条件概率的深化__积事件的概率_贝叶斯公式

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条件概率全概率公式贝叶斯公式

条件概率全概率公式贝叶斯公式条件概率、全概率公式和贝叶斯公式是概率论中重要的概念和公式，它们在统计学、机器学习、人工智能等领域有着广泛的应用。

本文将分别介绍条件概率、全概率公式和贝叶斯公式，并且通过实际例子来说明它们的应用。

一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的前提下，事件A发生的概率。

用数学符号表示为P(A|B)，读作“A在B条件下的概率”。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以通过实际样本数据来估计。

例如，某个电商平台根据用户的购买记录，统计出用户A购买商品B的概率为0.3，即P(B|A) = 0.3。

这意味着在已知用户A购买商品B的前提下，用户A购买商品B的概率为0.3。

二、全概率公式全概率公式是指当事件A可由多个互斥事件B1、B2、B3...Bn组成时，可以通过对这些事件的概率进行求和来计算事件A的概率。

全概率公式可以表述为：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3) + ... + P(A|Bn)P(Bn)其中，B1、B2、B3...Bn是互斥事件，且它们的并集为样本空间。

举个例子，假设某地有三家运营商A、B、C，分别占据市场份额的30%、40%和30%，且它们的服务质量存在差异。

现在要计算某用户在这三家运营商中选择运营商A的概率。

根据用户的反馈数据，用户选择运营商A的概率分别为0.2、0.3和0.4。

根据全概率公式，可以计算出用户选择运营商A的概率为：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A|B3)P(B3) = 0.2*0.3 + 0.3*0.4 + 0.4*0.3 = 0.34即用户选择运营商A的概率为0.34。

三、贝叶斯公式贝叶斯公式是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以通过条件概率和全概率公式来计算。

条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式

n), 则 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2Bn )
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.（积事件概率）解以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下

概率论全概率公式和贝叶斯公式

概率论全概率公式和贝叶斯公式概率论是数学的一门分支，主要研究以概率为基础的随机现象和数学模型，以及这些模型的性质和应用。

全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个重要的基本定理，本文将深入探讨这两个公式的概念、原理和应用。

一、全概率公式（Law of Total Probability）全概率公式是概率论中一个非常基本且有用的公式，它给出了一个事件的概率如何通过其他相关事件的概率来进行计算。

假设有一组互斥和完备的事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}，即这些事件是两两不重叠且一起构成了样本空间Ω，那么对于任意一个事件A，其概率可以表示为：P(A)=P(B₁)P(A，B₁)+P(B₂)P(A，B₂)+P(B₃)P(A，B₃)+...+P(Bₙ)P(A，Bₙ)其中，P(A)表示事件A的概率，P(B₁)、P(B₂)、P(B₃)、..、P(Bₙ)表示事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}的概率，P(A，B₁)、P(A，B₂)、P(A，B₃)、..、P(A，Bₙ)表示在事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}发生的条件下，事件A发生的概率。

全概率公式实际上是根据概率的加法规则推导出来的，它将事件A的概率分解为在不同条件下的概率。

通过求解这些条件概率，可以更加准确地计算事件A的概率。

全概率公式的应用非常广泛，例如在实际生活中，我们可能会遇到一些情况，我们对一些事件的概率不清楚，但是我们对一些互斥且完备的事件的概率有一些了解，利用全概率公式，我们可以通过这些已知的概率来推导出我们所关心的事件的概率。

二、贝叶斯公式（Bayes' theorem）贝叶斯公式是概率论中一个非常重要的公式，它描述了在已知事件B发生后，事件A发生的概率。

对于两个事件A和B，其中事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)表示事件A的概率；P(B)表示事件B的概率。

全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式全概率公式（Law of Total Probability）和贝叶斯公式（Bayes' theorem）是概率论中的两个重要公式，用于计算复杂概率问题的解法。

在本文中，我们将详细介绍这两个公式的含义、推导过程和应用。

一、全概率公式（Law of Total Probability）设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分，即B1,B2,...,Bn两两互不相交，且它们的并集是整个样本空间S。

则对任何事件A，有如下公式成立：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)其中，P(A，Bi)是条件概率，表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率；P(Bi)是事件Bi的概率。

由概率的加法公式可知，P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+…+P(A∩Bn)利用条件概率的定义，P(A，Bi)=P(A∩Bi)/P(Bi)，将其带入上式中，有P(A)=P(A∩B1)/P(B1)P(B1)+P(A∩B2)/P(B2)P(B2)+…+P(A∩Bn)/P(B n)P(Bn)全概率公式的应用非常广泛。

例如，在医学诊断中，假设其中一种疾病的发病率与其中一种基因的突变有关，而该基因的突变状态是未知的。

根据现有的数据，可以计算出在其中一种突变状态下患病的概率。

全概率公式可以用来计算该疾病的总发病率，从而为医学诊断提供帮助。

二、贝叶斯公式（Bayes’ theorem）贝叶斯公式是概率论中的另一个重要公式，是在已知条件下计算事件的条件概率的一种方法。

该公式基于贝叶斯理论，可以通过已知的事实来更新假设的概率。

设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分。

则根据贝叶斯公式，对任何事件A和事件Bi有如下公式成立：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)]其中，P(Bi，A)是在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，称为后验概率；P(A，Bi)是在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，称为似然函数；P(Bi)是事件Bi的概率，称为先验概率。

第10讲条件概率 (III) 全概率公式贝叶斯公式

概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式1§1.5 条件概率四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式3第10讲条件概率(III)全概率公式贝叶斯公式四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式4四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式5在前面两讲，我们讲了条件概率和乘法公式。

现在来讲全概率公式和贝叶斯公式()()(|)P AB P A P B A =(()0)P A >（一）全概率公式四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式6A ()(|)B P A B1AB 2AB 3AB 4AB 5AB )B1AB2AB 3AB 4AB 5AB四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式11全概率公式的意义事件A 的发生有各种可能的原因B i (i =1,…,n )。

如果A 是由原因B i 引起，则A 发生的概率为()()(|)i i i P AB P B P A B 每一个原因都可能导致A 发生，故A 发生的概率是全部原因引起A 发生的概率的总和，即为全概率公式。

由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式，每个原因对结果的发生有一定的作用，结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关，全概率公式就表达了它们之间的关系。

四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式12在很多实际问题中，P (A )不容易直接求得，但却容易找到S 的一个划分B 1, B 2,…, B n ，且P (B i )和P (A |B i )容易求得，那么就可以用全概率公式求出P (A )。

使用全概率公式的关键是作出S 的一个划分。

何时用全概率公式求A 的概率？四川大学1()()(|)ni i i P A P B P A B ==∑四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式16例2 有12个足球都是新球，每次比赛时取出3个，比赛后又放回去，求第三次比赛时取到的3 个足球都是新球的概率。

条件概率与概率的三个基本公式

球”，则事件 A “第一次取到黑球”，事件 B “第二次取到黑球”．（1）法一已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容：一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间也随之缩小为 A ，而在 A 中事件 B 只含 2 个样本点，故 P(B | A) 2 ．事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)

条件概率的深化积事件的概率贝叶斯公式

条件概率的深化积事件的概率、全概率公式、贝叶斯公式山东省莱芜市第一中学刘志1.积事件的概率公式由条件概率定义P（B｜A）=P（AB）/P（A），P（A）＞0,两边同乘以P（A）可得P（AB）=P（A）P（B｜A），由此可得定理1（积事件的概率）设P（A）＞0，则有P（AB）=P（A）P（B｜A）易知，若P（B）＞0，则有P（AB）=P（B）P（A｜B）乘法定理也可推广到三个事件的情况，例如，设A，B，C为三个事件，且P （AB）＞0，则有P（ABC）=P（C｜AB）P（AB）=P（C｜AB）P（B｜A）P（A）一般地，设n个事件为A1，A2，…，A n，若P（A1A2…A n-1)＞0,则有P（A1A2…A n）=P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）…P（A n｜A1A2…A n-1）.事实上，由A1⊃A1A2⊃…⊃A1A2…A n-1，有P（A1）≥P（A1A2）≥…≥P（A1A2…A n-1）＞0故公式右边的条件概率每一个都有意义，由条件概率定义可知P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1)=P (A 1))()()()()()(1212121321121-⋅⋅⋅n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P =P (A 1A 2…A n )例1. 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件，则有)(321A A A P =)()()(21312A A A P A A P A P =10/100·9/99·90/98≈.例2. 设盒中有m 只红球，n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件，i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有.32)()()()()(32142131214321kn m kn k n m n k n m k m n m m R R R R P R R R P R R P R P R R R R P +++⋅++⋅+++⋅+== 2.全概率公式定义，样本空间的划分：设Ω为样本空间，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一组事件，若满足1°A i A j =?, i ≠j ,i ,j =1,2,…,n ， 2° ni i A 1= =Ω，则称A 1，A 2，…，A n 为样本空间Ω的一个划分. 例如：A ，A 就是Ω的一个划分.若A 1，A 2，…，A n 是Ω的一个划分，则对每次试验，事件A 1，A 2，…，A n 中必有且只有一个发生.定理2（全概率公式）设B 为样本空间Ω中的任一事件，A 1，A 2，…，A n为Ω的一个划分，且P （A i )＞0 (i =1,2,…,n )，则有()P B =[]12()n P B A A A =12()n P BA BA BA =12()()()n P BA P BA P BA +++=P（A 1）P （B ｜A 1）+P （A 2）P （B ｜A 2）+…+P （A n )P (B ｜A n )=.)()(1∑=ni i i A B P A P即：()P B =.)()(1∑=ni i i A B P A P 称上述公式为全概率公式.全概率公式表明，在许多实际问题中事件B 的概率不易直接求得，如果容易找到Ω的一个划分A 1，…，A n ，且P （A i ）和P （B |A i ）为已知，或容易求得，就可以求出P （B ）.例3、（导学案第42页变式3） 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问(1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少 (2)从2号箱取出红球的概率是多少分析：从2号箱取出红球,有两种互斥的情况:一是当从1号箱取出红球时,二是当从1号箱取出白球时.解记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球.(2)()[()]()()P A P A B B P AB P AB ==+()(|)()(|)P B P A B P B P A B =+ 24113933=⨯+⨯811127927=+=例4. 从5张彩票中仅有2张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗解：记“第i 个人抽中奖券”为事件i A 显然12()5P A = 而22112121()[()]()()P A P A A A P A A P A A ==+2121121121()()()(|)()(|)P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+2132825454205=⨯+⨯==3312121212()[()]P A P A A A A A A A A A =+++312312312312()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++121312121312()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+121312121312()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A ++21231321322661224205454354354360605++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=== 同理可求4()P A 25=、5()P A 25=例5. 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数 0 1 2 3 4.941813)|()1(,=++=B A P概率现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率.解以A i 表示一批产品中有i 件次品，i =0,1,2,3,4,B 表示通过检验，则由题意得P （A 0）=， P (B ｜A 0)=1, P (A 1)=，P (B ｜A 1)= 101001099C C =, P (A 2)=， P (B ｜A 2)= 101001098C C =,P (A 3)=， P (B ｜A 3)= 101001097C C =, P (A 4)=， P (B ｜A 4)= 101001096C C =.由全概率公式，得P （B ）=)()(4i i i A B P A P ∑==×1+×+×+×+×≈.3. 贝叶斯公式.定理3. (贝叶斯（Bayes ）公式) 设样本空间为Ω，B 为Ω中的事件，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一个划分，且P （B ）＞0，P （A i )＞0,i =1,2,…,n ，则有 P （A i ｜B ) =∑==nj jji i i A P A B P A B P A P B P B A P 1)()()()()()(，i =1,2,…,n.称上式为贝叶斯（Bayes)公式，也称为逆概率公式.例6. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，问该次品由哪个车间生产的可能性最大解设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间，B表示产品为“次品”的事件，易知A1，A2，A3是样本空间Ω的一个划分，且有P（A1）=，P(A2)=，P(A3)=，P(B｜A1)=，P(B｜A2)=，P(B｜A3)=.由全概率公式得P（B）=P（A1）P（B｜A1）+P（A2）P（B｜A2）+P（A3）P（B｜A3）=×+×+×=.由贝叶斯公式得P（A1｜B）=×/=，P(A2｜B)=×/=，P(A3｜B)=×/=所以，该次品由甲车间生产的可能性最大.例7. 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.解设A表示“患有癌症”，A表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得P（A）=, P(A)=，P(B｜A)=,P(B｜A）=由此 P （B ｜A ）==所以P （A ｜B ）=)()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P +=.这就是说，根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为95%，没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为95%，都叫做先验概率.而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率叫做后验概率.此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊断只有%（即1000人具有阳性反应的人中大约只有87人的确患有癌症），由此可看出，若把P （B ｜A ）和P （A ｜B ）搞混淆就会造成误诊的不良后果.概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式称为条件概率的三个重要公式.它们在解决某些复杂事件的概率问题中起到十分重要的作用.练习1. 从5张彩票中仅有1张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗解：记“第i 个人抽中奖券”为事件i A 显然11()5P A = 而22112121()[()]()()P A P A A A P A A P A A ==+2121121121()()()(|)()(|)P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+141105545=⨯+⨯=3312121212()[()]P A P A A A A A A A A A =+++123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++312121312000()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =+++=43115435=⨯⨯= 4()P A 4123123123123123123123123[()]P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A =+++++++ 4123412341234123()()()()P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A =+++4123412341234123()()()()P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ++++41230000000()P A A A A =+++++++1213124123()(|)(|)(|)P A P A A P A A A P A A A A =4321154325=⨯⨯⨯= 同理可求5()P A 15= 练习2. 袋中有n 个球，其中n -1个红球，1个白球.n 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i （i =1,2,…,n ）人取到白球的概率.解设A i 表示“第i 人取到白球”（i=1,2,…,n )的事件，显然P （A 1）=1/n.由21A A ⊃，故A 2=1A A 2，于是P （A 2）=P （1A A 2）=P （1A P （A 2｜1A ）=111-⋅-n n n =1/n. 类似有P （A 3）=P （1A 2A A 3）=P （1A ）P （2A ｜1A ）P （A 3｜1A 2A ） =n n 1-.12--n n .21-n =1/n. P (A n ) =P (1A 2A ...1-n A A n )=n n 1-.12--n n .. (2)1·1=1/n 因此，第i 个人（i =1,2,…,n )取到白球的概率与i 无关，都是1/n .练习3. （导学案第65页16题，2010安徽理15题）甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件．则P （B ）=9/22解答：解：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，且123A A A =Ω 所以123123()[()]()()()P B P B A A A P BA P BA P BA ==++112233()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =++5524349 =⨯+⨯+⨯= 10111011101122。

条件概率、全概率、贝叶斯公式

杨鑫的数学课堂条件概率、全概率、贝叶斯公式、p(A|B)=P(A∩B)P(B)⇒p(A∩B)=p(A|B)×p(B)⇒p(A∩B)=P(B|A)×P(A)(1)p(A|B)=P(A∩B)P(B)=p(B|A)×P(A)p(B)(2)先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：p(L1)=0.5,p(L2)=0.3,p(L3)=0.2(3)每天上述三条路不拥堵的概率分别为：p(C1)=0.2,p(C2)=0.4,p(C3)=0.7(4)其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件Li为选择第i 条路，则：p(C)=p(L1)×p(C|L1)+p(L2)×p(C|L)+p(L3)×p(C|L3) p(C)=p(L1)×p(C1)+p(L2)×p(C2)+p(L3)×p(C3)p(C)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36(5)全概率计算公式p(C)=p(L1)p(C|L1)······p(L n)p(C|L n)=n∑i=1p(L i)p(C|L i)(6)三、贝叶斯公式仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？0.5这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。

故有：p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)p(C)p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)P(L1)×p(C|L1)+P(L2)×p(C|L2)+P(L3)×p(C|L3)p(L1|C)=0.2×0.50.2×0.5+0.3×0.4+0.2×0.7=0.28(7)1。

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条件概率的深化积事件的概率、全概率公式、贝叶斯公式山东省莱芜市第一中学刘志1.积事件的概率公式由条件概率定义P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ），P （A ）＞0,两边同乘以P （A ）可得P （AB ）=P （A ）P （B ｜A ），由此可得定理1（积事件的概率）设P （A ）＞0，则有P （AB ）=P （A ）P （B ｜A ）易知，若P （B ）＞0，则有P （AB ）=P （B ）P （A ｜B ）乘法定理也可推广到三个事件的情况，例如，设A ，B ，C 为三个事件，且P （AB ）＞0，则有P （ABC ）=P （C ｜AB ）P （AB ）=P （C ｜AB ）P （B ｜A ）P （A ）一般地，设n 个事件为A 1，A 2，…，A n ，若P （A 1A 2…A n -1)＞0,则有P （A 1A 2…A n ）=P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1）. 事实上，由A 1⊃A 1A 2⊃…⊃A 1A 2…A n -1，有P （A 1）≥P （A 1A 2）≥…≥P （A 1A 2…A n -1）＞0 故公式右边的条件概率每一个都有意义，由条件概率定义可知P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1) =P (A 1))()()()()()(1212121321121-⋅⋅⋅n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P =P (A 1A 2…A n ) 例1. 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.解设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件，则有)(321A A A P =)()()(21312A A A P A A P A P =10/100·9/99·90/98≈0.0083.例2. 设盒中有m 只红球，n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件，i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有.32)()()()()(32142131214321k n m kn k n m nk n m km n m mR R R R P R R R P R R P R P R R R R P +++⋅++⋅+++⋅+==2.全概率公式定义，样本空间的划分：设Ω为样本空间，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一组事件，若满足1°A i A j =Φ, i ≠j ,i ,j =1,2,…,n ， 2° ni i A 1= =Ω，则称A 1，A 2，…，A n 为样本空间Ω的一个划分. 例如：A ，A 就是Ω的一个划分.若A 1，A 2，…，A n 是Ω的一个划分，则对每次试验，事件A 1，A 2，…，A n 中必有且只有一个发生. 定理2（全概率公式）设B 为样本空间Ω中的任一事件，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一个划分，且P （A i )＞0 (i =1,2,…,n )，则有P （B ｜A 1）+P （A 2）P （B ｜A 2）+…+P （A n )P (B ｜A n ) =.)()(1∑=ni i i A B P A P即：()P B =.)()(1∑=ni i i A B P A P 称上述公式为全概率公式.全概率公式表明，在许多实际问题中事件B 的概率不易直接求得，如果容易找到Ω的一个划分A 1，…，A n ，且P （A i ）和P （B |A i ）为已知，或容易求得，就可以求出P （B ）.例3、（导学案第42页变式3） 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问 (1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？分析：从2号箱取出红球,有两种互斥的情况:一是当从1号箱取出红球时,二是当从1号箱取出白球时. 解记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球.(2)()[()]()()P A P A B B P AB P AB ==+ ()(|)()(|)P B P A B P B P A B =+ 24113933=⨯+⨯811127927=+=例4. 从5张彩票中仅有2张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗？解：记“第i 个人抽中奖券”为事件i A 显然12()5P A =而22112121()[()]()()P A P A A A P A A P A A ==+2121121121()()()(|)()(|)P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+2132825454205=⨯+⨯==3312121212()[()]P A P A A A A A A A A A =+++ 312312312312()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++121312121312()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+121312121312()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A ++21231321322661224205454354354360605++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===同理可求4()P A 25=、5()P A 25=例5. 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率.解以A i 表示一批产品中有i 件次品，i =0,1,2,3,4,B 表示通过检验，则由题意得 .941813)|()1(,=++=B A PP (B ｜A 1)=101001099CC =0.9, P (A 2)=0.4， P (B ｜A 2)=101001098CC =0.809,P (A 3)=0.2， P (B ｜A 3)= 101001097C C =0.727, P (A 4)=0.1， P (B ｜A 4)=101001096C C =0.652.由全概率公式，得P （B ）=)()(4i i i A B P A P ∑==0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.3. 贝叶斯公式.定理3. (贝叶斯（Bayes ）公式) 设样本空间为Ω，B 为Ω中的事件，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一个划分，且P （B ）＞0，P （A i )＞0,i =1,2,…,n ，则有P （A i ｜B ) =∑==nj j ji i i A P AB P A B P A P B P B A P 1)()()()()()(，i =1,2,…,n.称上式为贝叶斯（Bayes)公式，也称为逆概率公式.例6. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品中检查出1个次品，问该次品由哪个车间生产的可能性最大？解设A 1，A 2，A 3表示产品来自甲、乙、丙三个车间，B 表示产品为“次品”的事件，易知A 1，A 2，A 3是样本空间Ω的一个划分，且有P （A 1）=0.45， P (A 2)=0.35， P (A 3)=0.2， P (B ｜A 1)=0.04， P (B ｜A 2)=0.02， P (B ｜A 3)=0.05.由全概率公式得 P （B ）=P （A 1）P （B ｜A 1）+P （A 2）P （B ｜A 2）+P （A 3）P （B ｜A 3）=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.由贝叶斯公式得 P （A 1｜B ）=(0.45×0.04)/0.035=0.514， P (A 2｜B )=(0.35×0.02)/0.035=0.200，P (A 3｜B )=(0.20×0.05)/0.035=0.286 所以，该次品由甲车间生产的可能性最大. 例7. 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95 现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率. 解设A 表示“患有癌症”，A 表示“没有癌症”，B 表示“试验反应为阳性”，则由条件得 P （A ）=0.005, P (A )=0.995， P (B ｜A )=0.95, P (B ｜A ）=0.95 由此 P （B ｜A ）=1-0.95=0.05 所以 P （A ｜B ）=)()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P +=0.087.这就是说，根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为95% ，没有患癌症的被诊断者，试验反应为阴性的概率为95%，都叫做先验概率.而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率0.087叫做后验概率.此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊断只有8.7%（即1000人具有阳性反应的人中大约只有87人的确患有癌症），由此可看出，若把P （B ｜A ）和P （A ｜B ）搞混淆就会造成误诊的不良后果.概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式称为条件概率的三个重要公式.它们在解决某些复杂事件的概率问题中起到十分重要的作用.解：记“第i 个人抽中奖券”为事件i A 显然11()5P A =而22112121()[()]()()P A P A A A P A A P A A ==+2121121121()()()(|)()(|)P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+141105545=⨯+⨯=3312121212()[()]P A P A A A A A A A A A =+++ 123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++312121312000()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =+++=43115435=⨯⨯=4()P A 4123123123123123123123123[()]P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A =+++++++ 4123412341234123()()()()P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A =+++4123412341234123()()()()P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ++++41230000000()P A A A A =+++++++1213124123()(|)(|)(|)P A P A A P A A A P A A A A =4321154325=⨯⨯⨯=同理可求5()P A 15=练习2. 袋中有n 个球，其中n -1个红球，1个白球.n 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i （i =1,2,…,n ）人取到白球的概率.解设A i 表示“第i 人取到白球”（i=1,2,…,n )的事件，显然P （A 1）=1/n. 由21A A ⊃，故A 2=1A A 2，于是P （A 2）=P （1A A 2）=P （1A P （A 2｜1A ）=111-⋅-n nn =1/n.类似有P （A 3）=P （1A 2A A 3）=P （1A ）P （2A ｜1A ）P （A 3｜1A 2A ） =nn 1-·12--n n ·21-n =1/n. P (A n ) =P (1A 2A …1-n A A n )=nn 1-·12--n n ·…·21·1=1/n因此，第i 个人（i =1,2,…,n )取到白球的概率与i 无关，都是1/n .练习3. （导学案第65页16题，2010安徽理15题）甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件．则P （B ）=9/22解答：解：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，且123A A A =Ω 所以123123()[()]()()()P B P B A A A P BA P BA P BA ==++112233()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A =++ 552434910111011101122=⨯+⨯+⨯=。