同济高等数学第四章第一节课件
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同济高等数学课件(完整版)详细
T
M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
f
1 (x
( x0 )
x0 ).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
y
y
y f (x)
o
x
y f (x)
o
x0
x
例8
讨论函数
f
(x)
x
sin
1 x
,
x 0,
0, x 0
在x 0处的连续性与可导性.
解 sin 1 是有界函数 , lim x sin 1 0
x
x0
x
f (0) lim f ( x) 0 f ( x)在x 0处连续.
x0
1
但在x 0处有 y (0 x)sin 0 x 0 sin 1
h0
h
三、证明：若 f ( x)为偶函数且 f (0) 存在，则 f (0) 0 .
四、
设函数
f
(x)
x k
sin
1 x
,
x
0问
k
满足什么条
0 , x 0
件， f ( x)在 x 0处 (1)连续； （2）可导；
（3）导数连续.
五、
设函数
f
(x)
x2
,
x
1
,为了使函数
ax b , x 1
f ( x)在 x 1处连续且可导，a , b应取什么值.
同济大学《高等数学》(第四版)1-10节 连续函数的运算
x
2 2 cos x tan e______ .
x
5 、 lim
t 2
____________ .
x
e , x 0 , 当 a _____时 ， f ( x ) 在 6、 设 f ( x ) a x, x 0 ( , ) 上 连 续 .
例2 解
求 lim
令 e
x
e
x
1 x
x 0
.
则 x ln( 1 y ),
1 y,
当 x 0时 , y 0 .
原式 lim
y ln( 1 y )
lim
1
1
1.
y 0
y 0
ln( 1 y )
y
同理可得
lim
a
x
1 x
x 0
ln a .
定理4
t
7、 函 数 f ( x)
x
4 2
x 1
x x 6 ________________.
的连续区间为
x , 当 x 1时 cos 2 8、 设 f ( x ) x 1 , 当 x 1时
x 1 x 1 2
确定
lim f ( x ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; lim f ( x ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
x 在 [ 1 ,1 ]上单调减少且连续
同理 y arccos y arctan
x , y arc cot x 在 [ , ]上单调且连续
反三角函数在其定义域内皆连续.
定理3
若 lim ( x ) a , 函数 f ( u ) 在点 a 连续 ,
2 2 cos x tan e______ .
x
5 、 lim
t 2
____________ .
x
e , x 0 , 当 a _____时 ， f ( x ) 在 6、 设 f ( x ) a x, x 0 ( , ) 上 连 续 .
例2 解
求 lim
令 e
x
e
x
1 x
x 0
.
则 x ln( 1 y ),
1 y,
当 x 0时 , y 0 .
原式 lim
y ln( 1 y )
lim
1
1
1.
y 0
y 0
ln( 1 y )
y
同理可得
lim
a
x
1 x
x 0
ln a .
定理4
t
7、 函 数 f ( x)
x
4 2
x 1
x x 6 ________________.
的连续区间为
x , 当 x 1时 cos 2 8、 设 f ( x ) x 1 , 当 x 1时
x 1 x 1 2
确定
lim f ( x ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; lim f ( x ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
x 在 [ 1 ,1 ]上单调减少且连续
同理 y arccos y arctan
x , y arc cot x 在 [ , ]上单调且连续
反三角函数在其定义域内皆连续.
定理3
若 lim ( x ) a , 函数 f ( u ) 在点 a 连续 ,
《同济版高数》课件
数学是一门美丽而强大的学 科，它存在于生活的方方面 面，深深影响着我们的世界。
持续学习
高等数学是学习其他学科的 基础，要不断提高自己的数 学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可 怕，要勇敢面对并寻求解决 方法。
采用多样化的教学方法和工具， 激发学生对数学的兴趣和思考 能力。
倡导学生参与式学习，鼓励讨 论和合作，提高学生的学习效 果。
问题解决
培养学生的问题解决能力，注 重实际应用和创新思维。
PPT动效运用
1
简洁清晰
使用适度的动效，突出重点，让学生
过渡自然
2
更清晰地理解内容。
平滑的过渡效果，使切换页面更加流
提供大量习题，巩固理论知识并锻炼解题 能力。
教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理 解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解 步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
《同济版高数》PPT课件
探索《同济版高数》的世界，与高数的魅力相遇。让我们一起学习，展现数 学的美妙与力量。
持续学习
高等数学是学习其他学科的 基础，要不断提高自己的数 学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可 怕，要勇敢面对并寻求解决 方法。
采用多样化的教学方法和工具， 激发学生对数学的兴趣和思考 能力。
倡导学生参与式学习，鼓励讨 论和合作，提高学生的学习效 果。
问题解决
培养学生的问题解决能力，注 重实际应用和创新思维。
PPT动效运用
1
简洁清晰
使用适度的动效，突出重点，让学生
过渡自然
2
更清晰地理解内容。
平滑的过渡效果，使切换页面更加流
提供大量习题，巩固理论知识并锻炼解题 能力。
教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理 解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解 步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
《同济版高数》PPT课件
探索《同济版高数》的世界，与高数的魅力相遇。让我们一起学习，展现数 学的美妙与力量。
同济大学《高等数学》(第四版)1-8节-无穷小的比较全篇
解
lim tan x0
x sin x x3
tan lim( x0 x
x 1 cos x x2 )
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x,
ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 . 2
对于代数和中各无穷小不能分别替换.
例4 求 limtan x sin x . x0 sin3 2 x
错解 当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式 lim x x
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
一、无穷小的比较
例如, 当x 0时, x, x 2 , sin x, x 2 sin 1 都是无穷小.
x2 lim 0,
观 x0 3x
x
x 2比3 x要快得多;
察 各
lim sin x 1,
sin x与x大致相同;
极 限
x0 x
lim
x0
x 2 sin 1 x
x2
lim sin
x0
1 x
不存在.
证 lim lim( )
lim lim lim lim .
例3 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
(2 x )2
lim x0
1 x2
8.
2
同济大学线性代数第四章PPT课件
讨论它们的线性相关性.
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
0
1
1
1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4
1 2
0 1
d
x x4
x2
0 1 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
x2
高等数学(同济大学)第六版课件上第4章
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
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C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
x
x x(t)
x0 x(0) o
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先求 由
知
v(t) ( g) d t gt C1
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) gt v0
再求
高等数学第四章课件.ppt
例3 求 lim x x . x0
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
0 型
第三节 函数的单调性
一、函数单调性的判定方法 二、函数单调性的应用
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
定理 3 设函数 f (x) 在点 x0 处存在二阶导 数，且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0 ，（1）若 f (x0 ) 0 ， 则 函 数 f (x) 在 点 x0 处 取 得 极 大 值 ；（ 2 ） 若 f (x0 ) 0 ，则函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值．
求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ( x); (2) 求出f ( x)的全部驻点，即方程 f ( x) 0的根;
(3) 考察 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求出各极值点处的函数值.
三、函数的最值
函数最大值和最小值统称为函数的最值；使 得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的 最值点．
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
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铃
不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
f (x)dx .
根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么 F(x)C就是f(x)的不定积分, 即
f (x)dx F (x) C .
例4 4 例 例5 5 例
1 dx x3dx 1 x31 C 1 C . x3 2 31 2x
2 x x dx 5 x 2 dx
2 x3 x C . 7
4
5 1 2 x2 C 1 2 x C . 5 1 7 2
7
dx 3 3 C 3 C . 例6 6 C 例 x dx 3 x 3 3 4 x x x 1 3
因为 ( x ) 1 , 所以 x 是 1 的原函数. 2 x 2 x 1 提问： cos x 和 还有其它原函数吗？ 2 x
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间 I上存在可 导函数F(x), 使对任一xI 都有 F (x)f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. (下章证明) 初等函数在定义区间上连续
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证: 1) 即 又知 故 即 属于函数族
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不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
f (x)dx .
不定积分中各部分的名称：
------ 称为积分号,
f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为被积表达式, x ------ 称为积分变量.
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如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F (x) C .
1 例 2 例 2. 求函数 f (x) 的不定积分. x 1 解 解：当 x>0 时, (ln x) , x 1 dx ln x C (x>0) x 1 1 当 x<0 时, [ln(x)] (1) , x x 1 dx ln(x) C (x<0). x 合并上面两式, 得到 1 dx ln | x| C (x0). x
质点抛出时刻为 t 0 , 此时质点位置为 x0 , 初速为 v0 .
设时刻 t 质点所在位置为 x x(t ) , 则
dx v(t ) dt
d2 x d v g 2 dt dt
x
(运动速度) 再由此求 x(t ) (加速度) 先由此求 v(t )
o
结束
x x(t )
x0 x(0)
1 5x 2 )dx
7 x2
3
5 x 2 dx
1 5x 2 dx
2 2 C . 5 x 7 3 3 3 2 ( x 1 ) x 3 x 3x 1dx (x 3 3 1 )dx 例 dx 例 88 x x2 x2 x2 xdx 3 dx 3 1 dx 12 dx 1 x2 3x 3ln | x| 1 C . x 2 x x
§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质
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铃
一、原函数与不定积分的概念
微分法:
F ( x) ( ? )
互逆运算
积分法:
( ? ) f ( x)首页上页源自返回下页结束
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一、原函数与不定积分的概念
原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对 任一xI, 都有 F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. •原函数举例 因为(sin x)cos x , 所以sin x是cos x的原函数.
(5) a xdx
x
(7) sin xdx cos x C ,
(8) sec2 xdx tan x C ,
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(14) sh x dx ch x C ,
(15) ch x dx sh x C .
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(2) x dx 1 x 1 C , 1
C 称为积分常数 不可丢 !
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如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则 f (x)dx F (x) C .
例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以
cosxdx sin x C .
因为 x 是 1 的原函数, 所以 2 x 1 dx x C . 2 x
初等函数在定义区间上有原函数
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说明： 1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限 多个原函数, F(x)C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 (x)F(x)C (C为某个常数).
思考与练习
1. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x e 提示: 1 ln x f (ln x) e x
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2. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃
1 2 2 x dx
三、不定积分的性质
性质1 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx . 性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 是常数, k 0).
例 例 99 (e x 3cos x)dx e xdx 3 cos xdx ex 3sin x C .
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dv 先求v(t ) . 由 g , 知 dt
x
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故
v(t ) ( g ) d t g t C1
x x(t )
x0 x(0)
v(t ) g t v0 o dx 再求 x(t ) . 由 (t g)t v0 , 知 v dt 2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2 由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 188) 2. 直接积分法:
利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 分项积分
常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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a C , ln a (6) cos xdx sin x C ,
(9) csc2 xdx cot x C ,
1 dx arctan x C , 2 1 x 1 dx arcsin x C (11) , 2 1 x
(10) (12) sec x tan xdx sec x C , (13) cscx cotdx cscx C ,
1 1 dx dx arctan x ln | x| C . 2 x 1 x
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2 2 4 4 ( x 1 )( x 1 ) 1 x x 1 1 例 12 dx dx dx 例 12 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 1 2 2 (x 1 )dx x dx dx dx 2 2 1 x 1 x 1 x3 x arctanx C . 3
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三、不定积分的性质
性质1 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx . 性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 是常数, k 0). 例7
x (x2 5)dx
5 x 2 dx 5
5 (x 2
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例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y) 处的切线斜率为 yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数. 因为
2 2 xdx x C , 故必有某个常数C使f(x)x2C, 即曲线方程为yx2C. y 因所求曲线通过点(1, 2), 故 21C, C1. (1, 2) 于是所求曲线方程为yx21.
或记作 dF (x) F (x) C .
由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定 积分的运算是互逆的.
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二、基本积分表
(1) kdx kx C (k 是常数), (2) x dx 1 x 1 C , 1 1 (3) dx ln | x| C , x (4) e xdx e x C ,