8-3-2 微积分

ε 1 ∆x + ε 2 ∆y →0 Q ≤ ε 1 + ε 2 ρ → 0, ρ
处可微. 故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微
∂z ∂z 习惯上， 习惯上，记全微分为 dz = dx + dy . ∂x ∂y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
也可写成
f ( x + ∆x , y + ∆y ) ≈ f ( x , y ) + f x′ ( x , y )∆x + f y′ ( x , y )∆y .
例5
解
的近似值. 计算(1.04) 2.02 的近似值
设函数 f ( x , y ) = x y . 取 x = 1, y = 2, ∆x = 0.04, ∆y = 0.02.
全增量的概念
如果函数 z = f ( x , y ) 在点 P( x , y ) 的某邻域 内有定义， 内有定义，并设 P ′( x + ∆x , y + ∆y )为这邻域内 的任意一点， 的任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量 ∆x , ∆y 的全增 量，记为 ∆z ， 即 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y )
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
.
在点( 0,0)处有
f x′ (0,0) = f y′ (0,0) = 0
∆x ⋅ ∆ y , ∆z − [ f x′ (0,0) ⋅ ∆x + f y′ (0,0) ⋅ ∆y ] = 2 2 ( ∆ x ) + ( ∆y )
如果考虑点 P ′( ∆ x , ∆ y ) 沿着直线 y = x 趋近于( 0 ,0 ) ，
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂z lim =A= , ∆x → 0 ∂x ∆x
同理可得
∂z B= . ∂y
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在
微分存在． 微分存在． 全微分存在． 全微分存在．
xy x2 y2 + 例如， 例如， f ( x , y ) = 0
思路：按有关定义讨论； 思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
( x , y ) ≠ (0,0) ，( x , y ) = (0,0) 讨论 讨论.
证 令 x = ρ cosθ , y = ρ sinθ ,
1 则 lim xy sin 2 ( x , y )→ ( 0 , 0 ) x + y2 1 2 = lim ρ sinθ cosθ ⋅ sin = 0 = f (0,0),
证 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y )
= [ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y + ∆y )]
+ [ f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )],
在第一个方括号内， 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
∂z ( x , y ) 可微分 ， 则该函数在点 ( x , y ) 的偏导数 、 可微分， ∂x ∂z 必存在， 必存在 ， 且函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的全微分 ∂y
∂z ∂z dz = ∆x + ∆y ． ∂x ∂y
为
证 如果函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 可微分 可微分,
当点 P ( x , y ) 沿直线 y = x 趋于( 0 ,0 ) 时 ,
( x , x ) →( 0 , 0 )
lim
f x′ ( x , y )
1 x3 1 cos , = lim x sin − 3 x →0 2| x| 2 2| x| 2 | x |
不存在. 不存在
不连续. 所以 f x′ ( x , y ) 在( 0,0)不连续 不连续. 同理可证 f y′ ( x , y ) 在( 0,0)不连续
内各点处处可微分， 函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 内可微分
可微分, 如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分 则 函数在该点连续. 函数在该点连续
事实上 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ), lim ∆z = 0,
处不可微. 函数在点( 0,0) 处不可微
说明： 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 微分存在，
∂ z ∂z 连续， 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点( x , y ) ∂x ∂y
可微分． 可微分．
定理２ 充分条件） 如果函数 定理２（充分条件） 如果函数 z = f ( x , y ) 的偏 ）
4
2 ∂z ∂z dx + dy = π( 4 − 7 π). = 8 ∂x ( π , π ) ∂y ( π , π )
4 4
y 的全微分. 例 3 计算函数u = x + sin + e yz 的全微分 2
解
∂u = 1, ∂x
y ∂u 1 yz = cos + ze , 2 ∂y 2
∂u = ye yz , ∂z
P ′( x + ∆x , y + ∆y ) ∈ P 的某个邻域
∆ z = A ∆ x + B ∆ y + o( ρ )
总成立, 总成立
当 ∆y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ =| ∆x |, 上式仍成立，
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆x + o(| ∆x |),
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ≈ f x′ ( x , y )∆x
f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) ≈ f y′ ( x , y )∆y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
π 例 2 求函数 z = y cos( x − 2 y ) ，当 x = ， y = π ， 4
dx =
解
π
4
时的全微分. ，dy = π 时的全微分
∂z = − y sin( x − 2 y ), ∂x ∂z = cos( x − 2 y ) + 2 y sin( x − 2 y ), ∂y dz ( π , π )
全微分的定义
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 可以表示为 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ) ，其中 A, B 不依赖于
2 2
∆x , ∆y 而仅与 x, y 有关， ρ = ( ∆x ) + ( ∆y ) ， 有关， 可微分， 则称函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， A∆x + B∆y 称为函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的 全微分， 全微分，记为dz ，即 dz = A∆x + B∆y .
f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y + ∆y )
= f x′ ( x + θ1∆x , y + ∆y )∆x (0 < θ 1 < 1)
= f x′ ( x , y )∆x + ε 1∆x 依偏导数的连续性） （依偏导数的连续性）
的函数, 其中ε 1 为 ∆x , ∆y 的函数
则
∆x ⋅ ∆y 2 2 ( ∆ x ) + ( ∆y ) =
ρ
1 ∆x ⋅ ∆x = , 2 2 ( ∆x ) + ( ∆x ) 2
说明它不能随着 ρ → 0 而趋于 0, 当 ρ → 0 时，
∆z − [ f x′ (0,0) ⋅ ∆x + f y′ (0,0) ⋅ ∆y ] ≠ o( ρ ),
且当 ∆x → 0, ∆ y → 0 时，ε 1 → 0 .
同理
f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y )
= f y′ ( x , y )∆y + ε 2 ∆y , 当 ∆y → 0 时，ε 2 → 0 ,
∆z = f x′ ( x , y )∆x + ε 1∆x + f y′ ( x , y )∆y + ε 2 ∆y
∆ f = f ( ∆ x , ∆ y ) − f ( 0,0 )
1 = ∆x ⋅ ∆y ⋅ sin 2 2 ( ∆x ) + ( ∆ y )
= o( ( ∆ x ) + ( ∆ y ) )
2 2
故 f ( x , y ) 在点( 0,0) 可微
df
( 0,0 )
= 0.
多元函数连续、可导、 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
ρ →0
∆x → 0 ∆y → 0
lim f ( x + ∆x , y + ∆y ) = lim[ f ( x , y ) + ∆z ]