(同济大学)高等数学课件D7_1矢量
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反常积分
反常积分的概念
反常积分是对于无穷区间上的积分，它分为两类：无穷限的反常积 分和瑕点的反常积分。
反常积分的性质
反常积分具有一些特殊的性质，例如：无穷限的反常积分的结果可 能为无穷大，瑕点的反常积分的结果可能为无穷小。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，计算方法有所不同，常用的方法包括利 用极限理论、幂级数展开等。
法则。
基本公式
02 基本公式包括指数函数的导数、幂函数的导数、对数
函数的导数和三角函数的导数等。
常见函数的导数
03
常见函数的导数包括一次函数的导数、二次函数的导
数、反比例函数的导数和幂函数的导数等。
微分及其应用
01
02
03
微分的概念
微分是函数在某一点处的 近似值，即函数在该点的 切线截距。
微分的几何意义
柯西中值定理
进一步揭示了函数在某点处的导数与该点附近函数的平均值之间的关系，是微分学中的重要定理之一。
洛必达法则
洛必达法则基本内容
在一定条件下，当一个函数的极限为0时，可以 应用洛必达法则求其导数的极限。
洛必达法则的应用
适用于求一些复杂函数的极限，简化计算过程 。
洛必达法则的条件
只有在满足一定条件下才能使用洛必达法则，否则可能导致错误的结果。
反常积分的应用
• 总结词：反常积分是定积分的一种推广形式，它可以用来求解更广泛的一类问 题。反常积分的应用包括物理、工程、经济等领域。
• 详细描述：反常积分是定积分的一种推广形式，它可以用来求解更广泛的一类 问题。反常积分有两种类型：无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。 无穷区间上的反常积分可以用来求解函数在无穷区间上的积分，而无界函数的 反常积分可以用来求解函数在有限区间上的瑕积分。反常积分的应用非常广泛 ，包括物理、工程、经济等领域。例如，在物理学中，反常积分可以用来求解 量子力学中的波函数问题、电动力学中的电磁场问题等；在工程学中，反常积 分可以用来求解流体动力学中的问题、热传导问题等；在经济领域，反常积分 可以用来求解贴现问题、投资组合问题等。
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1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
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L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2
2
例 求柱面 x3 y3 1在球面 x2 y2 z2 1内
的侧面积.
2019/5/6
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线
联计
联计 面
积
系算
系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
其中 L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y 0.
2019/5/6
24
例 计算
L
xdy 4x2
yyd2x，其中L是以
1,
0
为
为中心，R为半径 R 1的圆，逆时针方向
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
3
2
1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
y
1
o
x
-1
y
(3) 取整函数 y=[x]
4
[x]表示不超过 x 的最大整数
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
同济大学高等数学上课件D矢量
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
假设 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 那么称此 k 个向量共面 .
第四页，共28页。
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法
的坐标为 M(x,y,z),那
么
z
O M O N M O O A O BC C
O Axi, O Byj,OC zk
r x i y j zk (x,y,z)
ko i
j
r
M
B y
A
此xi式,y 称 j为,z向k 称 量 r 的为 坐标r 分沿向 解三式个坐, 量 标轴方向的x分向量. N
试 a 与 用 b 表 M ,示 M A ,M B ,M C . D
解: abAC2MC2MA
D
C
baBD2MD2MB b
M A 1 2(ab) MB 1 2(ba)A M C 1 2(ab) M D 1 2(ba)
M aB
第十页，共28页。
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的根本概念
第十四页，共28页。
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四、利用坐标作向量的线性运算
设 a (a a x,b a y ,( a a zx ) b , b x ,( a b y x ,b b y y ,,b a zz ), b z 为)实数，那么
a(ax,ay,az)
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时 ,
得两点间的间隔 公式:
A
ABAB ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
假设 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 那么称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法
的坐标为 M(x,y,z),那
么
z
O M O N M O O A O BC C
O Axi, O Byj,OC zk
r x i y j zk (x,y,z)
ko i
j
r
M
B y
A
此xi式,y 称 j为,z向k 称 量 r 的为 坐标r 分沿向 解三式个坐, 量 标轴方向的x分向量. N
试 a 与 用 b 表 M ,示 M A ,M B ,M C . D
解: abAC2MC2MA
D
C
baBD2MD2MB b
M A 1 2(ab) MB 1 2(ba)A M C 1 2(ab) M D 1 2(ba)
M aB
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的根本概念
第十四页，共28页。
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四、利用坐标作向量的线性运算
设 a (a a x,b a y ,( a a zx ) b , b x ,( a b y x ,b b y y ,,b a zz ), b z 为)实数，那么
a(ax,ay,az)
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时 ,
得两点间的间隔 公式:
A
ABAB ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
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质点的速度：v dx dx d dt d dt
Asin 0 Asint 0
.
例1 求匀速直线运动的速度：
t 0
t
若设 t 0时, s s0
0 s0
则：s s0 vt,
s
所以速度：v ds ds0 d vt 0 v dt v
dt dt dt
dt
例2 求匀加速直线运动的速度：
一般地： 所以，矢径或其末端的点P都可以
a axi ay j azk 用三个坐标（x，y，z）来表示.
其上中的分，量ax、或a投y、影a。z或而x、axyi、, azy分j, a别zk称则为称矢分量矢在量X（、分Y、向Z量轴）
注意：分量是代数量（可正. 可负）！
由 r xi y j zk 或 P（x，y，z）可知：
.
四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）
1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：
A Fscos F s cos F, s f s
θ
一般地：a
b
a
b
cos a,b
a
Pr jab
b
Pr jba
2.两个推论：
注意；“点”不能掉！
（1）a a
所以可得：a
dv dt
d ds dt dt
d 2s dt 2
或
a
v s
s
这种导数的导数称为二阶导数。
一般地，y对x的二阶导数为：y
d dx
dy dx
d2y dx2
类似地，可定义三阶、四阶…导数，统称高阶导数。
例：匀速直线运动 s s0 vt,
v ds v dt
加速度
a
d 2s dt 2
同济版高数课件PPT课件
1
e . 试证 limn f 1 f 2 f n n n n n
ln f ( x )dx
0
证明 利用对数的性质得
lim n f 1 f 2 f n n n n n
eln lim n n
f
1 n
f
2 n
f
n n
19
极限运算与对数运算换序得
三、利用定积分的定义计算积分 b xdx ，( a b ) . a
25
四、利用定积分的几何意义，说明下列等式：
1
1、
1 x2dx ;
0
4
2、
2
cos
xdx
2
2 cos xdx
0
;
2
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是水深 h 的 函数，且有
p 9.8h(千米 米2 )，若闸门高H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水
b
f ( x)dx 0.
a
48
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
49
性质5的推论：
51
性质6 设M 及m 分别是函数
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
a
f ( x)dx
b
a f ( x)dx
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来度量, 对于两个轴之间的夹角则看作是两向量的夹角.
14
第五 章 向量与空间解析几何
1、向量的投影及投影定理
通过空间一点 A 作 u 轴的垂直平面（见图 5-9），该平面与u 轴的交点 A 称
为点 A 在 u 轴上投影.
A
A＇
u
图5-9
15
第五 章 向量与空间解析几何
1、向量的投影及投影定理
C(x,0,z)
z
B(0,y,z)
r
M
O
x
y
Q(0,y,0)
P(x,0,0)
A(x,y,0)
图5-6
9
一、空间直角坐标系
第五 章 向量与空间解析几何
设 M1 x1, y1, z1 、 M2 x2 , y2 , z2 为空间两个点（见图 5-7），通过M1 、 M 2 各作
三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以M1 、 M 2 为对角线的长
在 zOx 平面上： y 0 ，故对应点的坐标为C(x, 0, z) .
在 x 轴上： y z 0 ，点的坐标为 P(x, 0, 0) ；
R(0,0,z)
在 y 轴上： z x 0 ，点的坐标为Q(0, y, 0) ；
在 z 轴上： x y 0 ，点的坐标为 R(0, 0, z) .
如果向量 AB 的始点 A 与终点 B 在 u 轴上的投影分别为 A 、B（ 见图 5-10），
则 u 轴 上 的 有 向 线 段 AB 的 值 A B 称 为 向 量 AB 在 u 轴 上 的 投 影 ， 记
作 Pr ju AB AB ， u 轴称为投影轴.
注 值 AB 是指其绝对值等于 AB 的
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轴上的分向量. 解: 因
备用题
故在 x 轴上的投影为 a x=13
r r 在 y 轴上的分向量为 ay j = 7 j
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2. 设 m = i + j, n = 2 j + k, 求以向量 m, n 为边的平 行四边形的对角线的长度 . 解: 对角线的长为
| m n |
M2M3 = (5 7)2 + (2 1)2 + (3 2)2 = 6 M1M3 = (5 4)2 + (2 3)2 + (3 1)2 = 6 ∴ M2M3 = M1M3
即 M1M2M3 为等腰三角形 .
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M1 M2
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M3
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例5. 在 z 轴上求与两点 离的点 .
及
11
11
原点 O(0,0,0) ;
坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
r
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0)
A(x, y,0)
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z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
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解: 2×① -3×② , 得
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 r r r ① 5 x 3 y = a
r r r x = 2a 3b = (7, 1,10)
代入②得 r 1 r r y = (3 x b) = (11, 2,16) 2
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例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 a4 a3
a5
s
a2
a1
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2. 向量的减法
a
三角不等式
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3. 向量与数的乘法
r λ 是一个数 , λ 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 λ a .
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一,向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 向量的模 : 向量的大小, 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
MD = 1 ( b a) 2
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D
b
C
b a = BD
MC = 1 ( a + b) 2
∴ MA = 1 ( a + b) MB = 1 (b a ) A 2 2
M a B
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三,空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
中点公式: 中点公式
x1+ x2 , 2
y1+ y2 , 2
z1+ z2 2
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B M
结束
向量的模,方向角, 五,向量的模,方向角,投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
R
o
z
M Q y
N
r r 设 r = (x, y , z ), 作OM = r , 则有 r r = OM = OP + OQ + OR
及实数 λ ≠ 1,
AM = λ MB AM = OM OA MB = OB OM
OM OA = λ (OB OM )
得 即
A M B
o
A
B M
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OM = 1 ( OA + λ OB ) 1+λ 1 (x + λx , y + λy , z + λz ) 2 1 2 1 2 1+λ 1
cos γ =1 cos α cos β = 1 4
2
o
OA= OA OA = 6( 1 , 2
故点 A 的坐标为 (3, 3 2, 3).
2 1 , ) 2 2 = (3, 3
2, 3)
作业
P300
3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
r r r r r r r r r r r 1. 设 m = 3 i + 5 j + 8k , n = 2 i 4 j 7 k , p =5i + j r r r r r 求向量 a = 4 m + 3n p 在 x 轴上的投影及在 y 4k ,
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 坐标分解式
C r r r r M k j B ro y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量 分向量. 分向量
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r r 设 a = ( ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) , λ 为 数, 实 则 r r a ±b = (ax ± bx , ay ± by , az ± bz ) r (λ a , λ a , λ a ) λa = x y z
z z 轴(竖轴)
yoz面
坐标原点 坐标轴 坐标面
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
卦限(八个) Ⅶ
oxoy面
y
y轴(纵轴) Ⅵ
x
x轴(横轴) Ⅷ Ⅴ
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在直角坐标系下
→ → 点 M ← 有序数组 (x, y, z) ← 向径 r (称为点 M 的坐标 坐标) 坐标 特殊点的坐标 :
平行向量对应坐标成比例:
四,利用坐标作向量的线性运算
r r 当a ≠ 0 时 ,
bx by bz = = ax ay az
bx = λ ax by = λ ay
bz = λ az
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r r r ② 3 x 2 y = b r r 其 a = 2,2 , b = 1, 2 . 中 ( 1, ) ( 1, )
等距
解: 设该点为 M(0, 0, z) , 因 MA = MB , 为
(4) +1 + (7 z) = 32 + 52 + (2 z)2
2
2
2
解得 思考: 思考
故所求点为 M(0, 0, 14 ) .
9
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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提示: 提示 (1) 设动点为 M(x, y , 0) ,利用 MA = MB , 得 且 (2) 设动点为 M(x, y , z) , 利用 MA = MB , 得 例6. 已知两点
o
和
求
AB = 1 (3 , 1, 2) 解: AB = 14 AB 3 1 2 ) =( , , 14 14 14
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二,向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
( a + b) + c
c
b+ c b
b a+ b
三角形法则:
a + (b + c)
a
a+ b b
a+ b
a
运算规律 : 交换律
a +b = b + a 结合律 ( a + b) + c = a + (b + c ) = a + b + c
规定 :
可见 r r r r 总之: λa = λ a 1a = a ; r r r r r 运算律 : 结合律 λ( a) = (λ a) = λ a 1a = a ;
r r r r λ(a + b) = λ a + λ b 1 r ro r r r a. 因此 a = a ao 则 单 向 a = a 有 位 量 r
故 λ = 0, 即λ = .
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"
" 已知 b=λ a , 则 b=0 a , b 同向 a , b 反向 ABCD 对角线的交点,
a‖b
例1. 设 M 为 解:
试 a 与b 表 MA, MB, MC, MD. 用 示
a +b = AC
= 2 MA = 2 MB
方向余弦的性质:
z
r γ r β o α x
y
机动
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例7. 已知两点
和
计算向量
的模 ,方向余弦和方向角 . 解:
M1M2 = ( 1 2, 3 2 , 0 2 )
= (1, 1, 2 )
(1)2 +12 + ( 2)2 = 2
1 cos β = , 2
2π , 3
π
3
,
2 cosγ = 2 3π 4
由勾股定理得
r r = OM
对两点 与 因
P x
备用题
故在 x 轴上的投影为 a x=13
r r 在 y 轴上的分向量为 ay j = 7 j
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2. 设 m = i + j, n = 2 j + k, 求以向量 m, n 为边的平 行四边形的对角线的长度 . 解: 对角线的长为
| m n |
M2M3 = (5 7)2 + (2 1)2 + (3 2)2 = 6 M1M3 = (5 4)2 + (2 3)2 + (3 1)2 = 6 ∴ M2M3 = M1M3
即 M1M2M3 为等腰三角形 .
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M1 M2
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M3
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例5. 在 z 轴上求与两点 离的点 .
及
11
11
原点 O(0,0,0) ;
坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
r
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0)
A(x, y,0)
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z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
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解: 2×① -3×② , 得
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 r r r ① 5 x 3 y = a
r r r x = 2a 3b = (7, 1,10)
代入②得 r 1 r r y = (3 x b) = (11, 2,16) 2
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例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 a4 a3
a5
s
a2
a1
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2. 向量的减法
a
三角不等式
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3. 向量与数的乘法
r λ 是一个数 , λ 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 λ a .
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一,向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 向量的模 : 向量的大小, 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
MD = 1 ( b a) 2
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D
b
C
b a = BD
MC = 1 ( a + b) 2
∴ MA = 1 ( a + b) MB = 1 (b a ) A 2 2
M a B
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三,空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
中点公式: 中点公式
x1+ x2 , 2
y1+ y2 , 2
z1+ z2 2
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B M
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向量的模,方向角, 五,向量的模,方向角,投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
R
o
z
M Q y
N
r r 设 r = (x, y , z ), 作OM = r , 则有 r r = OM = OP + OQ + OR
及实数 λ ≠ 1,
AM = λ MB AM = OM OA MB = OB OM
OM OA = λ (OB OM )
得 即
A M B
o
A
B M
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OM = 1 ( OA + λ OB ) 1+λ 1 (x + λx , y + λy , z + λz ) 2 1 2 1 2 1+λ 1
cos γ =1 cos α cos β = 1 4
2
o
OA= OA OA = 6( 1 , 2
故点 A 的坐标为 (3, 3 2, 3).
2 1 , ) 2 2 = (3, 3
2, 3)
作业
P300
3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
r r r r r r r r r r r 1. 设 m = 3 i + 5 j + 8k , n = 2 i 4 j 7 k , p =5i + j r r r r r 求向量 a = 4 m + 3n p 在 x 轴上的投影及在 y 4k ,
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 坐标分解式
C r r r r M k j B ro y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量 分向量. 分向量
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r r 设 a = ( ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) , λ 为 数, 实 则 r r a ±b = (ax ± bx , ay ± by , az ± bz ) r (λ a , λ a , λ a ) λa = x y z
z z 轴(竖轴)
yoz面
坐标原点 坐标轴 坐标面
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
卦限(八个) Ⅶ
oxoy面
y
y轴(纵轴) Ⅵ
x
x轴(横轴) Ⅷ Ⅴ
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在直角坐标系下
→ → 点 M ← 有序数组 (x, y, z) ← 向径 r (称为点 M 的坐标 坐标) 坐标 特殊点的坐标 :
平行向量对应坐标成比例:
四,利用坐标作向量的线性运算
r r 当a ≠ 0 时 ,
bx by bz = = ax ay az
bx = λ ax by = λ ay
bz = λ az
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r r r ② 3 x 2 y = b r r 其 a = 2,2 , b = 1, 2 . 中 ( 1, ) ( 1, )
等距
解: 设该点为 M(0, 0, z) , 因 MA = MB , 为
(4) +1 + (7 z) = 32 + 52 + (2 z)2
2
2
2
解得 思考: 思考
故所求点为 M(0, 0, 14 ) .
9
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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提示: 提示 (1) 设动点为 M(x, y , 0) ,利用 MA = MB , 得 且 (2) 设动点为 M(x, y , z) , 利用 MA = MB , 得 例6. 已知两点
o
和
求
AB = 1 (3 , 1, 2) 解: AB = 14 AB 3 1 2 ) =( , , 14 14 14
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二,向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
( a + b) + c
c
b+ c b
b a+ b
三角形法则:
a + (b + c)
a
a+ b b
a+ b
a
运算规律 : 交换律
a +b = b + a 结合律 ( a + b) + c = a + (b + c ) = a + b + c
规定 :
可见 r r r r 总之: λa = λ a 1a = a ; r r r r r 运算律 : 结合律 λ( a) = (λ a) = λ a 1a = a ;
r r r r λ(a + b) = λ a + λ b 1 r ro r r r a. 因此 a = a ao 则 单 向 a = a 有 位 量 r
故 λ = 0, 即λ = .
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"
" 已知 b=λ a , 则 b=0 a , b 同向 a , b 反向 ABCD 对角线的交点,
a‖b
例1. 设 M 为 解:
试 a 与b 表 MA, MB, MC, MD. 用 示
a +b = AC
= 2 MA = 2 MB
方向余弦的性质:
z
r γ r β o α x
y
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例7. 已知两点
和
计算向量
的模 ,方向余弦和方向角 . 解:
M1M2 = ( 1 2, 3 2 , 0 2 )
= (1, 1, 2 )
(1)2 +12 + ( 2)2 = 2
1 cos β = , 2
2π , 3
π
3
,
2 cosγ = 2 3π 4
由勾股定理得
r r = OM
对两点 与 因
P x