江苏省启东中学2018届高三上学期期中考试数学试题+扫描版含答案

2018～2019学年第一学期高三期中考试数学（Ⅰ）参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1（必修1 P 14第12题改编）；2．4π（必修4 P 40第5题）；3．充分不必要（选修2-1 P 23测试第9题）；4．54（必修1 P 89第3题改编）；5．－32（必修5P 69测试第5题改编）；6．e ；7． 3（必修4P 110例6改编）；8．1010-（2016全国Ⅲ理科8改编）；9．（必修2P 71第20题改编）；10．－3；11．4＋2 3；12．3或－1（2017浙江改编）；13．2,0]（2018全国Ⅰ，2018南通中学模拟改编）；14．[)1,⎛-∞+∞ ⎝⎭U （2010重庆改编） 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本题满分14分)如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AA 1＝2AC ，点D ，E 分别是AA 1和CC 1的中点．求证：（1）AE ∥平面B 1C 1D ；（2）平面B 1C 1D ⊥平面BCD .【证】（1）在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1， (2)分 因为D 、E 分别是AA 1和CC 1的中点，所以AD ∥C 1E 且AD =C 1E ，所以四边形AEC 1D 是平行四边形，所以AE ∥C 1D ， ……………4分又⊄AE 平面B 1C 1D ，C 1D ⊂平面B 1C 1D ，所以AE ∥平面B 1C 1D . ……………6分（2）在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，又AC ，BC 平面ABC ，所以AA 1⊥AC ，AA 1⊥BC ， ……………8分因为AA 1＝2AC ，点D 是AA 1的中点，所以AD ＝AC ，所以∠ADC ＝π4，同理∠A 1DC 1＝π4， 所以∠CDC 1＝π－∠ADC －∠A 1DC 1＝π2，即CD ⊥C 1D ． ……………10分 因为AC ⊥BC ，AA 1⊥BC ，AC ∩AA 1＝A ，AC ，AA 1 平面AA 1C 1C ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，又C 1D 平面AA 1C 1C ，所以BC ⊥C 1D ， ……………12分因为CD ⊥C 1D ，BC ∩CD ＝C ，BC ，CD 平面BCD ，所以C 1D ⊥平面BCD ，又C 1D 平面B 1C 1D ，所以平面B 1C 1D ⊥平面BCD . ……………14分16．(本题满分14分) （必修1 P 71第13题改编） 已知函数112()2x x f x a +-=+为奇函数. （1）求实数a 的值；（2）解不等式1[()]()08f f x f +<. 【解】（1）因为函数112()2x x f x a +-=+为奇函数. 所以f (－x )＝－f (x )对定义域内任意的x 成立， 所以11122122x x x x a a --++--=++， ……………2分 即12121222x x x x a a +--=⋅++对定义域内任意的x 成立， 所以1222x x a a +⋅+=+，所以a ＝2. ……………6分（2）因为(21)22111()22(21)2(21)21x x x x x f x +--=-=-=-++++ ， 所以f ′(x )＝()22ln 2021x x -<+，所以f (x ) 在(－∞，＋∞) 上是单调减函数， （也可以用定义证） ……………8分因为f (x )为奇函数，1[()]()08f f x f +<， 所以f [f (x )]＜f (－18)，所以f (x )＞－18， ……………10分 所以11121x -+>-+，1321x >+，所以2x ＜53， ……………12分 所以x ＜log 253，所以不等式解集为{x |x ＜log 253}. ……………14分17．(本题满分14分) （必修4P 111第3题改编）在△ABC 中，sin B ＋sin C ＝2sin A .（1）求A 的最大值；（2）若cos B －cos C ＝42，求A 的值.【解】（1）因为sin B ＋sin C ＝2sin A ， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==得2b c a +=. ……2分(缺正弦定理扣1分)OH G FE DC A 由余弦定理得222222()2cos 22b c b c b c a A bc bc ++-+-== 223()26288b c bc bc bc bc bc+--=≥4182bc bc ==， 所以1cos 2A ≥，当且仅当b c =时取等号. ……………6分又因为0＜A ＜π（在三角形ABC 中），所以0＜A ≤π3， 所以A 的最大值为π3. ……………8分(缺角的说明扣1分) （2）因为sin B ＋sin C ＝2sin A ， ………………①cos B －cos C ＝42， ………………②所以①2+②2得(sin 2B ＋cos 2B )＋(sin 2C ＋cos 2C )－2(cos B cos C －sin B sin C )＝4sin 2A ＋ 2，即222cos()4sin B C A -+= ……………10分又因为在三角形ABC 中，B ＋C ＝π－A ，所以cos(B ＋C )＝－cos A ，所以222cos 4(1cos )A A +=-，所以24cos 2cos 2)0A A +-=， ……………12分所以(2cos 1)]0A A +=，因为2cos 1)0A +≠，所以cos A = 又因为0＜A ＜π（在三角形ABC 中，由（1）知），所以A ＝π4. ……………14分(缺角的说明扣1分)18．(本题满分16分)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示，设菱形ABCD 对角线交于点O ，以 O为圆心，BD 为直径的圆与菱形ABCD 各边交于E ，F ，G ，H ，图中阴影部分为不透光区域，其余为透光区域.已知圆的半径为1，且AC BD ≥tan 3π8，设∠ABO ＝θ，透光面积为S . （1）求S 关于θ的函数关系式，并求定义域；（2）当S sin θ取得最大值时，求透光面积S . 【解】（1）连OE ，OH ，因为∠ABO ＝θ，AC BD ≥tan 3π8，所以在Rt△AOB 中 3πtan tan 8AO AC BO BD θ==≥， 因为0＜θ＜π2，所以3π8≤θ＜π2， ……………2分 在三角形OBE 中，因为OB ＝OE ＝1，∠OBE ＝θ，所以∠OEB ＝θ，从而∠EOB ＝π－2θ，同理∠HOD ＝π－2θ，所以∠EOH ＝π－∠EOB －∠HOD ＝4θ－π， 所以111sin sin(π2)sin 2BOE S OB OE EOB θθ∆=⨯⨯∠=-=，……………4分 21111(4π)(4π)222OEH S OE EOH θθ=∠=⨯⨯-=-g 扇形， ……………6分 根据对称性知，△HOD ，△GOD ，△FOB 的面积均为12sin2θ， 1(4π)2OGF OEH S S θ==-扇形扇形， 所以124(4π)4sin 2BOE S S S θθ∆=+=-+⨯ 扇形OEH ， 所以S 关于θ的函数关系式2sin 24πS θθ=+-，定义域为[3π8,π2).………8分 （2）因为2sin 24πsin sin S θθθθ+-=4π4cos sin θθθ-=+， 记4π()4cos u θθθθ-=+(3π8≤θ＜π2)， 所以'24sin (4π)cos ()4sin sin u θθθθθθ--=-+ ……………10分 32(4sin 4sin )(4π)cos sin θθθθθ-+--=224sin cos (4π)cos sin θθθθθ--= 2cos (2sin 24π)sin θθθθ-+=， 解法一：因为3π8≤θ＜π2，所以3π4≤2θ＜π， 所以2sin2θ∈(0， 2]，－4θ＋π∈(－π，－π2]，注意到 2－π2＜0， 所以2 sin2θ－4θ＋π＜0， ……………12分因为3π8≤θ＜π2，所以cos θ＞0，sin 2θ＞0，所以u ′(θ)＜0， 所以u (θ) 在[3π8,π2)上是单调减函数， ……………14分 所以当θ＝3π8时，S sin θ取得最大值，此时透光面积S ＝ 2＋π2 (16)分解法二：设()2sin 2πk x x x =-+（3π4≤x ＜π）， 所以'()2cos 20k x x =-<，所以k (x )在[3π4,π)上是单调减函数， 所以k (x )≤k (3π4)＝2× 22－3π2＋π＝ 2－π2＜0， 所以2sin2θ－4θ＋π＜0， ……………12分 因为3π8≤θ＜π2，所以cos θ＞0，sin 2θ＞0，所以u ′(θ)＜0， 所以u (θ) 在[3π8,π2)上是单调减函数， ……………14分 所以当θ＝3π8时，S sin θ取得最大值，此时透光面积S ＝ 2＋π2.……………16分19．(本题满分16分)已知数列{a n }满足2S n ＝n (a n ＋1)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和.（1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若数列{a n }的公差为2，求满足11*223(200N )223n m n m a a a a m m m m ++++=∈++≤, 的所有数对 (m ，n ).【解】（1）因为2S n ＝n (a n ＋1)，①所以2S n －1＝(n －1)(a n －1＋1)（n ≥2），②①－②得2a n ＝na n －(n －1)a n －1＋1， ……………2分 所以(n －2)a n ＝(n －1)a n －1－1（n ≥2），③所以(n －3)a n －1＝(n －2)a n －2－1（n ≥3），④ ……………4分 ③－④得(n －2)a n －(n －3)a n －1＝(n －1)a n －1－(n －2)a n －2（n ≥3），所以(n －2)a n ＋(n －2)a n －2＝(2n －4)a n －1（n ≥3），所以a n ＋a n －2＝2a n －1（n ≥3），所以数列{a n }是等差数列. ……………7分（2）因为数列{a n }的公差为2，2S 1＝1×(a 1＋1)，所以a 1＝1，所以a n ＝2n －1. ……………8分所以21212121223223n m n m m m --++++=++，即21212121(2)(23)(2)(23)n m n m m m -++-++=++，所以2224n m n m m --==（44n m m =⋅）， ……………12分因为*200N m m ∈≤,，所以1200333m ≤≤，所以1200433n m -≤≤，所以n －m ＝0，1，2，3，当n －m ＝0时，m 3＝1，所以m ＝3，n ＝3；当n －m ＝1时，m 3＝4，所以m ＝12，n ＝13；当n －m ＝2时，m 3＝42，所以m ＝48，n ＝50；当n －m ＝3时，m3＝43，所以m ＝192，n ＝195.故所求的数对有(3，3)，(12，13)，(48，50)，(192，195) .……………16分20．(本题满分16分)已知函数()ln f x x x =，()32()21g x ax a x x =-+++，a ∈R . （1）求()f x 的单调区间；（2）当(0,e]x ∈时，()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围； （3）试比较()lnf x x与2x -的大小. 【解】（1）因为()ln f x x x =，所以()ln +1f x x '=， ……………2分令()0f x '>得1e x >，令()0f x '>得10ex <<，所以()f x 的单调增区间为1,+∞（），单调减区间为10,e（）.……………4分（2）解法一：由题意得()32ln 21x x ax a x x +++-≤在(0,e]x ∈上恒成立，所以()2ln 211x ax a x +++-≤，即()2ln 211x ax a x -+-+≤0在(0,e]x ∈上恒成立， 令()2()ln 211h x x ax a x =-+-+，(0,e]x ∈则()222(21)1(21)(1)1()21ax a x ax x h x ax a x x x -++--'=-+==+，………5分 ①当0a ≤时，)(x h 在]1,0(上单调递增，(1,e]上单调递增， 所以max ()(1)20h x h a ==--≤，所以20a -≤≤；②当1210<<a ，即21>a 时，)(x h 在1(0,],(1,e)2a 上递增，]1,21(a上递减，所以1()02(e)0h a h ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤1ln(2)204112e 21a aa a ⎧---⎪⇒⇒<⎨-⎪⎩≤≤≤；③当121=a 即21=a 时，)(x h 在(0,]e 上单调递增，所以max ()(e)0h x h =≤得1e 2a -≤，所以21=a ；④当11e 2a <<即112e 2a <<时，)(x h 在1(0,1],(,e]2a 上单调递增，]21,1(a上单调递减，所以(1)0(e)0h h ⎧⎨⎩≤≤21112e 2e 2a a a -⎧⎪⇒⇒<<⎨⎪-⎩≥≤； ⑤当1e 2a ≥即102ea <≤时，)(x h 在]1,0(上单调递增，(1,e]上单调递增， 所以max ()(1)20h x h a ==--≤，所以102ea <≤.综上所述，12e 2a --≤≤.……………10分解法二：由题意得()32ln 21x x ax a x x +++-≤在(0,e]x ∈上恒成立，所以()2ln 211x ax a x +++-≤，即()212ln x a x x x ---≥在(0,e]x ∈上恒成立， ①当x ＝0时，成立；②当0＜x ＜2时，21ln 2x x a x x ---≥恒成立，则a ≥21ln 2x x x x ---在(0,2)上的最大值； ③当2＜x ≤e 时，21ln 2x x a x x ---≤恒成立，则a ≤21ln 2x x x x ---在(2，e]上的最小值； 令21ln ()2x x h x x x--=-， 则()()()()()()()()2222211222ln 1142ln ()22x x x x x x x x x h x x x x x -------+-'==--， …6分令F (x )＝4＋x －2ln x ，F ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当0＜x ＜2时，F ′(x )＜0，F (x )在(0,2)上单调递减； 当2＜x ≤e 时，F ′(x )＞0，F (x )在(2，e]上单调递增， 所以F (x )≥F (2)＝6－2ln2＞0，即4＋x －2ln x ＞0， 所以当0＜x ＜1时，h ′(x )＞0，h (x )在(0,1)上单调递增； 当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0，h (x )在(1,2)上单调递减；当2＜x ≤e 时，h ′(x )＜0，h (x )在(2，e]上单调递减， 所以h (x )在(0,2)上的最大值为h (1)＝－2，h (x )在(2，e]上的最小值为h (e)＝1e －2， 由②③知，a ≥－2，a ≤1e －2.综上所述，12e 2a --≤≤.……………10分（3）解法一：要比较()lnf x x与2x -的大小，即比较)ln(ln x 与2x -的大小， 即当x ＞1时，比较x ln 与2e x -的大小. 构造2()ln e x x x ϕ-=-，定义域),1(+∞， 则21()e x x xϕ-'=-，……………12分因为221()e 0x x x ϕ-''=--<，所以)(x ϕ'在),1(+∞单调递减.又021121)2(,0132)23(<-=-='>-='ϕϕe，所以)(x ϕ'在)2,23(上存在唯一的实数0x 满足0)(0='x ϕ，……………14分所以02001()e 0x x x ϕ-=-=，即0201e x x -=， （*）所以)(x ϕ在),1(0x 单调递增，),(0+∞x 单调递减， 所以02max 00()()ln e x x x x ϕϕ-==- ， （**） 由（*）得002ln x x -=，所以（**）化为0)1(12)(020000<--=--=x x x x x ϕ， 即0)(max <x ϕ，所以，当x ＞1时，x ln <2e x -，所以)ln(ln x <2x -.……………16分 解法二：要比较()lnf x x与2x -的大小，即比较)ln(ln x 与2x -的大小， 即当x ＞1时，比较x ln 与2e x -的大小. 构造()e 1x x x ϕ=--，则()e 1x x ϕ'=-，……………12分当x ＜0时，()0x ϕ'<，φ(x )在(,0)-∞单调递减； 当x ＞0时，()0x ϕ'>，φ(x )在(,0)-∞单调递增.所以φ(x )的最小值为φ(0)＝0，所以φ(x )≥0，即e x≥x ＋1，等号当且仅当x ＝0时成立，……………14分 所以ex －2≥x －1，等号当且仅当x ＝2时成立，（1°） ex －1≥x ，等号当且仅当x ＝1时成立，所以，当x ＞1时，lne x －1＞ln x ，即ln x ＜x －1，（2°）由（1°）（2°）得，当x ＞1时，x ln ＜2e x -，所以)ln(ln x <2x -.………16分2018～2019学年第一学期高三期中考试数学（Ⅱ）参考答案及评分建议21．（本小题满分10分）（选修2-1 P 98第23题改编） 在如图所示的坐标系中，正方体AC 1的棱长为3，点P ，Q ，R 分别在AB ，CC 1，D 1A 1上，满足 11112D R CQ AP PB QC RA ===，设点G 是△PQR 的重心，求证：RG ⊥DG .【证】因为11112D R CQ AP PB QC RA ===，正方体AC 1的棱长为3所以P (1，0，0)，Q (3，3，1)，R (0，2，3)，D (0，3，0)，……………2分因为点G 是△PQR 的重心，所以G (43，53，43)，……………4分所以RG →＝(43，－13，－53)，DG →＝(43，－43，43)，……………6分所以RG →·DG →＝43×43－13×(－43)－53×43＝0，所以RG →⊥DG →，即RG ⊥DG . ……………10分 22．（本小题满分10分）已知函数f (x )＝ln(2x －1)－2x .求函数f (x )的极大值. 【解】因为f (x )＝ln(2x －1)－2x ，所以'22(21)4(1)1()22212121x x f x x x x ---=-==---g .……4分令f ′(x )＝0，注意到f (x )的定义域为(12，＋∞)，所以x ＝1，列表如下：……………8分所以f (x )的极大值为f (1)＝－2. ……………10分 23．（本小题满分10分）（选修2-1 P 121测试第14题改编）如图，在正四棱锥P －ABCD 中，底面正方形的对角线AC ，BD 交于点O 且OP ＝12AB .（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角B －PD －C 的大小.【解】（1）在正四棱锥P －ABCD 中，底面正方形的对角线AC ，BD 交于点O ，所以OP ⊥平面ABCD ，取AB 的中点E ，BC 的中点F ，所以OP ，OE ，OF 两两垂直，故以点O 为坐标原点，以OE ，OF ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.设底面正方形边长为2，因为OP ＝12AB ，所以OP ＝1，所以B (1，1，0)，C (－1，1，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，1)， 所以BP →＝(－1，－1，1)，……………2分 设平面PCD 的法向量是→n ＝(x ，y ，z )， 因为CD →＝(0，－2，0)，CP →＝(1，－1，1)， 所以CD →·→n ＝－2y ＝0，CP →·→n ＝x －y ＋z ＝0， 取x ＝1，则y ＝0，z ＝－1，所以→n ＝(1，0，－1)， 所以cos<BP →，→n >＝BP →·→n |BP →|·|→n |＝－ 63，所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为63. ……………5分 （2）设平面BPD 的法向量是→m ＝(x ，y ，z )，因为BP →＝(－1，－1，1)，BD →＝(－2，－2，0)， 所以BP →·→m ＝－x －y ＋z ＝0，BD →·→m ＝－2x －2y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝0，所以→m ＝(1，－1，0)，……………7分 由（1）知平面PCD 的法向量是→n ＝(1，0，－1)，所以cos<→m ，→n >＝→m ·→n |→m |·|→n |＝12，所以<→m ，→n >＝60°，所以锐二面角B －PD －C 的大小为60°. ……………10分24．（本小题满分10分）设数列{t n }满足0＜t 1＜1，t n ＋1＝t n －sin t n . （1）求证：0＜t n ＋1＜t n ＜1； （2）若t 1＝12，求证：t n ≤122n －1.【证】（1）证法一：设f (x )＝x －sin x (0＜x ＜1)，所以f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0，1)上是单调增函数. 因为t n ＋1＝t n －sin t n ，0＜t 1＜1，所以t 2＝t 1－sin t 1＞f (0)＝0， 又因为t 2－t 1＝－sin t 1＜0，所以t 2＜t 1， 所以0＜t 2＜t 1＜1. ……………2分 下用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0＜t 2＜t 1＜1，命题成立.②假设当n ＝k (k ∈N ﹡)时，命题成立，即0＜t k ＋1＜t k ＜1.因为f (x )在(0，1)上是单调增函数，所以f (0)＜f (t k ＋1)＜f (t k )＜f (1)， 所以0＜t k ＋2＜t k ＋1＜1－sin1＜1，即0＜t k ＋2＜t k ＋1＜1， 这就是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立.综上所述，对n ∈N ﹡时，0＜t n ＋1＜t n ＜1. ……………6分证法二：先证明0＜t n ＋1＜t n ＜1.①当n ＝1时，0＜t 1＜1，命题成立.②假设当n ＝k (k ∈N ﹡)时，命题成立，即0＜t k ＜1. 则当n ＝k ＋1时，t k ＋1＝t k －sin t k ， 设f (x )＝x －sin x (0＜x ＜1)，所以f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0，1)上是单调增函数. 因为0＜t k ＜1，所以f (0)＜f (t k )＜f (1)， 所以0＜t k ＋1＜1－sin1＜1，即0＜t k ＋1＜1， 这就是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立.综上所述，对n ∈N ﹡时，0＜t n ＜1. ……………4分 因为t n ＋1＝t n －sin t n ，0＜t 1＜1， 所以t n ＋1－t n ＝－sin t n ＜0，即t n ＋1＜t n ，所以，对n ∈N ﹡时，0＜t n ＋1＜t n ＜1. ……………6分 （2）令g (x )＝x －sin x －x 22(0＜x ＜1)，则g ′(x )＝1－cos x －x ，记φ(x )＝g ′(x )＝1－cos x －x ，则φ′(x )＝sin x －1＜0(0＜x ＜1)， 所以φ(x )在(0，1)上是单调减函数，即g ′(x )在(0，1)上是单调减函数，所以g ′(x )＜g ′(0)＝0，所以g (x )在(0，1)上是单调减函数， 因为0＜x ＜1，所以g (x )＜g (0)＝0， 由于0＜t n ＜1，所以g (t n )＜0，即t n －sin t n －t n 22＜0，所以t n ＋1＜t n 22，所以t n ＋1t n ＜t n2，……………8分 又因为t n ＜t n －1＜…＜t 2＜t 1，故n ≥2时，31212111111121222222n n n n t t t t t t t t t t t t t t t t --=⋅⋅⋅<⋅⋅⋅<⋅⋅⋅L L L ＝1121122n n n t --==， 因为t 1＝12，所以t n ≤122n －1.……………10分。