【全国百强校】江苏省启东中学2017届高三(创新班)数学复习学案(无答案)立体几何 第二十课时
江苏省启东中学2017届高三(创新班)数学复习试题：第五课时两条直线的平行与垂直(1)
第五课时 两条直线的平行与垂直（1）教学目标⑴掌握用斜率判定两条直线平行的方法，并会根据直线方程判断两条直线是否平行； ⑵通过分类讨论、数形结合等数学思想的应用，培养学生思维的严谨性和辨证性． 教学重点、难点用斜率判定两条直线平行的方法及斜率不存在时两直线平行关系的讨论．教学过程一、问题情境1．情境：复习回顾直线斜率的几何意义，平面内两条不重合的直线的位置关系．2．问题：斜率刻画了直线的倾斜程度，那么，能否用斜率刻画两条直线的位置关系呢？二、建构数学1．斜率存在时两直线平行的条件：结论：⑴当两条直线的斜率存在时：⑵如果直线1l 和2l 的斜率都不存在： 思考：1．当直线1l 和2l 有斜截式方程1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=时两直线平行的条件．2．直线的一般式方程形式下的平行条件：直线的方向向量：特别的：⑴若斜率存在，则(1,)k ,(,)B A -为直线的方向向量；⑵一般地，对于直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=，122112()A B A B l l =⇔验证是否重合、平行，不需要讨论斜率是否存在．三、数学运用例1．已知直线方程1l ：2470x y -+=，2l ：250x y -+=，证明：1l //2l ．x例2．求证：顺次连结7(23)(5)(23)(44)2A B C D ---， ，， ，， ，， 四点所得的四边形是梯形．例3．⑴两直线20x y k -+=和4210x y -+=的位置关系是 ．⑵若直线1l ：310ax y ++=与2l ：2(1)10x a y +++=互相平行，则a 的值为 ．练习：若直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:320l mx y +-=平行，求m ．例4．求过点(23)A -， ，且与直线250x y +-=平行的直线方程．一般地：与直线0Ax By C ++=平行的直线方程可设为0Ax By m ++=，其中m 待定；四、回顾小结：1．两条不重合直线平行的条件；2．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；3．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法；4．与直线0Ax By C ++=平行的直线方程系方程．五、当堂反馈：1．若直线12=-ay x 和122=-ay x 平行，则实数a 的取值为 ．2．求与直线3490x y ++=平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积是 24的直线方程．。
江苏省启东中学高三数学复习教案：专题复习数学归纳法
专题复习 数学归纳法 一．小题热身：1.用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．解析：当n ≤4时，2n ≤n 2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n 0应取为5.2.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *，n>1)时，第一步应验证________． 答案：1＋12＋13<2 ∵ n ∈N *，n>1，∴ n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13. 3.利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1314时，由k 递推到k ＋1时左边应添加的因式是__________．解析：f(k ＋1)－f(k)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12（k ＋1）.答案：12k ＋1－12（k ＋1）4. 已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f(2n )>112时，则f(2k ＋1)－f(2k )＝________．解析：∵ f(2k ＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1，f(2k )＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ，∴ f(2k ＋1)－f(2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 答案：12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 二．典例解析：题型 证明整除性例1设n ∈N *，f(n)＝3n ＋7n －2.(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求证：对任意正整数n ，f(n)都是8的倍数．(1) 解：代入求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368.(3分)(2) 证明：①当n ＝1时，f(1)＝8是8的倍数，命题成立．(4分)②假设当n ＝k 时命题成立，即f(k)＝3k ＋7k －2是8的倍数，那么当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2＝3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)．因为7k ＋1是偶数，所以4(7k ＋1)是8的倍数．又由归纳假设知3(3k ＋7k －2)是8的倍数，所以f(k ＋1)是8的倍数，所以当n ＝k ＋1时，命题也成立．根据①②知对任意正整数n ，f(n)都是8的倍数．(10分)跟踪训练1：求证：对一切正整数n ，5n ＋2·3n －1＋1能被8整除．证明：①当n ＝1时，原式＝5＋2＋1＝8，能被8整除；② 假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，则5k ＋2·3k －1＋1能被8整除．设5k ＋2·3k －1＋1＝8m ，m ∈N *，当n ＝k ＋1时，5k ＋1＋2·3k ＋1＝5(5k ＋2·3k －1＋1)－4·3k －1－4＝5(5k ＋2·3k －1＋1)－4·(3k －1＋1)，而当k ≥2，k ∈N *时，3k －1＋1显然为偶数，设为2t ，t ∈N *，故5k ＋1＋2·3k ＋1＝5(5k ＋2·3k －1＋1)－4·(3k －1＋1)＝40m －8t(m ，t ∈N *)，也能被8整除， 故当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②可知，对于一切正整数n ，5n ＋2·3n －1＋1能被8整除．题型二 证明等式例2.用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n 4（n ＋1）(n ∈N *)． 证明：① 当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14（1＋1）＝18， 左边＝右边，所以等式成立．② 假设n ＝k(k ∈N *)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋12（k ＋1）[2（k ＋1）＋2]＝k 4（k ＋1）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2） ＝（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14（k ＋1＋1）. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②可知，对于一切n ∈N *等式都成立．变式跟踪2：用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ) 证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立． ② 假设当n ＝k(k ∈N )时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n ∈N 均成立．题型三 证明不等式例3.由下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2(n ∈N *)．证明如下： ① 当n ＝1时，由题设条件知命题成立．。
【全国百强校】江苏省启东中学2017届高三(创新班)数学高中数学选修2-23.1 数系的扩充 学案(无答案)
§3.1 数系的扩充学习目标1．了解引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用；2．经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程；3．理解虚数单位和复数的基本概念以及复数相等的条件．学习重难点数系的扩充过程和复数的基本概念一、问题情境精读教材(教材P109 第一行至第十九行)二、学生活动问题1材料中是从哪两个方面说明数的概念的发展和数系扩充的过程的？问题2 为了满足生活和生产实践的需要，数的概念是如何发展的？问题3从数学内部来看，可从哪两方面看数集如何不断扩充的？x-=在有理数集中无解？问题4 如何解决方程220问题5 数集是按某种“规则”不断扩充的．你能结合数系扩充的过程总结数系的扩充需要遵循哪些原则吗？思考：为集合{}==+∈，，则此数集满足问题5的原则吗？M x x a a b|Q问题6为了使方程210x+=有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．那么，引入的“新数”i有何特征？三、建构数学师生共同活动1．复数的概念：形如i(R)，的数，我们把它们叫做复数．a b a b+∈问题7复数i(R)a b a b，包括实数吗？+∈2．复数集：全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C．问题8数集扩充到复数集后，可以解决哪些实数集中不能解决的问题？请举例说明．3．复数的实部和虚部：复数通常用字母z 表示，即i()z a b a b =+∈，R ，其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．当且仅当0b =时，z 是实数a ；当0b ≠时，z 叫做虚数．特别地， 当0a =且0b ≠时，i z b =叫做纯虚数．4．复数的分类：复数i z a b =+(0)(0)b b =≠，其中，当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数．5．复数相等的条件： i i a c a b c d b d =⎧+=+⇔⎨=⎩，．（其中R a b c d ∈，，，）四、数学运用运用1例1 写出复数4，23i -，0，14i 23-+，5+，6i 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些 是虚数，哪些是纯虚数．例2 实数m 取什么值时，复数(1)(1)i z m m m =-+-是：⑴实数？ ⑵虚数？ ⑶纯虚数？问题8 0a =能推出复数i z a b =+为纯虚数吗？例3 已知()(2)i (25)(3)i x y x y x x y ++-=-++，求实数x ，y 的值．运用2例4判断下列命题是否正确，并说明理由：⑴若Cz∈，则2z≥0．⑵若12Cz z∈，，且22120z z+=，则120z z==．⑶任意两个复数都可以比较大小．五、回顾反思1．知识内容：2．研究方法：六、课后作业1．教材P111第16题，P112第15题，第7题2．阅读：教材P112“复数系是怎样建立的？”3．利用网络资源了解“四元数”．。
【全国百强校】江苏省启东中学2017届高三(创新班)数学复习学案(无答案)立体几何 第七课时 空
第七课时 空间两条直线的位置关系(一)【学习目标】理解空间直线位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理4和等角定理． 一、导引自学 1．异面直线的概念：2．空间两直线的位置关系有以下三种：3．公理４：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号语言：4．定理（等角定理）：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角____________．5．空间如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_______________．二、典型例题例1．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别是AB 、BC 的中点．求证：EF ∥A 1C 1．ABCD A 1B 1DEF规律总结：正确运用三角形中位线定理和公理4．变式：在例1的条件下，设G 、H 分别是11B A 、B 1C 1的中点．求证：EF ∥GH ．例2．已知E ，E 1分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD ，A 1D 1的中点．求证：∠C 1E 1B 1=∠CEB ．规律总结：运用等角定理进行证明时，一般要结合平面几何知识的运用．变式：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是棱CC 1、BB 1及DD 1的中点．求证：∠BGC =∠FD 1E ．例3．在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边形边上的点，且满足AM CN AQ MB NB QD==CPk==，求证：M、N、P、Q四点共面且MNPQ为平行四边形．PD规律总结：结合题设条件，充分运用三角形中位线定理和公理4．例4．空间四边形ABCD中，E、F、G分别是AB、AD、BC的中点，M、N为对角线AC、BD 的中点，求证：（1）∠EFM=∠BDC；（2）∠EFM+∠DNG=180．规律总结：正确运用等角定理的推论：空间如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．变式：已知AC的长为定值，D∉平面ABC，点M、N分别是∆DAB和∆DBC的重心．求证：无论B、D如何变换位置，线段MN的长必为定值．三、当堂反馈1．在平面中两条直线（指非重合的两直线）之间的位置关系是_____________． 2．空间两条直线的位置关系有 ． 3．不同在任何一个平面内的两条直线叫做 ．4．设AA 1是正方体的一条棱，这个正方体中与AA 1平行的棱共有 条． 5．角α和角β的两边分别平行，则当α=720时，β= ．6．如果OA //O 1A 1，OB //O 1B 1，那么AOB ∠与111AO B ∠之间具有什么关系？_________． 7．四个顶点不在同一个平面上的四边形称为空间四边形，若E ，F ，G ，H 分别是空间四边形四边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 是 ． 8．有下列四个命题： ① 过三点确定一个平面； ②矩形是平面图形；③ 三条直线两两相交则确定一个平面； ④ 两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误命题的序号是 ．9．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是 ． 10、如图，A 是平面BCD 外的一点G H ，分别是ABC ACD ∆∆，的重心，求证： //GH BD ．11．如图，已知平面α、β交于直线l ，AB 、CD 分别在平面α，β内，且与l 分别交于B ，D 两点．若∠ABD ＝∠CDB ， 试问AB ，CD 能否平行？并说明理由．DCABBC DAαβ lD B12．如图，直线a ，b 是异面直线，A 、B 、C 为直线a 上三点，D 、E 、F 是直线b 上三点，A B ''，，C D E '''，，分别为AD 、DB 、BE 、EC 、CF 的中点．求证：（1）'''C B A ∠='''E D C ∠； （2）A B C D E '''''，，，，共面．。
【全国百强校】江苏省启东中学2017届高三上学期第一次月考理数(解析版)
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.已知{}20,1,x x ∈，则实数x 的值是 .【答案】1- 【解析】试题分析:因1,0≠≠x x ,故1-=x ,故应填答案1-. 考点：元素与集合的关系及运用．2.命题“20x x ∀∈≥R ，”的否定是 . 【答案】2,0x R x ∃∈< 【解析】试题分析:因该命题的形式的全称命题,故其否定形式是存在性命题,故应填答案2,0x R x ∃∈<. 考点：含一个量词的命题的否定．3.已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = . 【答案】8=m考点：向量的坐标形式及数量积积公式的运用． 4.函数()f x =定义域是 .【答案】1(2,)(0,)2+∞ 【解析】试题分析:由题设可得⎩⎨⎧>>-001)(log 22x x ,解之得210<<x 或2>x ,故应填答案1(2,)(0,)2+∞.考点：对数函数的单调性及运用． 5.将函数sin(2)16y x π=--的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式为 . 【答案】sin(2)3y x π=+也可cos(2)6y x π=-.【解析】考点：正弦函数的图象和性质及运用．6.已知集合A={}5x x >,集合B={}x x a >，若命题“x A ∈ ”是命题“x B ∈ ”充分不必要条 件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】5a < 【解析】试题分析:因命题“x A ∈ ”是命题“x B ∈ ”充分不必要条件,故5<a ,故应填答案5a <. 考点：充分必要条件及运用．7.函数2()1f x x ax =+-，若对于[,1]x a a ∈+恒有()0f x <，则a 的取值范围 .【答案】0a << 【解析】试题分析:由题设可得0220232222032210)1(0)(22<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<+<⇒⎩⎨⎧<+<a a a a a a a f a f .故应填答案0a <<. 考点：二次函数的图象和性质的运用．8.已知ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且22265tan acB a c b =+-，则sin B 的值是． 【答案】35【解析】试题分析:因B ac b c a cos 2222=-+,故由22265tan acB a c b =+-可得B B cos 3tan 5=,即53sin =B .故应填答案35.考点：余弦定理及同角关系得的运用．9.设α为锐角，若【答案】2425考点：三角变换公式及运用．10.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ADC ∠=︒，AB = 3，AD = 2，E 为BC 中点，若 →AB ·→AC = 3，则→AE ·→BC = ．【答案】3- 【解析】试题分析: 以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ,设x CD =，则)2,(),0,3(x ==，由33==⋅x AC AB 可解得1=x ．则)2,2(),22,2(-==,所以32224-=⨯+-=⋅BC AE ,故应填答案3-.考点：向量的坐标形式及数量积的运用．【易错点晴】本题借助题设条件,巧妙建构平面直角坐标系xOy ,从而将问题合理转化为向量的坐标运算.求解时以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ,设x CD =，则)2,(),0,3(x AC AB ==，由33==⋅x AC AB 可解得1=x ．所以)2,2(),22,2(-==,所以32224-=⨯+-=⋅BC AE ,从而使得问题简捷巧妙地获解.11.已知函数)(x f 在定义域]3,2[a -上是偶函数，在]3,0[上单调递减， 并且，则m 的取值范围是 .【解析】考点：函数的奇偶性与单调性的综合运用．【易错点晴】函数的单调性奇偶性是函数的基本性质,也是高中数学的重要内容和高考重点考查的知识和内容.本题再求解时,先借助偶函数的定义的内涵建立方程032=+-a 求出5=a ,再借助函数的单调性将不等式)22()1(22-+->--m m f m f 问题化为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-+-<--≤-+-≤-≤--≤-22102230132222m m m m m m ,最后通过解不等式组使得问题获解. 12.已知函数2()()2x f x kx k R x =-∈+有两个零点，则k 的取值范围 .【答案】0<k 或10<<k 【解析】考点：函数零点的概念及运用．【易错点晴】数形结合的数学思想是高中数学中四大数学思想之一,以形思数, 以数助形是数学解题的重要而有效的工具和思路.本题就是以含参数k 的函数)(x f 解析式为背景,考查的是函数零点的概念及运用数形结合思想分析问题解决问题的能力.求解时先将问题转化为方程21||+=x x k 有一个零点,进而转化为方程⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=0,20,2122x x x x x x k 只有一个零点.然后结合图象建立不等式,通过解不等式使得问题获解.13.若曲线ln y a x =与曲线212y x e =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则ts= .【答案】t s =【解析】考点：导数的几何意义及运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数)(x f 解析式为背景,考查的是导数的几何意义的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题求解时先依据题设建立方程a ss e=；再运用题设得到方程22lns ea s =,将问题化为解方程组的问题. 将2s ea =代入22lns ea s =得到1a =.所以12t =，s =，即t s =,从而使得问题获解. 14.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是 . 【答案】)1,23[e【解析】试题分析:设a ax y x e x g x-=-=),12()(，由题知存在唯一的整数0x ，使得)(0x g 在直线a ax y -=的下．因为)12()(/+=x e x g x，所以当21-<x 时，0)(/<x g ，当21->x 时，0)(/>x g ，所以当21-=x 时，212)]([min --=e x g ，当0=x 时，03)1(,1)(>=-=e g x g ，直线a ax y -=恒过)0,1(，且斜率为a ，故1)0(-=>-g a ，且a a e g --≥-=--13)1(，解得123<≤a e ,故应填答案)1,23[e .考点：导数在研究函数的单调性中的运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数)(x f 解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和最值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题求解时先将问题化为存在唯一的整数0x ，使得)(0x g 在直线a ax y -=的下方,求解运用导数的有关知识求函数)12()(-=x e x g x的最小值,然后运用分类整合的数学思想建立不等式,从而求出参数a 的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)已知命题{}|11x x x ∃∈-<<,使等式20x x m --=成立是真命题. （1）求实数m 的取值集合M .（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围. 【答案】(1)1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭；(2)94a >或14a <-.【解析】考点：命题的真假及充分必要条件的等价性等有关知识的综合运用．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cos A 6π+=．（1）求角A 的值；（2）若(0,)3B π∈，且4cos()5A B -=，求sin B ．【答案】(1) A 3π=；(2)10334-. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用三角变换的公式求解；(2)借助题设运用正弦定理和三角变换公式探求. 试题解析：（1）因为sin(A )2cos A 6π+=，得1A cos A 2cos A 2+=，即sin A A ，因为()A 0,∈π，且cos A 0≠，所以tan A =A 3π=. …………4分 （2）因为22sin C cos C 1+=，cosC =，()C 0,∈π，所以sin C = 由正弦定理知a csin A sinC =，即32a sin A c sinC ===，即230a c -=.…………7分 因为(0,)3B π∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5A B -=， …………10分 所以()()sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=.……14分 考点：正弦定理和三角变换的公式等有关知识的综合运用．17.(本小题满分14分) 已知函数12()2x x mf x n+-+=+（其中,m n 为参数）.（1）当1m n ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）如果()f x 是奇函数，求实数,m n 的值；（3）已知0,0m n >>，在（2）的条件下，求不等式1(())()04f f x f +<的解集.【答案】(1)证明见解析；(2)12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩；（3）2(,log 3)-∞．【解析】（2）∵()f x 是奇函数时，()()f x f x -=-，即112222x x x x m mn n--++-+-+=++对定义域内任意实数x 成立，化简整理得关于x 的恒等式2(2)2(24)2(2)0xx m n mn m n -⋅+-⋅+-=，∴20240m n mn -=⎧⎨-=⎩，即12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩………………………………8分（注：少一解扣1分）考点：函数的奇偶性及单调性等有关知识的综合运用．18.（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝310.（1）若CB →·CA →＝92，求c 的最小值；（2）设向量x ＝(2sin B ，－3)，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos2B ，1－2sin 2B 2，且x∥y ，求sin(B －A)的值． 【答案】(1)21；(2)203391-.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式及余弦定理求解；(2)借助题设运用向量平行建立方程,再利用三角变换公式探求. 试题解析：(1) ∵ CB →·CA →＝92，∴ abcosC＝92，∴ ab＝15…………………..3分∴ c 2＝a 2＋b 2－2abcosC≥2ab－2ab·310＝21(当且仅当a ＝b 时取等号)．∵ c＞0分∴ c 分考点：三角变换的公式余弦定理向量的数量积公式等有关知识的综合运用．19．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是 半径为1百米的扇形，3π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在弧MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ．问：点P 选择在何处时，才能使得修建的小路MP 与PQ 及QD的总长最小？并说明理由．【答案】当BP BC ⊥时，总路径最短. 【解析】试题分析：借助题设条件建立函数关系,再运用三角变换的公式求解和探求. 试题解析：连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f ……………………10分 1)3sin(21cos 3sin )('--=--=πθθθθf ………………12分令()'0f θ=，π2θ=当π02θ<< 时，()'0f θ<当π2π23θ<< 时，()'0f θ> …………………………14分 所以当π2θ=时，总路径最短. 答：当BP BC ⊥时，总路径最短. ……16分 考点：解三角形及三角变换的公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】应用题是高考必考的重要题型之一,也是检测数学知识在实际问题中的的运用的一种重要题型之一.求解这类问题的一般步骤是先仔细阅读题设中的文字信息.再将问题中的数量关系找出来,通过构造数量关系构建数学模型.最后运用数知识求解数学模型,依据题设写出答案.本题是以绿化过程中的一个实际问题为背景设置了一道最值问题,求解时,先1PBP θ∠=,然后建立以为变量的函数关系式，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f 从而将问题进行转化求函数的最值问题.最后通过求该函数的最值,从而使得问题简捷巧妙获解.20.（本小题满分16分）已知函数()212f x x =，()lng x a x =．（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值； （2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)2a =-；(2)[)1,+∞；(3)()()2,2e 1,e 1-∞-++∞-. 【解析】（3）不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-，整理得0001ln 0a x a x x +-+<．设()1ln a m x x a x x+=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <．………10分由()2222(1)(1)(1)11x ax a x a x a a m x x x x x --+--++'=--==．因为0x >，所以10x +>，即令()0m x '=，得1x a =+． ① 当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2a <-． ………………………………………………12分考点：导数的有关知识和函数的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的两个函数解析式()212f x x =，()ln g x a x =为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问非常简单,借助题设很容易求得2a =-;第二问求解时借助题设将问题等价转化为函数()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞为增函数的问题,然后通过求导运用导数的知识求出实数a 的取值范围是[)1,+∞；第三问通过构设函数()1ln a m x x a x x +=-+将问题进行转化,最后借助导数并运用导数的有关知识求得实数a 的取值范围是()()2,2e 1,e 1-∞-++∞-,从而使得问题简捷巧妙获解.：。
江苏省启东中学2017届高三(创新班)数学复习试题：第十一讲 递推数列 Word版缺答案
第十一讲 递推数列A 卷一、选择题（每小题6分，共36分）1．数列{}n a 中，11111(2)2n n a a a n -==+≥，，那么n a 等于（ ）A ．1122n --B ．112n-C ． 122n -D ．1112n -- 2．数列{}n a 中，2321136n n na a a a a ++===-，，，则6a 等于（ ）A ．24B ．114C ．18134D ．13．若数列2112n n a a a n +==+，，则11a 等于（ ）A ．381B ．383C ．385D ．3874．已知数列{}n a 中，111221n n n a a a a +==+，，则2005a 的值为（ ）A ．14009B ．14010C ．14011D ．140125．设数列{}n a 中，211n n a S n a ==，，则n a 等于（ ） A ．1(1)n n +B ．1(1)(2)n n ++C ．2(1)n n +D ．2(2)(1)n n ++6．数列{}n x 中，1227x x ==，，2n x +等于1n n x x +⋅的个位数，则2005x 等于（ ）A ．2B ．5C ．6D ．8二、填空题（每小题9分，共54分） 7．已知数列满足11121n n a a a +==-，，则1ni i a ==∑ ．8．已知数列{}n a 满足11215(2)n n a a a a a n -==+++≥ ，，则n a = ． 9．设数列{}n a 满足1121(2)1(1)1(1)n n n b b b a a a n b b b b -+==+≥≠-+++，，，则n a = ． 10．设数列{}n x 满足111(31)2n n n x x x n -==+-⋅，，则n x = ．11．设数列{}n x 满足112(1)n n x x S n +==+-，，其中n S 为{}n x 的前n 项和，则n x = ． 12．设数列{}n a 满足11121232n n n a a a a --==+，，则n a = ．三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知数列{}n a 满足12213623n n n a a a a a ++===+，，，求n a ．14．设数列{}n a 满足130n a a =>，，且2513n n a a -=，求n a ．15．数列{}n a 满足1112322n n n a a a n --==，．求证：11ni i a =<∑．B 卷一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知数列{}n a 满足1111n n n n a a a a a --=⋅=-，，则它的通项公式是（ ）A ．1n a n=B ．n a n =C ．1n a n =+D ．1n a n =-2．设*1111()()22n a n a a n +==∈N ，，令lim n n x a →∞=，则（ ）A ．0x =B ．1(0)2x ∈，C．1(2x ∈， D．1)x ∈ 3．已知数列{}n a 满足：11a =，对1n >，n 为偶数时，21n n a a =+；n 为奇数时，11n n a a -=．若已知1987n a =，那么n 的各位数字之和为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．214．一楼梯有n 级台阶，每次一步可跨一级或两级台阶，设到楼顶的方法为n a ，则（ ）A ．12n n a a +=B ．11n n n a a a +-=+C ．12n n a a n +=+D ．12n n a a +=+5．一个递增的正整数列{}n a ，具有以下性质：对于任意*n ∈N ，均有21n n n a a a ++=+，且7120a =，则8a 的值为（ ）A ．194B ．200C ．216D ．2226．令2()4f x x x =-，给定0x ，考察由1()n n x f x -=对所有*n ∈N 定义的数列，有 个实数0x ，使得数列012x x x ，，， ，只取有限多个不同值．（ ）A ．0B ．1或2C ．有限D ．无限二、填空题（每小题9分，共54分） 7．在数列{}n x 中，11210n n n x x x n n++==+，，那么n x = ． 8．设数列{}n a 中，*111212()()n n a na a a a n +==+++∈N ，，则通项公式为 ． 9．设*n ∈N，且21n a b -=，若有1n n n a pa qb +=+，则p q += ． 10．函数f 具有下列性质：对于两个实数x ，2()(1)f x f x x +-=，如果(19)94f =，那么(94)f 除以310的余数是 ．11．数列{}*n x n ∈N ，，由下述公式定义：1122(21)2n n x nx n x n -==-≥，，，则n x = ．12．设()m n ，表示自然数m 与n 的最大公约数，已知数列{}n a 中，对任何i j ≠，都有()()i j a a i j =，，，则n a = ．三、解答题（每小题20分，共60分）13．求证：数列012n a n == ， ， ， 的每一项都是整数，并求所有使n a 被3整除的n ．14．已知对任何*n ∈N ，0n a >且3211()nnkk k k a a ===∑∑，求n a ．15．已知一个两端无限的数列101n n a a a a a -- ，， ，，，， ，， 满足111()4k k k a a a -+=+，对于任意k ∈Z ，如果此数列中某两项相等，求证：此数列必有无穷多对彼此相等的项．。
江苏省启东中学2017届高三(创新班)数学复习试题：第二十四讲向量与几何
第二十四讲 向量与几何A 卷一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知ABC ∆中，点D 在BC 上，且2CD DB CD r AB sAC ==+， ，则r s +的值为（ ）A ．23B ．43C ．3-D ．02．设平面上有四个互异的点A B C D ，，，，已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形3．设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A B ，两点，则OA OB ⋅= （ ） A ．34 B ．34-C ．3D ．3-4．已知点(14)(31)(24)A B C -， ，，，， ，则ABC ∆的A ∠的平分线与BC 的交点D 的坐标为（ ）A ．7(7)6，B ．77()62，C ．77()62-，D ．7(7)6-，5．已知等腰ABC ∆中，BB CC ''，为两腰上的中线，且BB CC ''⊥，则顶角A 为（ ）A ．4arcsin 5B ．4arccos 5C ．4arcsin 5π-D ．4arccos 5π-6．正六边形ABCDEF 中，AB a BC b ==， ，则CD 等于（ ）A ．b a -B ．a b +C ．a b -D ．3b a - 二、填空题（每小题9分，共54分）7．在ABC ∆中，BDAB c AC b DCλ=== ， ， ，用c b ，表示AD 为 ． 8．任意四边形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，则AB DC +=．9．正五边形ABCDE 中，O 为中心，则AO BO CO DO EO ++++=．10．D 是ABC ∆中AC 边上的一点，且AD ∶(2DC =+∶1，3060C ADB ︒︒∠=∠=，，.则AB DB ⋅=．11．四面体O ABC -中，G 为ABC ∆的重心，平面OAG 交BC 于M ，S 在线段OM 上，OS = 23OM ，AS 交OG 于P ，已知OA a OB b OC c ===， ， ，则OP = ．12．平面上两个正三角形123A A A 和123B B B ，其顶点的顺序都是顺时针方向，从平面上任一点O 作111222333OC A B OC A B OC A B === ， ， ，则123C C C ∆的形状为 ．三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知D E F ，，为ABC ∆三边的中点，O 为ABC ∆内一点．求证：OA OB OC OD OE OF ++=++．14．四边形123A A A A 为O 的内接四边形，1234H H H H ，，，依次为2343411A A A A A A A A A ∆∆∆，，， 123A A A ∆的垂心．求证：1234H H H H ，，，四点共圆，并确定该圆的圆心．15．如图ABC ∆中，O 为外心，三条高AD BE CF ，，交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．求证：⑴OB DF OC DE ⊥⊥，； ⑵OH MN ⊥．B 卷一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知AP mAB nAC =+（A 、B 、C 不共线），则P 点在线段BC 上的充要条件是（ ）A ．1m n +=B ．1m n +=且0≤m ≤1C ．m ，n ≥0D ．以上都不对2．已知三个非零向量a，b ，c ，存在三个不全为零的实数m ，n ，l ，使0ma nb lc ++= ，是a，b ，c 共面的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非必要也非必要条件3．ABC ∆的三边长7AB =，5BC =，6CA =，则BA BC ⋅的值为（ ）A ．19B ．18C ．36D ．38 4．已知O 为ABC ∆的外心，H 为垂心，若()OH OA OB OC λ=++，则λ的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．15．已知5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，42CD a b =+，则三点 共线．（ ） A ．A ，B ，DB ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D6．若点P 分有向线段12PP 所成的比为23，则2P 分有向线段1PP 所成的比为（ ） A ．53B ．53-C ．35D ．35-二、填空题（每小题9分，共54分）7．在ABC ∆中，D 、E 为BC 的三等分点，D 在B 、E 之间，F 为AC 的中点，G 为AB 的中点，设H 为EG 与DF 的交点，则:EG GH = ．8．已知(03)A ， ，(20)B ， ，(13)C -， ，则与+2AB AC方向相反的单位向量为 ． 9．已知(45)A ， ，(12)B ， ，(121)C ， ，(116)D ， ，则AC 与BD 的交点的坐标为 ．10．过边长为1的正三角形ABC 的中心O 作直线交AB 、AC 于M 、N ，则2211OM ON +的最小值为 ．11．在ABC ∆中，A ∠的平分线与AC 边上的中线互相垂直，则||||AC AB = ． 12．设I 为ABC ∆的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=． 三、解答题（每小题20分，共60分）13．是否存在这样的平移，使抛物线2y x =-平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与x 轴的两个交点构成的三角形面积为1？若不存在，说明理由；若存在，求函数解析式．14．若O 是ABC ∆内一点，则S ΔOBC ·OA＋S ΔOCA ·OB ＋S ΔOAB ·OC =0 ．15．已知ABC ∆不是直角三角形，O 为ABC ∆的外心，H 是ABC ∆的垂心．ABC ∆满足什么条件，才能使AH OA =．。
江苏省启东中学高三数学下学期期初考试试题(扫描版,无答案)(2021年整理)
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第二十课时棱柱、棱锥、棱台的表面积
【学习要求】在研究空间几何问题时，棱柱、棱锥、棱台表面积计算是各类考试考查的重点．
一、导引自学
1．侧棱和底面的棱柱叫直棱柱，特别地，底面为的直棱柱叫做正棱柱．把直棱柱的侧面沿着一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积叫棱柱的．
2．直棱柱的侧面展开图是，它的长等于，宽等于，
∴=
直棱柱侧
S．
3．若一个棱锥的底面是，顶点在底面的射影是底面的，则这个棱锥叫正棱锥．正棱锥的侧棱长均．
4．设正n棱锥底面边长为a，则底面周长为，若斜高（即侧面等腰三角形底边上的高）为'
h，则它的侧面展开图的面积即侧面积=
正棱锥侧
S= ．即正棱锥侧面积等于底面周长与斜高的积的一半．
5．正棱台是由正棱锥被平行于底面的平面所截，之间的部分。
它的侧面均为全等
的，其侧面积=
正棱台侧
S= ．
6．柱体、椎体、台体的侧面积的关系．
当棱台的上底面面积变为0时，图形就成为棱锥；当棱台的上底面面积变为与下底面面积相等时，图形就成为棱柱．棱柱、棱台、棱锥的侧面积公式的演变关系：
ch S=
正棱柱侧
−−−
←='c c h
c
c
S'
'
+
=)
(
2
1
正棱台侧
−
−→
−='0c h c
S'
=
2
1
正棱锥侧
7．多面体的的和叫做多面体的表面积（又称全面积）．
二、方法要点
1、要掌握空间几何体的表面积的计算方法，要明确棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，要充分利用
平面几何知识，把空间图形转化为平面图形．
2、将空间图形转化为平面图形问题，是解决空间几何体问题的基本的常用的方法，体现了“降维”
转化的数学思想，要多加体会和体验．
三、典型例题
例1．求底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积．
总结：高、斜高和底面正多边形内切圆半径之间的直角三角形关系，在图中还有哪些类似的直角三
角形？
例2．如右图，底面为菱形的直棱柱1111ABCD A B C D 的两个对角面11ACC A 和11BDD B 的面积为
6和8，则棱柱侧面积为 ．
例3．一个正四棱台两底面边长分别为m 、n ，侧面积等于两个底面积之和．求这个棱台的高．
规律总结：在正四棱台中有三个直角梯形（你能找出吗？）值得注意。
它们都可以转化成直角三角
形，利用三角形知识求解．
四、当堂反馈
1．两个正方体的棱长分别是a和b，第三个正方体的全面积等于前两个正方体的全面积之和，则第三个正方体的棱长是．
2．已知正三棱台的上、下底面边长分别为2cm与4cm，侧棱长是6cm，则该三棱台的表面积为2
cm．
30，求正四棱锥的侧面积和表3．已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为
面积．。