“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-最新文档
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“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用
引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。所谓“一题多解”，就是尽可能用多种例外方法去解决同一道题，更严重的是可以培养学生的思考能力和创造能力。所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力
发散思维是从同一来源材料中探求例外答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。通过一题多解，引导学生就例外的角度、例外的观点审视分析同一题中的数量关系，用例外解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的熟练运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广漠思维
提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的严重教学手段。
通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广漠性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变
（一）在例题讲解中运用一题多解
一题多解，一道数学题，因思考的角度例外可得到多种例外的思路，广漠寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：
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例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种多见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）
由x+y=1得y=1-x，则
由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知
当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。解法二：（三角换元思想）
由于x+y=1，x、y≥0，则可设
其中θ∈[0，]
则
于是，当sin2θ=1或-1时，x2+y2取最小值；
当sin2θ=0时，x2+y2取最大值1。
评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较便当。
解法三：（对称换元思想）
由于x+y=1，x、y≥0，则可设
x= +t，y= -t，其中t∈[-，]
于是，x2+y2 =（+t）2+（-t）2=
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所以，当=0时，x2+y2取最小值；当时，x2+y2取最大值1。
评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。
（二）在练习和习题中训练学生运用一题多变
如下例题就充分的展示了一题多变，这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，还可以激发学生的探求欲望，提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加确凿，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的欢乐。
例如，在学习抛物线后，在习题中出现了以下一题：
过抛物线焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为.
求证：。（设线段AB为过抛物线焦点的弦）
此题证明并不难，但其结论却很有用，关键是运用其结论。在布置此题给学生时我们便可以有针对性的演变。如变成
（1）证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。
（2）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。
（3）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。
另外，我们还可以让学生自己变式，便还可能出现如下变式：（4）证明：抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。
（5）证明：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。
（6）证明：过抛物线焦点一端，作准线的垂线，那么垂足、原点以及弦的另一端点，三点共线。
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在数学习题教学中，一题多变也得循序渐进，步子要合适，变得自然流通，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。结语：创新的教育价值观认为，教学的根源目的不是教会解答、掌握结论，而是在探究和解决问题的过程中锻炼思维，发展能力，激发冲动，从而主动寻求和发现新问题.多年的教学实践使我深深地体会到：作为一名数学教师，应转变观念，大胆改革，精心策划，创新求异，为学生创造和保持欢愉调和的课堂学习气氛，营造一个开放性的教学结构，给学生更多的展现机会，应加强对例题和习题教学的研究，通过科学合理地使用教学素材进行一题多解教学，能较好地培养学生思维的广漠性、独立性和创造性，促使学生形成优良的思维习惯和品质，为培养学生的个性特征和创新思维能力创造更广漠的空间。
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
作者：沈军英
来源：《小学教学参考·中旬》 2017年第7期
江苏海门师范附属小学( 226199)沈军英
[摘要]如何提高小学生的数学思维能力？这是每个小学数学教师永恒的思考主题。其实，教师只要结合教学实际、立足课堂、以生为本，合理采用“一题多问”“一题多变”“一题多解”等方式，让每一道例题或习题充满趣味，沟通多个知识点之间的内在联系，就能激发学生的学习热情，提升学生的综合思维能力。
[关键词]一题多问；一题多变；一题多解；思维能力
[中图分类号]G623.5
[文献标识码]A [文章编号] 1007-9068(2017)20-0051-02
以上教学过程，教师创设了一个学生感兴趣的情境。在学生动手操作，白主尝试后，教师采用不断追问的形式进行全班交流。这样由浅人深的提问，巩固和加深学生对分数意义的理解。使学生将之前已经初步认识的把“一个物体”平均分成若干份，其中的一份可以用几分之一来表示过渡到本节课把同类物体组成的“一个整体”平均分成几份，每份也可以用几分之一来表示，完善学生对几分之一的认知。整个学习过程，学生在一题多问的引领下，主动参与，积极思考，体验成功，学生的数
“学以思为贵”，培养学生的思维能力是小学数学教学的主要任务之一。随着数学知识难度的加大，小学高年级的数学出现了抽象化的应用题，教师要引导学生学会寻找最近发展区，将复杂问题简单化，并通过“一题多问”“一题多变”“一题多解”等方式带领学生找到最佳的解题方法，进而悟出解题规律，为学生数学技能的发展打下坚实的基础。
一、一题多问，在追问中推动学生思维递进
爱因斯坦曾说：“教育应该使提供的东西，让学生作为一种宝贵的礼物来享受，而不是作为一种艰苦的任务要他负担。”在新知的学习中，教师应有意识地结合教学内容创设学生感兴趣的问题情境，鼓励学生主动探索，再借助一个又一个递进的问题，激起学生的好奇心和求知欲，使学生的学习思维处于主动状态，最大限度地射向学生思维的深处。
略论小学数学教学中的一题多解与学生发散思维的培养
略论小学数学教学中的一题多解与学生发散思维的培养
摘 要：小学数学教育是基础教育性学科，对于培养学生智力和思维能力都具有重要作用。长期以来，我国小学数学教学对学生发散性思维能力的培养力度不够，在此结合一题多解教学方式对小学数学发散思维的培养进行探索。
关键词：小学数学教学；一题多解；发散思维
一、一题多解对培养小学生发散思维的重要作用
1.一题多解的数学教学方法能够激发小学生对数学知识的好奇心，让小学生有学习数学的动力。小学数学知识凝结了人类长期以来摸索的数学知识最基本也是最基础的精华。传统的数学教学模式中，往往通过数学习题和数学例题的练习帮助小学生掌握数学知识，这是一种比较枯燥和无趣的教学方式，会导致小学生对数学丧失学习兴趣。针对小学生的年龄特征和心理发展状况，小学数学教师在教学过程中最好能够设置有趣的、生动的教学情境来激发学生的求知欲，让他们产生自觉、自发的去学习数学知识的愿望，而一题多解刚好可以起到这种作用。一题多解并不是说把一道数学题的多种解法教给学生就万事大吉了，而是要通过一题多解的教学方式培养小学生去探索、去研究、去发现。在教学中，教师可以常常使用以下用语来诱导学生：想想看这道题还有没有其他的解决方法？你们还有其他的解题思路吗？勇敢智慧的孩子会探索等等，小学生在教师的引导下可以形成善于思考、乐于思考的好习惯。
2.一题多解的数学解题方法可以锻炼小学生的发散性思维和创新性思维。小学数学不同于小学语文的根本之处在于小学数学着重对学生的思维进行锻炼和提高。为了增强小学生的发散思维和创新思维，教师可以运用一题多解的教学方式来增强小学生思维的灵活性和变通性。在探寻一道习题多种解法的过程中，小学生的创新思维也能够得到发展，小学生独立思考的能力在一题多解教学的过程中得到加强。教师在教学过程中要改变以前自己一个人滔滔不绝的习惯，要把小学生放在学习主体地位上，让学生在课堂上勇于提出自己的见解和疑问，鼓励学生之间进行融洽的沟通和探讨，实现陶行知先生描述的教学相长的教学境界。与此同时，教师应该注重和学生之间和谐关系的建立，让学生在和谐的课堂气氛中去探索一道题的多种解法是最有效果的。
培养发散思维能力 促进数学有效教学
培养发散思维能力 促进数学有效教学
在小学数学的教学过程中，有目的地培养与训练小学生数学发散性思维能力，这有利于有效提高小学数学课堂教学质量。那么如何培养学生的发散思维能力呢？
一、通过一题多解、变式引申的方式训练学生发散思维的广阔性
思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性不断得到发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。
二、通过各种教学手段调动学生的求知欲，训练发散思维的积极性
思维的惰性是影响发散思维的障碍，而思维的积极性是思维惰性的克星。所以，培养思维的积极性是培养发散思维极其重要的基础。在教学中，教师要十分注意激起学生强烈的学习兴趣和对知识的渴求，使他们能带着一种高涨的情绪从事学习和思考。例如：在一年级《乘法初步认识》一课中，教师可先出示几道连加算式让学生改写为乘法算式。由于有乘法意义的依托，虽然是一年级小学生，仍能较顺畅地完成了上述练习。而后，教师又出示３＋３＋３＋３＋２，让学生思考、讨论能否改写成一道含有乘法的算式呢？经过学生的讨论与教师及时予以点拨，学生列出了３＋３＋３＋３＋２＝３×５－１＝３×４＋２＝２×７……虽然课堂费时多，但这样的训练却有效地激发了学生寻求新方法的积极情绪。我们在数学教学中还经常利用“障碍性引入”“冲突性引入”“问题性引入”“趣味性引入”等，以激发学生对新知识、新方法的探知思维活动，这将有利于激发学生的学习动机和求知欲。在学生不断地解决知与不知的矛盾过程中，还要善于引导他们一环接一环地发现问题、思考问题、解决问题。例如，在学习“角”的认识时，学生列举了生活中见过的角，当提到墙角时出现了不同的看法。到底如何认识呢？我让学生带着这个“谜”学完了角的概念后，再来讨论认识墙角的“角”可从几个方向来看，从而使学生的学习情绪在获得新知中始终处于兴奋状态，这样有利于思维活动的积极开展与深入探寻。
一题多解,一题多变,激活数学课堂——减轻学生学习负担的有效方法
投稿邮箱：sxjk@数学教学通讯（初等教育）
新时代
的素质教育热
潮滚滚，推动
着
教育改革的迅猛发展.在崭新的教育
形势下，我们常常思考：我们的教学如
何改？怎样变静态为动态？怎样的教学
方法才能有效引导孩子们理解问题、分
析问题和解决问题？什么教学策略可以
引发情趣，激活课堂，让孩子们活力四
射、灵感起飞，思维无限伸展，自由畅然
飞翔？如何让孩子们在那一节节充满激
情和快乐的魅力课堂自主投入，遨游知
识的海洋，积极探索科学奥秘？基于以
上思考，我们觉得“如何打造活力课堂，
引导高效学习，力求减轻学生学习负
担，让孩子们放飞思维的翅膀”就成为
课程改革范畴中值得研讨和探究的重
量级课题.作为一名初中数学教师，几
年来一直在教学第一线，践行课程改革
已有几年光景.如上的思考驱动着我也
在数学课堂教学中尝试了很多，总结了
很多.仅就我在多年来课堂教学改革的
践行体验和感悟来说，“一题多解，一题多变”能引导学生发散思维，自主合作
探究，激发兴趣，激活课堂，是有效指导
学生达到事半功倍效果的上好策略.
一题多解，一题多变，让公式更好记
初中阶段，学生所要记忆的数学公
式开始慢慢增多，且概念庞杂，一时间
初中生很难招架.所以，学习多了杂了，
他们的思维势必会出现混乱不清的局
面.尤其是一些理解力、记忆力偏差的
学生，他们不仅是课堂教学的一块短
板，还会严重影响整体教学质量.那如
何让学生对公式的理解和掌握更深
刻、更扎实呢？笔者认为，在教学中提
倡“一题多解，一题多变”不失为一个
好的办法.其中，所谓一题多解，我们
可以理解为：同一个问题通过多个渠
道、多个方法、多个途径来解决.再或
者，即使是同一个问题，答案却是不唯
一的，而是多元的，不同分析方法和思维方式得出的结论是不同的，却全都合
理，这属于开放性问题理念.而在初中
课堂实施“一题多变”，就是把课本上
的例题或习题通过合理的变式，或改
变条件、改变结论、改变图形、改变数
据、引申知识运用、拓展含义，以有效实
现一题变多题，达到训练形式多样化和
例谈“一题多解”培养学生的创新思维
例谈“一题多解”培养学生的创新思维
摘要 如何在数学课堂教学中培养学生的发散思维和创新意识是数学教学中一项重要的任务。本文用一个实例探讨了怎样在课堂教学中通过“一题多解”培养学生的创新思维和发散思维。
关键字 一题多解 创新思维
新课程标准提出，在学习数学课程的过程中，学生应了解数学的价值、提高学习数学的兴趣、增强学好数学的信心、养好良好的学习习惯。通过“一题多解”的训练，能增强学生学习数学的兴趣，是培养学生创新思维和发散思维的重要途径。
问题：如图1，在 中， ，BD与CE交于点F，
求 证：EF=DF
图1 图2 图3
这是我校在八年级上学期学完《全等三角形》一章后，进行全章检测中的一题，从评卷的结果上看，学生的解题方法多种多样。以下是我以学生的解题思路为出发点，就一题多解谈谈我的看法：
解法一：“翻折”思想的应用(如图2)
在线段BC上取点H，使BH=BE，先证明 ,得出EF=FH.
再结合已知条件 ，求出 .
进而可以得到 ,有DF=FH. 最终得到EF=FD的结论。
在此种解法中，学生充分利用我们在课堂上用折叠法求作有关角平分线题型的辅助线的思路，构造全等三角形，为求证最终结果，搭建桥梁。
解法二：利用角平分线构造全等三角形（如图2）
作
先利用已知条件 和FH是 的角平分线，求出 ， ;进而得到 和 ，有EF=FH=DF.
在此种解法中，学生充分利用了角平分线平分角的特点，去构造全等三角形。
解法三：利用角平分线的性质构造全等三角形（如图3）
过点F分别作线段AB、BC、AC的垂线，垂足分别为点G、点H、点I
因为BF、CF为 的角平分线，可以得到GF=FH=FI
再结合已知条件 ，可以求出 ,
进而得到 ,最后可以得到 。
最终得到EF=FD的结论。
通过这道题的讲评，我发现“一题多解”对于培养学生创新精神与探究能力大有益处。而培养学生创新精神与探究能力是新课程的目标之一。但是一题多解的最终目的是要寻找一种最优、最简便的方法，也就是说，掌握“一题多解”的目的是为了拓广思维力度，还能起到一个复习各种知识，事半功倍地提高解题能力的目的。
一题多解,培养学生的发散性思维
亠题多解，培养学生的发散性思维
教学不只是继承和吸收前人的知识成果，还必须应用和创新，教师 应该把传授知识和培养能力、掌握方法放在同等重要的位置。通过例题示 范和习题的一题多解，可以幵拓思路，培养学生的发散性思维能力，还可 以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三的目的。
一、 发散性思维的定义
发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维，是一种从不 同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决 的思维方法。
发散性思维的特点是：充分发挥人的想象力，突破原有的知识圈，从 一点向四面八方辐射幵，并通过知识、观念的重新组合，寻找更新更多的 设想、答案或方法。例如，一题多解、一词多组、一字多意或通过不同方 法去探究答案的思维活动。
例如，风筝的用途是什么？有人回答：放在空中玩儿、测量风向、当 射击靶子。还有人回答：传递军事情报、作联络暗号等等。他们根据不同 的想法说出他们各自的答案，这样从不同的角度考虑问题将会促使学生拓 展思维，把所学的知识灵活地运用，提高解题能力。
二、 培养学生一题多解
一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用 不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。教 师在教学活动中做好学生课堂教学的引导者和组织者，在课堂教学中，引 导学生从多方面考虑问题，培养学生的一题多解能力，培养学生的发散思 维能力，使其养成一个良好的解题方法和思路。
1. 启发联想，诱发一题多解
联想是由一事物想到另一个事物的思维过程，它是创造性思维的起 点。课堂上启发学生展开联想，进行发散性思维，可以帮助学生突破感官 时空限制，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧 知识之间的联系，达到一题多解，发展学生的思维。
例•某厂有工人126人，男女工人之比是 5 ： 4,男工有多少人？读题 后，引导学生根据“男女工人数之比是 5 : 4”展幵联想：①男工人数是女 工人数的；②女工人数是男工人数的 ；③男工人数占全厂工人的 ：④
小学数学一题多解与一题多变
小学数学一题多解与一题多变B
摘要：在本文里，一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；而一题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的归纳，并进而构建数学模型。在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散,培养发散思维能力的目的。
关键词：数学,一题多解，一题多变，创造性，创设思维
思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一,不知其二，稍有变化,就不知所云.反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维,开拓解题思路,在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径,使思维的广阔性得到不断发展.要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境.
一、 一题多解，有利于加强学生的思维训练
一题多解，指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得。就是启发和引导学生从不同角度、不同思路,运用不同的方法和不同的运算过程,解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。 心理学研究表明,在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法.在小学阶段，一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。一题多解则是诸多解题策略的综合运用.教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练,有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
用一题多解培养学生发散思维
1 用一题多解培养学生发散思维
绵阳市游仙区新桥中学 何道华
几何问题的计算与证明是初中数学中非常重要的内容。通过解决几何问题，能有效地培养学生丰富的空间想象能力和严密的逻辑思维能力。但是初中几何难学是绝大多数学生暴露出的短板和障碍。通常一道文字不多配上几个简单图形的几何题，都需要通过较复杂的动手作图、动脑分析等过程才能进行解答，这让很多学生苦思不得其解。那么初中几何难吗? 对于不会的孩子来说，当然是难的!主要难在作辅助线以及解法的灵活性。
几何题的解答是离不开辅助线的构造，能够正确做出辅助线，一道几何题便能轻松解决，这是为什么一些学生觉得几何题很难，完全没有头绪，而另一些学生却觉得很简单的重要原因。
几何题让学生束手无策的另一个主要原因是解法单一，思维不够灵活，就算遇见了相似的题型也无法解答。因此在平时的学习生活中学生就该注重勤动手作图勤动脑思考习惯的培养，几何问题中的一题多解就能达到这样的目的。下面为大家介绍一道八年级下册课本中一道经典几何题的多种解法。
教材原题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，求证：AE=EP．
思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，利用△AME≌△ECF（ASA），易得AE=EF．
经典变试题：把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变， 2 求证：AE=EF。
图1 图2 图3
法一：如图1，在AB上取AG=EC，由△AEG ≅△EPC(ASA)，可得AE=CP。
法二：如图2，在AC延长线上取CG=CP，由△ECP≅△ECG(SAS)，先得∠G=∠P=∠EAC（蝴蝶△），再得AE=CP。
法三：如图3，在AB延长线上取BG=BE，由△ABE≅△CBG(SAS)，先得AE=GC，且AE⊥GC，再证平行四边形GCPE（两组边分别平行），可得AE=CP。
小学数学教学培养学生一题多解应用能力论文
小学数学教学培养学生一题多解应用能力论文
摘要：小学阶段是培养学生创造性思维、发散思维的最佳时机，而“一题多解”是提高这种能力最有效的方法之一，因为它不但能够锻炼很好地锻炼学生思维的敏捷性，帮助学生发散思维，而且还能够提高学生的创新能力。因此，教师应在数学课堂上充分发挥其作用，使其落到实处。 “一题多解” 不仅是学以致用的一个重要环节，而且能使学生在有限的时间里，充分地发挥思考的空间，对于一个问题能够多角度、多方面的去观察、分析，进而形成多类型的解题方法和思路，使学生养成举一反三的习惯和能力。那么，在实际教学中，我们该如何培养小学生一题多解的应用能力呢？
一、引导学生发散思维
在数学解题中，发散思维的表现有一题多解、一法多用、一题多变等。而这些方面都是衡量解题能力强弱的重要指标。进行一题多解训练，不仅能巩固、深化所学知识，还可以开阔学生思维，培养他们思维的灵活性和变通性，提高学生分析、解决问题的能力。所以，在解题教学中，教师要有意识地引导学生去求异，帮助学生树立求异意识，形成发散思维的习惯。
1.引导学生一题多解
在教学中，教师应该加强对例题、练习题的研究，有目的地选择一些具有多种解答途径或方法的题目，进行讲解或布置给学生完成。在例题讲解的过程中，教师要引导学生从不同角度去思考，探索多种解题途径，并尝试采用多种解法去解答问题，并从中寻求解题规律，以获得“迁移能力”，同时，在强调“一题多解”的同时还必须“多解求源”，使学生能对同一问题不同的解法进行审查，找到它们的共性所在，从而达到知其然且知其所以然的境界。
2.鼓励学生一法多用，一题多变
通过“一题多变”的训练，可以让学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，在变中求“新”，变中求“异”，从而达到举一反三、触类旁通的目的。
例如学习长方体的表面积，让学生归纳出了求长方体的表面积公式后，可出示长方体的实物，并演示提出如果少掉一个底面，请学生思考这时五个面的面积公式又是怎样的？如果少掉前面的一个面，这时五个面的面积公式又是怎样的？如果少掉两个底面，这时的四个面的面积公式又是怎样的？少掉了两个底面，这时实际只要求什么？哪一种物体只要求出四个面？学生经过讨论，很快能说出求五个面的面积公式，并知道少掉两个底面，实际上只要求长方体的侧面积，通风管即只要求四个面。这样通过运用实物和教具，让学生在实践中通过联想，增强了学生的创新意识，培养了学生的创造性思维能力，同时也提高了学生的解题能力。
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的价值研究
谤● 专题研究 题豸禳 一题参囊 慕拳室 维 鳓 ‘ ◎李美华 （如皋市第一中学，江苏如皋２２６５００） 【摘要】在数学的学习中，教师往往会教导学生运用“一 题多解和一题多变”的学习思路去解答题目，这种学习方法 有利于培养学生的解题思维，和学生对数学题目的理解能 力．本文通过对“一题多解与一题多变”的学习方法的描述， 和对学生数学思维能力方面的影响进行深入分析，描述了 这种学习方法对于在学生学习能力提高方面的重要作用和 意义． 【关键词】一题多解与一题多变；培养；思维能力 一、前言 学生的主要思维方式以具体的形象为主，这容易导致 学生产生固定的解题模式．这种模式会严重影响学生创新 思维能力的发展，使学生在学习上缺乏主观解题意识，降低 学生的解题正确率．通过学习“一题多解与一题多变”，不仅 可以使学生减轻学习负担，而且可以培养学生的发散思维 能力． 二、“一题多解与一题多变”的含义 （一）一题多解 一题多解是指对于一道习题，能够从这道题的多个不 同角度去思考问题，从问题的不同角度寻找到不同的解题 方法，并对这些不同解题方法进行总结和归纳． 例题已知：ｎ＞０，ｂ＞０， ＋÷＝１，求ａｂ的最小值． 解法一利用不等式关系 １ ，， ／－５－ ‘·‘。＞ｏ，ｂ＞ｏ，ｌ： ａ 言≥２√｛ａｏ， Ｄ Ｖ ．·．ａｂ＞ｉ８（当且仅当 ＝÷＝— １，即０＝２，ｂ＝４时取 “＝”号）， ． ． 的最小值是８． 解法二平方法 １ ’ ．’ａ＞０，ｂ＞０， ＋÷＝１， ．·． ＝（÷＋÷） ＝ ＋ ４＋ ４≥２√ ＋ ４： ８ （当且仅当 ＝÷＝÷，即ｎ＝２，ｂ＝４时取“＝”号）． ．‘．口６的最小值是８． 解法三利用三角恒等关系换元 ．．．口＞０，ｂ＞０，１ Ｔ２：１，可令上：ｃ。ｓ２ ，Ｔ２：ｓｉｎ２ ， １ ， ２ －’·ａ 一＿厂，ｂ ■丁， ＣＯＳ Ｓｌｎ ｏ１ ．·．ｂ－。 ２ａｂ ＣＯＳ Ｓｉｌｌ： ｓｉｎ 当且仅当 ＝ ·’· 。—Ｔ——丁：＿－ ■≥ Ｌ当且仪当＿＝－＝ 一＝ ‘ ａ Ⅱ ｕ １，即ｏ＝２，ｂ＝４时取“＝”号）． ，’．ｏ６的最小值是８． 本题中列出的不同思维方式的解题方法不同，但是最 终的结果都是一样的．一题多解的解题思路，可以有效提高 学生的创新思维能力． （二）一题多变 一题多变，是指通过对于一道题目的理解改变题目中 的数据、所需要求的问题或者是题目中的条件，从而得到新 的题目．这种一题多变的解题思路有利于学生思维的发散， 并且能够使学生更加熟练地掌握多种解题思路和方法，做 题时会更加灵活．一题多变的常用方法有：改变题目中的条 件、改变题型、深化或者减弱条件且结论不变以及对题目进 行深入推广等方法． 例题已知ｔａｎｏ￣＝÷，求ｓｉｎａ，ＣＯＳＯ／． ‘． 变一：已知ｔａｎａ＝１，求ｓｉｎａｃｏｓａ． １ 变二：已知ｓｉｎａ：÷，求ｔａｎｏ￣，ＣＯＳＯ￣． 通过上述例题中一题多变的解题思路，可以让学生对 这一类型题目够更好地掌握和理解．在学生学习过程中，教 会学生运用一题多变的解题思路进行学习，可以使学生从 简单的题目人手，进行深入分析和研究．这种学习方式不仅 仅能够提高学生的学习成绩，并且能够提高学生的创新思 维能力，还可以提高学生学习的积极性． 三、“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的 意义 数学知识内容丰富、形式多变，传统数学教学过程主要 包括讲解定义、推导公式、例题演练和课后练习题等．“一题 多解与一题多变”的解题方法能够提升学生的解题能力，对 培养学生思维能力具有积极意义． （一）能够使学生的思维能力更加灵活 在数学教学中，有些教师让学生使用题海战术，让学生 通过反复做题提升成绩．这种题海战术可能在一定程度上 能够提高学生学习成绩，但是从长远的角度来看，这种方式 很大程度上影响和限制了学生的思维发展，使学生的解题 思路仅仅固定在书本上．而“一题多解与一题多变”的学习 方式，能够开阔学生的解题思路，使学生能够掌握更多的题 型，这种方式还能改变学生死板守旧的思维能力，使学生的 创新思维能力更加灵活．同时在不断地发现和探究题目的 过程中，激发学生学习数学的兴趣． （二）可以培养学生思维能力的全面性 对于同一道数学题来说，他的表达方法不同，那么这道 题所反映的方面就是不同的．通过“一题多解与一题多变” 的学习方式，能够使学生在对题目进行变换和分析的过程 中找到更好的解题方式．这种方式可以培养学生全面性的 思维能力，能够从题目的各个方面对题目进行分析、解答， 进而提高学生解题的逻辑思维能力． 四、总结语 在数学的教学中，加入“一题多解与一题多变”的数学 理念，不仅仅能够提高学生的学习效率，而且对学生的发 散、创新思维能力的发展具有十分关键的影响． 【参考文献】 ［１］闫萧寒．“一题多解”与“多题一解”在提升中学数 学教学质量中的应用［Ｊ］．求知导刊，２０１４（１２）：１００—１０１． ［２］都亦．高中数学“一题多解”的学习心得［Ｊ］．中国 校外教育，２０１６（１２）：４１—４２． 孜学学习与研究２０１８．１０ ．