2015高二数学上学期讲义 第五讲
高等数学第五讲+黎曼积分
第五讲 黎曼积分（正常积分）§4.1 定积分一、定积分产生的背景：计算曲边梯形面积的代数和. 二、定积分⎰ba dx x f )(的概念和定义 (一)定积分⎰badx x f )(的概念首先用小的矩形的代数面积去近似地代替小的曲边梯形的代数面积,然后用小的矩形的代数面积的和去近似地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),第三,让每个小的矩形的代数面积的绝对值要多么小有多么小,则小的矩形的代数面积的和去准确地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),这样我们就通过使用直边图形的面积公式得到曲边梯形的代数面积.(二) 定积分⎰badx x f )(的定义定义(b a <): 函数)(x f 在闭区间],[b a 有定义，划分{}{}n n b x x a x T ∆∆∆====,,,,,,ΛΛ2110把闭区间],[b a 划分成n 个小区间n ∆∆∆,,,Λ21，其中],[i i i x x 1-=∆，b x x x x a n =<<<<=Λ210，1--=∆i i i x x x ， {}i ni x T ∆=≤≤max 1(分割T 的细度)，i i ∆∈ξ,若极限i n i i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，我们称极限J x f i ni i T =∆∑=→)(lim 10ξ为函数)(x f 在闭区间],[b a 上定积分（Riemann 积分），记作i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(10ξ. 定义(b a >): 函数)(x f 在闭区间],[a b 有定义，划分{}{}n n b x x a x T ∆∆∆====,,,,,,2110ΛΛ把闭区间],[a b 划分成n 个小区间n ∆∆∆,,,Λ21，其中],[i i i x x 1-=∆，b x x x x a n =>>>>=Λ210，1--=∆i i i x x x ， {}i ni x T ∆=≤≤max 1(分割T 的细度)，i i ∆∈ξ,若极限i n i i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，我们称极限J x f i ni i T =∆∑=→)(lim 10ξ为函数)(x f 在闭区间],[a b 上定积分（Riemann 积分），记作i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(10ξ. 定义(微元法的定义): 函数)(x f 在闭区间],[b a 有定义，在),(b a 上任取一点x ，按积分下限到积分上限的方向给点x 一个增量dx ，dx 的绝对值是要多么小有多么小的正数，用dx x f )(表示小曲边梯形的代数面积（面积前加正或负号），用符号⎰badx x f )(表示把闭区间],[b a 上小曲边梯形的代数面积累积起来的曲边梯形的代数面积，如果⎰badx x f )(的值存在，我们称⎰badx x f )(为函数)(x f 在闭区间],[b a 上定积分（Riemann 积分）.由上述两个定义可以看出(1)i T x dx ∆=→lim 0; (2)∑⎰=→=ni T ba10lim ;(3))(lim )(i T f x f ξ0→=.由定义知:①dx 表示函数定义域（x 轴上的区域）上点x 处沿方向(从积分下限到积分上限)的增量,是绝对值要多么小有多么小的实数;②当b a >时,0>dx ,当b a <时,0<dx ;③⎰badx x f )(表示)(x f y =,a x =,b x =所围成的曲边梯形的面积(0><)(,x f b a 或0<>)(,x f b a )或面积的相反数(0>>)(,x f b a 或0<<)(,x f b a )；④函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续或有有限个间断点，则极限i ni i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，即函数)(x f 在闭区间],[b a 上Riemann 可积；⑤函数)(x f 在闭区间],[b a 上有界，则极限ini iT x f ∆∑=→)(lim10ξ不一定存在，即函数)(x f 在闭区间],[b a 上不一定Riemann 可积, 如狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当，为有理数，当x x x D 0,1)(.三、计算: (1)常规计算法 ①牛顿-莱布尼兹公式法)()()()(a F b F a bx F dx x f ba-==⎰,其中)()(x f x F ='. 或[][])()()()()(a F b F abC x F a b dx x f dx x f ba-=+==⎰⎰,其中)()(x f x F =',该式说明为什么函数)(x f 的所有原函数叫做函数)(x f 的不定积分,并且函数)(x f 的不定积分用符号⎰dx x f )(表示.②分步积分法 []()d ()()()()d (),[,]b bba aaf xg x f x g x g x f x x a b =-∈⎰⎰.③换元积分法第一换元积分法()()()()u d u f x d x f dcba⎰⎰=)()(ϕϕ，其中)(x u ϕ=，()c a =ϕ，()d b =ϕ。
高二数学讲义四点共圆
高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲 四点共圆（一）班级 姓名一、知识要点：1. 判定“四点共圆”的方法:（1)若对角互补，则四点共圆；（2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆； （3）圆的割线定理成立，则四点共圆； （4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.二、例题精析：例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK.求证：∠DMA ＝∠CKB.（第二届袓冲之杯初中竞赛）A B C D K M ··例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，△OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)AB CKMNPQB′C′A B COOOO123？？三、精选习题：1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心.2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.3．设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.四、拓展提高：4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证：∠BMO=90°.(第26届IMO第五题)A BOKN CMG高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲 四点共圆（一）例1. 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK.∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC. 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB. 例2. 法1：,,,P Q C C '四点共圆，PK KQ C K KC '⋅=⋅， ,,,M N B B '四点共圆， MK KN BK KB '⋅=⋅，因为90BC C BB C ''∠=∠=， 所以,,,B B C C ''四点共圆，C K KC BK KB ''⋅=⋅所以MK KN PK KQ ⋅=⋅，所以M ，N ，P ，Q 四点共圆.法2：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM.欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′)或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证.例3．分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA.观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B=∠OCB.观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA.由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1⇒O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.1．提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.2．提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°. 4．分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°⇒C，O，K，M四点共圆.在这个圆中，由OC=OK⇒OC=OK⇒∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.法2 蒙日定理。
高中数学必修一第五讲 函数的表示方法
第五讲 函数的表示方法1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
二、函数图像：1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x 轴垂直的直线，当该直线保持与x 轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。
全国数学联赛金牌教练-高中奥数辅导：第五讲-不等式的证明
全国高中数学联赛 金牌教练员讲座兰州一中数学组 第五讲 不等式的证明知识、方法、技能不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型.证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤（2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.赛题精讲例1：,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++ 【略解】abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++【评述】（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将22b a +)(ca bc ab ++-配方为])()()[(21222a c c b b a -+-+-，亦可利用,222ab b a ≥+ca a c bc c b 2,22222≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.例2：0,,>c b a ，求证：.)(3c b a cbaabc c b a ++≥【思路分析】显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.【略解】不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且cb b a ,， ca都大于等于1.【评述】（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题.（2）本题可作如下推广：若≥=>na naai a a a n i a 2121),,,2,1(0则（3）本题还可用其他方法得证。
数学分析第五讲 上下极限定义与基本性质与应用
能否用数列 极限保序性？
1 N lim sup yn A lim( xk A ) . n n n k 1
由 任意性: limsup yn A 0.
n
因此 lim inf yn A limsup yn A 0
n n
所以 lim yn A.
n
数列上下极限的定义与基本性质
例3 证明:
xn 0, lim xn A 0, 证明:lim n x1 x2
n n
xn A.
因为 lim xn A, 所以
n
0, N N * , n N : A xn A
n
8n +3
8n
8n
sinΒιβλιοθήκη 8n+3 4
1 2 = 1 8n 2
8n
lim x8n e
n n
lim x8n 1
n
2 e 2 2 2
lim x8n 2 e 1
lim x8n 3 e
总习题课
2 2
lim x8n 4 e , lim x8n 5 e
n n
2 , 2
lim x8n 6 e 1, lim x8n 7 e
2 n n 2 2 lim sup xn e 1,lim inf xn e n n 2
斯笃茨定理的应用
例3 1p 2 p 求极限 lim p n n
p p 1 2 n
np
n , p N *. p1
解:原式 lim
第五讲一元二次方程及不等式课件-2025届高三数学一轮复习
、2 − 16 ≥ 0
、2 − 16 < 0
、2 − 16 ≤ 0
）。
√
一元二次函数 = 2 2 + + 2的二次项系数2 > 0，开口向上；
若不等式2 2 + + 2 < 0的解集为∅，则一元二次函数 = 2 2 +
+ 2的图像全部在轴上或轴上方；
结合开口向上，此时，函数图像与轴有一个交点或没有交点；
c(a > 0)的根
∆> 0
∆= 0
∆< 0
有两个不相等的实 有两个相等的实数 无实数
数根x1 , x2 (x1 < x2 ) 根x1 = x2 = − b
根
2a
ax 2 + bx + c >
{| ≠ − }
< , 或 > } ______________
0(a > 0)的解集 {|
1
1
显然，函数 = + 在 ∈ (0, ]上单调递减；
2
1
1
1
故函数 = − − = −( + )在 ∈ (0, ]上单调递增；
2
1
1
1
5
1
可得：(− − ) = − − 1 = − ( ∈ (0, ])；
2
2
2
2
综上， ≥ (− −
1
)
=
5
− 。
2
反馈检测
2
1
2
+ ) ≤ − × 2 = 0。
反馈检测
1
2
高二数学竞赛班讲义-第五讲--组合恒等式
高二数学竞赛班二试第五讲 组合恒等式班级 姓名一、知识要点：数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。
解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。
同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。
因此，在各类数学竞赛中经常被采用。
1．基本的组合恒等式简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。
事实上，许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。
课本中的组合恒等式有：①r n r n nC C -=； ②111r r rn n n C C C +++=+；③11k k n n kC nC --=； ④r m m r mn r n n m C C C C --=；⑤0122n nn n n n C C C C ++++=L ；⑥()01210.nnn n n n C C C C -+++-=L2．解题中常用方法① 运用基本组合恒等式进行变换；② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明； ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标；⑤ 运用赋值法进行证明；⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ⑦ 构造合理的模型。
二、经典例题例1．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L .例1．证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条，可得：左边0121111112n n n n n n nC nC nC nC n ------=++++=⋅=L 右边例2．求和式21nk nk k C=∑的值。
例2．基本思路：将2k n k C 改写为k n k kC ⋅，先将k n kC 用恒等式3提取公因式n ，然后再将11k n kC --变形成为()11111k k n n k C C -----+，而()111k n k C ---又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数中均不含有变动指标k 了。
2015年高考数学总复习新课标课件：第五章
1）
，
n（n－1）
故 an＝2 2 .
第二十四页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
(2)递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1＋3＝2(an＋3)． 令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且bbn＋n 1＝aan＋ n＋1＋33＝2， 所以数列{bn}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列． 所以 bn＝4×2n－1＝2n＋1， 即 an＝2n＋1－3.
第十页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
4．已知数列{an}的通项公式是 an＝22· n－3n5－（1（n为n为奇偶数数）），则 a3a4＝ ___5_4____． 解析：a3＝2×3－5＝1，a4＝2·34－1＝54，a3a4＝54.
第十一页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
5．若数列 {an}的通项公式为
第二十三页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
3．根据下列条件，求数列的通项公式an.
(1)a1＝1，an＋1＝2nan；
(2)a1＝1，an＋1＝2an＋3.
解：(1)由于aan＋ n 1＝2n，
故aa12＝21，aa23＝22，…，aan－n 1＝2n－1，
将这 n－1 个等式叠乘，
得aa1n＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n2－
－n1，n为正奇数， 也可写为 an＝ n3，n为正偶数.
第十四页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
观察法求数列通项公式的技巧： 观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律 及项与项数n的关系，当项与项之间的关系不明显时，可采用 适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳，当各项是分数时 ，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现 时，可用(－1)n或(－1)n＋1调节．
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8．（2014全国2）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值．
9．（2014全国2）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求二面角B-AB1-C1的余弦值．
6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值．
7．（2013全国）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
A． B．
C． D．
3.若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列真命题的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C.若 ，则 D．若 ，则
4.点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（）
A.内心B.外心C.重心D.垂心
5.设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A．①④B．②③C．②④D．①③
7.设 ， 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，其中正确命题的序号是( ).
①若 ， ，则 ；②若 ， ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；④若 ， ，则 .
A．①和④B．①和②C．③和④D．②和③
8.（2014全国2）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α
高二上学期数学讲义第五讲
授课时间：2014年11月8日
授课时段：10:00—12:00
科目Байду номын сангаас立体几何
课时：2课时
学生：
授课老师：
教学过程（内容）
备注
1.设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2.已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
（3）求三棱锥 的体积.
3.长方体 的高为 ，两个底面均为边长为 的正方形.
（1）求异面直线 与 所成角的大小；（2）求二面角 的平面角的正弦值.
4.已知 是矩形， 平面 ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成的角．
5.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1＝ ，D是棱CC1的中点．
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
6.设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α
其中真命题的序号是（）
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E-ACD的体积．
10.（2015全国）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC
l⊄β，则（）
A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
解答题
1.如图， 的中点.
（1）求证： ；（2）求证： ；
（3）若 求证： .
2.如图，已知矩形 中， ， ,将矩形沿对角线 把 折起，使 移到 点。且 .（1）求证： ；（2）求证： ；