维，调动学生数学知识学习的积极性．教师借助一题多解进行教学，可以促使学生养成主动思考的习惯，促使学生将自己所掌握的知识充分应用于解题过程，在巩固以往知识的同时实现思考方式的转变和优化，这对于学生的发散性思维能力培养作用明显．（２）整体认知能力高中学生的思维发展已经相对成熟，教师在数学课堂教学中要充分注重以学生为中心开展数学教学活动，让学生在实际数学知识的学习中，提高认知能力．而传统的教学方式显然不利于学生学习认知能力的全面发展，教师在新课改的教学环境下，需要从多角度进行优化，从基础层面进行强化后，才能发挥一题多解的教学功能．一题多解的教学方式可以促使学生在面对同一个题目时，从不同的角度运用不同的知识进行解题，促使学生从固定的思维模式中逐渐脱离出来，促使学生达到举一反三的学习目的．同时对于知识点也起到了梳理的作用，对于系统化学习有显著推动作用．（３）解题能力高中生在学习数学知识过程中面临的学习压力比较大，所以教师在数学课堂教学中要注重培养学生解题的能力，提高学生解题的效率，从而才能真正为学生高效学习打下基础，才能有助于促进学生可持续学习．借助一题多解的教学方法可以使学生从惯性思维中脱离出来，在面对题目时可以从不同角度思考解题的方法与技巧，这种思维模式对于解题能力有一定的推动作用，可以促使学生从自然思考向关联性思考转变，更有利于解答习题．二㊁高中数学教学中一题多解的教学措施高中阶段数学课程教学中，一题多解教学方法的应用，能够促使学生思维发展，提高学生学习能力，为学生可持续学习打下坚实基础．教师在实际课堂教学中，要重视从多方面加强一道多解措施的实施．１．新课程中的一题多解教学数学课程教学中，教师在讲述新的课程内容时，要对学生学习状况以及学习情况进行详细了解，在此基础上开展相应的教学活动，要通过一题多解的教学方式促进学生的学习发展，这样才能真正提升学生学习的质量．新课改下教师要及时转变教学观念，创新教学方式，以学生为中心开展数学教学活动，调动学生学习的积极性．教师在原有数学知识的基础上，通过一题多解的教学设计，让学生在变式的习题练习中不断提高自身的学习能力水平，为学生深入了解数学知识以及提高解题能力打下基础，从而将数学课堂教学的作用价值充分体现出来．教师在数学课堂教学中要以㊀㊀㊀㊀㊀１４４㊀学生为主体，结合学生对数学知识的学习状况以及学生的认知特征，激发学生的学习兴趣；结合学生 最近发展区 设置变式问题，促进学生将自身原有知识进行关联，调动学生对数学知识的探究积极性．一题多解的教学方式能促进学生从不同的角度思考数学问题，能锻炼学生的思维能力，对学生良好学习发展有着积极的促进作用．２．例题讲解中一题多解教学教师在为学生讲解例题内容的时候，一题多解教学方式的运用，能够对学生了解例题的知识内涵起积极的促进作用．高中阶段数学教学中，教师要充分利用好例题资源．教师通过例题的科学化设计，可以让学生从不同的角度进行学习探究，强化学生解题的能力，为学生良好学习发展打下基础．教师在讲述例题的时候，要注重变换习题形式，从学生视角设计问题，通过教学内容的学习以及理解活动的开展，发挥一题多解教学方式的积极作用，这对提高学生数学知识学习的质量起到积极作用．３．公式推导当中一题多解教学高中阶段的数学知识是多样的，教师在实际课堂教学中要充分注重以学生综合素质能力培养为要点，充分注重在公式推导教学中发挥一题多解教学方式的优势，让学生在学习中能够科学熟练地运用公式解决实际数学问题．公式推导教学方式也是解题的范畴，对提升学生公式应用能力有着促进作用．所以教师在实际公式推导的教学过程中，就要注重从多方面进行考虑和优化，如结合ａ２＝ａ１＋ｄ，ａ３＝ａ＋ｄ＝ａ１＋２ｄ 形式，引导学生开展相应的推导活动；教师也可以通过累计相加方式获得等差数列公式，让学生在不同的方式和思维的运用下进行思考，从而有助于学生思维的良好发展．４．练习当中一题多解方法掌握教师在数学课堂教学中可以科学化运用一题多解的方法，这对提升学生学习的质量可以起到积极的促进作用．伴随着新课程改革的深入落实，考试已经不仅仅是对学生基础知识的一种考查，更重要的是对学生基础知识灵活应用的一种考查．在大量的习题教学中，培养学生的解题思维能力，借助一题多解的教学方式相对于题海战术而言更加重要，对于解题技能的培养作用更加突出．下面以函数模型为例，探讨一题多解的教学方式．例如，在 函数模型 这一内容的教学中，有一个经典的题目 函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２ｘ＋ａｘ，ｘɪ［１，＋ɕ），如对任意ｘɪ［１，＋ɕ），ｆ（ｘ）＞０恒成立，则证明ａ的取值范围 ．对于这一题目，教师可以引导学生以一题多解的方式进行思考，在适当的范围内应用所掌握的知识．解法１为区间［１，＋ɕ）上ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２ｘ＋ａｘ＞０恒成立，则可以转变成ｘ２＋２ｘ＋ａ＞０，假设ｙ＝ｘ２＋２ｘ＋ａ在［１，＋ɕ）只能递增，所以ｘ＝１时ｙ有最小值为３＋ａ，所以ｙｍｉｎ＝３＋ａ＞０时函数成立，所以ａ＞－３．解法２为ｆ（ｘ）＝ｘ＋２＋ａｘ，ｘɪ［１，＋ɕ），若ａȡ０时恒为正，在ａ＜０时函数ｆ（ｘ）为增函数，所以ｘ＝１时ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝３＋ａ，那么ａ＋３＞０恒成立，所以ａ＞－３．从不同解题的步骤方式可以实现对同一种或同一类问题的分析判断，这种一题多解的教学方式可以更好地培养学生的解题思维能力，尤其是在函数解题教学汇总中，一题多解的教学案例非常多，对于学生的思维拓展帮助也非常明显．只有在思维拓展的基础上，学生的能力才可以得到有效地提高和合理地运用，从而实现教学质量持续提升的目的．５．一题多解提高学生发散性思维能力在实际数学课程教学中为促进学生一题多解能力的提升，需要教师将数学课堂知识紧密结合起来，以学生为中心开展相应的教学活动．学生在数学课堂中是独立的个体，教师在教学中要注重调动学生在课堂中的主体作用，让学生在一题多解的学习环境中对数学知识进行积极探究，从整体上提升学生数学知识学习的积极性和动力，只有如此才能真正为培养学生的良好学习习惯打下坚实的基础，为学生综合学习能力的提升起到促进作用．例如，课程教学中为学生讲述随机事件与概念的知识内容时，教师在课堂教学中可以为学生设计相应的问题，如纸箱中有两个红球和七个白球，随机把球从纸箱中拿出，拿出后不放回，计算第四次拿出红球的概率．教师通过为学生设计这样的问题，让学生从不同的角度进行解答，这对于学生发散性思维能力的提升就能起到促进作用，使学生能够从多样化的思路中探究数学知识，从而提高学生数学知识学习的能力．三㊁结㊀语在高中数学教学中，教师需要高度重视教育理念㊁教学思路及教学方法的转变，促使学生可以在学习知识的同时保持较高的课程学习积极性．在高中数学教育中一题多解的应用价值较高，但是教学难度以及教学的技术要求也比较高，这就需要教师不断地探索和创新教育模式，不断学习提升自身教学素养，强化课堂掌握与引导能力，帮助学生逐步形成独立发现㊁分析及解决问题的能力，从而达到教书育人的教育目标．ʌ参考文献ɔ［１］张心驰．浅析在高中数学课堂中学生解题能力的培养［Ｊ］．明日风尚，２０１７（１８）：１６８．［２］林荣雨． 一题多解 与 多题一解 在高中数学教学中的应用研究［Ｊ］．考试周刊，２０１７（９７）：７５．［３］陈欣．以一题多解，一题多变培养学生的数学核心素养：椭圆的离心率课例［Ｊ］．时代教育，２０１８（８）：１１５．［４］张欣．浅析如何提升高中生的数学解题效率［Ｊ］．新课程导学，２０１７（５）：７７．［５］杜蓉蓉． 一题多解 在高中数学教学中的应用探析［Ｊ］．农家参谋，２０２０（１４）：２０５．［６］朱亚珍．浅析高中数学教学中的 多题一解 和 一题多解 ［Ｊ］．科教文汇，２０１６（３３）：９９－１００．［７］阚志超． 一题多解 与 多题一解 在高中数学教学中的价值研究与实践［Ｊ］．中国校外教育（中旬刊），２０１５（１０）：２３．［８］沈俊．刍议高中数学教学中的 多题一解 和 一题多解 ［Ｊ］．数学教学通讯，２０１５（２）：３４－３５．。
“一题一课”让解题教学走向简约、精准和高效——以一道多元变量的条件最值问题为例
“一题一课”让解题教学走向简约、精准和高效——以一道多元变量的条件最值问题为例李湘(江苏省无锡市辅仁高级中学214123)1问题背景美国著名数学教育家G・波利亚曾经说过：“掌握数学就意味着善于解题”•数学解题为学生提供了一个应用数学知识、掌握数学思想和方法、提高分析问题、解决问题的能力的平台•学习数学离不开解题，所以，解题教学成为数学教学的重要组成部分，贯穿了整个数学教学过程的始终•加强解题教学是提升数学教学的重要前提如何上好习题课？怎样才能有效地提高解题教学的效益？这是每位数学教师都应认真思考和积极探索的问题题海战术的课堂节奏快、容量大，教师滔滔不绝地讲解,希望能给学生多灌输一些题型,多传授一些方法,课后再给出大量的习题让学生操练,而学生则忙于记录，稀有思考,课后的重复训练和大量刷题费时又费力，效果还差强人意.针对这种现状,笔者通过调查分析,对解题教学的方式做了一些对比试验,感到“一题一课”具有简约、精准和高效的特点，不失为一种有效的方法•所谓“一题一课”,就是对一道题或一个材料进行深入研究,认真琢磨其本质,通过纵横联系,将孤立问题“串”起来;通过课外拓展，让学生思维“飞”起来;基于学情,科学、合理、有序地组织学生进行相关的数学探索活动,从而完成一节课的教学任务，以此达成多维目标的过程•[1]下面记述一道多元变量的条件最值问题的教学过程,与同仁交流2教学案例2.1原题呈现，聚焦学生的思维问题1已知x],x2,x3》0,且x1+x2+x3t求卬二」f十二j11+x2的最小值.(投影显示)师:这是一道多元变量的条件最值问题，在x1,x2,x3》0,且x1+x2+x3=1的条件下，要求11+x f11+x2]+x2的最小值.怎么解决呢?这个问题综合性较强，难度较大，对学生有一定的挑战性,一经提出,学生就积极地展开思考，尝试求解.但都未能成功.师:在前面的学习中,我们研究过与其类似的问题吗？有没有积累过关于这一类问题的解题经验？2.2类题铺垫，引发学生的记忆学生认真回忆，互相交流，反响热烈.教师在学生讨论的基础上，给出以下问题作为铺垫,为解决原题提供知识和方法的储备.师:先请大家看一个比较熟悉的问题•问题2已知正实数x,y满足xy+x+y= 3,则x+y的最小值是_____•这是一道比较容易解决的问题，学生能够从不同的视角得到这个问题的不同解法3y 生1：因为xy+x+y=3,^x=丄,因为y+13——y x>0,y>0,所以0<y<3.贝Q x+y=y----y+1 =y+1+^^—2>2,当且仅当y=1时取等y+1号，所以,x+y的最小值是2.故填2.师:生1利用已知条件，通过消元，转化为一元变量的最值问题,然后运用基本不等式求出了最小值•非常好！生2：因为x>0,y>0,所以xy W (狓；y)，则3=xy+x+y<(狓十冷+(x+ y)，当且仅当x=y时取等号.可得(x+y)+ 4(x+y)—12》0,即(x+y+6)(x+y—2)》0,因为x>0,y>0,所以x+y+6>0,所以x+ y—2>0,即，当且仅当x=y=1时取等号.所以x+y的最小值是2.故填2.生3：因为xy+x+y=3,所以(x+1)(y+ 1)=4,因为x,y>0,所以x+y=(x+1)+(y+ 1)—2>2槡(x+1)(y+1)—2=2,当且仅当x+1=y+1=2,即x=y=1时取等号.所以x+ y的最小值是2.故填2.师:生2和生3的解法，虽然过程有所不同，但有一个共同的特点9就是无需消元9只需运用整 体处理的方法，直接由基本不等式求出函数的最 小值，显得既简洁又巧妙•请大家再看下面的问题问题3 已知a 〉0,b 〉0,且a +b =2,则犪十2+b 的最小值是a b + 1 ----------很快有学生想到先将目标函数变形简化9再 运用基本不等式求出其最小值a 2 +2b 2 a 2 +2 b 2 —1 +1牛 4:----------------------=------------------------------=4 a b +1 a b +19 q ? 1a +-------b —1+ 丄=----十 丄 +1.因为 a 〉0,a b +1 a b +13槡—16,得丁》—2 — 373— +16,当—=3槡3Q7时，函数m =—2—33—+16,取得最小值匸.此时3z 〉0符合题意，故填3p师：很好！现在请大家回过来看看，我们开始 提出的问题，有办法解决了吗？2.3 探索解法，提升学生的能力学生交流讨论，探索原题的解法，很快就有同学取得了很好的进展生7：因为乙2(1 +x 1) —X 21 +X 1b 〉0,且 a +b = 2,所以 a + (b + 1)= 3,所以一■+a1 ) = 2(b + 1)b +1)3a3(b + 1) +1》2槡一 +1 = 232 +1当且仅当a =72 (b + 1)时取等号.所以犪十一+b 的最a b +11b + 1a+2 同理—2=】一二一'ia b +1—十 3b 2小值为普 + 2.故填普 + 29师：请大家思考，将目标函数变形为一+ab +1 + 1后,能用消元的方法将其转化为一元变量的函数，再求其最小值吗？生众:可以的，也不难解决.师:上面两题中都只涉及两个变量9有遇到过 三个变量的问题吗？问题4 已知x >0 —〉0,〉0,若x +槡3—+z =6,则x 3+ —2 +3z 的最小值为______.师:同学们有什么想法吗？生5：只要由x +槡—+z =6,消去z ,转化为二元变量的函数，就容易解决了师:这个想法不错,大家试试看.生 6：设 T =x 3 +—2 +3z 因为 x +槡3— +z =6,所以z = 6 — x —槡槡—,所以 T =x 3+—2+18 —3x —373 —,可得T — —2 + 3槡3— =x 3 + 18 ——3x ,设犳(x ) =x 3 +18 — 3x ,//(x ) =3x 2 —3.令 f f (.x) =0,可得 x =±1,fXx )在(0,1)上单调递减，在(1, +心 上单调递增，所以 fXx ) > f (1) =16,即 T ——2 +1+x 2,所以 w = 1+x 2+1+x 2+1+x 2X 2X 1X 2X 21-—)+ (1-X 2)+ (1-X 2)=/ 2 2 2、_ X 1 X 2 X s \3 *T 十X I + !+X 2+ !十X ^.不妨设 0 W x i W X 2 W X 3 ,由 X i +X 2 +X 3 =1,若 X s =1,则 X i =X 2 =0,此时犠= 1 + 1+ 一 =52若X 3 <1,则当X = 0 时，有 0<X 2 W X ，且X 2 +22X 3= 1,由 1+x 2 >2^2 >0^1十2X 2 ^X — =2，当且仅当X 2=1时取等号，又X 2 <X 3 <1,所以上式不取等号，于是有王2 < X ，同理x 2x 31XX 3 <X ，以犠=3一 (二2+X 3)〉3—X 2 +X 32=3-1=5；当X 1〉0 时，有 0<X 1 W X 2 W X 3 < 1,同上，可得x2 X I x 2 X? x 2 X.1十< 2 'j < - 'i < 2 '从而犠x1x2x31+X 1 1 +x 2 1 +x i)〉33故总有犠=「二+「当且仅当X 1,X 2,X 3中一个取1,另两个取0时取5等号，所以W mn=5.师:这位同学做得非常好！先将目标函数变形为w=3—（二十二十二）'再运用基本不等式使问题获得了解决，而且能正确地进行分类讨论，过程十分规范,值得大家学习•求解这个问题，还有其他方法吗？生8:可以运用消元的思想，先将目标函数转化为一元变量的函数，再运用求导的方法求解•不妨令0W x1W x2W x s次贝w=1+x2+]+x2+11+x2,当且仅当x1=x2时取等号•此时，由x1+x2+x3=1,得2^2+x3=1,学生经过一番思考和研讨，可以猜想当x1= 127x2=x s=1时,W取得最大值10,但是如何来证明这一结论,还是有一些困难•在教师的启发下,终于有学生得出了如下的解法生10：容易猜想，当x1=x2=x s=*1时，1十1十1=7 1+(1)1+(1)1+(3)210:1十x2，x e[0,1]，令19」=9,得W max证明如下:令犳—x点P(19)2令2x2=x,则x3=1—x,其中x g0,3•于是,有可=11+x211+x乙*11+x2考察函数犳（x）12的图象在点P处的1+xx2^F l+x^-令y8x2+4x2—2x+2'x&[，3_切线i.求导，得f'x）=（+x）f百）=97Q—27从而得切线l的方程为y—9=求导得y'=—16x(x2+4)—(2x—2)(x2—2x+2)一|0(x)n y=—I^C x—2.由图象可知对16x (x2+4)2x—2-(x2—2x+2)_>0对x e0,2」恒成立，所以y8x2+41x2—2x+2on ox e0,3单调递增,所以当x=0时,y mn=⑷+—=2所以w=+2十―I+i>2,当且仅当x1=x2=0x3=1时取等号，所以w-=5'r min2•2.4变式引申，拓展学生的思维师:上面我们从不同的视角探索了原题的解法，对这个问题，大家还有一些新的想法吗？能不能由原来的问题，提出一些新的问题来？生9：我想啊，能求出W的最大值吗？如果将问题变成求W的取值范围,又怎么求解？师:这个想法有见地.我们解决一道数学问题,不能就题论题•要善于从这道题出发，作一些变式，提出一些新的问题，将这道题的作用发挥到极致.就今天的这个问题而言，大家能求出W的最大值吗？试试看127任意x e[0,1],有1+x2W—2^x—2),即(1+50x2)(x—2)^一2恒成立•事实上，不妨令g(x)=(1+x2)(x—2)= x3—2x2+x—2,]贝g'(x)=3x2—4x+1= 3(x)(x—1),当x e[0,1]时，犵(x)在110,3上递减，在33?1上递增，故得犵（x）min=十(1)—2=27,所以（1+x2）（x—2）>—27,即上7W—57（x—2）对任意x e[0,1]恒成立.当且仅当x=3时取等号.所以'w=：1十十1+x3W一+x2+x3—6),又因为x1+x2+x s=1,所以W W—--(1—9716)二看7,当且仅当X1=X2=X3=3时取等号，所97以犠唉=1°.综上，当工1，工2，工3中的一个值取1,另两个51值取0时，犠m in=5,当X1=X2=X3=3时，犠=^犠max1°•2.5总结提炼，完善学生的认知师:很快又到下课的时间了！请同学们回忆一下我们今天这节课的研究内容生11：今天这节课，我们主要研究了多元变量的条件最值问题的求解方法.师：我们是怎样进行研究的？研究的方法是什么？生12：我们从一道典型的问题出发，联想已经研究过的类似的问题9从不同的视角9运用一题多解与一题多变的方法，探索得出这一类问题的一般的解题方法师:通过这节课的学习，你有哪些收获？生12：掌握了求解多元变量的条件最值问题的基本思维方法:一是利用已知条件消元，将其转化为一元变量的函数最值问题来处理，二是借助基本不等式整体求解生13：体会了等价转化、分类讨论、先猜后证、类比等数学思想和数学方法在解题中的应用.师：运用基本不等式求最值，要注意什么？生14：要关注“一正、二定、三相等”的条件,三者缺一不可！师:求解一元变量的函数最值问题，常用的方法有哪些？生15：可以借助函数的图象，利用函数的单调性、求导数的方法,也可以运用基本不等式.师:对今天的问题，大家还能做哪些探究？课后不妨试一试3教后反思“一题一课”的学习模式最大的特点是“小切口9深挖掘”,对数学“题”进行深度挖掘，以“原题”为本，设计出不同层次的探究题，由浅入深，逐个击破，真正做到了深度学习,促使学生的数学思维从低阶逐步跨越到高阶思维•1本节课给出的原题即问题1综合性较强，难度较大,对学生有一定的挑战性•对于多元变量的问题，处理的常用方法是消元法和基本不等式法9如何让学生体会这两种方法？本节课的一系列问题串，给学生铺设好了台阶，问题2和问题3难度适当提高，都能转化为一元函数，然后用基本不等式或者求导得到最值，也可以直接用基本不等式解决双元变量的最值.问题4的设计是让学生感受从二元变量跨度到三元变量，通过问题4,学生能进一步体会消元的思想和方法，尤其是三元变量的消元方法得到进一步的强化,从而能顺利地解决开始给出的问题1.这一串问题很好地体现了“一题一课”的选题原则:层次性、开发性、广延性．问题的层次性让不同能力的学生在学力上得到不同的发展；问题的开放性让不同层次的学生都能参与;问题的广延性，易于学生发现问题并做进一步的探究和推广•囚波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像9它们都成堆地生长,找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个•”数学问题好比蘑菇'成堆同根地出现.在进行解题教学时9教师如果能够以具有典型性、可以发挥示范辐射作用的原题为出发点9运用“一题一课”的模式9开展“蘑菇式”的变式探究活动，既可以让原本较枯燥无味的解题课堂变得生机勃勃，也能收到“讲一题、通一类、得一法”的效果•本节课的教学以一道题为主线9围绕着一个主题开展探索活动，揭示问题本质9提炼解题策略，挖掘知识之间的联系9渗透数学思想方法，显得简约、精准和高效.研究的内容和方法可以在学生头脑中留下深刻的印象9不容易遗忘9使其课后再做类似的问题时感到得心应手,逐渐感到学习数学不再枯燥无味.教学有法，教无定法.“教亦多术矣，运用在乎人”.叶圣陶先生也曾经说过:“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导.必令学生运其才智，勤其练习，领悟之源广开,纯熟之功弥深，乃为善教者也”•建议各位数学教师重视对解题教学的研究，努力探索和构建出更多的、适合学生的、行之有效的解题教学模式，帮助学生“跳出题海”，让学生在生动活泼、丰富多彩的探究活动中深化对知识的理解，提高应用所学知识分析问题和解决问题的能力，使我们的解题教学真正走向简约、精准和高效．参考文献口］张文海•“一题一课”:让高三数学复习走向素养落实［J］•数学通报,2020(7):30-34.［2］陈君丽.基于“一题一课”的数学深度学习一一以一类“含参不等式最值问题”为例［J1中学教研(数学)，2020(8)：9-12．。
追本溯源探求本真——对一道圆的综合题的多种解法反思
2022年第2期（下）中学数学研究39追本溯源探求本真•对一道圆的综合题的多种解法反思西安市曲江第二中学(710061)冯俊西安市第七十五中学(710016)王芳摘要通过一道圆的综合问题进行多种解法探究，感受从代数运算与几何模型两个角度解决问题的优缺点，旨在发现解法之间的内在联系.关键词三垂直模型；圆周角定理;垂径定理；圆的旋转不变性1题目再现如图1,AB是0O的直径,C,D分别是0O上的两点,△DBE都是等腰直角三角形，a AC=CE=2,DB= DE=72,a AE=2^2,BE=2,a BC=CE+BE=4,于是在Rt A ABC中,AB=7AC2+BC2=2^5,a©O 的半径为v^cm.解法二：利用中心对称构造含有特殊角的三角形如图3,延长DO交0O于点E,过点E作EF丄CA,垂足为点F;连接AE,CE,CD,vOC丄OD且OD=OE,贝J CO垂直平分DE,a CE=DE,又vDE是直径,「.△CDE 是等腰直角三角形，a ZCDE=45°,a ZCAE=135°, a ZEAF=45°,那么A AEF也是等腰直角三角形，由中心对称得AE=BD=72,a AF=EF=1,a CF=3,则CE=7CF2+EF2=710,a DE=72CE=275,a©O 的半径为75cm.2解法探究解法一：利用圆周角定理构造等腰直角三角形如图2,连接AD、BC交于点E,vAB是©O的直径,a ZACE=ZBDE=90°,又vOC丄OD,「.ZCOD=90°,:.Z CAE=ZDBE=1ZCOD=45°,于是A CAE与图3图4OB丄AP于点B(如图12),考察Rt A AOB中，sin A= OA w OA=2(仅当b与P重合时取等)，所以ZOAP W30°.此时问题可一般化为：半径为r的0O外有一点A, OA=d(d>r),P为0O上一点，则ZOAP的最大值为0r图12其二，定点在圆内.如图13,点A在半径为3的0O 内，OA=73,点P在0O上,当ZOPA最大时,S a aop=同上，考虑ZOPA的邻边OP为定长，可以作OB丄AP 于点B(如图⑷，考察Rt A POB中，sm P=W箸,仅当B与A重合时取等，此时OA丄AP(如图15),AP= __________3\!OP2—OA2=W,此时S a aop=2^/2.此中的角度最大值问题，亦可一般化为：半径为r的0O 内有一点A,OA=d(d<r),P为0O上一点，则ZOPA的最大值为0=arcsin-.40中学数学研究2022年第2期（下）解法三：利用垂径定理与中心对称构造直角三角形如图4,过点O 作OE 丄AC, OF 丄BD;垂足分别 为E,F ;延长FO 交CA 于点G,过点A 作AH 丄FG 于点H ,・.OE 丄AC, OF 丄BD ，二根据垂径定理可知/2 1AE = 1,BF =号,ZEOA =㊁ZCOA, ZFOB =1ZBOD .又因为 OC 丄OD..ZEOA + ZFOB = |（180° —ZCOD ） = 45°, .ZEOG = ZEOA + ZHOA = ZEOA +ZFOB = 45°,即A EOG 、A AGH 都是等腰直角三角形,又:Z BFO = ZAHO = 90°, ZFOB = Z H OA.AO = BO, .A BFO = A AHO, .AH = BF = ¥, .AG = H 2AH = 1, .OE = EG = 2, .OA = H OE 2 +^E 2 = H 5,.•QO 的半径为H 5cm.解法四：利用圆的旋转不变性构造直角三角形女口图5: ：OC 丄OD,.可将 A BOD 绕点O 逆时针旋转90° 得到 A EOC, .ZAOE = 90°,又因为OA = OC = OE ,于是ZOAC = Z 1, ZOEC = Z 2 且 ZOAC + Z 1 + ZOEC + Z 2 = 270°,图5M.ZACE = Z 1 + Z 2 = 135°, .ZECF = 45°,即A ECF 是一个等腰直角三角形，又:CE = BD = H 2,.CF = EF = 1, .AE = H AF 2 + EF 2 = H 10,于是OA = OE = # AE = H 5, .O O 的半径为 H 5cm.解法五:利用高线与特殊角的三角函数 如图6,延长AC, BD 交于点M,连接AD,BC , :AB 是①O 的直径 且 OC 丄OD, .AD 丄MB,BC 丄MA 且 ZMAD = ZMBC = 45°,设MC = x,在 Rt A MCB 中，sin 45° = AB =乎,.MB = H 2x, .MD =H 2x - H 2,同理在 Rt A MDA 中，图6MA = v^MD, .v^v^x — V2)=2 + x,解得 x = 4, .AB = H AC 2 + BC 2 = 2H 5, .©O 的 半径为75.解法六：利用三垂直模型全等进行代数运算如图7,过C 、D 作CE 丄AB ,DF 丄AB ,垂足分别为E,F , ：OC 丄OD,CE 丄AB, DF 丄AB ,.ZCEO = ZOFD = 90° 且Z 1 + Z 3 = Z 2 + Z 3 = 90°,.Z 1 = Z 2 又 OC = OD, .A COE = A ODF ，假设图7OE = DF = x,CE = OF = y,半径为 r, .AE =r — x,BF = r — y ,在 Rt A OCE , Rt A ACE , Rt A BDF 中分别使用勾股定理得(2.2 2x + y = r(1)<(r — x )2 + y 2 = 4(2)、x 2 + (r - y )2 = 2⑶由⑵、⑶得r 2 — 2rx + x 2 + y 2 = 4r 2 — 2ry + y 2 + x 2 = 2(5)2r 2 — 2rx 4将⑴分别代入⑷、(5)之中，得=4化2r 2 — 2ry = 2,2 1 2简得x = r -----,y = r -----，代入到⑴之中：(r ——)2 +r r r(r — 1 )2 = r 2,整理得:r 2 + 5 — 6 = 0,即 r 4 — 6r 2 + 5 = 0,.(r 2 — 1)(r 2 — 5) = 0,解得 r = H 5 或 r = 1(舍).©O 的半径为VScm.3解法分析解法二、三、四的整体思路大概一致，都是利用对称性构造特殊三角形，再利用解三角形相关理论解决问题,这本是 对圆的旋转不变性的强化与提升.而解法一、五与上述三种 解法有相通之处就是利用含有特殊角的直角三角形［1-2］・但 是整体而言，解法一是最合理的使用圆周角定理这一重要性质,很简洁的将互相垂直的两条半径之间的关系解读为圆心 角为90°,从而产生45°的圆周角•解法六是学生本能想到的方法（三垂直模型）［3］，但是难度在于数据的处理以及数学运 算的能力.这也符合代数与几何法之间的差异：思考的多，运算就少•反之，思考的少一些，运算量就会很大.深度解析：若将题目进行一 般性设置，如图8, AB 是©O 的直径，C,D 分别是©O 上的两点,ZCOD = a, AC = m, BD = n,试表示©O 的半径.图8按照解法一思路，连接AD, BC 交于点E ,于是 ZACE = ZBDE = 90°, ZCAE = ZDBEa ,为书写方便，令 0 = a , .tan 0 = cos 0 2n 2 n m,解得 CE = m tan 0, BE = , .CBBE cos 0nm tan 0 +--------,那匕么 AB =cos 0m tan 0 +/nm 2 + m 2 tan 2 0 ++ 2mn tan 0一cos 20cos 022022年第2期（下）中学数学研究41核心素养背景下一道“新定义题”分析与思考扬州大学数学科学学院(225100)占昱摘要本文将以2020年八省联考数学卷中的一道“新定义”题为例，分析其解题方法及所考查的核心素养，同时例析往年高考中的新定义题,以此提岀相应的教学建议.关键词核心素养;新定义题;教学启示《普通高中数学课程标准(2017年版)》提岀了学生能在学习数学课程和应用数学的过程中发展数学核心素养，树立善于思考、严谨求实的科学精神,认识数学的应用价值、审美价值的课程目标.为了在评价课程目标的实现，考察结果性目标的同时兼顾过程性目标，数学考试中的试题应该具有一定的创新性和灵活度，在考查基础知识的同时还能考查学生数学核心素养和数学应用能力.“新定义题型”作为创新性题型，是在题目中给岀学生在课堂上没有学习过的新概念、新运算，将“新定义”与已学知识结合，提岀相关数学问题•解决该类型题目需要学生在短时间内通过阅读题目条件和例子,自主学习和理解题目中的“新定义”，并运用“新定义”解决问题.新定义题在考察学生对已有知识的掌握程度和知识的迁移能力的同时,也考察了学生的从问题中提取信息能力、阅读理解能力和自主学习能力，并且解决问题时往往会要求学生具有较高的数学素养,实现了学生数学核心素养的考察.2021年是江苏省实行新高考改革的第一年，八省联考作为第一次新高考前的一次适应性考试,既是对各省的教育的一次评价，又为各省在新高考模式下高中教育教学指明方向.在八省联考数学卷第20题中，改变了以往常规岀题方式，应用了“新定义题”题型.下面就八省联考数学卷中的第20题新定义题为例，分析该题所考查的数学素养和数学能力.1试题解析与点评试题：北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用•刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲22sin20n2sin01m2+m2--------------------+2mn-------------cos20cos20cos0cos0m2cos20+m2sin20+n2+2mn sin0cos20m2+n2+2mn sin0cos20=—\/m2+n2+2mn sin0.cos0所以0O的半径为1小m+n2+2mnsin0,其2cos0中0=a.H24反思教学过程中，作为教师，应该带领学生进行深度挖掘题目背后隐藏的知识网络以及思想方法•任何题目，无论是难易与否，一定是针对某个知识点或者某一个知识体系进行命制，也可能是对某种方法的巩固与加强.此题是在解三角形的背景下对圆的基本性质——圆周角定理及其推论、圆的旋转不变性的考查.4.1提升解题能力，加强自我修炼当下网络时代，教育也离不开网络•但是作为教师，必须加强自身的解题能力，勤于思考,做到一题多解(发散思维)或者多题一解(化归思想)•绝对不能借助于各种APP进行搜题,数学是一门基础学科，解题能力是作为数学教师存在的最基本技能之一•4.2引导学生对比，引发思维碰撞对于学生而言，最易想到的解法往往是学生思维的启发点•作为教师,不能全盘否定，反之，应该站在学生的角度上进行二次备课，甚至要进行大单元教学背景下的深度地备学情⑷对于本题，学会首先会想到三垂直模型;教师必须要做好预设，引导学生发现这一方法的可行性！同时在计算过程中，发现其难度很大，提岀方法的适合性，从而进一步为其他方法的产生必要性提供理论基础.再者，同一道题目的不同解法,应让学生感知彼此的差异性，寻求最优化的解决方法.这也是思维碰撞的结果⑸参考文献[1]黄安锦.从一题多解思考学生解题能力的培养[J].中学数学研究,2020(24):47-48[2]任世忠.构建图形运动模型探究圆中重要定理[J].中学数学教学参考，2020(26):61-64[3]胡素芬.强化模型意识重视通法通则[J].中学数学教学参考,2020(26):47-50[4]潘小梅.以学生的视角思考，让证明思路来得更自然[J].中学数学教学参考,2020(20):9-11[5]张燕.深思考，巧转化，梦“圆”重庆中考压轴题[J].中学数学,2020(10):46-47。
“一题多解”在几何学习中的体现浅谈
“一题多解”在几何学习中的体现浅谈作者：熊考庆来源：《读写算》2019年第28期摘要中考复习期间，我们在梳理《圆》这一章的作业题时，发现了许多题型都有一些共同之处——以三角形作为基本图形载体进行题型的变化。
就此，我准备了一次教学展示课，课题是《圆背景下求线段的长度》。
关键词一题多解;几何学习;体现;反思中图分类号：G632;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文献标识码：A;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文章编号：1002-7661（2019）28-0181-01课前，我设置了一道前测题，设计与课堂内容相关的、可以为教学目标作铺垫的测试题目，目的是为了让学生熟练和归纳一些使得教学目标达成所需要的数学思想及方法，更有效地帮助学生在课堂上达成本节课的学习目标。
并且，在设计前测时，需要注意题目要有可选择性、符合课堂需要、难易程度适中、学生可操作性等要点。
一、“一题多解”几何图形的规律和解题方法的多样性在进行几何教学时，要突出“一题多解”对学生思维的碰撞，让学生进一步体会几何图形的规律性和解题方法的多样性。
本节课在实现“一题多解”过程中，以三角形作为基本图形载体，在三角形的基础上进行拓展和变化。
并要让学生确信，不管题型如何改变、几何图形如何变化，都应该抓住三角形这一基本图形载体，理解等腰三角形的对称性，最终问题都可以逐一解决。
课堂前测：已知如图1，在△ABC中，AB=AC。
以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、点E，连接EB交OD于点F.（1）求证：OD⊥BE;（2）若AB=5，，求AE的长。
合作学习：已知如图2，AB是半圆O的直径，点C是弧BD的中点，且AB=5，若AD=3，试求线段AC的长。
（你还有其它方法来求解吗？）反思一：几何学习中的“一题多解”，源于以不同的视角看问题。
高中数学一题多解的应用
高中数学一题多解的应用作者：谭斯霞来源：《赢未来》2018年第03期摘要：高中数学题目复杂多变，但要真正掌握数学本质，还要通过对数学题目多作研究，从不同侧面去研究它，透过现象看本质。
本文着重探讨高中数学教学中一题多解的问题。
用一题多解，可以使所学知识得到活化，加强不同内容的数学知识之间的联系，有利于形成一个完整而系统的数学知识体系.用好一题多解，可以开阔学生思路，增强学生的解题能力，培养发散思维，最终实现提高学生数学学习综合素质的目的。
关键词：高中数学；一题多解；灵活多变；发散思维高中数学理论知识多而零碎，题型复杂多变，很多学生因找到不到有效的解题方法，导致学习成绩提升缓慢，甚至部分学生产生畏难、厌学情绪，一定程度上影响高中数学课堂教学效率的提高，而进行一题多解教学，学生只要根据自身学习实际掌握一种方法即可，有助于学生树立学习的自信心，促进学生数学学习成绩的提高. 一题多解就是以原题为中心，向其周围的各个核心方面展开深入讨论。
其实，有的学生还发现，本题除了以上两种方法外，还可以用三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）.一题多解能够拓宽且发散学生的思维，通过一题多解的方式，再加上高中数学教师的引导，学生会主动思考且解答相关问题，将所学知识充分利用起来，既巩固好基础知识又发现新的思考方式，通过对一题多解学习方式的积极应用让学生了解更多高中数学知识点，更熟练地应用解题技巧及解题思路等，以加快解题速度。
从另一个角度看，一题多解方式能够打破高中学生的惯有思维，创新相关思维方式，学生通过高中教师的引导在数学课堂中逐漸学会遇到题目采取发散性思维方式，继而做到融会贯通、举一反三，学生遇到练习题时会相应考虑到其他更简便的学习途径，继而形成系统的知识网络，进行相关工作时能有条不紊地进行，从而将每一个知识点都充分应用起来。
在学习高中数学知识的过程中，需要合理利用数学笔记本，将整合好的知识点总结归纳起来，而不是简单地把解题具体案例及相关思路整合起来。
(完整版)一题多解之利用基本不等式求最值
一题多解之利用基本不等式求最值用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备，才能应用，即“一正，二定，三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键。
例、已知正数a,b 满足311=+b a ，求b a +的取值范围。
思路点拨：一种思路是根据划归思想，二元转化为一元，即利用311=+b a 将ba +中的b 用a 表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对311=+b a 变形，获得b a +与ab 的关系，然后利用解不等式消去ab 建立b a +的不等式求解.解析：方法一：由311=+b a 得ab b a 3=+，13-=∴a a b ，由于a>0,b>0，可得31>a ，于是 )31(913113-++=-+=+a a a a a b a 3432)31(91)31(232)31(9131=+-⨯-≥+-+-=a a a a ， 当)31(9131-=-a a ，即32=a 时取等号，b a +∴的取值范围是),34[+∞令t ta a a g +-=33)(2，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>⨯--≥⨯-=∆+-=0)31(31323034)3(33)(22g t t t t ta a a g解得34≥t ， 所以b a +的取值范围是),34[+∞ 运用基本不等式求最值的技巧： 1、含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一 个变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后， 在运用基本不等式。
2、妙用“1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常 数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本 不等式求最值. 针对性练习：1.已知a ＞0,b ＞0,131,a b+=则a+2b 的最小值为( ) (A)726+(B)23 (C)723+ (D)14 解析：选A.()133a 2b a 2b a 2b ()16726,a b b a+=++=+++≥+Q ∴a+2b 的最小值为72 6.+ 2.若-4＜x ＜1，则2x 2x 2f (x)2x 2-+=-( ) (A)有最小值1 (B)有最大值1 (C)有最小值-1 (D)有最大值-13.已知0＜x ＜1，则4y lgx lgx=+的最大值为_________. 解析：∵0＜x ＜1，∴lgx ＜0，-lgx ＞0. ()4y lgx ()244lgx∴-=-+-≥=，即y ≤-4. 当且仅当41lgx x lgx 100-=-=，即时等号成立，故y max =-4. 4.已知函数2x 2y (x 2).x x 1+=-++＞ (1)求1y 的取值范围； (2)当x 为何值时，y 取何最大值？5.已知a>0,b>0，a+b=2,则14a b+的最小值是( )(A)72(B)4 (C)92(D)5解析：选C.由已知可得14a b1412a b()2a b2a b2b2a++=⋅+=+++≥52a b922b2a2+⋅=，当且仅当24a b33==，时取等号，即14a b+的最小值是92.6.若a>0,b>0,且a+b=1，则ab+1ab的最小值为( )(A)2 (B)4 (C)174(D)227.已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为( )(A)5 (B)7 (C)8 (D)9解析：选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3，即log2［(m-2)(2n-2)］=3，因此m2,n1,(m2)(2n2)8.>⎧⎪>⎨⎪--=⎩于是4n1.m2=+-所以444m n m1m232(m2)37.m2m2m2+=++=-++≥-=---g当且仅当4m2,m2-=-即m=4时等号成立，此时m+n取最小值7.。
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- 1 - 摘 要 本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。
关键词：一题多解 多题一解 思维能力 数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养 引言 现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。所以，
数学教学实质上是数学思维活动的教学。也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力。培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念，也是数学教育的基本目标之一。“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解 、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。”数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。 惠州市惠州区广播电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式。如，一题多解可以培养思维的广阔性；数形结合，可以培养思维的灵活性；巧妙构造，可以培养思维的独创性；逆向探求，可以培养思维的敏捷性；动静变换，可以培养思维的变通性等。 从心理学角度讲，发散性思维和集中性思维的有机结合，正是培养创造性思维的有效途径。本文着重阐述一题多解与多题一解的灵活运用对培养学生思维能力的重要性。 - 2 -
一、一题多解对学生思维能力的培养 同一数学问题用不同的数学方法来解答，我们称之为“一题多解”。其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系通过不同的思路去解答同一个问题。一题多解能快速整合所学知识，重要的是能培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力。苏东坡的《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”其中强调“横看”、“侧看”、“远看”、“近看”、“高看”、“低看”形象的给我们展示了“一题多解”的精髓。 （一）提高分析、解决问题的能力 一题多解，能够使学生开阔思路，把学过的知识和方法融会贯通，使用自如，大大提升分析问题和解决问题的能力。 通过对这种一题两解的培养，可以锻炼学生在对基础知识和方法的掌握之后进行融会贯通，灵活运用，增强求简意识、优化思维品质，提升学生分析问题和解决问题的能力。 （二）提高多角度分析能力 一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题。 例2. 6人站成一排，若甲不能站排头，乙不能站排尾，则不同的站法有多少种？ 解法一：假设左边第一个位置为排头，那么甲的站法有如下五种可能： ①□甲□□□□ ②□□甲□□□ ③□□□甲□□ ④□□□□甲□ ⑤□□□□□甲。 又因为乙不能站排尾，故①-④中乙的站法各有C1 4种，在⑤中乙的站法有C1 5种，各图中其他人的站法均为A4 4种。根据乘法和加法原理，不同的站法种数共有4C1 4A4 4+C1 5A4 4=504种。 解法二：有了上述分析为基础，我们可更抽象地分析如下：若甲站在中间4个位置之一，则乙可站在除排尾及甲的位置之外的4个位置之一，其余4人站在空下的4个位置之上，有C1 4C1 4A4 4种；若甲站排尾，则其余5人可站在空下的位置上，有55A种站法。据加法原理共有C1 4C1 4A4 4+A5 5=504种不同的站法。 解法三：排头、排尾的站法可分三类，其一是由甲、乙之外的四人站，然后其他人再站，有A2 4A4 4种；其二是甲站排尾，其余五人再站，有A5 5种站法；其三是乙站排头，甲不站排尾，有C1 4A4 4种站法。根据加法原理共有A2 4A4 4+A5 5+C1 4A4 4=504种不同的站法。 解法四：不考虑甲乙的要求共有A6 6种站法，其中甲站排头的有A5 5种站法，乙站排尾的也有A5 5种站法，但这两种站法中都包含了甲站排头、乙站排尾的情形，即A4 4种站法，因此符合要求的站法种数有A6 6-（2A5 5-A4 4）=504种。 四种解法中，第一种解法最为直接，即通过题干的条件一一进行确定，先确定甲不站排头， - 3 -
再确定乙不站排尾，最后再确定其他人位置，进而得出结果，调理清楚，顺理成章；第二种解法是对第一种解法的抽象；第三种解法与前两种从人员分配入手的解法不同，该解法从位置角度入手，分别确定排头、排尾的三类站法，进而相加求出结果；第四种解法采取逆向思维，先不考虑题干具体要求，求出站法总数，然后再依据要求一一进行排除，从而得出结论。 四种解法入手点各有不同，前两者从人员入手，第三种从位置入手，最后一种从反面入手，逆向思维。通过这种多角度解题方法的训练，可以培养学生思维的立体性，多面性，灵活性，避免思维的单一和固化。在遇到实际问题时，若一种角度无法解决，可另辟蹊径多角度分析，也许会收到更好的结果，正所谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。” （三）培养发散思维及联想能力 通过一题多解的训练，可以培养学生的发散性思维及联想能力，学会用不同的知识解决同一个问题，达到对多种知识的融会贯通。 例3.
已知：a>0,b>0,1a +2b =1,求ab的最小值。 解法一：利用不等关系 ∵a>0,b>0,1=1a +2b ≥2ab2,
∴ab≥8(当且仅当1a =2b =21，即a=2,b=4时取“=”号）， ∴ab的最小值是8。 解法二：平方法
∵a>0,b>0,1a +2b =1，
∴1=（1a +2b ）²=2a1+2b4+ab4≥222ba4+ab4=ab8(当且仅当1a =2b =21，即a=2,b=4时取“=”号）。 ∴ab的最小值是8。 解法三：利用三角恒等关系换元
∵a>0,b>0,1a +2b =1,可令2cos1a，2sin2b。
∴2cos1a，2sin2b， ∴82sin8sincos2222ab(当且仅当1a =2b =21，即a=2,b=4时取“=”号）。 - 4 -
∴ab的最小值是8。 解法四：均值换元
∵a>0,b>0,1a +2b =1,
可令1a =21+t，2b =21-t，其中-21 ∴ab=24t-188,﹙∵1－4t²(0,1]，当1－4t²=1，即t=0，a=2，b=4时，取“=”号） 解法五：导数求最值
∵a>0,b>0,1a +2b =1,
∴b=1-aa2>0,a>1, ∴ab=1-aa22。 令ƒ（a）=1-aa22（a>1), ∴ƒˊ(a)=21-a2-aa2）（）（。令ƒˊ(a)=0，解得a=2>1 。 当a（1,2）时，ƒˊ(a)<0,此时ƒ（a）是减函数， 当a（2，+∞）时，ƒˊ(a)>0,此时ƒ（a）是增函数。
∴当a>1时，ƒ最小值a=ƒ极小值a=ƒ（2）=1-2222=8。（此时a=2,b=4)。 五种解法，第一种利用不等关系求解，是解决类似问题最先想到的方法，也是最直接的解法；第二种的平方法，目的是通过对已知条件进行操作使之出现所求的量，进而求解；第三、第四种都属于换元法，通过三角换元和均值换元，将所求的量变形为一元关系，即2或t的关系，进而求解；最后一种解法是通过导数求出函数单调性，进而求出最值，得出结果。从知识面的角度来讲，这一道题目的五种解法，至少包含了五方面的知识，这不仅丰富了解法，同时也使一些知识点得到了充分的展示，更体现了数学知识的前后连贯性。这种多知识点的解法，让学生真正体会到了数学的魅力，更深刻的理解了“条条大路通罗马”的寓意，对培养学生的发散思维能力起到了积极的影响作用。 二、多题一解对学生思维能力的培养 用同一种数学思想方法解决不同的数学问题我们称之为“多题一解”。在解题过程中，为强化某一解题方法，我们可将一些不同内容的练习题批编在一起，让学生用同一种方法去解，达到 - 5 -
强化训练的目的，提高学生解题技巧技能，收到举一反三、触类旁通的效果。 例4. 根据题意，完成下列填空：如图1，l 1和l 2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点。如果在这个平面内再画第三条直线l 3，那么这三条直线最多有＿个交点；如果在这个平面内再画第四条直线l 4，那么这四条直线最多可有＿个交点。由此，我们可以猜想：在同一平面内的6条直线最多可有＿个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有＿个交点（用含n的代数式表示）。
分析：“两条直线相交，有且只有一个交点。”平面内有n条直线，若全过同一点，则它们只有一个交点；若n条直线两两相交，且交点各不相同，则其中一条与其他直线的交点有（n-1）个，故共有n（n-1)个交点。但l i与l j的交点即为l j与l i的交点（其中i、j均为不大
于n的正整数），故最多共有21-nn个交点。 解：若同一平面有3条直线，都两两相交，且交点各不相同，则最多有3个交点（如图2）
若同一平面有4条直线，都两两相交，且交点各不相同，则最多有6个交点（如图3） 我们可以猜想：在同一平面内的6条直线最多可有15个交点，n（n为大于1的整数）条直