高数8-1多元函数概念极限和连续

在(0,0)的连续性． 解 取 y kx 2 xy k kx lim 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y 2 x 0 x k x 1 k y0 y kx 其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次． （2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次．
( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .




P0
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集， P 是平面上的 一个点．如果存在点P 的某一邻域 U ( P ) E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点， 则称 E 为开集.
邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n


内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 z 按照一定的法则总有确定的 P ( x , y ) D ，变量 z 是变量x , y 的二元函数，记为 值和它对应，则称 z f ( x , y ) （或记为z f ( P ) ）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
n 元函数统称为多元函数. 当n 2 时，
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
arcsin( 3 x y ) 例1 求 f ( x , y ) 的定义域． 2 x y
2 2
解
2 2 3 x y 1 2 x y 0
1 . 2
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
1 0 证 ( x y ) sin 2 2 x y 1 2 2 2 2 x y sin 2 x y x y2 0, ,
2 2
当 0 ( x 0) ( y 0) 时，
2 2
1 ( x y ) sin 2 0 2 x y
（3）一致连续性定理
在有界闭区域D上的多元连续函数必定 在D上一致连续．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
一般地，求 lim f ( P ) 时，如果 f ( P ) 是初等函
x3 y3 , ( x , y ) (0,0) 2 2 例5 讨论函数 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0,0)
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x , y ) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
二、多元函数的极限
定义 1 设 函 数 z f ( x, y) 的 定 义 域 为 D , P0 ( x 0 , y 0 ) 是其聚点，如果对于任意给定的 ，使得对于适合不等式 正数 ，总存在正数 0 | PP0 | ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 的 一 切 点，都有| f ( x , y ) A | 成立，则称 A 为函数 z f ( x , y ) 当 x x 0 ， y y 0 时的极限， lim f ( x , y ) A 记为 x x （或 f ( x , y ) A ( 0)这里 | PP0 | ）.
2 x y 4 2 x y
2 2
所求定义域为 D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
（6） 二元函数 z f ( x , y )的图形
D ，对于任意 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 y 为纵坐 x 为横坐标、 z f ( x , y ) ，这样，以 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x , y , z ) ， 当 x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D }，这个点集称 为二元函数的图形.
P P0
数，且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点，则 f ( P ) 在 点 P0 处连续，于是 lim f ( P ) f ( P0 ).
P P0
xy 1 1 例７ 求 lim . x 0 xy y0
xy 1 1 1 解 原式 lim lim x 0 xy( xy 1 1) x 0 xy 1 1 y0 y0
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, z sin xy
图形如右图.
例如, x 2 y 2 z 2 a 2 左图球面.
z
D {( x , y ) x 2 y 2 a 2 }.
单值分支: z a 2 x 2 y 2
x
o
y
z a2 x2 y2 .
2 sin( x y) x2 y 1 x 0 0. 0, lim x 2 2 x 0 x 2 y 2 x y 2 y 0
x3 y 例4 证明 lim 6 不存在． 2 x 0 x y y 0
证
3 y kx , 取
x3 y x 3 kx 3 k lim 6 lim 6 , 2 2 2 6 x 0 x y x 0 x k x 1 k 3 y0
y kx
其值随k的不同而变化， 故极限不存在．
x y x y lim 图形 , 观察 z 6 6 2 不存在. 2 x 0 x y x y y 0
3
3
播放
确定极限不存在的方法：
（1）令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于P0 ( x 0 , y0 ) ，若
k 有关，则可断言极限不存在； 极限值与
一、多元函数的概念
（1）邻域
是某 设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点， 的点P ( x , y ) 一正数，与点P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于 邻域，记为U ( P0 , ) ， 的全体，称为点P0 的
U ( P0 , ) P | PP0 |
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, {( x , y ) | 0 x y 1}
2 2
(0,0) 是聚点但不属于集合．
2 2 {( x , y ) | x y 1} 例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间
n 元数组 设n 为取定的一个自然数，我们称 n 维空间，而每个 n 元数 ( x1 , x 2 , , x n ) 的全体为 n 维空间中的一个点，数 组 ( x 1 , x 2 , , x n ) 称为 x i 称为该点的第 i 个坐标.

E

连通的开集称为区域或开区域．
y
例如， {( x, y ) | 1 x 2 y 2 4}.
o
x
开y ) | 1 x 2 y 2 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ， 即 AP K 对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 例如， y
2 2
原结论成立．
sin( x 2 y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x 0 x y y0
解
sin( x 2 y ) lim 2 x0 x y 2 y0
sin( x 2 y) x 2 y lim 2 , 2 2 x 0 x y x y y0
sin( x 2 y ) u x 2 y sin u lim 1, 其中 lim 2 x0 x y u0 u y0
0 y y0
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
1 例2 求证lim( x y ) sin 2 0 2 x 0 x y y 0
2 2
说明：
n R n维空间的记号为 ;
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P ( x1 , x2 ,, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ),
| PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． n维空间中邻域、区域等概念
0
三、多元函数的连续性
定义3 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集 D , P0
是其聚点且 P0 D ，如果 lim f ( P ) f ( P0 )
P P0
则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点，如果 P0 是函数f ( P ) 的 f ( P ) 在点P0 处不连续，则称 间断点.
{( x , y ) | 1 x 2 y 2 4}
有界闭区域；
o
x
{( x , y ) | x y 0}
无界开区域．
（3）聚点