九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第2课时教案新版北师大版
2.6 应用一元二次方程(第2课时)北师大版九年级数学上册教学详案
第二章一元二次方程6 应用一元二次方程第2课时 销售及变化率问题教学目标教学反思1.会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题.2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识.教学重难点重点：会用列一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率问题.难点：如何找出等量关系.教学过程导入新课某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？探究新知一、温故知新1.某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,则1件的利润是_____;若每天可售出100件,则1天的总利润是_________.2.利润问题的两个主要等量关系:1件的利润＝1件的售价-1件的进价；总利润＝每件的利润×销售总件数.二、知识讲解1.销售问题与一元二次方程例1 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元.调查发现，当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元?分析：本题的主要等量关系是：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元.如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2 900-x）元，每台冰箱的销售利润为（2 900-x-2 500）元，平均每天销售冰箱的数量为台.这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决.解：设每台冰箱降价x元. 根据题意,得.整理,得x2- 300x + 22 500 ＝0.解这个方程,得x1＝x2＝150.教学反思2 900-150 ＝2 750.所以，每台冰箱应定价为2 750元.总结：利润问题常见关系式：(1)利润＝售价－________；(2)利润率；(3)总利润＝____________×销量.2.平均变化率问题与一元二次方程例2 某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率.(2)请你预测4 月份该公司的生产成本.解:(1)设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1-x)2＝ 361.解得x1＝5%，x2＝1.95＞1（不合题意，舍去）.答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×（1-5%）＝ 342.95（万元）.答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95 万元.总结：若平均增长(或降低)的百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b(其中增长取“＋”,降低取“－”).三、练习巩固，拓展提高1.某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8 000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？分析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元，则售价为（50＋x）元，销售量为（500－10x）件，根据等量关系列方程即可.解：设每件商品涨价x元，根据题意，得（50＋x－40）（500－10x）＝8 000，即x2－40x＋300＝0.解得x1＝10，x2＝30.经检验，x1＝10，x2＝30都是原方程的解.当x＝10时，售价为10＋50＝60（元），销售量为500－10×10＝400（件）.当x＝30时，售价为30＋50＝80（元），销售量为500－10×30＝200（件）.∵要尽量减少库存，∴售价应为60元.2.某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率.分析：设3，4月份销售额的月平均增长率为x ，那么2月份的销售额为60（1－10%）万元，3月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）万元，4月份的销售额为60（1－10%）（1＋x ）2万元.解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x .根据题意，得60（1－10%）（1＋x ）2＝121.5，则（1＋x ）2＝2.25，解得x 1＝0.5，x 2＝－2.5（不合题意，舍去）.答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.课堂练习1.某地一月份发生禽流感的养鸡场有100家，后来二、 三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月发生禽流感的养鸡场的增长率为x ，依题意列出的方程是（ ）A.100（1+x ）2＝250B.100（1+x ）+100（1+x ）2＝250C.100（1-x ）2＝250D.100（1+x ）2+100＝2502.某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，若设每件售价为x 元，销售量可表示为（ ）A.×10 B. 200-×10 C. 200-×10 D. 200-0.5（x -10）×103.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元，为了减少库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低（ ）元.A. 0.2或0.3B. 0.4C. 0.3D. 0.24.一件上衣原价为每件500元，第一次降价后，销售甚慢，第二次大幅度降价的百分率是第一次的2倍，结果以每件240元的价格迅速出售，求每次降价的百分率是多少？参考答案1.B2.B3.C4.解：设第一次降价的百分率为x ，则第二次降价的百分率为2x ，根据题意得500(1-x )(1-2x )＝240,解得x 1＝0.2＝20%,x 2＝1.3＝130%（舍去）.答：第一次降价的百分率为20%，第二次降价的百分率为40%.课堂小结(学生总结，老师点评)营销问题中的数量关系：(1)单件商品利润＝单件商品售价－单件商品进价；教学反思(2)利润率＝利润进价＝售价―进价进价；(3)售价＝进价×(1＋利润率)；(4)总利润＝每件商品的利润×商品的销量.布置作业课本习题2.10板书设计6 应用一元二次方程第2课时 销售及变化率问题。
北师大版九年级数学上册《应用一元二次方程》第2课时示范公开课教学设计
第二章一元二次方程6 应用一元二次方程第2课时一、教学目标1.利用一元二次方程解决平均变化率问题和销售问题.2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程.3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤.4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力.二、教学重难点重点：利用一元二次方程解决决平均变化率问题和销售问题.难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例1某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3 月每个月生产成本的下降率都相同. 求每个月生产成本的下降率.分析：设每月生产成本的下降率为x.等量关系：从1月份连续下降两个月后的生产成本=3月份的生产成本解：设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1-x)2＝361.解得x1＝5%，x2＝1.95>1(不合题意，舍去).所以，每个月生产成本的下降率为5%.例2 某商场今年2月份的营业额为440万元，4月份的营业额达到633.6万元．求2月份到4月份营业额的月平均增长率．分析：设2月份到4月份营业额的月平均增长率为x.等量关系：从2月份开始连续增加两个月后的营业额=4月份的营业额解：设2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得440(1＋x)2＝633.6.解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．所以，3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.注意：增长率不可为负，但可以超过1.例3新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500 元.市场调研表明：当销售价为2900 元时，平均每天能售出8 台；而当销售价每降低50 元时，平均每天就能多售出4 台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？分析：售价- 进价= 利润，每台利润×每天的销售量= 每天的总利润设每台冰箱降价x元，售价每降低50 元，多售出4 台.台.售价每降低100 元，多售出4×10050售价每降低x元，多售出4×x台.50解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得) = 5000.( 2900-x-2500)(8+4×x50解这个方程，得x1 = x2 = 150.2900-150 = 2750(元).所以，每台冰箱应定价为2750 元.【做一做】某商场将进货价为30 元的台灯以40 元售出，平均每月能售出600 个.调查发现：售价在40 元至60 元范围内，这种台灯的售价每上涨1 元，其销售量就将减少10 个.为了实现平均每月10 000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？解：设这种台灯售价上涨x元，根据题意，得(40+x-30)(600-10x) = 10000.解这个方程，得x1 = 10,x2 = 40(舍).售价为：40+x = 40+10 = 50(元).应购置台灯：600-10x = 600-10×10 = 500(个).所以，这种台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个.【方法归纳】思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。
最新北师大版九年级数学上册教案(完美版)第二章1.认识一元二次方程第2课时 一元二次方程的根及近似解
第2课时一元二次方程的根及近似解【知识与技能】会进行简单的一元二次方程的试解.【过程与方法】根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.【情感态度】理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.一、情境导入，初步认识学生活动：请同学独立完成下列问题.问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为x2+82=102.整理，得x2-36=0.列表：问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=120.整理，得x2+2x-120=0.列表：【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围.二、思考探究，获取新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评：的解.（2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意.【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.三、运用新知，深化理解1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可.解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值.分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解.3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义来求解.4.x（x-1）=2的两根为（D）A.x1=0，x2=1B.x1=0，x2=-1C.x1=1，x2=2D.x1=-1，x2=25.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（B）A.x1=b，x2=aB.x1=b，x2=1/aC.x1=a，x2=1/aD.x1=a2，x2=b26.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1= 9 ，x2= -9 .7.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值.解：由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=98.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根.解：由题意可知：a+c=b，a-b+c=0，把x=-1代入原方程，得ax2+bx+c=a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c=0∴-1必是该方程的一个根.9.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21xx-）2-2×21xx-+1=0，令21xx-=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法）解决小明给出的问题：求（x2-1）2+（x2-1）=0的根.解：设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，当x2-1=0时，x1=1，x2=-1；当x2-1=-1时，x3=x4=0.∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出结果.四、师生互动，课堂小结本节课应掌握：1.一元二次方程根的概念；2.一个数是否是一元二次方程的根的判断方法；3.求一元二次方程的根的方法.1.布置作业：教材“习题2.2”第1、2题.2.完成练习册中相应练习.本节课通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围，从而会进行简单的一元二次方程的解的计算.。
最新北师大版九年级数学上册教案(完美版)第二章6.应用一元二次方程第2课时 利用一元二次方程解决经济问题
第2课时利用一元二次方程解决经济问题【知识与技能】理解一元二次方程在销售利润、增长率等问题的实际应用.【过程与方法】经历分析具体问题的数量关系、建立方程并解决问题的过程，进一步体会方程在刻画现实世界中数量关系的有效性.【情感态度】根据问题的实际意义检验结果是否合理，增强数学的实际应用意识，体会数学与现实生活的紧密联系.【教学重点】利用一元二次方程解决相关经济问题，根据实际意义检验结果的合理性.【教学难点】根据具体问题的数量关系建立方程模型.一、情境导入，初步认识我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q元，比去年同期增长x%；环境污染比去年降低y%；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题.【教学说明】说明：举出以实际问题为背景的题目，能够培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现了数学在现实生活中的应用价值.建议：创设问题情境，激发学生学习的兴趣和欲望，体现了数学应用于实际的思想.二、思考探究，获取新知两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？思考（1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？（2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为5000（1-x）元，第二年后的成本为5000（1-x）2元，你能列出相应的方程并求出问题的解吗？对于乙种药品呢？【教学说明】思考（1）旨在让学生感受成本下降问题中，成本下降额和成本下降率这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元，后者表示相对变化量，是表示比率的数字，从而全面比较对象的变化状况；思考（2）则进一步让学生感受到两个时间段的平均变化率，如经济增长率、人口增长率等，设平均变化率为x，则有变化前数量×(1+x)2=两年后的数量，由此可得到一元二次方程的数学模型，并确定方程和问题的解，教学过程中，教师应引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，让学生体会到寻找等量关系是解决问题的关键，最后师生共同完成解答过程.三、运用新知，深化理解1.见教材P54例2.2.为落实“两免一补”政策，某市2013年投入教育经费2500万元，预计2015年要投入教育经费3600万元.已知2013年至2015年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2014年该市要投入的教育经费为3000 万元.分析：设增长率为x，根据题意，得2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）（1+x）万元.则2500（1+x）（1+x）=3600，解得x=0.2或x=-2.2（不合题意，舍去）.故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，2014年该市要投入的教育经费为2500（1+20%）=3000（万元）.3.某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案.解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）答：这个增长率是20%.4.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价定为多少时，可使顾客更实惠？解：设销售价提高了x个1元，则每月应少卖出5x件.依题意可列方程为（80+x-60）×(400-5x)=12000.解这个方程，得x1=20，x2=40.显然，当x=40时，销售价为120元，当x=20时，销售价为100元，要使顾客得到实惠，则销售价越低越好，故这种服装的销售价应定为100元合适.【教学说明】让学生学以致用，巩固新知.5.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计，2013年和2012年的近视眼人数只占2011年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数下降的百分率是多少？解：设平均每年的近视眼人数下降的百分率为x，2011年的近视眼人数为a 人，由题意有（1-x）a+(1-x)2·a=75%a，解得x1=0.5，x2=2.5，显然x=2.5不合题意，应舍去，即平均每年近视眼人数下降的百分率为50%.6.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个.因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？分析：利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与定价的关系式，求解即可.解：设每个商品的定价是x元，由题意，得（x-40）［180-10（x-52）］=2000，整理，得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60.当x=50时，进货180-10×（50-52）=200（个）＞180个，不符合题意，舍去；当x=60时，进货180-10×（60-52）=100（个）＜180个，符合题意.答：当该商品每个定价为60元，进货为100个时，商店获利2000元.【教学说明】此题主要考查了一元二次方程的应用.找到关键描述语，建立等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.四、师生互动、课堂小结列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件.方程的解必须进行实际意义的检验.1.布置作业：教材“习题2.10”中第2、4题.2.完成练习册中相应练习.这节课是“列一元二次方程解应用题”，这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运.既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用.在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想.。
九年级数学上册第二章一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题教案2新版北师大版
第2课时利用一元二次方程解决面积问题教学内容本节课主要学习根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类几何图形问题。
教学目标知识技能1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述。
解决问题通过解决封面设计与草坪规划的实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：列一元二次方程解有关问题的应用题难点：发现问题中的等量关系关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型教学准备教师准备：制作课件,精选习题学生准备：复习有关知识,预习本节课内容教学过程一、复习引入【问题】1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？【活动方略】教师演示课件,给出题目．学生口答,老师点评。
【设计意图】复习一些简单几何图形的面积公式,为继续学习建立一元二次方程的数学模型并解决几何图形问题作好铺垫．二、探索新知【问题情境】要设计一本书的封面,封面长27 cm ,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽,左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.【分析】（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）解方程并得出结论,对比几种方法各有什么特点？【解答】依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7,•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7,设上、下边衬的宽均为9xcm,•则左、右边衬的宽均为7xcm,依题意,得：中央矩形的长为（27-18x）cm,宽为（21-14x）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14,则中央矩形的面积是封面面积的．所以（27-18x）（21-14x）=34×27×21整理,得：16x2-48x+9=0解方程,得：x=6334, x1≈2.8cm,x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去）,9x2=1.8cm,7x2=1.4cm因此,上下边衬的宽均为1.8cm,左、右边衬的宽均为1.4cm．【活动方略】教师提出问题学生分组,分别按问题（3）中所列的方程来解答,选代表展示解答过程,并讲解解题过程和应注意问题．在活动中,教师应注意：（1）学生对几何图形的分析能力；（2）学生在未知数的选择上,能否根据情况,灵活处理；（3）在讨论中能否互相合作；（4）解答一元二次方程的能力；（5）学生回答问题时的语言表达是否准确．【设计意图】使学生通过多种方法解几何图形问题,验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比,体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响,丰富解题经验．三、反馈练习1．某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,•上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完？2．有一张长方形的桌子,长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）【活动方略】学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导,并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）【设计意图】检查学生对所学知识的掌握情况.四、应用拓展例1：如图,某中学为方便师生活动,准备在长30 m,宽20 m 的矩形草坪上修两横两纵四条小路,横纵路的宽度之比为3∶2,若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,则路宽应为多少？【分析】（1） 本题中有哪些数量关系？（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？ （3）对比下列两个图形,它们有什么联系与区别？【活动方略】学生分组讨论,画图,上台演示．教师与学生一起评价,总结图形变换的基本原则． 例2：如图（a ）、（b ）所示,在△ABC 中∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P 从点A•开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度运动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度运动．（1）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,经过几秒钟,使S △PBQ =8cm 2．（2）如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,并且P 到B 后又继续在BC 边上前进,Q 到C•后又继续在CA 边上前进,经过几秒钟,使△PCQ 的面积等于12.6cm 2．（友情提示：过点Q•作DQ ⊥CB,垂足为D,则：DQ CQAB AC）分析：（1）设经过x 秒钟,使S △PBQ =8cm 2,那么AP=x,PB=6-x,QB=2x,由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过y 秒钟,这里的y>6使△PCQ 的面积等于12.6cm 2．因为AB=6,BC=8,由勾股定理得：AC=10,又由于PA=y,CP=（14-y ）,CQ=（2y-8）,又由友情提示,便可得到DQ,那么根据三角形的面积公式即可建模．解：（1）设x 秒,点P 在AB 上,点Q 在BC 上,且使△PBQ 的面积为8cm 2．_( a )_B_A_C _Q _P_( b )_B_A_C_Q_D _P则：12（6-x）·2x=8整理,得：x2-6x+8=0解得：x1=2,x2=4∴经过2秒,点P到离A点1×2=2cm处,点Q离B点2×2=4cm处,经过4秒,点P到离A点1×4=4cm 处,点Q离B点2×4=8cm处,所以它们都符合要求．（2）设y秒后点P移到BC上,且有CP=（14-y）cm,点Q在CA上移动,且使CQ=（2y-8）cm,过点Q作DQ⊥CB,垂足为D,则有DQ CQ AB AC=∵AB=6,BC=8∴由勾股定理,得：AC=∴DQ=6(28)6(4) 105y y--=则：12（14-y）·6(4)5y-=12.6整理,得：y2-18y+77=0解得：y1=7,y2=11即经过7秒,点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7）,点Q在CA上距C点6cm处（CQ=•2y-8=6）,使△PCD的面积为12.6cm2．经过11秒,点P在BC上距C点3cm处,点Q在CA上距C点14cm>10,∴点Q已超过CA的范围,即此解不存在．∴本小题只有一解y1=7．【活动方略】教师活动：操作投影,将例题显示,组织学生讨论．学生活动：合作交流,讨论解答。
最新北师大版九年级数学上册精品教案2.6 应用一元二次方程 第2课时
第2课时整体设计教学目标【知识与技能】会分析实际问题中的等量关系,并能够用一元二次方程解决实际问题.【过程与方法】经历用方程解决实际问题的过程,知道解应用题的一般步骤和关键所在.【情感态度与价值观】通过对实际问题的分析,进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型,培养在生活中发现问题、解决问题的能力.教学重难点【重点】列一元二次方程解实际问题.【难点】理解实际问题中变化的量,寻找正确的等量关系.教学准备【教师准备】教材例2投影图片.【学生准备】复习列一元二次方程解决实际问题的步骤.教学过程新课导入导入一:请同学们回忆并回答与利润相关的知识.9折要乘90%或0.9或,那么x折呢?[设计意图]通过回顾,使学生熟悉以利润为背景的实际问题中蕴含的数量关系.导入二:问题:某果园有100棵桃树,平均一棵桃树结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量,经试验发现,每多种一棵桃树,平均每棵桃树的产量就会减少2个.如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树?分析:找出等量关系“现有桃树棵数×每棵桃树的现产量＝现在总产量”和“每棵桃树的现产量＝每棵桃树的原产量-2×多种的桃树棵数”,将未知数代入列出的代数式与方程即可.[设计意图]提出具体的问题,提高学生的探究欲望.新知构建例题讲解[过渡语]同学们,下面我们用一元二次方程来解决生活中的实际问题.(教材例2)新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查发现,当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?〔解析〕找出等量关系“每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5000元”,如果设每台冰箱降价x元,那么每台冰箱的定价就是(2900-x)元,每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元,平均每天销售冰箱的数量为＋台.这样就可以列出一个方程,从而使问题得到解决.解:设每台冰箱降价x元,由题意得:(2900-x-2500)＋＝5000,解方程得x1＝x2＝150,经检验x＝150符合题意,是原方程的解,所以每台冰箱的定价是2900-150＝2750(元).答:每台冰箱的定价应为2750元.[过渡语]同学们,解题思路不应拘泥于这一种,在利用上述方法解完此题后,谁有其他解题的思路和方法?要求定价为多少,直接设每台冰箱的定价应为x元,应如何解决?某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,售价在40元至60元范围内,这种台灯的售价每上涨1元,其销量就将减少10个.为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应购进台灯多少个?〔解析〕设这种台灯的售价应定为x元/个,已知这种台灯的售价每上涨1元,其月销售量就减少10个,为了实现平均每月10000元的销售利润,可列方程求解.解:设这种台灯的售价应定为x元/个,则(x-30)[600-10(x-40)]＝10000,解得x1＝50,x2＝80(不合题意,舍去),∴每月应购进台灯600-10(x-40)＝600-10×10＝500(个).答:这种台灯的售价应定为50元/个,这时应购进台灯500个.[设计意图]通过这两个例题的讲解,进一步巩固列方程解决实际问题的方法.[知识拓展]一元二次方程与增长率问题:若原来的数量为a,平均每次增长或降低的百分率为x,经过第一次调整,就调整到a×(1±x),再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)＝a(1±x)2.(2014·大连中考)某工厂一种产品2013年的产量是100万件,计划2015年产量达到121万件.假设2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率相同.(1)求2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率;(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件?〔解析〕根据提高后的产量＝提高前的产量×(1＋增长率),设年平均增长率为x,则2014年的产量是100(1＋x),2015年的产量是100(1＋x)2,已知计划2015年产量达到121万件,列方程即可求得增长率,然后再求2014年该工厂的年产量.解:(1)设2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率为x,则100(1＋x)2＝121,解得x1＝0.1＝10%,x2＝-2.1(舍去),答:2013年到2015年这种产品产量的年平均增长率为10%.(2)2014年这种产品的产量为100(1＋0.1)＝110(万件).答:2014年这种产品的产量应达到110万件.课堂小结1.用一元二次方程解决实际问题的一般步骤.(1)审:审清题意,已知什么,求什么,已知与未知之间有什么关系;(2)设:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位;(3)列:列代数式,列方程;(4)解:解所列的方程;(5)验:是否是所列方程的根,是否符合题意;(6)答:答案也必须是完整的语句,注明单位且要贴近生活.2.用一元二次方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.所谓的列方程,其实质就是把要求的数用一个未知数(字母)表示,根据题目中提供的条件列出两个代数式,这两个代数式表示同一个量(这两个代数式中至少有一个代数式中要含有未知数),用等号把这两个代数式连接起来就得到了方程.检测反馈1.某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.如果两次降价的百分率都为x,那么x满足的方程是()A.100(1＋x)2＝81B.100(1-x)2＝81C.100(1-x%)2＝81D.100x2＝81解析:已知两次降价的百分率均是x,则第一次降价后价格为100(1-x)元,第二次降价后价格为100(1-x)(1-x)＝100(1-x)2元,根据题意找出等量关系:第二次降价后的价格＝81元,由此等量关系列出方程即可.故选B.2.某市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番,那么这两年中财政净收入的年平均增长率应为多少?解:设原值为1,年平均增长率为x,则根据题意得1×(1＋x)2＝2,解这个方程得x1＝-1,x2＝--1.因为x2＝--1不合题意,舍去,所以x＝-1≈41.4%.答:这两年中财政净收入的年平均增长率约为41.4%.3.为了绿化学校附近的荒山,某校初三年级学生连续三年春季上山植树,至今已成活了2000棵,已知这些学生在初一时种了400棵,若平均成活率为95%,求这个年级学生每年植树数的平均增长率.(精确到0.1%)解:设这个年级学生每年植树数的平均增长率为x,则第二年种了400(1＋x)棵,第三年种了400(1＋x)2棵,三年一共种了400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2棵,三年一共成活了[400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2]×95%棵,根据题意得[400＋400(1＋x)＋400(1＋x)2]×95%＝2000,解这个方程得x1≈0.624＝62.4%,x2≈-3.624＝-362.4%,因为x2＝-362.4%不合题意,舍去,所以x＝62.4%.答:这个年级学生每年植树数的平均增长率为62.4%.4.学校去年年底的绿化面积为5000平方米,预计到明年年底增加到7200平方米,求这两年的年平均增长率.解:设这两年的年平均增长率为x,根据题意得5000(1＋x)2＝7200,即(1＋x)2＝1.44,开方得x＋1＝1.2或x＋1＝-1.2,解得x＝0.2＝20%或x＝-2.2(舍去).答:这两年的年平均增长率为20%.板书设计第2课时1.复习导入2.例题讲解布置作业【必做题】教材第55页随堂练习.【选做题】教材第55页习题2.10的2,4题.。
九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程课时2应用一元二次方程(二)作业课件(新版)北师大
3. [2022包头青山区模拟]某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出,每天可售出 200件,如果这种商品每件的售价每提高0.5元,其销售量就减少10件. (1)应将每件的售价定为多少元,才能使每天的利润为640元? (2)店主想要获得每天800元的利润,小红同学认为不可能.你同意小红同学的说法吗?请 说明理由.
知识点1 平均变化率问题
4. [2021东营中考]“杂交水稻之父” —袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶 段实现了水稻亩产量700公斤的目标,第三阶段实现了水稻亩产量1 008公斤的目标. (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率; (2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 200公斤,请通过 计算说明他们的目标能否实现.
课时2 应用一元二次方程(二)
知识点1 平均变化率问题
1. [2021湘潭中考]为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降 价,每瓶零售价由100元降为64元,求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率 为x,可列方程得 ( ) A.100(1-x)2=64 B.100(1+x)2=64 C.100(1-2x)=64 D.100(1+2x)=64
D答.3案4 395+36 833+36 833(1+x)=40 454
知识点1 平均变化率问题
3. [2022武汉江夏区期末]某种产品预计两年内成本将下降36%,则年平均下降率
为
.
答案
3. 20% 设成本为1,年平均下降率为x,依题意列方程,(1-x)2=1-36%,解得 x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去).
答案
知识点2 销售问题
《 应用一元二次方程》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】(第2课时)
第二章一元二次方程2.6 应用一元二次方程第2课时教学设计一、教学目标1．经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．2．在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力．3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力．二、教学重点及难点重点：经历和体验利用一元二次方程解决实际问题的过程，建立数学模型．难点：建立方程模型．三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《一元二次方程的应用》微课.五、教学过程【复习引入】列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？答：列一元二次方程解应用题的一般步骤是：（1）审题：阅读题目，明确已知量与未知量；（2）找等量关系：寻找已知量和未知量之间的联系，用运算符号和等号连接；（3）设未知数：一是直接设所求的量为x，二是间接设与所求的量紧密相关且起着关键性作用的量为x，注意设未知数要带单位；（4）列方程：用含有x的代数式把等量关系中的各个量表示出来，列出方程；（5）解方程：选择合适的方法解方程；（6）检验：首先检验计算是否正确，然后检验每个解是否符合问题的实际意义，再正确取舍；（7）答：就是对实际问题进行回答．教师活动：教师出示问题，引出课题．学生活动：学生倾听、思考，初步了解本节课所要研究的问题．设计意图：通过复习，学会解应用题的思路模式．【探究新知】新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元．调查发现：当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程． 分析：本题的主要等量关系是：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5 000元．如果设每台冰箱降价x 元，那么每台冰箱的定价就是(2 900-x )元，每台冰箱的销售利润为(2 900-x -2500)元，平均每天销售冰箱的数量为(8+4×50x )台．这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决．解：设每台冰箱降价x 元，根据题意，得(2 900-x -2500) (8+4×50x )=5 000． 解这个方程，得x 1=x 2=150．2 900-150=2 750．所以，每台冰箱应定价为2 750元．设计意图：以实际问题作为素材，激发学生解决问题的欲望．通过引导学生分析已知量和未知量的关系，建立一元二次方程从而解决实际问题的过程，让学生进一步了解利用方程解决实际问题的步骤，以及要根据题意对方程的解进行取舍．【典例精析】例 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就将减少10个．为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？解：设每个台灯涨价x 元．根据题意，得(40+x -30)(600-10x )=10 000．解得x 1=10，x 2=40(不合题意，舍去)．所以，每个台灯的售价应定为50元，进货量应为500个．设计意图：培养学生审题、分析数量关系、建立方程模型解决实际问题的能力，并使学生掌握列方程解应用题的一般步骤．【课堂练习】1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（）．A．8人B．9人C．10人D．11人2．某种衬衣原价168元，连续两次降价a%后售价为128元．下面所列方程中正确的是（）．A．168(1+a%)2=128 B．168(1-a%)2=128C．168(1-2a%)=128 D．168(1-a2%)=1283．若两个数的差等于2，积等于15，则这两个数是（）．A．3，5 B．-3，-5C．3,5或-3，-5 D．3，-5或-3，54．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？5．某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．B．2．B．3．C．4．解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得1+x+(1+x)x=81，即(1+x)2=81．所以x+1=9，或x+1=-9．解得x1=8，x2=-10(舍去)．所以(1+x)3=(1+8)3=729＞700．答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，三轮感染后，被感染的电脑会超过700台．5．解：设每张贺年卡应降价x元，根据题意，得(0.3-x)(500+1000.1x)=120．解得x1=0.1，x2=-0.3（不合题意，应舍去）．答：每张贺年卡应降价0.1元．设计意图：让学生加深对所学知识的理解．六、课堂小结列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审题：阅读题目，明确已知量与未知量；（2）找等量关系：寻找已知量和未知量之间的联系，用运算符号和等号连接；（3）设未知数：一是直接设所求的量为x，二是间接设与所求的量紧密相关且起着关键性作用的量为x，注意设未知数要带单位；（4）列方程：用含有x的代数式把等量关系中的各个量表示出来，列出方程；（5）解方程：选择合适的方法解方程；（6）检验：检验两个解是否都符合题意，舍去不符合题意的解；（7）写答．其中关键是找出题中的等量关系．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计2.6 应用一元二次方程（2）1．列一元二次方程解应用题审、找、设、列、解、验、答．。
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本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为元。
每天的销售量/台
每台的销售利润/元
总销售利润/元
降价前
降价后
填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了。
设未知数(未知量成了已知量)，带着未知量去“翻译”题目申的有关信息，然后将这些含有的量表示成等量关系，就是应用题的解题策略。
无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
环
节
三
探索与创新
一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的人数是多少？
课堂小结:
通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？
课中作业
1.P55随堂练习
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利拘泥于这一种，再利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法。如求定价为多少？直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决？
分组讨论：
①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？
②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少。
课中作业：
检查解题过程是否规范完整
巩固练习
环
节
二
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
请你利用方程解决这一问题。
课中作业
完善解题过程
应用一元二次方程
课题
应用一元二次方程（二）
课时安排
共（2）课时
环
节一
探索新知
活动内容：
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？（做了改动，降低难度）
活动目的：通过两道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。
课后作业设计：
1.课本45页习题2.10 1题、2、3、4题
2.《全品学练考》作业手册习题2.10
（修改人：）
板书设计：
2.6应用一元二次方程（第二课时）
1.打x折，售价*0.1x
2.单件利润*销售量=总利润
教学反思：
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