向量空间及子空间
向量空间与子空间的基本概念
向量空间与子空间的基本概念向量空间是数学中的一个重要概念，它是一种拥有加法和数乘运算的集合，这些运算满足一些基本性质。
而子空间则是向量空间中的一部分，它也是一个向量空间，具有与原向量空间相同的加法和数乘运算。
一、向量空间的定义向量空间是指一个非空集合V及其上的“加法"+"和数乘"·"运算，满足以下条件：（1）对于任意x, y∈V，其和x + y也在集合V中。
（2）对于任意x∈V，k∈R（实数域），则有kx∈V。
（3）满足交换律、结合律、分配律和存在零元素和负元素的运算法则。
（4）向量空间V中有加法单位元素，即有一个向量0∈V，使得对于任意的x∈V都有x+0=x。
（5）向量空间V中的每个向量x∈V都有一个负元素-x∈V，使得x+(-x)=0。
二、子空间的定义子空间是指一个向量空间的某个非空子集W，其自身也是一个向量空间，它包含在原始向量空间中。
若W是一个向量空间，则它必须满足以下条件：（1）对于任意x, y∈W，其和x + y也在集合W中。
（2）对于任意x∈W，k∈R，有kx在W中。
（3）包含0向量。
当子空间W是包含原始向量空间V中所有符合以上定义的向量的集合时，W就是V的子空间。
三、子空间的性质1.子空间可以是原始向量空间的一个平面、一条直线、一个点、一根坐标轴，或者一个原始向量空间的一个超平面。
例如在三维空间中，一个平面就是一种子空间。
2.子空间的维数小于或等于原始向量空间的维数。
3.子空间的基底通常来自原始向量空间的基底。
子空间也可以通过列向量等方式来表示，并且子空间具有很多与原始向量空间相同的属性和操作。
四、向量空间的例子（1）N维实数空间R^n，其中n∈N+。
（2）一个矩阵的行或列向量的集合。
（3）多项式函数的向量空间P_n五、子空间的例子（1）实数数轴R可以作为实数空间R^2的一个子空间。
（2）空集合和R是R的子空间。
（3）零矩阵的集合和行和列和都为0的矩阵的集合是矩阵向量空间的子空间。
线性代数中的向量空间与子空间
线性代数中的向量空间与子空间线性代数是现代数学的基础学科之一，它研究的是向量、向量空间和线性变换等概念及其性质。
在线性代数中，向量空间是一个重要的概念，它是由一组向量和与标量乘法以及向量加法相容的运算所构成的数学结构。
而子空间则是向量空间的一个重要的概念，它指的是一个向量空间中的一个子集，同时也是一个向量空间。
1. 向量空间的定义向量空间是由一组向量和两种运算所构成的数学结构。
具体地说，向量空间必须满足以下几个条件：- 向量空间中的任意两个向量的和仍然属于该向量空间。
- 向量空间中的任意一个向量与任意一个标量的乘积仍然属于该向量空间。
- 向量空间中存在一个零向量，它与任意向量的和都等于该向量本身。
2. 子空间的定义与性质子空间是一个向量空间中的一个子集，并且也是一个向量空间。
具体地说，子空间必须满足以下几个条件：- 子空间中的任意两个向量的和仍然属于该子空间。
- 子空间中的任意一个向量与任意一个标量的乘积仍然属于该子空间。
- 子空间中存在一个零向量，它与任意向量的和都等于该向量本身。
子空间的几个重要性质包括：- 子空间的任意非空交集仍然是一个子空间。
- 子空间的维数不超过其所在的向量空间的维数。
- 子空间与原向量空间之间存在一一对应关系。
3. 子空间的示例在线性代数中，有许多常见的子空间存在，包括：- 零空间：由使得线性变换为零向量的所有向量组成。
- 列空间：由所有线性变换的列向量所张成的空间。
- 行空间：由所有线性变换的行向量所张成的空间。
- 切空间：由曲线或曲面上的切向量所张成的空间。
4. 向量空间与子空间的重要性向量空间和子空间在数学和应用中具有重要的地位。
它们不仅可以用来描述线性系统的性质，还可以应用于物理学、计算机科学等领域中。
通过对向量空间和子空间的研究，我们可以更好地理解线性变换和矩阵运算的本质，进而应用于解决实际问题。
5. 总结线性代数中的向量空间和子空间是重要的数学概念。
向量空间是一个由向量和两种运算构成的数学结构，而子空间则是一个向量空间的子集，同时也是一个向量空间。
线性代数——向量空间
(2) V2={x=(0, x2, … ,xn)T| x2, … ,xnR}
例4 下列集合中哪些是 R3 中的子空间, 设 x=(x1,x2,x3)T.
(1) L1 { x R 3 | x3 1}; ( 2) L2 { x R 3 | x3 0}; ( 3) L3 { x R 3 | 2 x1 3 x2 x3 0}; (4) L4 { x R 3 | 2 x1 3 x2 x3 1}.
(3) 零向量空间称为零维向量空间, 故没有基； (4) 若将线性空间V 看作向量组, 则V 的基就是这些向 量组的极大无关组, 即dim(V )= r ( | V ). 例如 dim(L(1, 2, … ,s))=r (1, 2, … ,s).
V { x x11 x r r } L(1 ,, r ) 即V 是由它的基所生成的线性空间。 (6) 列向量 1 , 2 , , n 为Rn一组基 12 n 0.
(1) , (2) ( ) ( ) ,
(3) 在 V 中有一个元素0, 对于 V 中的任意元素 , 都有 0 , 称元素 0 为 V 中的零元素。 (4) 对 V 中每一个元素 , 都有 V 中的元素 , 使得 0, 称为 的负元素, 记作－ , 即 ( ) 0, (5) 对数域 F 中的数 1 和 V 中任一元素 , 都有 1 , (6) k ( l ) ( kl ) , (7) ( k l ) k l , (8) k ( ) k k . 【注】1. V = {0} 称为数域 F 上的零空间. 2. 线性空间是比向量空间更具有普遍性的概念. 由于 线性空间是从向量空间抽象出来的, 所以线性空间的 元素也称为向量, 线性空间也称为向量空间.
[考研数学]自考线性代数第二章向量空间
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第二章 向量空间打印本页内容提要：n 维向量的概念：向量的线性运算：向量空间及其子空间的概念。
向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩的概念，向量空间的基，维数和向量的坐标。
一、向量空间及其子空间1.n 维向量及其线性运算例：坐标原点0（0，0）为起点，以M （x,y ）为终点的向量OM ，称为点M 的位置向量或点M 的向径，可用有序数组（X ，Y ）来表示，而M 1（x 1，y 1）为起点，M 2（x 2，y 2）为终点的向量m 1m 2可用二元有序数组（x 2－x 1，y 2－y 1）表示，类似地，空间中的向量可以用3元有序数组（a 1，a 2，a 3）来表示。
定义： 称由n 个数a 1，a 2……a n 组成的有序数组（a 1，a 2……a n ）为一个n 维向量，数a i 称为该向量的第i 个分量。
（i=1,2……，n ）行向量：（a 1，a 2……a n ）列向量：α,β，x ，y……等来表示向量，用ai, xi, yi ……等来表示向量的分量向量的相等：如果两个n 维向量α=（ a 1，a 2……a n ），β=（ b 1，b 2……b n ）的对应分量相等，即ai=bi （I=1,2……n ）则称向量α与β相等，记为α=β零向量：分量全是零的n 维向量称为n 维零向量，记为0负向量：对于向量α=（a 1，a 2……a n ）称-α=（-a 1,-a 2.……-an ）为α的负向量。
向量的线 性运算：加法运算=（a1,a2,---,an）=（b1，b2，---bn）与的和为：+=（a1+b1，a2+b2，……，an+bn）数乘运算：k（或k）=（ka1，ka2，……，kan）减法运算：-=+（-）=（a1-b1，a2-b2，……an-bn）向量的线性运算法则：（1）+=+（2）（+）+=+（+）（3）+0=（4）+（-）=0（5）1=（6）k（l）=（kl）（7）k（+）=k+k（8）（k+l）=k+l向量的转置和乘法矩阵一致例：设向量=（4，7，-3，2）=（11，-12，8，58）求满足5-2=2（-5）的向量解：∵5-2=2（-5）∴15=2+2∴=（+）=（15，-5，5，60）=（2，，8）由向量的定义，一个mxn的矩阵可以看成是用m个n维行向量：ai=（ai1，ai2，……，ain）（i=1，2，……m）组成的，或看成是由n个m维列向量=（j=1，2，…，n）组成的。
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
向量空间的基本概念
向量空间的基本概念
【例3-19】
证明向量组α1=1,1,2T,α2=3,－1,0T,α3=（2,0,－11）T构成R3的 一组基，并求出向量β=1,－1,7T在此基下的坐标.
证明 要证明α1,α2,α3构成R3的一组基，只需证明α1,α2,α3线性 无关.
构造矩阵A=α1,α2,α3,并对A进行初等行变换：
对于向量空间Rn的一组基α1,α2,…，αn，任取Rn中的 一个向量α，则α可由α1,α2,…，αn线性表示，且表达式是 唯一的.由此，我们引进如下定义：
向量空间的基本概念
定义3-14
设α1,α2,…，αr是向量空间V的一组基，α是V中的向量， 则存在唯一的一组数x1,x2,…,xr，使
α=x1α1+x2α2+…+xrαr 称x1,x2,…,xr为向量α在基α1,α2,…，αr下的坐标. 特别地，在n维向量空间R n中取单位坐标向量组 e1,e2,…,en为基，则以x1,x2,…,xn为分量的向量x=x1,x2,…,xn可 表示为
向量空间的基本概念
二、 向量空间的基与维数
向量空间中的每一个元素都是一个 向量.我们在前面介绍的关于n维向量的 概念（线性组合、相性相关、线性无关 等）及有关结论都可以推广到向量空间 上.为简便起见，在向量空间里，我们直 接利用这些概念和性质.
向量空间的基本概念
定义3-13
设向量组V是Rn的一个子空间，则称向量组V的一个极 大无关组为向量空间V的一组基，并且称向量组V的秩为向量 空间V的维数，记作dimV.
向量空间的基本概念
向量空间的基本概念
一、 向量空间与子空间
定义3-11
设V为n维向量的集合，如果集合V非空且对于向 量的线性运算（向量的加法及数乘运算）封闭，即对任 意的α，β∈V和常数k∈R都有
向量空间与子空间
向量空间与子空间向量空间是线性代数中的基本概念之一，它是由一组向量构成的集合，并且满足一定的线性运算规则。
而子空间则是向量空间中的一个子集，满足特定的性质。
本文将详细介绍向量空间与子空间的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、向量空间的定义及性质1. 向量空间的定义向量空间是一个集合V，其中包含了一些向量，满足以下性质：（1）对于V中的任意两个向量u和v，u + v 仍然属于V，即向量的加法运算封闭；（2）对于任意向量v和标量k，kv 仍然属于V，即向量的数乘运算封闭；（3）向量空间中存在一个零向量0，满足对于任意向量v，v + 0 = v。
2. 向量空间的性质（1）向量空间必须包含零向量0。
（2）向量空间中的任意向量都有相反向量，即对于任意向量v，存在一个向量-w，使得v + (-w) = 0。
（3）向量空间对于加法运算是封闭的，即对于任意向量u和v，u+ v 仍然属于V。
（4）向量空间对于数乘运算是封闭的，即对于任意向量v和标量k，kv 仍然属于V。
二、子空间的定义及性质1. 子空间的定义子空间是向量空间V的一个子集U，满足以下性质：（1）子空间U非空，即存在向量0属于U。
（2）对于U中的任意两个向量u和v，u + v 仍然属于U。
（3）对于U中的任意向量v和标量k，kv 仍然属于U。
2. 子空间的性质（1）子空间必须包含零向量0。
（2）子空间对于加法运算是封闭的，即对于任意向量u和v，u + v 仍然属于U。
（3）子空间对于数乘运算是封闭的，即对于任意向量v和标量k，kv 仍然属于U。
三、向量空间与子空间的应用向量空间与子空间在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 线性方程组的解空间解线性方程组的解构成一个向量空间，而线性方程组的一个特解再加上它的解空间构成了该线性方程组的解集。
2. 多项式空间所有次数不超过n的多项式构成一个向量空间，而次数不超过n的特定类型的多项式构成了一个子空间。
10 向量空间
定义2: 定义
若n维向量空间 U和W满足U ⊆ W , 称U是W的子空间.
如上例： V1 ⊆ R n .
2Байду номын сангаас
2.生成子空间： 生成子空间
V3 = { = k1α1 + k 2α 2 + ⋯ + k mα m k1 , k 2 , ⋯ , k m ∈ R} α
(其中 : α1 , α 2 , ⋯ , α m为n维向量.)
⇒ V = L (α 1 , α 2 , ⋯ , α r )
5
三.向量在基下的坐标 向量在基下的坐标 定义： 定义： 设α1 , α 2 , ⋯ , α r 是向量空间V的基, α ∈ V , 且α = k1α1 + k 2α 2 + ⋯ + k rα r , 则称系数k1，k 2， ，k r为α在基α1 , α 2 , ⋯α r 下的坐标. ⋯
= L(α1 , α 2 , ⋯ , α m )
由α1 , α 2 , ⋯, α m生成的向量空间.
显然V3是R n的子空间.
3
向量空间的基， 二.向量空间的基，维数及坐标 向量空间的基
定义： 定义：设V是R n中的一个向量空间，若 V中的向量组
α1 , α 2 , ⋯ , α r 满足 (i ) α1 , α 2 , ⋯ , α r 线性无关； (ii ) V中向量均可由α1 , α 2 , ⋯ , α r 线性表示。 则称α1 , α 2 , ⋯ , α r 为V的一个基.
略!
6
例：
证明：向量组 α1 = (−1,2,1), α 2 = (3,−1,0), α 3 = ( 2,2,−2)
是R 3的一个基, 并将向量α = (5,3,−2)由这个基线性表示. 证明： 2 −1 3 2 −1 3 2 −1 3 6 A = 2 − 1 2 → 0 5 6 → 0 5 18 1 0 − 2 0 0 − 0 3 0 5 ∴ r (α1 , α 2 , α 3 ) = 3, α1 , α 2 , α 3线性无关, 所以是基.
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子空间
例
a
设W是R2
中所有形如
3a
,
a R 的向量的集合，
验证W是R2 的一个子空间.
线性代数
子空间
例
a
设W是R2
合，
验证W是R2 的一个子空间.
y
•
•
•
•
•
•
•••••••••
x
0
•
线性代数
子空间
例
V
a1 a2
,
ai
R, i
1, 2
V是否是R3 的一个子空间？
0
线性代数
子空间
例
V
a1 a2
,
ai
R, i
1, 2
V是否是R3 的一个子空间？
0
z
0
y
x
线性代数
生成子空间
定义 设1,2 ,L ,m Rn 是Rn 中的任一组向量，记
1,2 ,L ,m的所有线性组合的集合为 Span(1,2 ,L ,m ),
即
Span(1,2 ,L ,m )
k11 k22 L kmm ki R,i 1, 2,...,m
Span(1,2 ,L ,m ) 为由向量组 1,2 ,L ,m 生成的子空间
线性代数
生成子空间
例如
1
0
1
0
,
2
1
0
0
Span(1,2 )
k11 k22 ki R, i 1, 2
线性代数
生成子空间
例如
1
0
1
0
,
2
1
0
0
Span(1,2 )
k11 k22 ki R, i 1, 2
z
a1
V
a2
,
ai
R, i
1, 2
0
0
y
x
线性代数
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第五章 向量空间和线性方程组解的结构
5.1 向 量 空 间 及 子 空 间
向量空间
定义 设Rn为所有n 维行（列）向量的全体，并在Rn 上定义了如前 的加法和数乘运算，则称Rn 为n 维向量空间.
线性代数
子空间
定义 设W是Rn的一个非空子集，如果 1）对任意的, W , 均有 W ; 2）对任意的 W , 以及任意的 k R, 有 k W . 则称W是Rn的一个子空间.