数学规划模型(1)
数学规划模型——线性规划问题
数学规划模型——线性规划问题title: 数学规划模型——线性规划问题date: 2020-02-26 20:08:59categories: 数学建模tags: [MATLAB, 数学规划模型]Matlab 中线性规划的标准型标准型min C T X s .t . AX <=b 不等式约束Aeg ∗x =beg 等式约束lb <=x <=ub 上下界约束(也可以当成不等式约束)向量的内积 ,c =C 1C 2...C n x =x 1x 2...x n ,n 是决策变量的个数练习题min->maxm 加负号不等式约束的标准是<=,>=需要转换变量如果不在约束条件，⽤inf 与-inf 巧妙转换Matlab 求解线性规划 的函数[x ,fval] = linprog [ c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, X0]① X0 表⽰给定Matlab迭代求解的初始值 ( ⼀般不⽤给)② c, A, b, Aeq, beq, lb, ub的意义和 标准型中的意义⼀致③ 若不存在不等式约束, 可⽤ " [ ] " 替代 A和b④ 若不存在等式约束, 可⽤ " [ ] "替代 Aeq 和 beq⑤ 苦某个 x⽆下界或上界, 则设置lb(i)=-inf,ub(i)=+inf⑥ 返回的 x表⽰⼩值处的 x取值 ; fval表⽰优解处时取得的最⼩值7.不是所有的线性规划都有唯⼀解，可能⽆解或有⽆穷多的解。
8.如果求的是最⼤值，别忘在最后给fval加⼀个负号。
上⾯三个题的代码 ：[x, fval]=linprog[c, A, b, [], [], lb][x, fval]=linprog[c, A, b,Aeg, beg, lb][x, fval]=linprog[c, A, b,Aeg, beg, lb]fval=-fval代码%% Matlab 求解线性规划% [x fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb,ub, x0)% c 是⽬标函数的系数向量，A 是不等式约束Ax<=b 的系数矩阵，b 是不等式约束Ax<=b 的常数项% Aeq 是等式约束Aeq x=beq 的系数矩阵，beq 是等式约束Aeq x=beq 的常数项% lb 是X 的下限，ub 是X 的上限，X 是向量[x1,x2,...xn]' , 即决策变量。
规划模型
产品 1：机床 1 → 机床 3 → 机床 4 产品 2：机床 1 → 机床 2 → 机床 4 产品 3：机床 2 → 机床 3
解：
设 xij 表示产品 i 在机床 j 上的开始加工时间（ i = 1,2,3）；
下面将逐步列出问题的整数规划模型。
1、同一件产品在不同机床上的加工顺序约束
对于同一件产品，在下一台机床上加工的开始时间不得早于 在上一台机床上加工的结束时间，故应有：
⎪⎩
xij = 0或1
i = 1,2,L,n j = 1,2,L,n i = 1,2,L,n; j = 1,2,L,n
例6 某城市消防总部将全市划分为11个防火区，设有4个消 防站，下图中表示了各防火区域与消防站的位置，其中① ，②，③，④表示消防站，1，2，3，……，11表示消防区 域。根据历史资料证实，各消防站可在事先规定的允许时 间内对所负责的地区火灾予以消灭，图中虚线即表示各地 区由哪个消防站负责（没有虚线连接就表示不负责），现 在总部提出，在同样负责全市消防的前提下，是否可以减 少消防站的数目？如果可以，应当关闭哪个？
工结束时间分别为x14+a14， x24+a24， x33+a33，故全部产品的 实际加工结束时间为：
W = max { x14 + a14 , x24 + a24 , x33 + a33 }
转化为线性表达式： min Z = W
⎧W ⎪⎨W
≥ ≥
x a + 14
14
x a + 24
24
第2章线性规划
线性规划数学模型的三个要素： 决策变量、目标函数、约束条件
线性规划数学模型（4）
线性规划数学模型的一般形式的其他表示方式：
（2） max(min)
s.t.
n
z c j x j
j 1
n
aij x j
(, )bi (i 1,, m)
j1
x j 0( j 1,n)
2 0 0
B2 1 1 0
1 0 1
对应的基解分别为 x 1 (0,0,2,2,5) 和 x 2 (1,0,0,3,6) ，其中 x1 为基本可行解， x2 不是基本可行解。
线性规划的基本概念
●线性规划的基矩阵(基)、基变量、非基变量
目标函数 约 束 条 件
d、bi≥0
“bi≤0” —— 乘“-1” ， -bi≥0
线性规划数学模型（8）
练习题：将线性规划数学模型转化为标准形式
1、min z= 2x1-2x2+3x3
-x1+ x2+ x3 = 4
-2x1+ x2 - x3≤6
x1 ≤0, x2 ≥0 ，x3无约束
2、min z= x1+x2 x1- x2+2 x3 ≥2
可行解 满足线性规划所有约束条件的各变量的 一组值X=（x1，x2，…，xn）T，称为线性规划 问题的可行解。全部可行解的集合称为可行域。 最优解 使线性规划的目标函数达到以最优值 （依照具体问题，或者是极大值，或者是极小 值）的可行解称为线性规划问题的最优解。 上述两个概念，对于一般形式、标准形式都适 用，而下述概念，仅适用于标准形式。
基解 在标准形式线性规划的约束方程组中，对应 基B，令所有非基变量都等于零，求解约束方程组 AX=b，可惟一得出基变量的一组值，这些值和取 零的非基变量的值合起来，称为线性规划问题的基 解或基本解。 基的个数不超过 Cnm，一个基对应一个基解，故基解 的个数也不超过 Cnm。基解中非零分量的个数不会大 于约束方程的个数m。若一个基解的基变量中有取 零值的，则此基解称为退化的，否则称为非退化的 。
1-1第一讲规划模型
第一讲规划模型本讲介绍的规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型。
这类规划问题，模型规范，建模直接，激发想象；模型求解方法典型，实用面宽广。
掌握这类规划问题的数学建模、是建模者必须具备的基本建模素养。
规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来越多的人所重视。
随着计算机的逐渐普及，它越来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事行为、核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、创造的价值无法估量。
在数模竞赛过程中，规划模型是最常见的一类数学模型。
从历年全国大学生数模竞赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出现了近20次，占到了近50%，也就是说每两道竞赛题中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解。
下面首先讨论静态系统的优化问题，介绍线性规划、整数规划、目标规划和非线性规划；然后讨论动态系统的多阶段优化问题。
线性规划问题及其数学模型线性规划模型线性规划是运筹学的重要分支之一。
一般认为，运筹学的主要分支有规划论(包括线性规划、非线性规划、动态规划等)、排队论、对策论(亦称博奕论)与决策分析、图论、存贮论、模型论等分支．线性规划只是运筹学中研究较早，理论比较完整、应用最广的一个分支。
1．线性规划问题在生产管理和经营活动中，经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力等资源、以便得到最好的经济效益。
先来看两个实例。
问题1拟定生产计划问题问题提出某工厂生产甲、乙两种产品．这两种产品都需要在A，B，C三种不同设备上加工，每吨甲、乙产品在不同设备上加工所需的台时，它们销售后所能获得的利润值以及这三种加工设备在计划期内能提供的有限台时数均列于下表中．如何安排生产计划，即甲、乙两种产品各生产多少吨，可使该厂所获利润最大?模型建立设计划期内甲、乙两种产品的产量分别为x1吨、x2吨(x1，x2称为决策变量)，该厂的目标是在不超过二种设备总有限台时数的条件下，确定产量x1及x2，以获得最大利润，用Z表示利润．则有目标函数：Max Z = 32*x1 + 30*x2由于设备A，B，C在计划期内的有效台时数分别为36．40，76，可以得出限制产量的条件，即约束条件；3*x1+4*x2<=36 (设备A对产量的限制)5*x1+4*x2<=40 (设备B对产量的限制)，9*x1+8*x2<=76 (设备C对产量的限制)，x1，x2≥0 (产量不能为负值)．问题2 运输问题问题提出两个煤厂A1和A2每月进煤数量分别为60t和100t，联合供应三个居民区(Bl，B2，B3)。
数学规划模型
数学规划模型
数学规划模型是一种数学建模方法，它使用数学方法来解决决策问题。
数学规划模型可以用来优化资源的利用，最大化或最小化某个目标函数。
首先，数学规划模型需要明确目标函数和约束条件。
目标函数是我们希望优化的指标，约束条件则是限制我们优化的条件。
例如，如果我们要找到一种最佳的生产计划，那么目标函数可以是产量的最大化，约束条件可以是原料的限制、生产设备的限制等。
接下来，数学规划模型需要定义决策变量。
决策变量是我们可以调整的变量，通过调整决策变量的值，我们可以达到最优解。
例如，对于生产计划问题，决策变量可以是每种产品的生产数量。
然后，将目标函数和约束条件用数学公式表示出来。
例如，如果我们的目标是最大化产量，那么目标函数可以表示为一个关于决策变量的函数。
同时，约束条件也可以用一组不等式来表示。
接下来，我们需要使用数学方法来求解这个数学规划模型。
常用的数学方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
具体的求解方法取决于模型的特点和目标函数的形式。
最后，我们需要把数学模型的结果解释给决策者，帮助他们做出更明智的决策。
这个过程通常包括分析和解释模型的结果，
以及提供关于如何操作和调整决策变量的建议。
总结来说，数学规划模型是一种解决决策问题的数学方法。
通过明确目标函数和约束条件，定义决策变量，使用数学方法求解，并将结果解释给决策者，我们可以通过数学规划模型得到最优的决策方案。
这种方法在供应链管理、生产计划、资源分配等领域有着广泛的应用。
第一节 目标规划的数学模型
kl , kl 为分别赋予第l个目 式中：Pk为第k级优先因子，k=1,…,K； 标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标的预期目标值， l=1,…L。
建立目标规划数学模型的步骤
（1）按照实际问题所提出的各个目标与条件，列出目标的 优先级。 （2）写出绝对约束和目标约束 （3）给各个目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级中 各偏差变量，按不同的重要程度赋予不同的权系数。 （4）对要求恰好达到目标值的目标，则取正负偏差变量之 和，即 min(d d ) ；对要求超过目标值的，只取负偏差变量， min d 即 ；对要求不超过目标值的，只取正偏差变量， 即 min d ，构造一个极小化的关于偏差变量的目标函数。
又包含偏差变量；
6. 目标规划模型中的优先级 pi 较之 pi 1的重
要性一般为数倍至数十倍之间； 7. 目标规划模型中的目标函数按照问题的性 质要求可表示为求min或max； 8. 下列表达式能否表达目标规划模型中的 目标函数：
(1)max z p1d1 p2 d 2 (2)min z p1d1 p2 d 2 (3)min z p1d1 p2 ( d 2 d 2 )
6.1.2关于目标规划的几个概念
1.偏差变量
用d＋表示超过目标值的差值，称为正偏差变量；
d－表示未达到目标值的差值，称为负偏差变量．
第一目标:尽量完成本周期的利润指标24000元 如果实际利润是23500元,则 d 0, d 500 如果实际利润是24080元,则 d 80, d 0
min d1 300 x1 120 x2 d1 d1 24000 x d d 60 , x d d 100 min( d d 2 2 3 3 1 2 3 ) 2 20 x 10 x d d 1400 4 min d 1 2 4 4
数学建模(线性规划).
1）模型建立。
①决策变量。决策变量为每年年初向四个项目的投资 额，设第i(i=1,2,3,4,5)年年初向A,B,C,D(j=1,2,3,4) 四个项目的投资额为xij（万元）。 ②目标函数。设第五年年末拥有的资金本利总额为z， 为了方便，将所有可能的投资列于下表1.2
表1.3 三个货舱装载货物的最大容许量和体积
前舱 重量限制/t 10
中舱 16
后舱 8
体积限制/m3
6800
8700
5300
现有四类货物供该货机本次飞行装运，其有关信息 如表1.4，最后一列指装运后获得的利润。
表1.4 四类装运货物的信息
货物1 货物2 货物3 货物4
质量/t 18 15 23 12
空间/(m3/t) 480 650 580 390
利润(元/t) 3100 3800 3500 2850
应如何安排装运，使该货机本次飞行利润最大？
1）模型假设。问题中没有对货物装运提出其他要 求，我们可做如下假设：
①每种货物可以分割到任意小； ②每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； ③多种货物可以混装，并保证不留空隙。 2）模型建立。 ①决策变量：用xij表示第i种货物装入第j个货舱的重 量（吨），货舱j=1,2,3分别表示前舱、中舱、后舱。
年份
1 x11
2 x21 x23 x24
3 x31 x32 x34
4 x41
5
项目
投资限额/万 元
A B C D
年年末回收的本利之和，于是， 目标函数为 ③约束条件 z 1.15x41 1.25x32 1.40 x23 1.06 x54
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
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2
3 4
50.000000
480.000000 100.000000
10.000000
53.333332 INFINITY
6.666667
80.000000 40.000000
x1系数由24 3=72 增加为303=90， 在允许范围内
• A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划
不变！
结果解释
第四章
数学规划模型
什么是数学规划模型？
4.1 奶制品的生产与销售(线性规划，Lindo)
4.3 汽车生产与原油采购 (整数规划, 0-1变 量技巧) 4.4 接力队选拔和选课策略（0-1规划，多 目标规划） 4.5 饮料厂的生产与检修 4.6 钢管和易拉罐下料(非线性规划, Lingo) 补充：投资的收益与风险(1998年竞赛题）
X1 X2
VALUE
20.000000 30.000000
REDUCED COST
0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 3) 0.000000 0.000000 48.000000 2.000000
4)
40.000000
2
0.000000
NO. ITERATIONS=
2
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗？
35 <48, 应该买！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
保持最优解不变的目 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: 标函数系数变化范围 Yes
OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
原料 供应
劳动 时间
x1 x5 100
x3 0.8 x5
x4 0.75 x6 x1 , x6 0
Lindo使用注意事项
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 软件实现 LINDO 6.1 VARIABLE VALUE REDUCED COST x1 x5 x2 x6 X1 0.000000 1.680000 2) 50 X2 168.000000 0.000000 3 4 X3 19.200001 0.000000 0.000000 0.000000 2) 4 x1 3x2 4 x5 3x6 600 X4 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 3) 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 ) ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 x5 2 x6 480 2) 0.000000 3.160000 0.000000 3.260000 3) 4 x1 2 x2 6 x5 4 x6 480 3) 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 DO RANGE 6) 0.000000 32.000000 (SENSITIVITY) NO. ITERATIONS= 2 ANALYSIS? No
53.333332 INFINITY
6.666667
80.000000 40.000000
原料最多增加10
时间最多增加53
• 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？ 最多买10桶!否则…
习题
• 补充题：试计算原料增加10桶以后的影子 价格，分析原料是否该继续增加。
例2 奶制品的生产销售计划
1桶 牛奶 或 3千克A1 12小时 1千克
其他约束条件不变
另一模型(课本)
1桶 牛奶 或 12小时
3千克 A1 1千克
获利24元/千克
0.8千克 B1
获利44元/千克
2小时,3元 获利16元/kg 8小时 4千克 A2
1千克
决策 变量 目标 函数 约束 条件
2小时,3元 出售x1 千克 A1, x2 千克 A2， x3千克 B1, x4千克 B2 x5千克 A1加工B1， x6千克 A2加工B2 利润 可简略!
0.75千克 B2
获利32元/千克
Max z 24 x1 16 x2 44 x3 32 x4 3x5 3x6
x1 x5 x2 x6 加工能力 50 3 4 附加约束 4( x1 x5 ) 2( x2 x6 )
2 x5 2 x6 480
非负约束
在例1基础上精加工
获利44元/千克
获利24元/公斤
2小时,3元 获利16元/公斤 8小时 4公斤A2 1千克 获利32元/千克 0.75千克B2 50桶牛奶, 480小时 2小时,3元
0.8千克B1
至多100公斤A1
制订生产计划，使每天净利润最大
• 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投 资？现投资150元，可赚回多少？ • B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？
4公斤A2
获利16元/公斤
1桶 牛奶 或
12小时
3公斤A1
4公斤A2
获利24元/公斤
获利16元/公斤
8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 决策变量 目标函数 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 Max z 24 3x1 16 4 x2 每天获利 原料供应
• linprog
c=[-72 -64];A=[1 1;12 8;3 0];b=[50;480;100]; [x,f]=linprog(c,A,b,[],[],zeros(2,1))
Spreadsheet (Excel规划求解) 能求解的优化模型
• 线性规划 • 整数规划 • 非线性规划
•模型定义:
直接从例1修改的模型
• 设用y1千克A1生产B1, y2千克A2生产B2
目标函数
Max z 24 (3x1 y1 ) 16 (4 x2 y2 ) 44 0.8 y1 32 0.75 y2 3( y1 y2 )
劳动时间
12 x1 8x2000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE
否则影子价格 48会变
2
3 4
50.000000
480.000000 100.000000
10.000000
多元函数 条件极值
本课程重点：模型的建立和结果的分析
编程功 能强
Matlab能求解的优化模型
数学实验书IntLp可
无灵 敏度 分析
Matlab解法
max z 72 x1 64 x2 x1 x2 50 12 x 8 x 480 1 2 s.t. 3 x1 100 x1 0, x2 0
结果解释
最优解下“资源”增加 1单位时“效益”的增 量
VARIABLE X1 X2
ROW SLACK OR SURPLUS
影子价格
2)
3) 4)
0.000000
0.000000 40.000000
48.000000
2.000000 0.000000
原料增加1单位, 利润增长48
时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润
st
2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480
VARIABLE
X1 X2
VALUE
20.000000 30.000000
REDUCED COST
0.000000 0.000000
4）3x1<100
end 三 种 资 源 原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
保持影子价格不变的约束右端的变化范围
(目标函数不变)
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
x1 x2 50
12 x1 8 x2 480
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
例1的另一模型
• 设每天加工量 A1, A2 Max z=24A1+16A2 Subject to A1/3+A2/4<=50 12A1/3+8A2/4<=480 A1<=100 A1, A2>=0
NO. ITERATIONS=
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
基变量 （可以非零）
单纯形表
非基变量=0
这里x1, x2已经是基变量，所以 reduced cost 为0
max 72x1+64x2
结果解释
OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000
Lingo解法
Model: Max=72*x1+64*x2; x1+x2<50; 12*x1+8*x2<480; 3*x1<100; end