枚举法
计算机常用算法
练习： 假设有一堆小石子，二人轮流去取，谁拿走最后一颗石子便输。 先让甲规定石子总数N以及每次最多取多少颗数k（n>=2*k+1）， 甲每次取a颗, （N,k,a均为随机数），乙怎样取赢的可能性最大？ 设甲为计算机产生的随机数，乙为由你编的计算机程序。
贪心法是从问题的某一个初始解出发,向给定的目标推进.
数学函数式递归 例1、阶乘n!=1*2*3*…（n-1）*n
[算法分析]：要求n!,只需求出(n-1)!,因为n!=n*(n-1)!,要求出(n-1)!, 只需求出(n-2)!,因为(n-1)!=(n-1)*(n-2)!,所以可得到阶乘的递归定 义式：
n!=
{
n*(n-1)!,n>0; 1, n=0。
模拟法: 就是模拟某个过程,通过改变数学的各种参数,进而观察变更这 些参数所引起过程状态的变化.一般题目给定或者隐含某一概率.设 计者利用随机函数和取整函数设定某一范围的随机值,将符合概率 的随机值作为参数.然后根据这一模拟的数学模型展开算法. 模拟策略的关键: 是如何按照概率的要求确定随机值的范围.这个随机值设计得好, 模拟效果就好.
找零钱问题：一个小孩买了价值为33美分的糖，并将1 找零钱问题：一个小孩买了价值为33美分的糖，并将1美元 33美分的糖 的钱交给售货员。售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。 的钱交给售货员。售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。 假设提供了数目不限的面值为25美分、10美分 25美分 美分、 美分、 假设提供了数目不限的面值为25美分、10美分、5美分、及1 美分的硬币。 求解所用方法即为贪心算法） 美分的硬币。(求解所用方法即为贪心算法）
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பைடு நூலகம்
本题目有9个格子，要求填数，如果不考虑问题给出的条件， 共有9！=362880种方案，在这些方案中符合条件的即为解。因 此可以用枚举法。
枚举法
枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的集合中一一枚举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。
能使命题成立者，即为问题的解。
采用枚举算法解题的基本思路：（1）确定枚举对象、枚举范围和判定条件；（2）一一枚举可能的解，验证是否是问题的解下面我们就从枚举算法的的优化、枚举对象的选择以及判定条件的确定，这三个方面来探讨如何用枚举法解题。
枚举算法应用例1：百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买一百只鸡。
到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。
现在，请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才能刚好用一百块钱买一百只鸡？算法分析：此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z)为判定条件，穷举各种鸡的个数。
下面是解这个百鸡问题的程序var x,y,z:integer;beginfor x:=0 to 100 dofor y:=0 to 100 dofor z:=0 to 100 do{枚举所有可能的解}if (x+y+z=100)and(x*3+y*2+z div 3=100)and(z mod 3=0)then writeln('x=',x,'y=',y,'z=',z); {验证可能的解，并输出符合题目要求的解} end.上面的条件还有优化的空间，三种鸡的和是固定的，我们只要枚举二种鸡（x,y），第三种鸡就可以根据约束条件求得（z=100-x-y），这样就缩小了枚举范围，请看下面的程序：var x,y,z:integer;beginfor x:=0 to 100 dofor y:=0 to 100-x dobeginz:=100-x-y;if (x*3+y*2+z div 3=100)and(z mod 3=0)thenwriteln('x=',x,'y=',y,'z=',z);end;end.未经优化的程序循环了1013次，时间复杂度为O(n3)；优化后的程序只循环了（102*101/2）次，时间复杂度为O(n2)。
8算法策略之枚举法
8算法策略之枚举法蛮⼒法蛮⼒法是基于计算机运算速度快这⼀特性，在解决问题时采取的⼀种“懒惰”的策略。
这种策略不经过（或者说是经过很少的）思考，把问题的所有情况或所有过程交给计算机去⼀⼀尝试，从中找出问题的解。
蛮⼒策略的应⽤很⼴，具体表现形式各异，数据结构课程中学习的：选择排序、冒泡排序、插⼊排序、顺序查找、朴素的字符串匹配等，都是蛮⼒策略具体应⽤。
⽐较常⽤还有枚举法、盲⽬搜索算法等。
枚举法枚举（ enumerate）法（穷举法）是蛮⼒策略的⼀种表现形式，也是⼀种使⽤⾮常普遍的思维⽅法。
它是根据问题中的条件将可能的情况⼀⼀列举出来，逐⼀尝试从中找出满⾜问题条件的解。
但有时⼀⼀列举出的情况数⽬很⼤，如果超过了我们所能忍受的范围，则需要进⼀步考虑，排除⼀些明显不合理的情况，尽可能减少问题可能解的列举数⽬。
⽤枚举法解决问题，通常可以从两个⽅⾯进⾏算法设计：1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。
2）找出约束条件：分析问题的解需要满⾜的条件，并⽤逻辑表达式表⽰。
【例1】百钱百鸡问题。
中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁⼀，值钱五；鸡母⼀，值钱三；鸡雏三，值钱⼀；百钱买百鸡，翁、母、雏各⼏何?算法设计1：通过对问题的理解，读者可能会想到列出两个三元⼀次⽅程，去解这个不定解⽅程，就能找出问题的解。
这确实是⼀种办法，但这⾥我们要⽤“懒惰”的枚举策略进⾏算法设计：设x，y，z分别为公鸡、母鸡、⼩鸡的数量。
尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。
约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100算法1如下：main( ){ int x,y,z;for(x=1;x<=20;x=x+1)for(y=1;y<=34;y=y+1)for(z=1;z<=100;z=z+1)if(100=x+y+z and 100=5*x+3*y+z/3){print("the cock number is",x)；print("the hen number is", y)；print("the chick number is“,z);}}算法分析：以上算法需要枚举尝试20*34*100=68000次。
枚举法
枚举法在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法．枚举法是利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检验，从中找出符合要求的答案，因此枚举法是通过牺牲时间来换取答案的全面性。
在数学和计算机科学理论中，一个集的枚举是列出某些有穷序列集的所有成员的程序，或者是一种特定类型对象的计数。
这两种类型经常（但不总是）重叠。
特点将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。
例如：找出1到100之间的素数。
需要将1到100之间的所有整数进行判断。
枚举算法因为要列举问题的所有可能的答案，所有它具备以下几个特点：1、得到的结果肯定是正确的；2、可能做了很多的无用功，浪费了宝贵的时间，效率低下。
3、通常会涉及到求极值（如最大，最小，最重等）。
4、数据量大的话，可能会造成时间崩溃。
结构枚举算法的一般结构：while循环。
首先考虑一个问题：将1到100之间的所有整数转换为二进制数表示。
算法一：for i:=1 to 100 do begin将i转换为二进制，采用不断除以2，余数即为转换为2进制以后的结果。
一直除商为0为止。
end;算法二：二进制加法，此时需要数组来帮忙。
program p;var a:array[1..100] of integer; {用于保存转换后的二进制结果} i,j,k:integer;beginfillchar(a,sizeof(a),0); {100个数组元素全部初始化为0}for i:=1 to 100 do begink:=100;while a[k]=1 do dec(k); {找高位第一个为0的位置}a[k]:=1; {找到了立刻赋值为1}for j:=k+1 to 100 do a[j]:=0; {它后面的低位全部赋值为0}k:=1;while a[k]=0 do inc(k); {从最高位开始找不为0的位置}write('(',i,')2=');for j:=k to 100 do write(a[j]); {输出转换以后的结果}writeln;end;end.枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的集合中一一枚举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。
枚举法的四种方法
枚举法的四种方法
枚举法是一种通过一一列举所有可能的情况来解决问题的方法。
以下是四种常用的枚举方法：
1. 穷举法：这是最直接、最基础的一种枚举方法，它简单地将问题中所有可能的答案一一列举出来，然后根据题目要求进行筛选。
2. 递增枚举：对于那些没有明确范围限制的问题，我们可以从某个起点开始，试探性地增加一个量，然后对每个量进行操作与判别，如果满足条件，则输出结果。
3. 二进制枚举：在二进制加法中，需要用到数组来帮忙。
具体操作是将1置为1，然后从最高位开始找不为0的位置。
4. 基于约束条件的枚举：在枚举过程中，可以根据问题的具体要求确定筛选条件，然后根据筛选条件进行枚举。
以上就是四种常用的枚举方法，每种方法都有其适用范围和特点，应根据具体情况选择使用。
枚举法
输出数据： 输出文件是OUTPUT.TXT。文件只有一行，是一个整数，表示你的程 序找到的最佳游览线路的总分值。
输入输出示例： INPUT.TXT 3 6 -50 –47 36 –30 –23 17 –19 –34 –13 –8 -42 –3 –43 34 –45
OUTPUT.TXT 84
东北师大附中
东北师大附中
分析：实际上，只要知道乘数和被乘 数就可以写出乘法算式，所以我们可 以枚举乘数与被乘数的每一位。然后 再判断是不是满足条件即可。计算量 是45=1024，对于计算机来说，计算量 非常小。
东北师大附中
例4 时钟问题（IOI94-4）
九种时钟状态
东北师大附中
输入数据： 读9个数码，这些数码给出了9个时钟时针的初始位置。数 码与时刻的对应关系为： 0——12点 1——3点 2——6点 3——9点 图中的例子对应下列输入数据： 330 222 212 输出数据： 输出一个最短的移动序列（数字序列），该序列要使所 有的时钟指针指向12点，若有等价的多个解，仅需给出其 中一个. 东北师大附中
6
7 8 9
3、5、6、9
4、7、8 5、7、8、9 6、8、9
C6=(P3+P5+P6+P9) % 4
C7=(P4+P7+P8) % 4 C8=(P5+P7+P8+P9) % 4 C9=(P6+P8+P9) % 4
东北师大附中
设计算法
因此我们可以设计如下枚举算法(伪代码)：
for p1 <- 0 for p2 <... ... for p9
东北师大附中
2 例1 巧妙填数
将1～9这九个数字填入九个空格中。 每一横行的三个数字组成一个三位数。 如果要使第二行的三位数是第一行的 两倍, 第三行的三位数是第一行的三 倍, 应怎样填数。（一共4组解，一组 如下图)
基础算法(一)枚举法
基础算法（一）枚举（穷举）法无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。
在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。
一、枚举法的基本思想:从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。
这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。
二、枚举法解题思路：1、对命题建立正确的数学模型；2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。
三、枚举法的特点：算法简单，但运算量大。
对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。
1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。
2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？）3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？）4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC）5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。
打算从中选出一个大王。
经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。
要求：从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。
参考程序：7、变形猴子选大王：有M个人围成一圈，每人有一个编号，从编号为1的人开始，每隔N个出圈，按出圈次序排成一列，其编号刚好按顺序从1到M。
要求：从键盘输入M，N，编程计算并输出这M个人原来在圈中的位置。
简述枚举法的概念。
简述枚举法的概念。
枚举法是一种解决问题的方法，通过对所有可能的情况进行逐一分析，从而找到合适的解决方案。
它在各个领域都有广泛的应用，尤其是在计算机科学和工程领域。
一、枚举法概念介绍枚举法，顾名思义，就是逐一列举所有可能的情况进行分析。
这种方法通常适用于问题具有明确条件，且需要寻找唯一解的情况。
通过逐个尝试所有可能的解决方案，直到找到符合条件的最优解。
二、枚举法的应用场景1.计算机算法：在计算机领域，枚举法常常用于解决诸如排列组合、最短路径等问题。
如在解决八皇后问题中，通过枚举法尝试所有可能的棋盘布局，直到找到满足条件的布局。
2.工程领域：在工程设计中，枚举法也有广泛应用。
如在设计通信系统时，可以通过枚举所有可能的信号传输方式，找到最合适的传输方案。
3.数学问题：在数学中，枚举法可以帮助解决一些复杂的问题。
例如，通过枚举所有可能的数列规律，可以找到符合给定条件的数列。
三、枚举法的实际案例以著名的旅行商问题（TSP问题）为例，假设有一个城市地图，每个城市之间都有距离。
枚举法的解决思路是：1.初始化一个访问列表，标记所有已访问的城市；2.从未访问的城市中选取一个距离最近的城市；3.遍历所有城市对，计算当前城市与未访问城市的距离和；4.更新访问列表，并将新城市标记为已访问；5.重复步骤2-4，直到访问完所有城市。
通过这种枚举所有可能路径的方法，可以找到最短的旅行路线。
四、枚举法的优势与局限性优势：1.适用范围广泛，解决问题直观易懂；2.对于某些问题，枚举法能较快找到最优解；3.算法实现简单，易于理解。
局限性：1.效率较低，特别是在大数据量情况下；2.容易陷入局部最优解，无法保证找到全局最优解；3.无法应对问题条件的复杂变化。
五、总结枚举法作为一种解决问题的方法，在一定范围内具有较高的实用价值。
然而，随着问题规模的扩大，枚举法的效率逐渐降低，甚至无法应对。
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• 4、妈妈买了14个梨，打算把他们分成 堆，每堆 、妈妈买了 个梨 打算把他们分成3堆 个梨， 至少有3个梨 请问：一共有多少种分法？ 个梨， 至少有 个梨，请问：一共有多少种分法？ • 分析：先看有无次序，分成3堆，没说分给谁， 3+4+7,4+7+3,7+4+3是没有分别的，都是一堆是3 个，一堆是4个，一堆是7个，可以表示为 （3,4,7）；再确定范围，至少有3个，一共有14 个，则最多有8个。 • 解：根具题意进行分配，一共有以下几种分法 （3,3,8）（3,4,7）（3,5,6）（4,4,6）（4,5,5） 答：根据题意一共有5种分法。
汤姆有5颗，即首位为5，则有以下2种情况 512,521 汤姆有6颗，即首位为6，则有以下1种情况 611 则一共有1+2+3+4+5+6=21种情况。
• 有次序之分 有次序之分：上面两道例题都强调了不同 位置地数代表不同的顺序含义，即有次序 之分。 • 无次序之分：有些情况下，我们并不强调 无次序之分： 不同位置上的数代表不同的顺序含义，即 无次序之分。 请看下面两道例题
当第一位为2时，则有以下2种情况 （2,1,6）（2,2,5）（2,3,4）（2,4,3）（2,5,2） （2,6,1）（2,7，x ） 当第一位为3时，则有以下1种情况 （3,1,5）（3,2,4）（3,3,3）（3,4,2）（3（3,6， x） 当第一位为4时，则有0种情况 （4,1,4）（4,2,3）（4,3,2）（4,4,1）（4,5，x） 当第一位为5时，则有0种情况 （5,1,3）（5,2,2）（5,3,1）（5,4，x） …… 以此类推下去，发现都是重复的，所以一共有 4+2+1=7（种）情况
• 例题3：老师让小明写出3个非零自然数，且3个 数的和是9，如果数相同，顺序不同算同一种写法， 例如1+2+6,2+1+6,6+1+2都算是同一种写法，那 么小明一共有多少种不同的写法？ • 分析： 1+2+6,2+1+6,6+1+2这三种都算是同一种 写法，我们将它们记作（1,2,6）。非零的自然数， 说明最小为1，最大为7。 • 为了思路顺畅，方便解题，我们可以先假设是有 次序的，然后再去掉重复的 • 当第一位为1时，有以下4种情况 （1,2,6）（1,3,5）（1,4,4）（1,5,3）（1,6,有一个三位数的各位数字都不是 ，且 有一个三位数的各位数字都不是0，
各位数字之和是6，这样的三位数共有多少个？ 各位数字之和是 ，这样的三位数共有多少个？
• 分析：从首位开始，依照从小到大的顺序依次来 枚举出每一位。 首位不能为0，最小为1，最大为4。想一想为什么 不能是5，不能是6？
当第一堆有3只，则有以下2种情况 （3,2,7）（3,3,6）（3,4,5）（3,5,4）（3,6,3）（3,7,2） 当第一堆有4只，则有以下1种情况 （4,2,6）（4,3,5）（4,4,4）（4,5,3）（4,6,2） 当第一堆有5只，则有0种情况 （5,2,5）（5,3,4）（5,4,3）（5,5,2） 当第一堆有6只，则有0种情况 （6,2,4）（6,3,3）（6,4,2） 当第一堆有7只，则有0种情况 （7,2,4）（7,3,2） 当第一堆有8只，则有0种情况 （8,2,2） 则一共有4+2+1=7（种）情况
• 例题4：生物老师让大家观察蚂蚁的习性，第二天小悦就 在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成 了3堆，每堆至少有2只，请问：这3堆蚂蚁的只数有多少 种可能？ • 分析：在3堆蚂蚁中，每堆至少有2只，一共有12只，因此 每堆蚂蚁至少有2只，至多有8只。同样为了方便解题，我 们先假设是有次序的，然后再去掉重复的。 第一堆有2堆，则有以下4种情况 （2,2,8）（2,3,7）（2,4,6）（2,5,5）（2,6,4）（2,7,3） （2,8,2）
汤姆有1颗，即首位为1，有以下6种情况 116,125,134,143, 152,161. 汤姆有2颗，即首位为2，有以下5种情况 215,224,233,242,251. 汤姆有3颗，即首位为3，有以下4种情况 314,323,332,341. 汤姆有4颗，即首位为4，有以下3种情况 413,422,431
练习题
• 1、有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数 、有一些三位数的各位数字都不是 ， 字之和为7，这样的3位数有多少个 位数有多少个？ 字之和为 ，这样的 位数有多少个？ • 分析：先看有无次序之分，因为是一个三位数， 有个位、十位、百位之分，所以是有次序的，再 确定范围，各位数字都不为0，各位数字之后为7， 所以最小为1，最大为5，则应用字典排列法解题 如下。 • 解：当首位为1时，有以下5种情况 115,124,133,142,151 当首位为2时，有以下4种情况 214,223,232,241
当首位为3时，有以下3种情况 313,322,331 当首位为4时，有以下2种情况 411,421 当首位为5时，有以下1种情况 511 5+4+3+2+1=15（个） 答：这样的三位数共有15个
• 2、费叔叔买来 个苹果，分给小悦、东东、 费叔叔买来6个苹果 分给小悦、东东、 费叔叔买来 个苹果， 阿奇三个人，每人至少一个， 阿奇三个人，每人至少一个，那么一共至 少有多少种分法。 少有多少种分法。 • 分析：先确定是否有次序，题目中告诉了 我们三个人的名字，说明是有次序的；再 确定范围，每人至少一个，所以最小是1， 最大是4.
• 3：张奶奶从超市里买了10包果冻，分别装在 个 ：张奶奶从超市里买了 包果冻 分别装在3个 包果冻， 塑料袋里，每袋至少一包， 塑料袋里，每袋至少一包，那么张奶奶一共有多 少种不同的装果冻的方法？ 少种不同的装果冻的方法？ • 分析：先判断是否有序，没有说每袋分别分给谁， 1+2+7，2+1+7,7+1+2这三种算是同一种分法， 是无序的；再判断范围，每袋至少一包，所以最 小是1，最大是8 • 解：根据题意可进行如下分配，（1,2,7）（1,3,6） （1,4,5）（2,2,6）（2,3,5）（2,4,4）（3,3,4） 答：一共有7种分法。
枚举法
一、“枚举法”概念：在研究问题时，把所 枚举法”概念 有可能发生的情况一一列举加以研究的方 法叫做枚举法(也叫穷举法)。 二、“枚举法”特点：有条理、不重复、不 枚举法”特点： 遗漏，使人一目了然。
枚举法二
• 一、本节课重点 重点：研究将一些东西分给三 重点 三 个人。 • 二、方法 方法：先固定第一个人分到的东西的 方法 数量，然后再把剩下的东西分给两个人。 在分好类的情况下，将每一类的情况有多 少种方法枚举出来，最后将所有情况相加， 就能得到整道题的答案。
首位为1，有以下4种情况： 114，123,132,141. 首位为2，有以下3种情况： 213,222,231 首位为3，有以下2中情况： 312,321 首位为4，有以下1种情况： 411 则共有：4+3+2+1=10（种）情况
字典排列法： 字典排列法：
从首位开始，按从小到大的顺序枚举第一位， 对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位， 依次类推，这种方法称为字典排列法。 字典排列法。 字典排列法 顾名思义，就是类似于字典中各个词条的排列 方法。 在很多枚举问题中，我们都可以用字典排列法 枚举，大家在熟练应用之后，会觉得这样枚举起 来，非常方便。
解：当小悦分到1个苹果时，即首位为1，有 以下4种情况，114,123,132,141. 当小悦分到2个苹果时，即首位为2，有以 下3种情况，213,222,231. 当小悦分到3个苹果时，即首位为3，有以 下2种情况，312,321. 当小悦分到4个苹果时，即首位为4，有以 下1种情况，411 4+3+2+1=10（种） 答：一共有10种分法。
• 例题2：汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，所以他们 汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙， 汤姆 一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8颗蛀 一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有 颗蛀 他们三人可能分别有几颗蛀牙？ 牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？ • 分析：都有蛀牙说明每个人的蛀牙数目不能为0， 每人至少有1颗，一共有8颗蛀牙，所以最多的蛀 牙数是6，想想为什么不是7. 题中有三个人的名字，所以三个人是有次序的， 我们将汤姆看成是首位，杰瑞看成第二位，德鲁 比看成第三位，则可以运用字典排列法枚举。