结构力学第五章 三铰拱讲解
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结构力学-3.6 三铰拱.ppt
7.5 0.832 9.015kN
kN
9
N图
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000
3.331 1.060 0.600
Q图 kN
对于三铰拱，竖向荷载作用下任意截面上弯矩计算公式为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。
令
M M Hy 0
yx M x
H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁
的弯矩纵标值成比例。
10
例1 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
qc+.f
qc q qc y
yx
f y*
d2y dx2
1 H
d 2M dx2
对简支梁来说，
d2M dx 2
qx
而 qx qc y,
d2y dx 2
1 H
qc
y
即 y y qc , 特征方程为：
HH
2 0
H
H
x
x
y C1e H C2e H
y
ex shx chx ex chx shx
q
y
C
q
A l/2
f
Bx
A
ql x
l/2
2
B
ql 2
[解] 由式 yx M x 先列出简支梁的弯矩方程
H
M x q xl x
2
拱的推力为：
H
M
C
ql 2
f 8f
kN
9
N图
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000
3.331 1.060 0.600
Q图 kN
对于三铰拱，竖向荷载作用下任意截面上弯矩计算公式为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。
令
M M Hy 0
yx M x
H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁
的弯矩纵标值成比例。
10
例1 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
qc+.f
qc q qc y
yx
f y*
d2y dx2
1 H
d 2M dx2
对简支梁来说，
d2M dx 2
qx
而 qx qc y,
d2y dx 2
1 H
qc
y
即 y y qc , 特征方程为：
HH
2 0
H
H
x
x
y C1e H C2e H
y
ex shx chx ex chx shx
q
y
C
q
A l/2
f
Bx
A
ql x
l/2
2
B
ql 2
[解] 由式 yx M x 先列出简支梁的弯矩方程
H
M x q xl x
2
拱的推力为：
H
M
C
ql 2
f 8f
结构力学5三铰拱课件
拱架搭设
根据设计要求，选用合适的材料搭设拱架；
施工流程与工艺要求
02
01
03
拱体安装
按照从两端向跨中的顺序，对称安装拱体构件；
拱顶合拢
在拱顶设置临时支撑，确保拱体稳定；
施工监测
对施工过程进行实时监测，确保施工安全和质量。
施工流程与工艺要求
工艺要求 拱架搭设应符合设计要求，确保稳定性和承载力；
拱体安装应保证构件对接准确，避免出现错位和扭曲；
施工流程与工艺要求
01
临时支撑设置应合理，确保拱体 在合拢过程中保持稳定；
02
施工监测应实时进行，及时发现 和解决施工中的问题。
安装方法与注意事项
安装方法 采用分段吊装法，将拱体分成若干段，分别吊装到位；
对接安装时，应保证对接位置准确，避免出现错位和扭曲；
安装方法与注意事项
• 合拢时，应设置临时支撑，确保拱体稳定。
结构力学5三铰拱课件
目
CONTENCT
录
• 三铰拱概述 • 三铰拱的力学分析 • 三铰拱的设计与计算 • 三铰拱的施工与安装 • 三铰拱的维护与加固
01
三铰拱概述
定义与特点
定义
三铰拱是一种静定结构，由两个 固定端和三个铰链支承构成。
特点
拱顶在竖向荷载作用下主要承受 压力，并通过铰链传递水平推力 ，保持拱的平衡。
保持三铰拱的清洁，避免 积尘、腐蚀等影响其使用 寿命的因素。
紧固与润滑
对三铰拱的连接部位进行 紧固，对活动部位进行润 滑，确保其正常运转。
常见问题与处理方法
1 2
结构损伤
如发现三铰拱出现裂纹、变形等损伤，应立即采 取措施进行修复或更换。
连接松动
根据设计要求，选用合适的材料搭设拱架；
施工流程与工艺要求
02
01
03
拱体安装
按照从两端向跨中的顺序，对称安装拱体构件；
拱顶合拢
在拱顶设置临时支撑，确保拱体稳定；
施工监测
对施工过程进行实时监测，确保施工安全和质量。
施工流程与工艺要求
工艺要求 拱架搭设应符合设计要求，确保稳定性和承载力；
拱体安装应保证构件对接准确，避免出现错位和扭曲；
施工流程与工艺要求
01
临时支撑设置应合理，确保拱体 在合拢过程中保持稳定；
02
施工监测应实时进行，及时发现 和解决施工中的问题。
安装方法与注意事项
安装方法 采用分段吊装法，将拱体分成若干段，分别吊装到位；
对接安装时，应保证对接位置准确，避免出现错位和扭曲；
安装方法与注意事项
• 合拢时，应设置临时支撑，确保拱体稳定。
结构力学5三铰拱课件
目
CONTENCT
录
• 三铰拱概述 • 三铰拱的力学分析 • 三铰拱的设计与计算 • 三铰拱的施工与安装 • 三铰拱的维护与加固
01
三铰拱概述
定义与特点
定义
三铰拱是一种静定结构，由两个 固定端和三个铰链支承构成。
特点
拱顶在竖向荷载作用下主要承受 压力，并通过铰链传递水平推力 ，保持拱的平衡。
保持三铰拱的清洁，避免 积尘、腐蚀等影响其使用 寿命的因素。
紧固与润滑
对三铰拱的连接部位进行 紧固，对活动部位进行润 滑，确保其正常运转。
常见问题与处理方法
1 2
结构损伤
如发现三铰拱出现裂纹、变形等损伤，应立即采 取措施进行修复或更换。
连接松动
5三铰拱.PPT
q qC y 。
q qc y
y f y
y*
因事先
M 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：
d2y 1 d2 M 2 dx H dx 2
对简支梁来说， d M q x 2
2
e
2
qc+.f
M M H y M H f y 0 M y f H
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状 有关。令
M M Hy 0
M x yx H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁 的弯矩纵标值成比例。
例1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
q y C q B l/2 B x A
H
H
y C1e
H
C2 e
x
H H q y a , 代入原方程，a c 设其特解 q y x A ch x B sh x c H H q x 0, y 0 A c 设 x 0, y 0 B 0 q y c ch x 1 悬链线 H
（1）计算支座反力
VA VA
26983 11kN 12 2 6 38 9 VB VB 9 kN 12
（2）内力计算
y2
以截面2为例
4f 44 x l x 312 3 3m l2 12 2
dy dx
x 3
MC 11 6 2 6 3 H 7.5kN f 4
A
l/2
f
M x [解] 由式 y x H
三铰拱PPT课件
F B
FS
FN FQ0sin FS cos
I
l/2
FVB
.
【例2】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。
解： (1) 计算支座反力
F H 0 , F V A F V 0 A , F V B F V 0 B
(2)计算拉杆内力：F S
M
0 C
f
(3)计算拱身内力
q
y FH
A FVA
受轴向压力FN作用。
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是三
铰拱最合理的拱轴线（ reasonable axis of arch） 。
.
• 三铰拱的合理拱轴线计算公式：
.
三铰拱压力线的求解步骤
设三铰拱所承受荷载如图4-8a所 示，现作其压力线。 第一步，作合力多边形
• 第二步，确定各截面合力的作 用线。
• 第三步，确定压力线 多边形AHIJB是由拱各段的 合力作用线构成的，称为三 铰拱在所给荷载作用下的压 力多边形，简称压力线 。 压力线应通过A、B、C三个 铰的铰心。
第五章 三铰拱（ three-hinged arch ）
.
内容： 三铰拱的支座反力和内力，合理拱轴。
要求： 1、了解静定拱的合理拱轴线的概念； 2、理解静定拱的基本概念及基本特点； 3、掌握静定拱的反力及内力计算。
重点：静定拱反力、内力的计算。 难点：静定拱的内力计算。
.
§5-1 概述 一、实例——拱桥（Arch Bridge）
.
结构力学 三铰拱
4 4 yk 2 4(16 4) 3m 求MK 16 MK 0 MK 12.5 4 10 3 20kN.m(下拉)
求MJ
yJ 3m
M
J
0
M J 7.5 4 10 3 30 30 0
3. 求FQ、FN的计算公式
拱轴任意截面D切线与水平线夹角为φ。 相应代梁中， F 设为正方向。
FP1=15kN K FHA A yk 4m
l/2
C f=4m
MC 0
FVA
4m
l l FVA FHA f FP1 0 2 4 0 MC 1 l l FHA ( FVA FP1 ) () f 2 4 f
0 上式中，M C 为代梁C截面弯矩。
M FHB () f
0 ND右 QD右 sin D H cosD 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
三、三较拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯 矩为零的轴线就线为合理拱轴。 三铰拱任一截面弯矩为 M M FH y
超静定拱
拉杆拱 静定拱
拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾
A
起拱线 跨度 l
f l
f
高跨比
l 通常 f l 在1-1/10之间变化，f 的值对内力有 很大影响。
工程实例
拱桥 （无铰拱）
超静定拱
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)
万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥
二、三铰拱的计算
A 12.5kN K左 Fº ＝12.5kN QK左 A 12.5kN
05三铰拱和悬索
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5 三铰拱和悬索
【例5.2】 求三铰拱在沿水平方向均匀分布竖向荷载作 用下的合理拱轴线。
【解】
M y H
0
MC0 H f
M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 MC0=ql2/8 H=ql2/8f
y=4fx(l-x)/l2
抛物线
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5 三铰拱和悬索
（1）在沿水平线均匀 分布的竖向荷载作用下 ，三铰拱的合理轴线为 二次抛物线。
结构力学电子教程
5 三铰拱和悬索
b. 截面D的内力
0 MD MD HyD =12 3-10.5 3 4.5kN m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 QD左 QD 0.832-10.5 (0.555) 4.16kN 左 cos D H sin D (-2） 0 ND左 QD (0.555)-10.5 0.832 9.85kN 左 sin D H cos D =-(-2） 0 QD右 QD 0.832-10.5 (0.555) 4.16kN 右 cos D H sin D =(-12） 0 ND右 QD (0.555)-10.5 0.832 15.4kN 右 sin D H cos D -(-12）
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5 三铰拱和悬索
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5 三铰拱和悬索
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5 三铰拱和悬索
5.4 三铰拱的受力特性
一、三铰拱的受力特征：
0 0 VA VA VB VB ，与拱轴线形状及拱高无关。 （1）竖向反力， （2）H M C 0 推力只与三铰位置及荷载有关，与拱轴线无关。 f f 大，H 小。 （3）在竖向荷载作用下，拱截面上有轴力，轴力较大，是拱的 0 主要内力。 N Q sin H cos
第五章 三铰拱
为拱的跨度，拱顶到拱脚
连线的竖直距离f叫拱高，拱高f与跨度l之比f/l叫高跨 比。
5.1.2
拱的类型
拱的形式一般有无铰拱、两铰拱、三铰拱等几种， 如图3所示。其中无铰拱、两铰拱为超静定结构，三铰拱 为静定结构。
图3
5.1.3
拱的特点
拱与梁的区别主要不在于杆轴线的曲直，而是拱在 竖向荷载作用下会产生水平推力。 正是由于推力的存在， 拱的弯矩要比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，而且 主要承受压力。所以拱结构可用抗压强度较高而抗拉强 度较低的砖、石、混凝土等脆性材料来建造。 另一方面，由于推力的存在，对地基和支承结构的 要求较高。三铰拱式屋架常在两支座之间设置拉杆，以 代替承受水平推力，从而消除了推力对支承结构的影响。 如图3（d）所示。
三铰拱轴线为曲线，曲杆截面的倾角φ随位置而变 化，内力亦随φ而变化。内力计算仍然将三铰拱与相应 跨度、荷载的简支梁相对应求解。
任意一截面D的内力： MD= M0D-H.yD QD= Q0DcosφD-H. sinφD ND=-Q0DsinφD-H. cosφD 截面的倾角φ由轴线方程y=f(x)求得（dy/dx=tanφ ），当X轴向右为正，Y轴向上为正时，左半拱φ取正，右 半拱φ取负。 5.3.2 三铰拱的内力图绘制 将拱沿着跨度方向等分为若干等份，逐点求出内力 值，将内力图的纵坐标垂直于杆轴线画出，然后连接各 点成曲线。
（3） 绘制内力图
图5
5.3.3 三铰拱的合理拱轴 根据三铰拱内力分析知：三铰拱截面轴力较大，弯 矩和剪力较小，为了充分发挥材料的作用，应设法减小 弯矩引起的不均匀正应力。如果使截面弯矩为零，则截 面正应力分布均匀，材料使用最经济。 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的相应拱 轴线称为该荷载作用下的合理拱轴。 如：在某竖向荷载作用下，三铰拱任一截面的弯矩 为： M=M0-H.y 令 M0-H.y=0 则：y=M0/H 由此可见:当拱上荷载为已知时，只要求出相应简支 梁的弯矩方程，然后除以支座水平推力H，即可求得合理 拱轴的轴线方程。
结构力学——组合结构-三铰拱ppt课件
（A,B,C三铰在一直线上，成为几何瞬变体。）
.
②拱内力计算：
QM
P1
N
D
HA
VA
弯矩：受拉侧做弯矩图； 剪力：垂直于拱轴线的切线（顺时针为正)； 轴力：平行于拱轴线的切线(拉为正)。
.
a1
M
P1 D
y HA x
VA
•弯矩：
由 MD0
M V A x P 1 ( x a 1 ) H y 0 M M oH y
C
Mc0q2l /8
l
Mc0 / 6
Mc0 / 6
B
A
C
B
Mc0 / 6
0.207 l 0.586 l 0.207 l
优点：方便，简单； 缺点：截面仍有弯矩。
.
②三铰曲拱：
f MM0Hy (HM c0/ f)
优点：截面弯矩很小或无弯矩； 缺点：曲线杆件施工复杂。
.
③桁架： 上弦、下弦承受弯矩；腹杆承受剪力。
其中：M o V A x P 1 (x a 1 )— 对应点的简支梁弯矩
.
Qo
Q
M
P1
φ
DH
HA
VA
•剪力：
其中：
QQ oco sH sin
Q VAP 1–– 对应点的简支梁剪力
— 切线与水平线所成锐角
（由水平向逆时针为正）
+φ -φ
左右
.
Qo M N
P1
φ
DH
y
HA x
•轴力：
VA
N Q s i n H c os
q M
qr
C
d θ
A
r
任意截面内力：
M q2r(1co )so qrdrsin () q2r(1co )sq2r(1co )s0
.
②拱内力计算：
QM
P1
N
D
HA
VA
弯矩：受拉侧做弯矩图； 剪力：垂直于拱轴线的切线（顺时针为正)； 轴力：平行于拱轴线的切线(拉为正)。
.
a1
M
P1 D
y HA x
VA
•弯矩：
由 MD0
M V A x P 1 ( x a 1 ) H y 0 M M oH y
C
Mc0q2l /8
l
Mc0 / 6
Mc0 / 6
B
A
C
B
Mc0 / 6
0.207 l 0.586 l 0.207 l
优点：方便，简单； 缺点：截面仍有弯矩。
.
②三铰曲拱：
f MM0Hy (HM c0/ f)
优点：截面弯矩很小或无弯矩； 缺点：曲线杆件施工复杂。
.
③桁架： 上弦、下弦承受弯矩；腹杆承受剪力。
其中：M o V A x P 1 (x a 1 )— 对应点的简支梁弯矩
.
Qo
Q
M
P1
φ
DH
HA
VA
•剪力：
其中：
QQ oco sH sin
Q VAP 1–– 对应点的简支梁剪力
— 切线与水平线所成锐角
（由水平向逆时针为正）
+φ -φ
左右
.
Qo M N
P1
φ
DH
y
HA x
•轴力：
VA
N Q s i n H c os
q M
qr
C
d θ
A
r
任意截面内力：
M q2r(1co )so qrdrsin () q2r(1co )sq2r(1co )s0
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• 三铰拱是一种静定的拱式结构，在大跨 度结构上用料比梁省，因而在桥梁和屋 盖中广泛应用。
• 拱的各部名称如下：
拱的基本特点是在竖向荷载作用下会产生水 平推力。水平推力的存在与否是区别拱与梁 的主要标志。
带拉杆的拱：在屋架中，为消除水平推力
对墙或柱的影响，在两支座间增加一拉杆， 由拉杆来承担水平推力，如下图。
铁路拱桥：在桥梁中为了降低桥面高度，可 将桥面吊在拱上。如下图。
拱的特点： 在竖向荷载作用下能产生水平反力。水平反力
产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩，与简支梁相 比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）,应力 沿截面高度分布较均匀。节省材料，减轻自重，能 跨越大跨度。宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石 混凝土等。有较大的可利用空间。
g
ch
g x -1
H
A l/2
C f
B l/2
y
在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。
返回
由截面法可推出三铰拱的内力计算公式为：
注：1、该组公式仅用于两底铰在同一水平线上,且承受竖向荷载； 2、在拱的左半跨φ取正右半跨取负； 3、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 4、 M、Q、N图均不再为直线。 5、集中力作用处Q图将发生突变。 6、集中力偶作用处M图将发生突变。
§5.3 合理拱轴线
其缺点是： 拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下
部结构的 材料用量；
§5.2 反力和内力计算
• 当两支座在同一水平线上时，称为等高 拱或平拱，否则称为斜拱。
• 分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对 比，以便于计算和对比分析拱的受力性 质。
P
C
↓↓↓↓↓
f
一、反力计算 H A
2
0, 得
dN 0
即拱截面上的轴力N为常数。
由于d很小，
由
n
0，
N
sin
d
2
N
dN
sin
d
2
-
qds
0,
取sin d d , 22
得 Nd - qds 0
并略去高阶微量，
故 rN
q
由于N为常数，故r也为常数。
在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。
例： 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy
即:
H
M
0 C
(3)
f
M
0 C
=YA×l／2－P×a
是简支梁的C截
面弯矩
返回
①该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上 且承受竖向荷载。
②三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的 位置）有关，而与拱轴线的形状无关。
③ 水平推力与矢高成反比。
二、内力计算
HA
MN
P
VA
H
xy Q
VA P
YA
d
YA M°
第五章 三铰拱
• 学习目的和要求
• 通过本章学习要求达到： 1. 熟练掌握截三铰拱的反力和内力计算。 2. 了解三铰拱的内力图绘制的步骤。 3. 掌握三铰拱合理拱轴的形状及其特征。
学习内容
1、 三铰拱的组成特点及其优缺点； 2、三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制； 3、三铰拱的合理拱轴线。
§5.1 三铰拱的组成与类型
Q°
M ＝VAA××Mxx－－0 PP××dd－H×y M＝ M°－H×y
P
C
↓↓↓↓↓
f
a l/2
P
x da
l/2
c ↓↓↓↓↓
l
BH
VB YB
Q＝（V －P）×cos－H×sin A
Q＝Q°× cos － H×sin
N＝－（V －P）sin－Hcos A
N＝－Q°sin －Hcos
在荷载、跨度给定时，合 理拱轴线 随 f 的不同而有多 条,不是唯一的。
y（x）=M°(x)／H
M 0 (x) qx (l - x) 2
M 0(x)
=f
M
0 C
M
0 C
ql 2 8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
yq
C
f
A
x
B
y(x) f
M 0 (x)
M
0 C
4f l2
x(l - x)
x l/2
l/2
三铰拱在沿水平均
匀分布的竖向荷载
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
作用下，其合理拱
轴线为一抛物线。
ql/2
l
ql/2ห้องสมุดไป่ตู้
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。
q
n
r
N
t
d / 2
N+dN
d
∵拱处于无弯矩状态，∴各截面上只有轴力。
由
0，
N
cos d
2
- N
dN cos d
dy(2xy) dx2
MH1H0d((xdq2q)xM0(x2)0g
y)
q0 x
q0+γf
dd22My ddx x 2 2
0
-
g yqq(x0)
HH
y Ach
g x Bsh
H
g
H
x
-
q0
g
x 0, y 0 ;
A
q0
g
x 0 , dy 0 ; B 0 dx
y
q0
BH
对拱：∑MB=0
VA=∑MBP/l
VA
a l/2
l/2
VB
对梁：∑MB=0
P
c ↓↓↓↓↓
YA=∑MBP/l
∴ VA=YA （1）
同理 VB=YB （2） YA
a l
YB
由 ∑MC=0
得 VA×l/2 － P×a－H×f=0
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩
H=（VA×l／2－ P×a）／f
• 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩剪 力等于零,只有轴力的拱轴线
∵在荷载、跨度、矢高给
三铰拱的合理轴线
定时，H是一个常数.∴合理拱
在给定荷载作用下使拱内各截面弯 矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。
由 M（x）=M°(x)－Hy(x)=0
可得合理拱轴线方程为
轴线与相应的简支梁的弯矩图 形状相似，对应竖标成比例.
• 拱的各部名称如下：
拱的基本特点是在竖向荷载作用下会产生水 平推力。水平推力的存在与否是区别拱与梁 的主要标志。
带拉杆的拱：在屋架中，为消除水平推力
对墙或柱的影响，在两支座间增加一拉杆， 由拉杆来承担水平推力，如下图。
铁路拱桥：在桥梁中为了降低桥面高度，可 将桥面吊在拱上。如下图。
拱的特点： 在竖向荷载作用下能产生水平反力。水平反力
产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩，与简支梁相 比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）,应力 沿截面高度分布较均匀。节省材料，减轻自重，能 跨越大跨度。宜采用耐压不耐拉的材料 ，如砖石 混凝土等。有较大的可利用空间。
g
ch
g x -1
H
A l/2
C f
B l/2
y
在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。
返回
由截面法可推出三铰拱的内力计算公式为：
注：1、该组公式仅用于两底铰在同一水平线上,且承受竖向荷载； 2、在拱的左半跨φ取正右半跨取负； 3、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 4、 M、Q、N图均不再为直线。 5、集中力作用处Q图将发生突变。 6、集中力偶作用处M图将发生突变。
§5.3 合理拱轴线
其缺点是： 拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下
部结构的 材料用量；
§5.2 反力和内力计算
• 当两支座在同一水平线上时，称为等高 拱或平拱，否则称为斜拱。
• 分析竖向荷载作用下三铰拱的内力和反 力时，与同跨度、同荷载的简支梁相对 比，以便于计算和对比分析拱的受力性 质。
P
C
↓↓↓↓↓
f
一、反力计算 H A
2
0, 得
dN 0
即拱截面上的轴力N为常数。
由于d很小，
由
n
0，
N
sin
d
2
N
dN
sin
d
2
-
qds
0,
取sin d d , 22
得 Nd - qds 0
并略去高阶微量，
故 rN
q
由于N为常数，故r也为常数。
在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。
例： 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy
即:
H
M
0 C
(3)
f
M
0 C
=YA×l／2－P×a
是简支梁的C截
面弯矩
返回
①该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上 且承受竖向荷载。
②三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的 位置）有关，而与拱轴线的形状无关。
③ 水平推力与矢高成反比。
二、内力计算
HA
MN
P
VA
H
xy Q
VA P
YA
d
YA M°
第五章 三铰拱
• 学习目的和要求
• 通过本章学习要求达到： 1. 熟练掌握截三铰拱的反力和内力计算。 2. 了解三铰拱的内力图绘制的步骤。 3. 掌握三铰拱合理拱轴的形状及其特征。
学习内容
1、 三铰拱的组成特点及其优缺点； 2、三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制； 3、三铰拱的合理拱轴线。
§5.1 三铰拱的组成与类型
Q°
M ＝VAA××Mxx－－0 PP××dd－H×y M＝ M°－H×y
P
C
↓↓↓↓↓
f
a l/2
P
x da
l/2
c ↓↓↓↓↓
l
BH
VB YB
Q＝（V －P）×cos－H×sin A
Q＝Q°× cos － H×sin
N＝－（V －P）sin－Hcos A
N＝－Q°sin －Hcos
在荷载、跨度给定时，合 理拱轴线 随 f 的不同而有多 条,不是唯一的。
y（x）=M°(x)／H
M 0 (x) qx (l - x) 2
M 0(x)
=f
M
0 C
M
0 C
ql 2 8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
yq
C
f
A
x
B
y(x) f
M 0 (x)
M
0 C
4f l2
x(l - x)
x l/2
l/2
三铰拱在沿水平均
匀分布的竖向荷载
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
作用下，其合理拱
轴线为一抛物线。
ql/2
l
ql/2ห้องสมุดไป่ตู้
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。
q
n
r
N
t
d / 2
N+dN
d
∵拱处于无弯矩状态，∴各截面上只有轴力。
由
0，
N
cos d
2
- N
dN cos d
dy(2xy) dx2
MH1H0d((xdq2q)xM0(x2)0g
y)
q0 x
q0+γf
dd22My ddx x 2 2
0
-
g yqq(x0)
HH
y Ach
g x Bsh
H
g
H
x
-
q0
g
x 0, y 0 ;
A
q0
g
x 0 , dy 0 ; B 0 dx
y
q0
BH
对拱：∑MB=0
VA=∑MBP/l
VA
a l/2
l/2
VB
对梁：∑MB=0
P
c ↓↓↓↓↓
YA=∑MBP/l
∴ VA=YA （1）
同理 VB=YB （2） YA
a l
YB
由 ∑MC=0
得 VA×l/2 － P×a－H×f=0
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩
H=（VA×l／2－ P×a）／f
• 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩剪 力等于零,只有轴力的拱轴线
∵在荷载、跨度、矢高给
三铰拱的合理轴线
定时，H是一个常数.∴合理拱
在给定荷载作用下使拱内各截面弯 矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。
由 M（x）=M°(x)－Hy(x)=0
可得合理拱轴线方程为
轴线与相应的简支梁的弯矩图 形状相似，对应竖标成比例.