电路分析第五章 电容元件与电感元件
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电路分析第5章
《电路分析简明教程》
1、线性性质
§ 5-1
例 若f (t )= sinωt 的定义域在[0，∞），求其象函数。
解 根据欧拉公式
f (t) sin t e jt e jt
2j 根据拉氏变换的线性性质，得
《电路分析简明教程》
2、延迟性质 若
§5-1
则 例 试求延迟的阶跃函数f(t)=ε( t - t 0) 的象函数。 解 根据延迟性质和单位阶跃函数的象函数,得
（
s
K2 - p2
）
式中
《电路分析简明教程》
§5-2 复频域中的电路定律与电路模型
分析电阻电路的两类约束、定理乃至技巧都适用
于动态电路的复频域分析法（运算法）。
一、KVL、KCL的复频域形式
1、对任一节点 ΣI（s）=0
2、对任一回路 ΣU（s）=0
二、元件伏安关系（VAR)的复频域形式及电路模型
(2) 绘出电路的复频域模型。注意不要遗漏附加电 源，且要特别注意附加电源的方向。
(3) 根据电路两类约束的复频域形式，对复频域模型 列写电路方程，求出响应的象函数。这里可以采用第一、 第二章中分析电阻电路的各种方法。
(4) 用部分分式展开法和查阅拉氏变换表，将以求的 的象函数进行拉氏逆变换，求出待求的时域响应。
（s
K11 - p1）2
（ K2 s - p2
）
对于单根，待定系数仍采用
公式计算。
而待定系数K11和K12，可以用下面方法求得。 将式两边都乘以(s-p1)2，则K11被单独分离出来，即
K11 （ [ s - p1）2F(s)] S=P1
《电路分析简明教程》
又因为
d ds
[（s
电路分析基础教案(第5章) 2
§5-2 电容的VCR 例题：电路如图所示，电压源电压为三角波形， 求电容电流i（t）。
0 0.5 1 1.5 -100 解：在关联参考方向时，i=C（du/dt）， 在0≤t≤0.25ms期间， i=1×10-6×[(100-0)/(0.25×10-3-0)=0.4A；
35
i(t) + C= u(t) 1 μ F -
100
u/V t/ms
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§5-2 电容的VCR u/V
100 0 -100
t/ms 0.5 1 1.5
在0.25≤t≤0.75ms期间， i=1×10-6×[(-100-100)/(0.75×10-30.25×10-3)] =-0.4A；
36
§5-2 电容的VCR
100 0 -100
0.4
u/V
§5-1 电容元件
3、电容元件特点 线性电容有如下特点： （1）双向性 库伏特性是以原点对称，如图所示，因此与 端钮接法无关。 斜率为C q/C C u/V
0
18
§5-1 电容元件 （2）动态性 若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的 电荷是稳定的，没有电流，即：I=0。
电容相当于断 路（开路），所 以电容有隔断直 流作用。
8
第五章 电容元件与电感元件 电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的 激励有关，与过去的激励无关。 因此，电阻电路是“无记忆”，或是说“即 时的”。 与电阻电路不同，动态电路在任意时刻t的响 应与激励的全部过去历史有关。 因此，动态电路是“有记忆”的。
9
第五章 电容元件与电感元件
本章主要内容： 动态元件的定义； 动态元件的VCR； 动态电路的等效电路； 动态电路的记忆、状态等概念。
第五章 电容元件与电感元件.
1 2
Li2
1 ψ2 2L
结论
(1) 元件方程是同一类型；
(2) 若把 u-i，q- ，C-L互换,可由电容元件
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶
元素。
电容器和电感器的模型
电容器模型（按照近似程度分） 0 级模型：不考虑损耗和产生的磁场。 I 级模型：考虑损耗不考虑产生的磁场。 II级模型：考虑损耗和产生的磁场。
i
i dq
dt
+
+ dq =Cduc
uc
C
–
–
i C duc dt
uc(
t
)
1 C
t
i
t
dt
uc
(
t
0
)
1 C
t
t 0
i
t
dt
例 5-1 5-2
2. 线性电容的充、放电过程
u,i i u
o
ωt
i ii i
+ u
+u
u
u
- -++
(1) u>0，du/dt>0，则i>0，q , 正向充电(电流流向正极板)；
1 2
Li 2 (t 2)
1 2
Li 2 (t1)
wL( t2 ) wL( t1 )
wL ( t 2 ) wL ( t1 )元件充电，吸收能量
wL ( t 2 ) wL ( t1 )元件放电，释放能量
五、电感电流不能跃变（连续性）
电感 L 储存的磁场能量
wL
电工学 电容,电感元件
4 2
iS/A
2
W / J
4 6 （b）
8
t/s
由题意知L=2H,故电感上的储能为:
16
t0 0 2 4t 0 t 2 1 2 2 w(t ) li 4t 64t 256 2 2t 8 9 9 9 0 t 8
2
4
6
8
（
e ）
例4-4 图所示电路,t<0时开关K闭合，电路已达到稳态。 t=0时刻，打开开关K, 球初始值il(0+), Uc(0+), i(0+), ic(0+), UL(0+)的值。
㈣电容的单位
在国际单位制中，电容C的单位为法拉 （F），但因法拉这个单位太大，所以 通常采用微法（μF）或皮法（pF）作 为电容的单位，其换算关系为
1F 10 F，
6
1F 10 pF
6
㈤电容的伏安关系 设电容上流过电流与其两端电压为关联参 考方向，如图所示，则根据电流的定义有
dq(t ) i(t ) dt
所以
1 1 uc (1) uc (0) ic (t )dt C 0
1 1 V 0 5tdt 1.25 2 0
10 0 -10
iC/A
t/s
1
2
3
4
5
（b）
1 4 uc (4) uc (0) ic (t )dt C 0
1 2 1 4 5tdt (10)dt 2 0 2 0
u(t ) u(t )
(4-4)
等式两边分别为电容电压在t时刻左右极限值.上 式说明在 t 和 t 时刻电压值是相等的。在动态 电路分析中常用这一结论，并称之为“换路理 论”。
电容与电感的作用分析与探究
电感与电容的分析与探究在对电感与电容的电路分析之前，我们有必要先了解以下基本的概念：电流i：指在单位时间里面，流过A，B两点的’正电荷数’。
（即电流就是为了衡量电荷流通的速度）电压u：单位正电荷从A到B，电场力对单位正电荷所做的’功’。
功率P: 单位时间里的功【单位时间里，在A，B两点会流过一些正电荷数，即电流i；这些正电荷做的功就是功率。
这也就是P=iu的原因】(功率是为了衡量做功的快慢)。
功（能量）W：在一定时间里的功率总和。
为了便于理解，上述单位时间可以理解为1s，单位电荷可以理解为1个电荷，一定时间可以理解为多秒。
电阻R：我们平时所说的电导就是指电阻的倒数；伏安关系：u=iR。
电容C: 有的电容会随着电压等因素的变化而电容的大小发生变，而我们通常说的线性电容指的是电容的大小不随别的因素而变化；我们分析的都是线性电容。
单位：F(法拉)表示。
常用单位有μF(微法) 及pF(皮法)，分别表示为10-6F及10-12F。
电压关系：1. 电容的电压除与电流有关外，还与初始时刻的u(0)有关。
2. 当电路从一个状态转到另一个状态时，电容的电压不会产生跃变。
而电容开始的储能会在电路工作的起初时被消耗掉。
电流关系：只有当电容上的电压变化时，电容上才会有电流产生，这也是为什么在直流时电容被认为是开路的原因：直流电压无变化，i=0。
它是不会让直流信号通过它自己的。
极板上的电荷：同电压一样，极板上的电荷也是由开始时的电荷再加上随着时间的改变极板上增加的电荷。
电容吸收的能量：在t1,t2时间里电容吸收的能量。
指在任意时刻电容上的能量。
⎰⎰⎰⎰+=+==∞-∞-t t t id c u id c id c id c t u 0001)0(111)(ξξξξdt du c dt dq i ==)]()([21)()()()(),(1222)()(2121212121t u t u c udu c d d du c u d i u d p t t W t u t u t t t t t t c -=====⎰⎰⎰⎰ξξξξξξξξ)(21)(2t cu t W c =电容的一些等效关系：1. 一般来讲，两个导体之间只要电位不相等，他们之间就会存在电容。
电路分析基础 李瀚荪版 配套课件 第五章.
(1) u=10sint V (2) u=10et V (3) u=10 V
例3：通过4F电容的电流i，波形如图，试求电
容 电 压 uC ， 并 分 别 作 出 t≥0 ， t=0 ， t=-0.5s ， t=2/3s时的等效电路。
i/A 3
-1
0
t/s
-2
例 4 ： 电 路 如 图 ， 已 知 uC(t)=cos(2t)V ， C=1F ， R=1Ω，受控源电压u(t)=2iC(t)，求uR(t)和is(t)。
t t0
表明：
it
C
du dt
①某一时刻电容的电流i取决于该时刻电容电压u 的变化率，而与该时刻电压u的大小无关。电 容是动态元件；
②当u为常数(直流)时，i=0。直流电路中，电容 相当于开路，故电容有隔直流的作用；
it
=
C
du dt
③实际电路中通过电容的电流i(t)为有限值，则 du/dt为有限值，电容电压uc(t)是时间的连续 函数，即
电容元件 电感元件 电容与电感的对偶性 电容电感元件的串联与并联
电容元件
（实际）电容器
在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号 电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集 下去，是一种储存电能的部件。
金属极板
电介质
金属极板
电容元件
储存电能的二端元件。任意时刻t，其电荷q(t)与端 电压u(t)之间的关系能用q-u平面上的曲线描述， 则称为电容元件，简称电容。
q
f u q = 库伏特性
O
u
线性时不变电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成
正比，q~u特性曲线是通过原点的一条直线，且
不随时间变化。
例3：通过4F电容的电流i，波形如图，试求电
容 电 压 uC ， 并 分 别 作 出 t≥0 ， t=0 ， t=-0.5s ， t=2/3s时的等效电路。
i/A 3
-1
0
t/s
-2
例 4 ： 电 路 如 图 ， 已 知 uC(t)=cos(2t)V ， C=1F ， R=1Ω，受控源电压u(t)=2iC(t)，求uR(t)和is(t)。
t t0
表明：
it
C
du dt
①某一时刻电容的电流i取决于该时刻电容电压u 的变化率，而与该时刻电压u的大小无关。电 容是动态元件；
②当u为常数(直流)时，i=0。直流电路中，电容 相当于开路，故电容有隔直流的作用；
it
=
C
du dt
③实际电路中通过电容的电流i(t)为有限值，则 du/dt为有限值，电容电压uc(t)是时间的连续 函数，即
电容元件 电感元件 电容与电感的对偶性 电容电感元件的串联与并联
电容元件
（实际）电容器
在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号 电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集 下去，是一种储存电能的部件。
金属极板
电介质
金属极板
电容元件
储存电能的二端元件。任意时刻t，其电荷q(t)与端 电压u(t)之间的关系能用q-u平面上的曲线描述， 则称为电容元件，简称电容。
q
f u q = 库伏特性
O
u
线性时不变电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成
正比，q~u特性曲线是通过原点的一条直线，且
不随时间变化。
电路分析基础(张永瑞)第5章
d e jt )] d Re( Ae j (t ) ) [Re( A dt dt
d [ A cos(t )] A sin(t ) dt Re[ jAe j（t ）] Re[ jAe jt ] d jt Re ( Ae ) dt
假设某正弦电流为
i (t ) I m cos(t i )
根据欧拉公式
e j cos j sin
可以把复指数函数Im e j(ωt+θi)展开成
I me j (t i ) I m cos(t i ) jIm sin(t i )
i(t ) Re[I me
第五章 正弦电路的稳态分析
解 由图可知，i(t)的振幅为 100A， 即
i(t ) 100cos(10 t i ) A
3
当t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得
i (0) 100cos i 50
故
cos i 0.5
第五章 正弦电路的稳态分析
由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即
同理，可得正弦电压的有效值
1 U U m 0.707 m U 2
必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是 有效值。 引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成
i(t ) I m cos(t i ) 2 I cos(t i ) u(t ) Um cos(t u ) 2U cos(t u )
示。
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1.2 相位差
假设两个正弦电压分别为
u1 (t ) U1m cos(t 1 ) u2 (t ) U 2 m cos(t 2 )
d [ A cos(t )] A sin(t ) dt Re[ jAe j（t ）] Re[ jAe jt ] d jt Re ( Ae ) dt
假设某正弦电流为
i (t ) I m cos(t i )
根据欧拉公式
e j cos j sin
可以把复指数函数Im e j(ωt+θi)展开成
I me j (t i ) I m cos(t i ) jIm sin(t i )
i(t ) Re[I me
第五章 正弦电路的稳态分析
解 由图可知，i(t)的振幅为 100A， 即
i(t ) 100cos(10 t i ) A
3
当t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得
i (0) 100cos i 50
故
cos i 0.5
第五章 正弦电路的稳态分析
由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即
同理，可得正弦电压的有效值
1 U U m 0.707 m U 2
必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是 有效值。 引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成
i(t ) I m cos(t i ) 2 I cos(t i ) u(t ) Um cos(t u ) 2U cos(t u )
示。
第五章 正弦电路的稳态分析
5.1.2 相位差
假设两个正弦电压分别为
u1 (t ) U1m cos(t 1 ) u2 (t ) U 2 m cos(t 2 )
南京邮电大学电路分析基础_第5章1
4 .电容是储能元件
电压电流参考方向关联时，电容吸收功率 p(t) u(t)i(t) u(t)C du dt
p 可正可负。当 p > 0 时，电容吸收 功率（吞），储存电场能量增加；当p
< 0时，电容发出功率（吐），电容放 出存储的能量。
任意时刻t得到的总能量为
t
t
wC (t)
p( )d
i +
uS/mV + 10
uS -
Lu -
0
-10
(a)
1 2 3t (b)
解： 当0<t1s时，u(t)=10mV，
i(t) 1
t
u( )d
L
i(0) 2102
t
10
2
d
0
2t
A
2t
A
0
当 t 1s 时 i(1) 2A
当1s<t2s时，u(t)=-10mV
i(t)
，
i(1)
2. 电感是惯性元件
di
u 有限时，电流变化率 dt 必然有限； 电流只能连续变化而不能跳变。
3.电感是记忆元件
i(t) 1
t
u( )d
L
电感电流i有“记忆”电压全部历史
的作用。取决于电压(, t )的值。
i(t) 1
t
u( )d
L
1
t0 u()d 1
t
u( )d
L
L t0
上式也可以理解为什么电容电压不 能轻易跃变，因为电压的跃变要伴随 储能的跃变，在电流有界的情况下， 是不可能造成电场能发生跃变和电容 电压发生跃变的。
例1 C =4F，其上电压如图(b)，试求
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i1(t) u1(t)
+
i1/A
+
4F
+
3
u(t)
0.5V
-
-
0
1
2
t/s
i1(t) — i(t)在t≥0时的部分；t≤0的部分已不必再考虑。
5.3、电容电压的连续性与记忆性质
i +
i C du dt
u
–
+ C –
u(t )
1 C
t
id 1 C
1 C
t t0
t0
id
t/s
u 0 1
4
0
1
2 dt
2 4
0 .5 V
u(0)记忆了t=0以前所有电流的充电作用。
例题
(续)
5-8
（2） t ≥ 0时
u t u 0 1 4
t
3dt
0 . 5
0 . 75 t V
0
t≥0时，不能忽略初始电压u(0)， 它反映了t≤0电流对t ≥ 0时u（t）的影响。 （3）
2 V 3 A
4W
流过 2 V 电压源电流为 2 V 电压源功率：
1A 2 A 3 A ， 6 W 消耗 6 W
功率平衡关系：
提供功率 消耗功率
8W+4W=12W 6W+2W+4W=12W
功率平衡。
习题课
习题4 已知uc(t)=2cos(2t)V、C=1F、R=1Ω， 受控源电压u(t)=2ic(t)，求uR(t)、is(t)。
1 2
Cu ( t )
2
1 2
Cu ( )
2
若 u ( ) 0
1 2
Cu ( t )
q (t ) 0
2
2C
从t0到t 电容储能的变化量：W C 从 t 到 t0 电容储能的变化量： C W
1 2
Cu ( t )
2
1 2
Cu ( t 0 )
2
1 2
Cu ( t 0 )
C
0.5F
u/ V
电源波形
解得电流
0 dus 1 i(t ) C dt 1 0 t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
i/A 1 1 -1 2 t /s
5.4、电容的储能
p( t ) u( t )i ( t ) 0 2t 2t 4 0
2H
1Ω 2Ω
+
2A 2V 1F
+
4V
-
-
答案
P1 2 A 1 4W
2
P2 2V
2 / 2
2W
习题3 答案
5-17
解 电路在直流电源长久作用下，电感看作短路，
电容看作开路，如图所示。
1Ω 2Ω
+
2A
+
2V
+
4V
2 A 1Ω 4 W
a i(t)
u(t)
+
-
c u(0)=U0
a +
b
uc(t)
i(t)
+ u1(t) +
-
b
U0
u1(0)=0
-
例题
已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示， 电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。
5-7) u(0)； (2) u(t)、t≥0； (3) u(1)和u (－ 0.5)； (4) 作出t≥0时该电容的等效电路。 解 （1）根据已知条件，t≤0时 仅在－1≤t≤0时，i(t)=2A。
di dt
di dt
p 吸 ui L
t
i
W吸
若 i ( ) 0
Li
di d
2
d 1 2L
1 2
i(t )
Li
2 i ( )
1 2
Li ( t )
2
1 2
Li ( )
2
1 2
Li ( t )
(t ) 0
2
5.7、电容与电感的对偶性
1 C
id
D. u 4
C
id
0
答案
习题1 答案
解
5-13
与教案中例题不同，此处u(0)的成因不详， 也无需且不可能追究。其极性已如图中所示， 其值为4V，已成定局。但t≥0时，i、u的参考 方向为非关联的，故应选B项。 t≥0的等效电路如图， i C 代表初始电压源的极性、 - + - + 数值是已知的，与i无关。 4V u1 a C部分的u1和i的参考方向 + 是非关联的。
线性电容的VCR i + u + C
i dq dt C du dt
i 的大小与 u 的变化率成正比， 与 u 的大小无关； 当u 为常数时，du/dt =0 i=0
–
–
(电容在直流电路中相当于开路) 电容有隔直作用
例 1F的电容，若u如图（a），则i如图（b） 5-4
图(a)
2 i/A
图(b)
V
i S iC i R 2 sin 2 t cos 2 t 4 sin 2 t A 2 sin 2 t cos 2 t A 5 cos 2 t 63 . 4
WC ( t ) 1 2
2
p/W
吸收功率
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
Cu ( t )
2
0 -2 WC/J 1
1
2 t /s 释放功率
t0 0 2 0 t 1s t 2 ( t 2) 1 t 2 s 0 t 2s
0
1
2 t /s
5.5、电感元件
5.5、电感元件
电感 (inductor)元件
I
I , 右旋
0
I
线性时不变电感元件
def
韦安( ~i )特性
L
I
= N 为电感线圈的磁链
L 称为自感系数 符号：H
L 的单位名称：亨
5.6、电感的VCR
线性电感电压、电流关系 由电磁感应定律
（3）电容（元件）VCR形式二
由 u
1 C q
5-5
得 u (t )
1 C
t
i ( )d
②
上式表明：某时刻t的电容电压与从-∞到该时刻所有 电流有关—电容电压的记忆性质（memory property） 更实用的形式： 设初始时刻为t=0 即 u (t ) u (0 )
电容元件与电感元件的比较 电容 C 变量 电压 u 电荷 q
q=Cu du dt WC = 1 2 Cu
2
电感 L 电流 i 磁链
ψ=Li u=L di dt 1 2 WL = Li 2
关系式
i=C
5.7、电容与电感的对偶性
电感和电容的串并联 电感的串联
L eq
k 1
n
Lk
电感的并联
1 L eq 1 C
1 C
t t0
id
u(t0 )
id
(1) 电容元件是一种记忆元件； (2) 当电流 i 为有限值时，电容电压不能跃变。
5.4、电容的储能
电容的储能
p 吸 ui u C du dt
u(t )
WC
t
Cu
du d
2
d
1 2 1
Cu
2 u( )
5.1、电容元件
5.1、电容元件
电容(capacitor)元件
i + u + C
q
+
_
q
q
0 u
–
–
描述电容的两个基本变量: u, q 对于线性电容，有： q =Cu C 称为电容器的电容
def
C
q u
电容 C 的单位：F (法) 常用F，pF等表示 电容 的
额定工作电压
5.2、电容的VCR
k 1 n
n
1 Lk 1 C
k
电容的串联
k 1
eq
电容的并联
C
eq
k 1
n
C
k
习题课
C
5-12
习题1 已知u(0)=4V，则该电容t≥0时的VCR为
a
A. u 4 C. u 4 1 C
i
- u+
id
b
1 C
t 0
t
B. u 4
0
1
t
id
t
0
5.6、电感的VCR
u L di dt
(2) 电感元件是一种记忆元件
i
L
1
t
ud
1 L
0
ud
1 L
t 0
ud
i(0)
L
1
t 0
ud
(3) 当电压u 为有限值时,电感中电流不能跃变 因为电流跃变需要一个无穷大的电压
5.6、电感的VCR
电感的储能
u L
2
1 2
Cu ( t )
2
5.4、电容的储能
+
i1/A
+
4F
+
3
u(t)
0.5V
-
-
0
1
2
t/s
i1(t) — i(t)在t≥0时的部分；t≤0的部分已不必再考虑。
5.3、电容电压的连续性与记忆性质
i +
i C du dt
u
–
+ C –
u(t )
1 C
t
id 1 C
1 C
t t0
t0
id
t/s
u 0 1
4
0
1
2 dt
2 4
0 .5 V
u(0)记忆了t=0以前所有电流的充电作用。
例题
(续)
5-8
（2） t ≥ 0时
u t u 0 1 4
t
3dt
0 . 5
0 . 75 t V
0
t≥0时，不能忽略初始电压u(0)， 它反映了t≤0电流对t ≥ 0时u（t）的影响。 （3）
2 V 3 A
4W
流过 2 V 电压源电流为 2 V 电压源功率：
1A 2 A 3 A ， 6 W 消耗 6 W
功率平衡关系：
提供功率 消耗功率
8W+4W=12W 6W+2W+4W=12W
功率平衡。
习题课
习题4 已知uc(t)=2cos(2t)V、C=1F、R=1Ω， 受控源电压u(t)=2ic(t)，求uR(t)、is(t)。
1 2
Cu ( t )
2
1 2
Cu ( )
2
若 u ( ) 0
1 2
Cu ( t )
q (t ) 0
2
2C
从t0到t 电容储能的变化量：W C 从 t 到 t0 电容储能的变化量： C W
1 2
Cu ( t )
2
1 2
Cu ( t 0 )
2
1 2
Cu ( t 0 )
C
0.5F
u/ V
电源波形
解得电流
0 dus 1 i(t ) C dt 1 0 t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
i/A 1 1 -1 2 t /s
5.4、电容的储能
p( t ) u( t )i ( t ) 0 2t 2t 4 0
2H
1Ω 2Ω
+
2A 2V 1F
+
4V
-
-
答案
P1 2 A 1 4W
2
P2 2V
2 / 2
2W
习题3 答案
5-17
解 电路在直流电源长久作用下，电感看作短路，
电容看作开路，如图所示。
1Ω 2Ω
+
2A
+
2V
+
4V
2 A 1Ω 4 W
a i(t)
u(t)
+
-
c u(0)=U0
a +
b
uc(t)
i(t)
+ u1(t) +
-
b
U0
u1(0)=0
-
例题
已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示， 电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。
5-7) u(0)； (2) u(t)、t≥0； (3) u(1)和u (－ 0.5)； (4) 作出t≥0时该电容的等效电路。 解 （1）根据已知条件，t≤0时 仅在－1≤t≤0时，i(t)=2A。
di dt
di dt
p 吸 ui L
t
i
W吸
若 i ( ) 0
Li
di d
2
d 1 2L
1 2
i(t )
Li
2 i ( )
1 2
Li ( t )
2
1 2
Li ( )
2
1 2
Li ( t )
(t ) 0
2
5.7、电容与电感的对偶性
1 C
id
D. u 4
C
id
0
答案
习题1 答案
解
5-13
与教案中例题不同，此处u(0)的成因不详， 也无需且不可能追究。其极性已如图中所示， 其值为4V，已成定局。但t≥0时，i、u的参考 方向为非关联的，故应选B项。 t≥0的等效电路如图， i C 代表初始电压源的极性、 - + - + 数值是已知的，与i无关。 4V u1 a C部分的u1和i的参考方向 + 是非关联的。
线性电容的VCR i + u + C
i dq dt C du dt
i 的大小与 u 的变化率成正比， 与 u 的大小无关； 当u 为常数时，du/dt =0 i=0
–
–
(电容在直流电路中相当于开路) 电容有隔直作用
例 1F的电容，若u如图（a），则i如图（b） 5-4
图(a)
2 i/A
图(b)
V
i S iC i R 2 sin 2 t cos 2 t 4 sin 2 t A 2 sin 2 t cos 2 t A 5 cos 2 t 63 . 4
WC ( t ) 1 2
2
p/W
吸收功率
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
Cu ( t )
2
0 -2 WC/J 1
1
2 t /s 释放功率
t0 0 2 0 t 1s t 2 ( t 2) 1 t 2 s 0 t 2s
0
1
2 t /s
5.5、电感元件
5.5、电感元件
电感 (inductor)元件
I
I , 右旋
0
I
线性时不变电感元件
def
韦安( ~i )特性
L
I
= N 为电感线圈的磁链
L 称为自感系数 符号：H
L 的单位名称：亨
5.6、电感的VCR
线性电感电压、电流关系 由电磁感应定律
（3）电容（元件）VCR形式二
由 u
1 C q
5-5
得 u (t )
1 C
t
i ( )d
②
上式表明：某时刻t的电容电压与从-∞到该时刻所有 电流有关—电容电压的记忆性质（memory property） 更实用的形式： 设初始时刻为t=0 即 u (t ) u (0 )
电容元件与电感元件的比较 电容 C 变量 电压 u 电荷 q
q=Cu du dt WC = 1 2 Cu
2
电感 L 电流 i 磁链
ψ=Li u=L di dt 1 2 WL = Li 2
关系式
i=C
5.7、电容与电感的对偶性
电感和电容的串并联 电感的串联
L eq
k 1
n
Lk
电感的并联
1 L eq 1 C
1 C
t t0
id
u(t0 )
id
(1) 电容元件是一种记忆元件； (2) 当电流 i 为有限值时，电容电压不能跃变。
5.4、电容的储能
电容的储能
p 吸 ui u C du dt
u(t )
WC
t
Cu
du d
2
d
1 2 1
Cu
2 u( )
5.1、电容元件
5.1、电容元件
电容(capacitor)元件
i + u + C
q
+
_
q
q
0 u
–
–
描述电容的两个基本变量: u, q 对于线性电容，有： q =Cu C 称为电容器的电容
def
C
q u
电容 C 的单位：F (法) 常用F，pF等表示 电容 的
额定工作电压
5.2、电容的VCR
k 1 n
n
1 Lk 1 C
k
电容的串联
k 1
eq
电容的并联
C
eq
k 1
n
C
k
习题课
C
5-12
习题1 已知u(0)=4V，则该电容t≥0时的VCR为
a
A. u 4 C. u 4 1 C
i
- u+
id
b
1 C
t 0
t
B. u 4
0
1
t
id
t
0
5.6、电感的VCR
u L di dt
(2) 电感元件是一种记忆元件
i
L
1
t
ud
1 L
0
ud
1 L
t 0
ud
i(0)
L
1
t 0
ud
(3) 当电压u 为有限值时,电感中电流不能跃变 因为电流跃变需要一个无穷大的电压
5.6、电感的VCR
电感的储能
u L
2
1 2
Cu ( t )
2
5.4、电容的储能