02-2动量 动量守恒定律
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动量守恒定律(第2课)
火箭发射时，随着燃料消耗，火箭的 总质量逐渐减小，因此火箭的速度逐 渐增加。这是动量守恒定律的一个应 用实例。
天体运动中的动量守恒
在不受外力作用的情况下，天体系统中的动量是守恒的。例如，地球和月球组成 的系统，地球和月球的动量之和保持不变。
当其他天体对地球和月球系统施加力时，系统动量仍然守恒，但系统质心位置可 能会发生变化。例如，当太阳、地球和月球处于一条直线上时，地球受到的潮汐 力最大，这会导致地球和月球之间的距离发生变化，但地球和月球的总动量保持 不变。
物理意义
动量守恒定律揭示了物体运动的基本规律，即在没有外力作用的情况下，物体 的动量不会发生改变。
重要性
动量守恒定律在物理学中具有重要的地位，它是理解和分析力学、碰撞、火箭 推进等相关问题的基本工具。同时，它也是相对论和量子力学等更高级物理理 论的基础之一。
02
动量守恒定律的推导与证明
牛顿第二定律的应用
公式
对于一个系统，其动量守恒可以表 示为 P = m1v1 + m2v2 + ...，其 中 P 是系统的总动量，m 和 v 分 别是系统的质量和速度。
适用范围与条件
适用范围
动量守恒定律适用于宏观低速领域， 即物体的速度远小于光速的情况。
条件
系统不受外力作用或所受外力之和为 零。
物理意义与重要性
2. 空气阻力
由于气垫导轨上的空气阻力， 会对滑块的滑行速度造成影响， 从而影响动量的测量；
4. 时间测量误差
计时器的精度也会对速度和动 量的测量造成一定误差。
感谢您的观看
THANKS
在相对论中，动量守恒定律仍然成立，但需要考 虑到相对论效应对动量和能量的影响。
动量守恒定律在量子力学中的应用
天体运动中的动量守恒
在不受外力作用的情况下，天体系统中的动量是守恒的。例如，地球和月球组成 的系统，地球和月球的动量之和保持不变。
当其他天体对地球和月球系统施加力时，系统动量仍然守恒，但系统质心位置可 能会发生变化。例如，当太阳、地球和月球处于一条直线上时，地球受到的潮汐 力最大，这会导致地球和月球之间的距离发生变化，但地球和月球的总动量保持 不变。
物理意义
动量守恒定律揭示了物体运动的基本规律，即在没有外力作用的情况下，物体 的动量不会发生改变。
重要性
动量守恒定律在物理学中具有重要的地位，它是理解和分析力学、碰撞、火箭 推进等相关问题的基本工具。同时，它也是相对论和量子力学等更高级物理理 论的基础之一。
02
动量守恒定律的推导与证明
牛顿第二定律的应用
公式
对于一个系统，其动量守恒可以表 示为 P = m1v1 + m2v2 + ...，其 中 P 是系统的总动量，m 和 v 分 别是系统的质量和速度。
适用范围与条件
适用范围
动量守恒定律适用于宏观低速领域， 即物体的速度远小于光速的情况。
条件
系统不受外力作用或所受外力之和为 零。
物理意义与重要性
2. 空气阻力
由于气垫导轨上的空气阻力， 会对滑块的滑行速度造成影响， 从而影响动量的测量；
4. 时间测量误差
计时器的精度也会对速度和动 量的测量造成一定误差。
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在相对论中，动量守恒定律仍然成立，但需要考 虑到相对论效应对动量和能量的影响。
动量守恒定律在量子力学中的应用
大学物理：2-2 动量守恒定律
y P
rP
F
O
地球
r
C
Q
rQ x
7
3、保守力 (conservation force)
物体在某种力的作用下， 沿任意闭合路径绕行一周所 作的功恒等于零，即
Q
CD
E
F
P
F dl 0
具有这种特性的力，称为保守力；不具有这种特 性的力称为非保守力。
8
四、 机械能守恒定律
1、功能原理 由 n 个相互作用着的质点所组成的质点系。系统中
Q
A
Q Q
AaPdFv,d
r
P
dr
ma d r
vdt
F
Q
m
d
vdtv
d
t
P dt
Q P
mv
d
v
1 2
mvQ2
1 2
P
mvP2
vdPr
质点的动能(kinetic energy)定义：质点的质量与
其运动速率平方的乘积的一半。
用Ek表示，即
Ek
1 2
mv2
5
所以有 A Ek Q Ek P 动能定理：作用于质点的合力所作的功，等于质点
0
mivi 恒矢量
i 1
在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量
不随时间变化——动量守恒定律。
其分量式
n
mi vix 恒量
i 1 n
mi viy 恒量
i 1 n
mi viz 恒量
i 1
n
(当 Fix 0 时)
i 1
n
(当 Fiy 0 时)
i 1
n
(当 Fiz 0 时)
i 1
动量守恒定律
定义：动量守恒定 律是物理学中的基 本定律之一，它描 述了系统中物体动 量的变化与作用力 的关系。
适用范围：适用于 宏观和微观领域， 包括经典力学、相 对论和量子力学等 领域。
地位：是物理学中 的基石之一，对于 理解物质运动规律 和解决实际问题具 有重要意义。
作用：在科学研究 、工程技术和日常 生活中有着广泛的 应用，如航天器发 射、碰撞、爆炸等 领域。
物理科学研究： 推动物理学理论 的发展与完善
05
动量守恒定律的局限性和未来发展方向
动量守恒定律的局限性
适用范围有限：只适用于封闭系统，且不受外力作用 忽略微观粒子间的相互作用：无法考虑微观粒子间的相互作用对动 量的影响 忽略量子效应：无法解释微观粒子的量子效应对动量的影响
无法解释宇宙膨胀现象：无法解释宇宙大尺度上的动量守恒问题
动量守恒定律的数学表达式
p=mv m1v1+m2v2=m1v3+m2v4 Δp1=-Δp2 Δp=0
动量守恒定律的适用范围
宏观低速：适用于宏观低速的物体运动，不适用于微观高速的物体运动。 孤立系统：适用于孤立系统，即系统不受外界作用力或外界作用力可忽略不计的情况。 不考虑相对论效应：在经典力学中，动量守恒定律适用于不考虑相对论效应的情况。 弹性碰撞：适用于弹性碰撞，即碰撞过程中能量损失很小的情况。
火箭升空
碰撞问题
定义：两个或 多个物体在空 间中相互碰撞， 动量守恒定律
的应用。
实例：汽车碰 撞、子弹射击 目标、行星碰
撞等。
计算方法：利 用动量守恒定 律计算碰撞前 后的速度和能
量。
结论：动量守 恒定律在碰撞 问题中具有广 泛的应用，可 以帮助我们理 解物体的运动 规律和预测物 体的运动行为。
02-2 动量定理及守恒定律
I = F∆t mv θ 2 30 mv1 mv1 45
0 0
2 I = F∆t = m 2v12 + m 2v2 − 2m2v1v2 cos1050 = 6 ⋅14 ×10−2 Ns
I F = = 6 ⋅14 N ∆t
mv2 F ∆t = 0 sin θ sin 105
0 0
试一试：把燃烧和火箭看成一个系统，用动量守 恒定律，求出火箭速度。
2-2 动量定理和动量守恒定律
2-2 动量定理和动量守恒定律
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例3 质量为m的质点作圆锥摆运动，质点的速率为u， 圆半径为R，圆锥母线与轴线之间的夹角为α，计算拉 力在一周内的冲量。
• 一周内合力的冲量为零，并不是说明一周内质点的动量时时处处 守恒，只是终点又恢复到起点的动量，这不叫动量守恒；所以， 动量守恒的条件，不能说是“系统所收合外力的冲量为零”。
I x = ∫ Fx dt = mv2 cos 30 − (−mv1 cos 45 )
0
= 0 ⋅ 061Ns
2 x 2 y
I y = ∫ Fy dt = mv2 sin 300 − mv1 sin 450 = 0 ⋅ 0073Ns
I = I + I = 6 ⋅14 × 10 Ns −2 I = (6 ⋅ 10 i + 0.73 j ) × 10 Ns −1 0 ' α = tan I y / I x = 6 52
−2
}
F ∆t = I
⇒ F = I / ∆ t = (6.10i + 0.73 j ) N
2-2 动量定理和动量守恒定律
ybq 02-2冲量、动量定理
例1、（质点的动量定理）质量为 2.5g的乒乓球以10 m/s 的速率飞 来，被板推挡后，又以 20 m/s 的 速率飞出。设两速度在垂直于板 面的同一平面内，且它们与板面 法线的夹角分别为 45o 和30o 求：1）乒乓球得到的冲量； 2）若撞击时间为0.01s，求板施 于球的平均冲力的大小和方向。
0
v1
I y Fy dt mv2 sin 30 mv1 sin 45 Fy t
0 0
t 0 01s, v1 10m / s, v2 20m / s, m 2 5g
I x 0 061Ns,
I I I
2 x 2 y 2
I y 0 0073Ns
o
试证明：在绳下落的过程中， 任意时刻作用于桌面的压力， 等于已落到桌面上的绳重力的 三倍。
x
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x 长的柔绳落至桌面，随后的dt时间 内将有质量为dx（Mdx/L)的柔绳 以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它 的动量变化率为：
o
dx dx dP d (mv) dt dt dt dt
tan Iy Ix 0 1200
6 14 10 Ns
6052'
解法二
应用余弦定理、正弦定理 解三角形
2 I Ft m2v12 m2v2 2m2v1v2 cos1050
I Ft mv2 30° mv1 45° mv1
I F 614 N t
t1
t2 I Fdt
t1
t2 P2 P I Fdt 1
t1
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的 增量。这个结论称为动量定理。
第02-2章 动量定理简洁版
T 2 0
冲力、 (4) 冲力作用的时间 很短，作用力变化很快，而且往往很大，这种力称 为冲力。 冲力。 将冲量对碰撞作用时间取 平均，则这个平均作用力 称为平均冲力。 称为平均冲力。
用平均冲力表示的动量定理为：
（ ）
例2 ：质量为1吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落下，它与 质量为1吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落下 高的地方落下， =0.01秒。求 打击的平均冲力。 工件的碰撞时间为t=0.01秒。求：打击的平均冲力。 解：对碰撞过程应用动量定理 m
t0 t0 t0 t0
分量式
t F dt = p − p x 0x ∫t0 x t ∫t Fydt = py − p0 y 0 t F dt = p − p z 0z ∫t0 z
（只取一个方向时，下标可省略） 只取一个方向时，下标可省略）
注意： 注意：
r 是力的积累，是一种过程量； （1）冲量 I 是力的积累，是一种过程量；而动量 r 是一种状态量（瞬时量）。 mv 是一种状态量（瞬时量）。
− ∑ miν iz 0
i
这说明，在任意一时间间隔内， 这说明，在任意一时间间隔内，质点系的总动量在任 一方向上的增量， 一方向上的增量，等于同一时间间隔内所有外力在该方向 上作用于质点系的冲量，而与其他垂直方向上的冲量无关。 上作用于质点系的冲量，而与其他垂直方向上的冲量无关。
质点系动量定理微分形式 质点系动量定理微分形式 积分式
t
∑
n
i =1
v mi vi −
∑
i
n
i =1
v mi vi0
∫ ∑ F dt = ∑ m ν
t0 t ix i iy i t0 t i iz i
i ix
第2章-动量守恒定律
i i
连续体的质心位置：
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
说明：
对于密度均匀，形状对称的物体，其 质心都在它的几何中心。
2．质心运动定理
质心位置公式：
Mrc mi ri
drc dri M mi dt dt
Mvc mi vi
t to
Fi fi dt mi vi mi vio
F2
f12 F1 m1
f21
m2
其中：
fi 0
系统总末动量： P mi vi 系统总初动量： P mi vio 0
合外力的冲量：
t
t0
Fi dt
海绵垫子可 以延长运动员下 落时与其接触的 时间，这样就减 小了地面对人的 冲击力。
2．质点系的动量定理
设 有n个质点构成一个系统
第i个质点： 质量
内力 f
mi
i
初速度 vio 末速度 vi
由质点动量定理：
外力 Fi
i
Fi
fi
t to
Fi f i dt mi vi mi vio
B
O
u
A
V
x
y
x
O B A x
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律 之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。
坐 在 冰 车 上 的 小 孩
射击中的动量守恒现象
例3、火箭以2.5103m/s的速率水平飞行，由控制器 使火箭分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭的平均 速率为103 m/s 。火箭容器仓质量m2=200kg。求容器 仓和头部仓相对于地面的速率。 v= 2.5103 m/s 解： vr= 103 m/s 设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
2-2动量定理和动量守恒定律
4） 动量守恒定律只在惯性参考系中成立 是自然 ） 动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 惯性参考系中成立 界最普遍、 宏观、微观均成立） 界最普遍、最基本的定律之一 （宏观、微观均成立）.
设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和 例 3 设有一静止的原子核 衰变辐射出一个电子和 一个中微子后成为一个新的原子核. 一个中微子后成为一个新的原子核 已知电子和中微子 的运动方向互相垂直,且电子动量为 且电子动量为1.2×10-22 kg·m·s-1,中 的运动方向互相垂直 且电子动量为 中 微子的动量为6.4×10-23 kg·m·s-1 . 问新的原子核的动量 微子的动量为 的值和方向如何? 的值和方向如何 解
动量定理
∫
t
t0
v Fdt
r ur ur I = p − p0
动量定理 在给定的时间内，外力作用在质点 在给定的时间内， 上的冲量，等于质点在此时间内 在此时间内动量的增量 上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量 .
1）矢量式 ） 2）分量形式 ）
r u u r r I = p − p0
v v v v I = Ixi + I y j + Izk
∫
t
t0
v F外 d t =
v v ∑ mi vi − ∑ mi vi 0
i =1 i =1
n
n
v v v I = p − p0
注意
内力不改变质点系的动量 内力不改变质点系的动量
初始速度
v g 0 = v b 0 = 0 m b = 2m g
且方向相反
推开后速度 v g = 2 v b 推开前后系统动量不变
i
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系 ）系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 动量守恒是指系统的 统内任一物体的动量是可变的; 各物体的动量必相对 统内任一物体的动量是可变的 各物体的动量必相对 于同一惯性参考系 .
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( m1v1 m 2 v 2 ) ( m1v10 m 2 v 20 )
t2
F1＋F2 dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
t1
作用在两质点组成的系统的合外力冲量等于系统内两质点 动量之和的增量，即系统动量的增量。
F
o
t1
t2
t
三、动量守恒定律
一个孤立的力学系统或合外力为零的系统，系 统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量 保持不变。这就是动量守恒定律。
即：
i 1
n
Fi 0,
i
mi i =常矢量
Px mi vix C1
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Py mi viy C2
(1)乒乓球得到的冲量: m=2.5g, 1=10m/s, 2=20m/s I I x i I y j 0.061i 0.007 j N s (2) 若t=0.01s
Fx 6.1N Fy 0.7 N F F F 6.14 N
2 x 2 y
pz mi viz C3
说明: 1. 守恒条件是
i 1 ex in 当 F F 时，可 略去外力的作用, 近似地认为系
n
Fi 0t 0
统动量守恒 . 例如在碰撞, 打击, 爆炸等问题中.
2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系. 3. 若某一方向的合外力零， 则该方向上动量守恒； 但总动量可能并不守恒。 4.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定 律，它在宏观和微观领域均适用
1
m 2 F t sin sin 105
F t
1
105o
2
x
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
1
例: 一辆装矿砂的车厢以＝4 m· s－1的速率从漏斗下 通过，每秒落入车厢的矿砂为k＝200 kg· s－1，如欲 使车厢保持速率不变，须施与车厢多大的牵引力(忽 略车厢与地面的摩擦)？ 解: 设t时刻已落入车厢的矿砂 质量为m， 经过dt后又有dm＝kdt的矿 砂落人车厢. 取m和m＋dm为研究对象， 则系统沿x方向的动量定理为 Fdt＝(m+dm) －(m +dm· 0)＝dm＝ kdt 则: F＝k ＝2 000×4＝8×103 (N)
淮阴师范学院
物理学
主讲：金本喜
§2.2
动量 动量守恒定律
•牛顿第二定律——外力的作用，质点产生加速度，运动 状态发生变化。 •力的作用需要持续一段时间，或者需要持续一段距离， 这就是力对时间的累积作用和力对空间的累积作用。
力的累积效应
F (t ) 对 t 积累 p , I F 对 r 积累 W , E
一、质点的动量定理 1、冲量（力的作用对时间
的积累，矢量） F F
大小：
t2 I ＝ Fdt
t1
0
方向：速度变化的方向 单位：N· s
t1
dt
t2
t
量纲：MLT－1
2、动量
定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量
P mv
• 动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向； • 单位： kg· m· s-1 • 量纲：MLT－1
2、多个质点的情况
t2
t1
n n ( F i外）dt miv i 2 miv i1 i 1 i 1
I p p0
质点系动量定理：质点系总动量的增量等
于作用于该系统上合外力的冲量.
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度 v g 0 vb0 0 mb 2mg 则 p0 0 推开后速度 v g 2vb 且方向相反 则 p 0
I x Fx dt m x m x0
t0 t t
直角坐标系中:
I y Fydt m y m y0
t0 t
I z Fz dt m z m z0
t0
[说明]：
冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定.冲量的方 向不是与动量的方向相同， 而是与动量增量的方向 相同。
y
2
30o n 45o x
作用时间很短，忽略重力影响。
则有： I F dt m 2 m1
设挡板对球的冲力为 F
0
1
取坐标如图示
I y Fydt m 2 sin 30 m1 sin 45 Fy t
I x Fx dt m 2 cos 30 ( m1 cos 45 ) Fx t
二、质点系的动量定理 1、两个质点的情况 t2 F1＋F12 dt m1v1 m1v10
t1 t2
质点系
F1
t2
F21 F12
m1
F2
m2
F2＋F21 dt m2v2 m2v20
t1
F12 F21
t2 F1＋F2 dt＋ F12＋F21 dt t1 t1
解题步骤：
1．选好系统，分析要研究的物理过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的初动量与末动量； 4．建立坐标系，列方程求解； 5．必要时进行讨论。
例: 质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推 挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面 的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和 30o，求：(1)乒乓球得到的冲量；(2) 若撞击时间为 0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。 解：取挡板和球为研究对象
推开前后系统动量不变
p p0
动量定理常应用于碰撞问题
t1 mv2 mv1 F t2 t1 t2 t1
注意
t2
Fdt
mv
mv1
F
mv2
t 越小，则 F 越大 .
在 p 一定时
Fm
F
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
牛顿第二定律的另外一种表示方法 dv d dP F ma m ( mv ) dt dt dt
3、质点的动量定理
微分形式 积分形式
dI Fdt dp t I Fdt p p0
t0
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量 的增量这就是质点的动量定理。
tan
Fy Fx
0.1148
6.54
为平均冲力与x方向的夹角。
用矢量法解
I ＝ F t
2 m 212 m 2 2 2m 21 2 cos 105
y
2
30o n o 45 x
0
I F 6.14 N t
6.14 102 Ns
f
平均冲力
F
1 t2 t1 t1
t2
m2 m1 Fdt t2 t1
f t 0
t
t+△t
△ F应为合外力； △ 也只对惯性系成立。 △ p是状态量； I是过程量。
△ 应用： 利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床。 避免冲力：减小冲力，增大作用时间 ——轮船靠岸时的缓冲 。