结构力学之三铰拱

公式回顾
(1) 三铰拱支座反力计算公式为
FV A FV0 A
FV B FV0 B
FH
M
0 C
f
FHA A FVA
FP1 KC
yf x
FP2 B FHB
l/2
l/
FVB
l2
(2) 支座反力与 跨度l 和矢高 f（亦即三个铰的位置） 以及荷载情况有关，而与拱轴线形式无关。
(3) 推力 FH与矢高 f 成反比。拱越低，推力越大；如 果矢高 f → 0，则 FH → ∞，这时，三铰在一直线上， 成为几何可变体系。
M
0 C
f
(3)计算拱身内力
q
y FH
A FVA
C
x
f
钢l/2拉杆（拉力Fl/S2）
l
B
e1
FVB
须注意两个计算特点：一是要考虑偏心矩e1，
二是左、右半跨屋面倾角φ为定值。 于是，可参照式(4-6)写出拱身内力计算式为
M M 0 FS ( y e1)
FQ FQ0 cos FS sin FN FQ0sin FS cos
第五章 三铰拱 （three-hinged arch ）
内容： 三铰拱的支座反力和内力，合理拱轴。
要求： 1、了解静定拱的合理拱轴线的概念； 2、理解静定拱的基本概念及基本特点； 3、掌握静定拱的反力及内力计算。
重点：静定拱反力、内力的计算。 难点：静定拱的内力计算。
§5-1 概述 一、实例——拱桥（Arch Bridge）
【讨论】对于如图所示的二次抛物线三铰拱：
(1) 当仅在左半跨或右半跨作用均布荷
q
载q时，其M图都是反对称的，如图所
示；而FQ图都是对称的。
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(2) 显见，当全跨同时作用均布荷载q时，M图将为零，FQ图 也将为零(只须将相应内力图相叠加，即可得到验证)，拱仅
M M 0 FS y
I
FCy
FP3
FCx
C
FQ FQ0 cos FS sin
F B
FS
FN FQ0sin FS cos
I
l/2
FVB
【例2】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。
解： (1) 计算支座反力
FH 0, FV A FV0A , F V B FV0B
(2)计算拉杆内力：FS
拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
赵州桥，建于隋大业(公元605-618)年间
世界上最古老的铸铁拱桥（1781年，英国科尔布鲁克 代尔桥)
云南人字桥（保罗 ·波登 ）
• 学名：肋式三铰拱钢 梁桥
• 人字桥自1910年3月1 日通车至今为止，从 未影响过铁路线的畅 通，甚至没有更换过 一个零件，即便是百 年之后，现在的桥梁 工程师也为之惊叹
即 FH 0，而内力多了一个水平水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下
的支座反力和内力。
FP1 FP2 I lCF FP3
解：该三铰拱由拉杆AB来 阻止支座的水平位移，因 此，拱的一个支座可改为 可动铰支座。相当简支梁
FH A
EC
D
f
F
B
FVA
拉杆
I
l/2
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截 面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为正、压 力为负）
三铰拱的内力图
1.画三铰拱内力图的方法 描点法。
2.画三铰拱内力图的步骤 1）计算支座反力 2）计算拱圈截面的内力（可以每隔一定水平距离取 一截面，也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。
受轴向压力FN作用。
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是三
铰拱最合理的拱轴线（ reasonable axis of arch） 。
• 三铰拱的合理拱轴线计算公式：
注：
1）仍有Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 2）M、Q、N图均不再为直线； 3）集中力作用处Q 图将发生突变； 4）集中力偶作用处M 图将发生突变。
带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算
受力特点：带拉杆的三铰拱的受力特点与平拱类似，不同的是，
带拉杆的三铰拱由于拉杆的存在，其水平方向不再有支座反力。
FP1 FP2
FH=0是其计算特点之一
A
C
DE
(2)计算拉杆内力
FV0A
l/2 l
FP3
F l/2
B
FV0B
取截面I-I之右为隔离体。
FCx I FCy FP3
由∑MC = 0，得
C F
FS
(FVB
l 2
FP
3
lCF
)/f
FS
MC0 f
FS
B
I
l/2
FVB
(3)计算拱身内力
在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只须用FS去取代FH， 即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为
三铰拱压力线的求解步骤
设三铰拱所承受荷载如图4-8a所 示，现作其压力线。
第一步，作合力多边形
• 第二步，确定各截面合力的作 用线。
• 第三步，确定压力线 多边形AHIJB是由拱各段的 合力作用线构成的，称为三 铰拱在所给荷载作用下的压 力多边形，简称压力线 。
压力线应通过A、B、C三 个铰的铰心。
压力线的用途
1、确定合理拱轴线。压力线即为三铰拱在 所给荷载作用下的合理拱轴线。 2、确定拱内弯矩不超过某一限值的拱轴线。 譬如，若要求拱的各个截面不出现拉应力， 则压力线应通过拱截面的核心。
关于压力线的求法，不再举例。
公式回顾
(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）：
M M 0 FH y
FQ FQ0 cos FH sin FN FQ0 sin FH cos (2) 由于推力的存在（前两式右边第二项），拱与相应简 支梁相比：其截面上的弯矩和剪力将减小。弯矩的降低， 使拱能更充分地发挥材料的作用。
l/2
FVB
l
如图所示
FP1 FP2
FP3
A
C
B
DE
F
FV0A
l/2
l/2
l
FV0B
(1)计算支座反力
由整体平衡条件∑Fx = 0、 ∑MB = 0和∑MA = 0，可分别求 得
FP1 FP2 I lCF FP3
FH A
EC
D
f
F
B
FVA
拉杆
I
l/2
l/2
FVB
l
FH 0, FV A FV0 A , F V B FV0B
宋卿体育馆（武汉大学）
建于1936年，采用 钢筋混凝土柱，屋 顶采用三铰拱钢架 结构 ，大跨度空间 和别具一格的山墙、 绿色琉璃瓦随三绞 拱变化转折
三铰拱受力特点:
（1）在竖向荷载作用下有水平反力H; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多; （3）拱内有较大的轴向压力N。
拱比梁能更有效的发挥材料作用，适用于较大跨度和 较重的荷载。由于主要受压，便于利用抗压性能好而抗拉 性能差的材料（砖、石、混凝土等)。但基础承受推力， 所以三铰拱的基础比梁的基础要大（桥梁），或需使用拉 杆拱（屋顶）。
瑞士人Robert Maillart（1872－1940）
他用砼创造了技术上适合其特性、视觉上耳目一新的新形式。共设计47座桥 梁，除过3座外，很多桥梁已经连续使用超过80年，几乎完好无损。结构形 式主要位三铰拱和桥面加劲拱。
Salginatobel Brige主跨90米，1930年建成。空腹 箱型三铰拱。他设计的最大跨度的桥，桥的壮丽 景色使它成为马拉尔最著名的设计
•由 •得
M M 0 Hy =0
y( x) M 0 ( x) H
上式表明，在竖向荷载作用下，三铰拱的合理拱轴 线的纵坐标y与简支梁弯矩图的竖坐标成正比。
关于合理拱轴线不再赘述。
三铰拱的压力线
• 定义：三铰拱任意截 面K上的内力M、Q、 N（图4-7b）有一合力 R，其作用点如图4-7a 所示。拱各个截面内 力的合力作用点的连 线，称为该拱在所给 荷载作用下的压力线