陕西省西工大附中2015届高三下学期5月模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

模拟训练数 学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数2015计算的结果是（ ）A ．－1B ．i - CD2．若sin 20a =，则sin 230的值为（ ）A ．221a -B ．21a -C ．21a -D ．212a -3．522x⎫⎪⎭-的展开式中常数项是（ ）A ．5B ．5-C ．10D ．10-4．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，611S S =，则必有（ ） A ．170a = B ．6120a a += C ．170S > D ．90a <5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．186．右图是函数2sin()(0)y x ωφω=+>图像的一部分，则ω和φ为（ ）Ａ．115ω=, 56πφ=-Ｂ．75ω=, 6πφ=-Ｃ．175ω=, 56πφ=-Ｄ．135ω=, 6πφ=-7．展开10()a b c ++合并同类项后的项数是（ ）A ．11B ．66C ．76D ．1348．已知随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，1EX =，则DX =（ ）A ．25B ．45C ．23D ．439．若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．110．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0PA PB ⋅=，0PB PC ⋅=，0PC PA ⋅=,则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．411．已知抛物线x y 82=的焦点与双曲线1222x y a-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD12．已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围是（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是 ；14．如右图，输入正整数,m n ，满足n m ≥，则输出的p = ；15．若直线l ：1y kx =+被圆C ：22x y 2x 30+--=截得的弦最短，则k= ；16．将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为 ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）17．（本小题共12分）从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（Ⅱ）若该批产品共20件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列与期望．18．（本小题共12分）已知数列{n a }中，n S 为其前n 项和，且12a a ≠，当n N +∈时，恒有n n S pna =（p 为常数）．(Ⅰ)求常数p 的值；(Ⅱ)当22a =时，求数列{n a }的通项公式；（Ⅲ）设14(2)n n n b a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：74n T <．19.（本小题共12分）四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC =22，SA ＝SB ＝3．（Ⅰ）求证：SA ⊥BC ；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的正弦值．20．（本小题共12分）已知定点(1,0)C -及椭圆2235x y +=，过点C 的动直线与该椭圆相交于,A B 两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共12分）（Ⅰ）已知正数1a 、2a 满足121a a +=，求证：121222log log 1a a a a +≥-；（Ⅱ）若正数1a 、2a 、3a 、4a 满足12341a a a a +++=，求证：121222323424log log log log 2a a a a a a a a +++≥-．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 和'O 相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，连结DB 并延长交O 于点E .证明：（I ）AC BD AD AB ⋅=⋅；（II ）=AC AE .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知椭圆C ：1162422=+y x ，直线l ：1128x y +=， （I ）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆C 与直线l 的极坐标方程；（II ）已知P 是l 上一动点，射线OP 交椭圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OR OP OQ =⋅．当点P 在l 上移动时，求点Q 在直角坐标系下的轨迹方程．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|2||5|f x x x =---． （I ）证明：3()3f x -≤≤；（II ）求不等式：2()814f x x x ≥-+的解集．模拟训练数学（理科）参考答案一．选择题：1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．A7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．B二．填空题：13．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 14．mn A ， 15．1， 16．50．三、解答题： 17．【解】：（Ⅰ）210.960.2p p -=⇔=．（Ⅱ）∵该批产品共20件，由（Ⅰ）知其二等品有200.24⨯=件， 显然X=0,1,2．故216220C 12(0)C 19P X ===．11164220C C 32(1)C 95P X ===．24220C 3(2)C 95P X ===．所以X 的分布列为∴EX=389518．【解】：(Ⅰ)当1n =时，11a S =，∴11a pa =，1p ⇒=或10a =当1p =时，n n S na =则有221221222S a a a a a a =⇔+=⇔=与已知矛盾，∴1p ≠，只有10a =．当2n =时，由2212222S pa a a pa =⇔+=，∵10a =又12a a ≠∴20a ≠∴12p =(Ⅱ)∵22a =，12n n S na =，当2n >时，11122n n n n n n n a S S a a ---=-=- 11(2)(1)12n n n n a a n a n a n n ---=-⇔=--，∴22211n n a aa n n =⇔=--当1121202 2.n n a a n ==⨯-=∴=-时，也适合。

（Ⅲ）2141111(2)(1)1n n n b a a n n n n n+==<=-+--当1,2n =时，显然成立，当3n ≥时有 ∴111117171423144n T n n n ⎛⎫⎛⎫<++-++-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭19．【解法一】：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ，因为SA=SB ，所以AO=BO ，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO ，得SO=1，SD =．△SAB 的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝DB ，得△DAB 的面积21sin13522S AB AD ==设D 到平面SAB 的距离为h ， 由于D SAB S ABD V V --=，得121133hS SO S =，解得h =设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===． 所以，直线SD 与平面SAB ． 【解法二】：（Ⅰ）作SO ⊥BC ，垂足为O ，连结SO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA=SB ，所以AO=BO ．又45ABC=∠，△AOB 为等腰直角三角形，AO ⊥OB ．如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O —xyz ，0)A ，，(0B ，(0C ，S （0，0，1），(201SA=-，，，(0CB =，0SA CB=，所以SA⊥BC．（Ⅱ）取AB中点E ，022E⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，连结SE，取SE中点G，连结OG ，12G⎫⎪⎪⎝⎭，．12OG⎫=⎪⎪⎝⎭，，1SE⎫=⎪⎪⎝⎭，(AB=．SE OG =，0AB OG=，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直。

所以OG⊥平面SAB，OG与DS的夹角记为α，SD与平面SAB所成的角记为β，则α与β互余．D，(DS=．22cos11OG DSOG DSα==，sin11β=，所以，直线SD与平面SAB所成的角的正弦值为11．20．【解】：（1）设直线AB：x=my-1⎩⎨⎧-==+15322myxyx消去x得：042)3(22=--+myym所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+3432221221myymmyy由21221-=+xx得：31)(221=⇔=+myym所求直线AB方程为：013=+±yx（2）设M)0,(t，则1122(,)(,)MA MB x t y x t y⋅=-⋅-1122(1,)(1,)my t y my t y=----=221212)1())(1()1(++++-+tyytmyym=62)1(3)73(222--++++ttmt所以当且仅当，即存在定点⎪⎭⎫⎝⎛-0,37M使MA MB⋅为定值94或222(26)4(1)3t m MA MB t m -+-⋅=+++，只要(26)413t -+-=即37-=t 时，…… 21．【解】：（Ⅰ）先求函数22()log (1)log (1)f x x x x x =+--（(0,1)x ∈）的最小值∵22()(log )[(1)log (1)]f x x x x x '''=+--2211log log (1)ln 2ln 2x x =--+-22log log (1)x x =--于是102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当0<12x <时，22()log log (1)0f x x x '=--<，()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，当112x <<时，22()log log (1)0f x x x '=-->，()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭是增函数， 所以21)(=x x f 在时取得最小值，112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()1f x ≥-∵120,0,a a >>121a a +=，∴211a a =-，由①得 ∴()()12122121122log log log 1log 11a a a a a a a a +=+--≥-（Ⅱ）∵12341a a a a +++=，设12341()a a a a x +=-+= 则121a a x x +=，由（Ⅰ）的结论可得：112222log log 1a a a a x x x x +≥- 121222122log log ()log a a a a a a x x ⇔+-+≥-1212222log log log a a a a x x x ⇔+≥-+…………………① 同理∵231a a x +=-有：3234242log log (1)(1)log (1)a a a a x x x +≥--+--………② ①+②得：12122232342422log log log log 1log (1)log (1)a a a a a a a a x x x x +++≥-++-- 由于22()log (1)log 1f x x x x x =+-≥-∴121222323424log log log log 2a a a a a a a a +++≥-22．【证明】：（1）由AC 与O 相切于A ，得=CAB ADB ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠，所以ACB DAB ∆∆从而=AC ABAD BD， 即=AC BD AD AB ……4分（2）由AD 与O 相切于A ，得=AED BAD ∠∠，又=ADE BDA ∠∠，得EAD ABD ∆∆从而=AE ADAB BD ，即=AE BD AD AB ，综合（1）的结论，=AC AE ……10分23．【解】：（I ）C ：222482cos 3sin ρθθ=+，l ：242cos 3sin ρθθ=+（II ）设(,)Q ρθ，则2OR OP OQ =⋅22222448234602cos 3sin 2cos 3sin x y x y ρθθθθ⇔⋅=⇔+--=++ 24．【解】：（I ）|()||2||5|(2)(5)3f x x x x x =---≤---= ∴3()3f x -≤≤（II ）①当2x ≤时，()3f x =-，而22814(4)22x x x -+=--≥- ∴2()814f x x x ≥-+无解②当25x <<时，()27f x x =-，原不等式等价于：22781425x x x x ⎧-≥-+⎨<<⎩35x ⇔≤<③当5x ≥时，()3f x =，原不等式等价于：281435x x x ⎧-+≤⎨≥⎩54x ⇔≤≤综上，不等式的解集为[3,4．。