结构力学之三铰拱概要

宋卿体育馆（武汉大学）
建于1936年，采用 钢筋混凝土柱，屋 顶采用三铰拱钢架 结构 ，大跨度空间 和别具一格的山墙、 绿色琉璃瓦随三绞 拱变化转折
三铰拱受力特点: （1）在竖向荷载作用下有水平反力H; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多; （3）拱内有较大的轴向压力N。
拱比梁能更有效的发挥材料作用，适用于较大跨度和 较重的荷载。由于主要受压，便于利用抗压性能好而抗拉 性能差的材料（砖、石、混凝土等)。但基础承受推力， 所以三铰拱的基础比梁的基础要大（桥梁），或需使用拉 杆拱（屋顶）。
(2) 由于推力的存在（前两式右边第二项），拱与相应简 支梁相比：其截面上的弯矩和剪力将减小。弯矩的降低， 使拱能更充分地发挥材料的作用。
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截
面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为正、压 力为负）
三铰拱的内力图
1.画三铰拱内力图的方法 描点法。 2.画三铰拱内力图的步骤 1）计算支座反力 2）计算拱圈截面的内力（可以每隔一定水平距离取 一截面，也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 注： 1）仍有Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 2）M、Q、N图均不再为直线； 3）集中力作用处Q 图将发生突变； 4）集中力偶作用处M 图将发生突变。
l/2 l l/2
0 0 FH 0, FV A FV , F F A VB VB
FP1
A
FP2
C
FP3
B F l/2 l
0 FV B
FH=0是其计算特点之一 (2)计算拉杆内力
取截面I-I之右为隔离体。 由∑MC = 0，得
l FS (FVB FP 3 lCF )/f 2
带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算 受力特点：带拉杆的三铰拱的受力特点与平拱类似，不同的是， 带拉杆的三铰拱由于拉杆的存在，其水平方向不再有支座反力。 即 FH 0 ，而内力多了一个水平力，其大小等于平拱的水平支座 反力。 【例1】试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下 F FP3 FP1 P2 I lCF 的支座反力和内力。 解：该三铰拱由拉杆AB来 阻止支座的水平位移，因 此，拱的一个支座可改为 可动铰支座。相当简支梁 如图所示
瑞士人Robert Maillart（1872－1940）
他用砼创造了技术上适合其特性、视觉上耳目一新的新形式。共设计47座桥 梁，除过3座外，很多桥梁已经连续使用超过80年，几乎完好无损。结构形 式主要位三铰拱和桥面加劲拱。
Salginatobel Brige主跨90米，1930年建成。空腹 箱型三铰拱。他设计的最大跨度的桥，桥的壮丽 景色使它成为马拉尔最著名的设计
公式回顾
(1) 三铰拱支座反力计算公式为
0 FV A FV A 0 FV B FV B
FP1 K C FHA A FVA x y f
FP2 B l/ 2 FVB FHB
FH
0 MC f
l/2 l
(2) 支座反力与 跨度l 和矢高 f（亦即三个铰的位置）
以及荷载情况有关，而与拱轴线形式无关。
第五章 三铰拱 （three-hinged arch ）
内容： 三铰拱的支座反力和内力，合理拱轴。 要求： 1、了解静定拱的合理拱轴线的概念； 2、理解静定拱的基本概念及基本特点； 3、掌握静定拱的反力及内力计算。 重点：静定拱反力、内力的计算。 难点：静定拱的内力计算。
§5-1 概述 一、实例——拱桥（Arch Bridge） 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
三铰拱压力线的求解步骤
设三铰拱所承受荷载如图4-8a所 示，现作其压力线。 第一步，作合力多边形 • 第二步，确定各截面合力的作 用线。 • 第三步，确定压力线 多边形AHIJB是由拱各段的 合力作用线构成的，称为三 铰拱在所给荷载作用下的压 力多边形，简称压力线 。 压力线应通过A、B、C三 个铰的铰心。
(3) 推力 FH与矢高 f 成反比。拱越低，推力越大；如
果矢高 f → 0，则 FH → ∞，这时，三铰在一直线上， 成为几何可变体系。
公式回顾
(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）：
M M 0 FH y
0 FQ FQ cos FH sin 0 FN FQ sin FH cos
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是三 铰拱最合理的拱轴线（ reasonable axis of arch） 。
• 三铰拱的合理拱轴线计算公式：
B FVB
(3)计算拱身内力
钢拉杆（拉力FS） l/2 l/2 l
e1
须注意两个计算特点：一是要考虑偏心矩e1， 二是左、右半跨屋面倾角φ为定值。 于是，可参照式(4-6)写出拱身内力计算式为
M M 0 FS ( y e1 )
0 FQ FQ cos FS sin 0 FN FQ sin FS cos
• 由
• 得
M M Hy
0
=0
y ( x)
M
( x) H
0
上式表明，在竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴 线的纵坐标y与简支梁弯矩图的竖坐标成正比。 关于合理拱轴线不再赘述。
三铰拱的压力线
• 定义：三铰拱任意截 面K上的内力M、Q、 N（图4-7b）有一合力 R，其作用点如图4-7a 所示。拱各个截面内 力的合力作用点的连 线，称为该拱在所给 荷载作用下的压力线
D E
0 FV A
l/2
FCx
I
FCy
C
FP3
F B I
FS
0 MC
FS
l/2
f
FVB
(3)计算拱身内力
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只须用FS去取代FH， 即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为
M M FS y
0
I
FCy
C
FCx
FP3
F B I l/2
FQ F cos FS sin
赵州桥，建于隋大业(公元605-618)年间
世界上最古老的铸铁拱桥（1781年，英国科尔布鲁克 代尔桥)
云南人字桥（保罗 ·波登 ）
• 学名：肋式三铰拱钢 梁桥 • 人字桥自1910年3月1 日通车至今为止，从 未影响过铁路线的畅 通，甚至没有更换过 一个零件，即便是百 年之后，现在的桥梁 工程师也为之惊叹
0 Q
FN F sin FS cos
0 Q
FS
FVB
【例2】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。 解： (1) 计算支座反力
q
0 VB
FH 0, FV A F , F V B F
0 VA
y FH FVA

A
0 M (2)计算拉杆内力： FS C f
x
C
f
压力线的用途
1、确定合理拱轴线。压力线即为三铰拱在 所给荷载作用下的合理拱轴线。 2、确定拱内弯矩不超过某一限值的拱轴线。 譬如，若要求拱的各个截面不出现拉应力， 则压力线应通过拱截面的核心。
关于压力线的求法，不再举例。
FH
A
D E C
f
F I
B
FVB
FVA
拉杆
l/2 l l/2
FP1
A
FP2
C
FP3
B F l/2 l
0 FV B
D E
0 FV A
l/2
(1)计算支座反力
由整体平衡条件∑Fx = 0、 ∑MB = 0和∑MA = 0，可分别求 得
FH
A
FP1
D
FP2
E
I C
lCF FP3
F I
f
B FVB
FVA
拉杆
【讨论】对于如图所示的二次抛物线三铰拱： (1) 当仅在左半跨或右半跨作用均布荷 载q时，其M图都是反对称的，如图所 示；而FQ图都是对称的。
q
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(2) 显见，当全跨同时作用均布荷载q时，M图将为零，FQ图 也将为零(只须将相应内力图相叠加，即可得到验证)，拱仅 受轴向压力FN作用。