随机变量的分布函数
概率论-随机变量的分布函数
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件
随机变量的分布函数定理
随机变量的分布函数定理随机变量在概率论中扮演着非常重要的角色，随机事件的概率常常需要用到随机变量的概念进行描述。
随机变量可以表示为一个实数函数，它能在每个概率事件发生时给出一个实数值。
在随机变量的研究中，分布函数是一个重要概念。
分布函数可以告诉我们一个随机变量在每个实数点的概率大小，从而帮助我们推出随机变量的各种性质。
在本文中，我们将介绍分布函数定理及其应用。
分布函数的定义分布函数是随机变量的最基本概念，它是一个实数函数，通常用F(x)表示。
分布函数F(x)描述的是一个随机变量X小于等于x的概率，即：F(x) = P{X ≤ x}其中，P表示概率。
分布函数具有以下性质：1. F(x)是一个单调不降函数，即如果x1 < x2，则F(x1) ≤ F(x2)；2. F(x)的取值范围是0 ≤ F(x) ≤ 1；3. 当x趋近于负无穷时，F(x)趋近于0；当x趋近于正无穷时，F(x)趋近于1；4. F(x)是右连续函数，即F(x+) = lim┬(t→x⁺)〖F(t)〗。
分布函数定理分布函数定理是概率论中非常重要的一个定理，它的主要作用是帮助我们确定随机变量的分布函数。
分布函数定理是概率论中的一条基本公式，它可以描述一个随机变量的概率分布。
对于任意一个随机变量X，它的分布函数满足如下定理：若X是一个随机变量，则它的分布函数F(x)是一个连续的、右连续的函数，并且有以下两个性质：1. F(x)在每个实数点x处都是可积函数，即∫F(x)dx存在；2. 对于任意实数a < b，有P{a < X ≤ b} = F(b) - F(a)。
这两条性质可以用于计算一个随机变量在某个区间内取值的概率。
分布函数的应用分布函数的应用非常广泛，可以帮助我们推导出各种随机变量的性质。
下面介绍分布函数在离散和连续随机变量中的应用。
1. 离散随机变量中的分布函数对于离散随机变量X，它的分布函数可以表示为：F(x) = P{X ≤ x} = ΣP{X = xi}，其中xi ≤ x这里，P{X = xi}表示X取值为xi的概率，Σ是求和符号。
分布函数
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
(3) 右连续性：F(x)是右连续函数，即对任意的x0，有
lim
x
x
0F(x)F来自(x0)
➢这三个基本性质是判别分布函数的充要条件。
2
§ 2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的分布函数
➢
例1
证明F ( x) 1 [arctan x ], x
2
➢是一个分布函数。
证 显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布 函数。
该函数称为柯西分布函数。
3
§2.1 随机变量及其分布函数
例2 设随机变量的分布函数为：
A Bex x 0 F(x)
0 x0
其中 0 是常数。 求 A, B。
解 因为分布函数右连续，故
又由F () 1得A 1, 从而B 1
§2.1 随机变量及其分布函数
二、用分布函数求事件的概率
随机变量X 的分布函数F(x)=P{Xx}本身就是事件的概率。
容易得到 P{X a} F (a) F (a 0) 前面已得到 P{a X b} F (b) F (a)
P{a X b}
F(b) F(a)
1
二、随机变量的分布函数
2、分布函数的性质
F(x) P{X x}
容易证明分布函数F(x)具有以下三条基本性质：
(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(–，+)上的单调 非减函数，即对任意的x1 < x2，有 F(x1) F(x2)；
随机变量分布函数
随机变量分布函数在概率论中，随机变量是一个实数值函数，其取值是由试验结果的概率分布所决定的。
随机变量的分布函数描述了随机变量在实数轴上的取值范围及其概率分布情况。
在数学上，随机变量分布函数可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量分布函数：离散型随机变量的取值为一系列离散的数值。
随机变量的分布函数F(x)可以表示为：F(x)=P(X≤x)，其中X表示随机变量，P(X≤x)表示随机变量小于或等于x的概率。
例如，考虑一个掷硬币的试验，随机变量X表示掷硬币正面朝上的次数。
X的取值范围为0、1和2，掷硬币正面朝上的概率分别为1/4、1/2和1/4、则X的分布函数为：F(x)=0（x<0）F(x)=1/4（0≤x<1）F(x)=3/4（1≤x<2）F(x)=1（x≥2）。
连续型随机变量分布函数：连续型随机变量的取值为一个连续的数值区间。
随机变量的分布函数F(x)可以表示为：F(x)=P(X≤x)，其中X表示随机变量，P(X≤x)表示随机变量小于或等于x的概率。
例如，考虑一个随机变量X符合标准正态分布（均值为0，方差为1），其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = ∫(−∞，x)f(t)dt，其中f(t)表示X的概率密度函数。
从分布函数可以推导出随机变量的概率密度函数，概率密度函数是分布函数的导数。
对于离散型随机变量，概率密度函数在取值点上的导数是0，其他点的导数是无穷大；对于连续型随机变量，概率密度函数在所有点上的导数都存在。
随机变量的分布函数具有以下性质：1.F(x)是非减函数，即对于任意x1≤x2，有F(x1)≤F(x2)。
2.F(x)的取值范围是[0,1]，即0≤F(x)≤13. F(x)在负无穷处的极限为0，即lim(x→−∞)F(x) = 0。
4. F(x)在正无穷处的极限为1，即lim(x→+∞)F(x) = 1随机变量分布函数在概率论和统计学中都有广泛应用。
通过分布函数，我们可以计算出随机变量在一些特定取值上的概率，也可以计算出随机变量的期望值、方差等统计量。
随机变量的分布函数
x0 0 x2 x2
结束
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数. 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为
F ( x)
其中
x
-
f (t )dt
x , f ( x) 2 0,
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例 2.
随机变量 X 的概率分布为 2 1/2
X 0 1 P 1/3 1/6 试求（1）X 的分布函数 F(x)，并作出 F(x)的图形； （2） P{ X },
1 2
3 P{1 X }, 2
3 P{1 X } 2
(2)
1 1 1 P{ X } F 2 2 3 3 3 1 1 P{1 X } F - F (1) - 0 2 2 2 2 3 3 1 P{1 X } F - F (1) P{ X 1} 2 6 2
x
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§2.3
随机变量的分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数
F ( x) P{X x} (- x )
为随机变量X的分布函数. 重要公式
(1) P{ X a} 1 - F (a).
(2) P{a X b} P{ X b} - P{ X a} F (b) - F (a)
pk P{X xk }.
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结束
§2.４
连续型随机变量
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数.
概率论(随机变量的分布函数)
注： 1. 设X为连续型随机变量，对于任意可能值 a ,
P{X a} 0.
证明 x 0,则{X a} {a x X a}
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x) 0(x 0 )
试求c为待定常数又因为0x2为必然事件故1216补充定义x2处函数值为0后得到简称概率密度密度函数的概率称为其中为连续型随机变量使对任意实数非负可积函数存在的分布函数如果对于随机变量一定义probabilitydensity
第三节 随机变量的分布函数
一、概念的引入
需要知道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率.
(1) 曲线关于直线 x= 对称 . 1 f(x)
2
这表明P{ h X } P{ X h}
(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;
O
x
(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;
(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;
(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.
正态分布的分布函数为: F ( x) 1
为X 的分布函数(distribution function) 记作 X ～ F(x) 或 FX(x)
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间
(, x] 的概率.
—X——x |——> x
三、分布函数的性质
1 单调不减 即 若 x1< x2，则F(x1) ≤F(x2)；
例如 求随机变量 X 落在区间( x1, x2 ]内的概率.
P{ x1 X x2} P{ X x2}P { X x1}
概率论第六讲--随机变量的分布函数
及
其
y
由 FY ( y) F (x, )
[
f (x, y)dx]dy
知Y是连续型随机变量,其概率密度为
分 布
称为(X,fYY)(关y)于 Y的 f边(x缘, y)概dx率密度.
例3 求例1中二维随机变量（X、Y）关于X
和关于Y的边缘分布律。
例4 设随机变量X和Y具有联合概率密度 求
已知 分布函数F(x)
函 则f(x)在连续点处: f ( x) F `( x)
数
§2.5 多维随机变量及其分布
(一)二维随机变量
1.二维随机变量
引例1 E：火炮射击观察“弹着点”的位置；
例2 E：抽查学龄前儿童，观察身体素质。
定义：
随机试验E,样本空间为S=｛e｝,设X=X(e) 和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量,由它们构 成的向量(X,Y),称为二维随机变量。
其 且F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.
分 (3)F(x,y)关于x或y右连续.
布
多 • 2.离散型随机变量的联合分布律
维 设二维随机变量(X,Y)所有可能取值为
随 (xi,yj),记P｛X=xi,Y=yj｝=pij,称为二维
机
离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布 律,或称为随机变量X,Y的联合分布律.
机 F(x,y),如存在非负的函数f(x,y),
变 使对于任意x,y，都有：
量 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,
及 函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度,
其 或称为X和Y的联合概率密度.
分
布
多 概率密度f(x,y)的性质
维 1 f (x, y) 0;
随机变量的分布函数
一、分布函数的概念 定义 设X是一随机变量，x是任意实数，则实值函数 F(x)＝P {Xx}， x∈(-∞，+∞) 称为随机变量X的分布函数。 有了分布函数定义，任意x1，x2∈R， x1＜x2，随 机变量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函数来计算： P {x1<X x2}＝P{X x2}－P{Xx1}＝ F(x2)－F(x1).
例2.15 离散型随机变量X的分布函数为
0 , x 1 a , 1 x 1 F (x) 且 P（ X 2 / 3 a ,1 x 2 a b, x 2
2） 1 / 2
求a,b及X的分布律。
解
因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2
1
F (x)
X
0
1
2
P 0.1 0.6 0.3
0
1
2
x
例2.14 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每 盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽 车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独 立)。求X的分布律、分布函数以及概率
P ( 2 X 3)
2.3 随机变量的分布函数
前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整地 描述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个一个 列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：在测试 灯泡的寿命时，可以认为寿命X的取值充满了区间[0,+∞)，事 件X=x0表示灯泡的寿命正好是x0,在实际中，即使测试数百万只 灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是x0，也就是说， 事件(X=x0)发生的频率在零附近波动，自然可以认为 P(X=x0)=0。 由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概 率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b] 上的概率(a≤b)。 由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此对任意x∈R， 只要知道事件{X≤x}发生的概率，则X落在(a,b]的概率就立刻 可得。因此我们用P(X≤x)来讨论随机变量X的概率分布情况。 P(X≤x)：“随机变量X取值不超过x的概率”。
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x 1, 1 x 2, 2 x 3, x 3.
-1 0 1 2 3 x
1
分布函数 F (x) 在 x = xk (k =1, 2 ,…) 处有跳跃， 其跳跃值为 pk=P{X= xk}.
1
X -1
2
1 2
3
1 4
pk
1 4
1 4
1 2
1 4
-1 0
1
2
3
x
例 2 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比， 并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量X的分布函数.
解： （1） 若 x < 0, 则 { X x} 是不可能事件，于是
F ( x ) P{ X x} P () 0.
（2） 若0 x 2,由题意，
P{0 X x} k x 2 ,
X
取x 2,由已知得P{0 X 2} 1, 与上式对比
x 得k 1 / 4, 即 P{0 X x } . 4 于是， 当0 x 2时
1
-1
0
1
23Βιβλιοθήκη x用分布函数计算某些事件的概率
Pa X b PX b PX a F b F a 0
Pa X b PX b PX a F b 0 F a
Pa X b PX b PX a F b 0 F a 0
随机变量的分布函数
•主讲人：陈琳 •单位：新疆医科大学 •医学工程技术学院数学教研室
• 某宾客在9点到10点之间任意时刻都可能 到达，问宾客9：10分-20分来的概率？ 问宾客9点10分到达的概率有多大？
一支质量均匀的粉笔，每一段的质量都可 以称出来，但是你知道粉笔上某一点的质 量吗？ 线密度？单位长度的质量？如果非均匀的 粉笔呢？线密度函数？质量分布函数的瞬 时变化率！
F ( x2 ) F ( x1 ) lim ( x1 ) x2 x1 x2 x1
F ( x1 ) x1
F ( x2 )
x2
概 念
定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F ( x ) P{ X x }
称为 X 的分布函数．
对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有： X
F ( x) P{X x} P{} 0.
X
x
-1
0
２
３ x
当 2 x 1 时, 满足 X
X
1 F ( x) P{ X x} P{ X 1} . 4
X -1 -1
x 的 X 取值为 X = -1,
2
1 2
3
1 4
x
２
３
x
pk
1 4
当3
x 2 时, 满足 X x 的 X 取值为 X = -1, 或 2
F () lim F ( x) 0 ; F () lim F ( x) 1.
x x
30 F ( x 0) F ( x), 即 F ( x)是右连续的.
当x x0时, F ( x0 ) F ( x ) P{ x X x0 } P{ X x0 } ( x x0 )
F ( x ) P{ X x } P{ X 0} P{0 X x } x . 4
（3） 若 x 2 , 则 { X x} 是必然事件，于是
2
2
F ( x) P{ X x} 1.
x 0, 0, 2 x F ( x) , 0 x 2, 4 1, x 2.
X 表示弹着点与圆心的距离
1
F(x)
0
1
2
3
x
分布函数的性质
分别观察离散型、连续型分布函数的图象， 可以 看出，分布函数 F(x) 具有以下基本性质： 10 F (x) 是一个不减的函数．F(x) 1
即当x2 x1时， F ( x2 ) F ( x1 ).
0
1
2
3
x
20 0 F ( x) 1, 且
1 1 F ( x) P{ X x} P{ X 1或X 2} . 4 2
同理当 x 3 时,
F ( x) P{X x} P{X 1或X 2或X 3} 1.
0, 1 , 4 F ( x) 3 , 4 1,
Pa X b PX b PX a F b F a
P X b 1 PX b 1 F b
PX b 1 PX b 1 F b 0
P X a P X a P X a F a F a 0
当x x0时, F ( x ) F ( x0 ) P{ x0 X x} P{} 0 ( x x0 )
1
-1
0
1
2
3
x
用分布函数计算某些事件的概率
设 F x P X x是随机变量 X 的分布函数，则
P X a F a
P X a F a 0
o
X
F ( x) P{ X x}
0
x
x
P{x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1}
x1
x2
x
F ( x2 ) F ( x1 ).
例 1 设随机变量 X 的分布律 为： 求 X 的分布函数.
X -1
2
1 2
3
1 4
pk
1 4
解：当 x <-1 时， 满足X x 的X的集合为 ，
离散随机变量在取值处的概率非零，其它点的概率都为零 连续随机变量任一点的概率都为零
例 3
设随机变量 X 的分布函数为
x0 0 x 1 1 x 2 2 x3 3 x
0 x 2 2 F x 3 11 12 1
试求：⑴．P X 3 ⑵．P X 3 ⑶．P X 1 1 ⑷．P X 2 ⑸．P 2 X 4 ⑹．P 1 X 3