第十三讲枚举法(讲义)
c语言枚举法(穷举法)课件
}
}
第3章 程序控制结构
课堂讨论：谁做的好事？
有四位同学中的一位做了好事，不留名，表扬信来了 之后，校长问这四位是谁做的好事。
A说：不是我。 B说：是C。 C说：是D。 D说：C胡说。 已知三个人说的是真话，一个人说的是假话。现在要根据 这些信息，找出做了好事的人。
第3章 程序控制结构
编程思路：
三重循环
第3章 程序控制结构
void main()
{
int x,y,z;
for (x=0;x<=100;x++)
for (y=0;y<=100;y++)
for (z=0;z<=100;z++)
?
{
if (x+y+z==100 && 5*x+3*y+z/3==100 )
printf("x=%d,y=%d,z=%d\n",x,y,z);
{
sa=(thisman != 'A');
sb=(thisman == 'C');
sc=(thisman == 'D');
sd=(thisman != 'D');
cond=sa+sb+sc+sd;
if (cond==3) printf("做好事的人是：%c\n", thisman);
}
}
for (y=0;y<=100;y++)
{
z=100-x-y;
if (z%3==0 && 5*x+3*y+z/3==100 )
《数学]枚举法》PPT课件
![《数学]枚举法》PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/ec8c624a770bf78a6429545c.png)
**** **** ---------*****
15
h
❖分析：实际上，只要知道乘数和被乘 数就可以写出乘法算式，所以我们可 以枚举乘数与被乘数的每一位。然后 再判断是不是满足条件即可。计算量 是45=1024，对于计算机来说，计算量 非常小。
16
h
例4 时钟问题（IOI94-4）
也叫局部枚举）
12
h
例2 谁是第几名
❖在某次数学竞赛中, A、B、C、D、E五名学生被取 为前五名。请据下列说法判断出他们的具体名次, 即谁是第几名？
❖条件1: 你如果认为A, B, C, D, E 就是这些人的 第一至第五名的名次排列, 便大错。因为:
没猜对任何一个优胜者的名次。
也没猜对任何一对名次相邻的学生。
▪ 来自若干个连续的段，每一个段中取一个分值； ▪ 每一个分值是所在段中最大的； ▪ 起点段和终点段任意，但途经段的分值和最大。
30
h
❖ 设Li为第I个段中的分值最大的段。即Li=Max{L1I， L2I，……，LMI}（1≦I≦N – 1）。例如对于样 例数据： L1=Max（-50，17，-42）=17； L2=Max（-47，-19，-3）=-3； L3=Max（36，-34，-43）=36； L4=Max（-30，-13，34）=34； L5=Max（-23，-8，-45）=-8；
3
h
枚举法的定义
❖所谓枚举法，指的是从可能的解的集 合中一一枚举各元素，用题目给定的 检验条件判定哪些是无用的，哪些是 有用的。能使命题成立的，即为解。
4
h
❖ 示例中的解变量有3个：A，B，C。其中 解变量A的可能取值范围A∈{1， … ，3}
C语言枚举法PPT课件
问题描述
求x2+y2=2000的正整数解 这道题明显是一道枚举题， 需要枚举出所有的可能的解。
第3页/共31页
解题方案1：
大家可以很自然的算出45*45>2000，于是我们的问题就被简化了。一个简 单的代码就能解出题目。
for(i = 0; i < 45; i++) for( j = 0; j < 45; j++) if(i*i + j*j == 2000) ...
1949年，印度数学家D．R．Kaprekar发现了一类叫做自我数 (self number)的数。对于任一正整数a，定义d(n)为 n 加上 n 的每一位数字得到的总和。
例如，d(75) =75+7+5=87。
取任意正整数n作为出发点，你可以建立一个无穷的正整数序列 n, d(n), d(d(n)) ……
for( j = 0; j < 45; j++) { if(i*i + j*j == 2000)
p r i n t f ( " 2 0 0 0 = % d * % d + % d + % d \ n" , i , i , j , j );
if(i*i + j*j >= 2000) break;
} }
第15页/共31页
• 但这种枚举策略势必要花费很多时间，因为N最大可以取到10000，而 2^10000的数量级是10^3010。
• 我们的OJ时间限制为1s，即我们最多只能是10^7次操作。 • （一般OJ 1S 能进行2*10^7次操作）
第16页/共31页
解题方案2：
高中信息技术--枚举算法ppt课件
、、、、、、
4659706
T 输出X
4659716
千位数为9 ， 十位数从0——9过一遍：
4659726
4659736 、、、完整编辑ppt
j=j+1 i=i+1
12
4659796
注意
• 在双重循环中，外循环每变化一次，内循 环变量要取遍所有可能的值。
完整编辑ppt
13
请同学们列举生活中可以使用枚举算法来解 决的问题
千位数为0 ， 十位数从0——9过一遍：
4650716
4650726
4650736 、、、
i<=9 T
j=0
F 结束
千位数为1 ， 十位数从0——9过一遍：
4650796 4651706
4651716 4651726 4651736 、、、
4651796
F j<=9
T X= 4650706+1000*i+10*j
完整编辑ppt
F 结束 返回
3
第二步：根据条件，检验出真正的解
开始
开始
i=0
i<=9 T
X=1137020+i
F 结束
F X mod 144=0
T
输出X
i=0
int(x/144)=x/144
i<=9 F T
或者
X=1137020+i
T
F
X mod 144=0
输出X
结束
i=i+1
i=i+1
完整编辑ppt
、、、
2491016
2491116
、、、
开始
高中信息技术教学课件13枚举算法
1、试验第一把钥匙能否开门 2、试验第二把钥匙能否开门 3、试验第三把钥匙能否开门 4、试验第四把钥匙能否开门
。 。 N、试验第一把钥匙能否开门
列举
检验
枚举算法
03 | 枚举算法
枚举算法的基本思想是根据问题的本身性质，一一列举出 该问题所有可能的情况，并且根据题目的条件逐个做出检 验，从中挑选出符合条件的解。
列举范围：100-999
检验条件：i等于密码（b）吗？
Listbox （列表框）
List1.clear ————清空列表框 List1.additem ———添加条目 ①list1.additem str(i)+”是正确密码” ②list1.additem str(i)+”错误”
开始
i=100
i<=999?
设计枚举算法要在尽可能小的范围内列出所有可能的情况。 不能遗漏 不能重复
04 | 暴力解码
密码为100-999的三位数，要求找出正确的密码。 用变量i表示要列举的自然数。
列举 列举范围：100-999 循环
检验
检验条件：i等于密码（b）吗？ 分支
注意：在列举的过程中，不能遗漏也不能重复。
04 | 暴力解码
Y
i=b?
Y ①
i=i+1
N N
②
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
结束
高中信息技术教学课件13枚举算法
01 | 讲个故事
为了迎接运动会，班干部小明约 了几个同学一起到会议室里举行 筹划会，可是粗心的小明从老师 那儿拿到钥匙的时候，却忘记了 到底哪一把才是会议室的钥匙。
问：怎样才能找到正确的钥匙来开门？
02 | 找把钥匙
13巧用枚举法(5年级培优)学生版
在数学学习或日常生活中,经常会遇到一些非常规的问题,由于找不到计算公式,似乎是一筹莫展,但如果采用枚举法往往会柳暗花明。
枚举法又叫穷举法,顾名思义,就是把所有符合题目条件的对象,按一定的顺序不重复、不遗漏地一一列举出来,就可以解决问题。
那么怎样在枚举的过程中既不重复又不遗漏呢？在解题时需要注意以下几点：◆要有条理地列举；◆依据题意,按范围和各种情况分类考虑；◆排除不符合条件的情况,不断缩小枚举的范围；◆通常可用“枚举树”、“列表格”等形式,也可以用文字分类逐一表述。
小明和小红玩掷骰子的游戏,共有两枚骰子,一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7,则小明胜；若点数和为8,则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大？从1~8这8个自然数中,每次同时取2个不同的数相加,要使它们的和大于10,共有多少种不同的取法？（不考虑顺序）小明的寒假作业有语文、数学、外语三门,他准备每天做一门,且相邻两天不做相同一门。
如果小明第一天做语文,第五天也做语文,那么这五天作业他共有多少种不同的安排？甲、乙、丙、丁4名同学排成一行。
从左到右数,如果甲不排在第一个位置上,乙不排在第二个位置上,丙不排在第三个位置上,丁不排在第四个位置上。
那么共有多少种不同的排法？A、B、C三个自然数的和是100,A除以B,或C除以A,结果都是“商5余1”。
A是多少？甲数是乙数的3倍多1,乙数是丙数的3倍多1,甲、乙、丙三个数的和是57。
丙数是多少？7条直线最多能把一个长方形分成多少块？n条直线呢？在一张圆形纸片上画10条直线,最多能把它分成多少小块？从1到400的自然数中,数字“2”出现了多少次？在1到100的自然数中,数字“1”出现了多少次？有一个无盖的正方体纸盒,将它沿棱剪开成平面展开图。
共有多少种不同的展开图？用7张长2分米、宽1分米的长方形纸贴在一个长7分米、宽2分米的木板上,将其盖住。
请问：（1）共有多少种不同的拼贴方式？（2）请你任意画出几种。
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》ppt
知识要点
我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣 题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。我们 可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把 问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数， 最终达到解决目的。这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
余下的人还有4，8，12，16，20，24，28. 第三次站出来的人有4，12，20，28. 第四次站出来的人是8，24。 第五次只有16号，也是最后一个。 答：到第5次这些人全部都站出来了，最后站出来的人
应是第16号。 LOGO
总结：
本题应用了排除法，通过 列举每次变化后的数，最 后余下的数就是我们要找 的数。
LOGO
1.枚举法在数字组合中的应用。
按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。
【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数， 分别是哪几个数？
【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。 第一类：百位上为1的有：123 132 第二类：百位上为2的有：213 231 第三类：百位上为3的有：312 321
LOGO
巩固练习
1、从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地 有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有 几条路可走？
2、有7张卡片上写着数字2，3，4，5，6，7， 8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数 的个数是多少？
3、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙。 但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就 能配好全部的钥匙和锁？
复又不遗漏。 3．排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。
二、枚举的方法常用的有： 1、列表枚举。如我们第6讲中解决鸡兔同笼问题时采用 的列表法，就是采用列表枚举的方法。 2、画图枚举，为了更清楚地表示出所有可能的情形。用 画树图枚举法，能做到形象直观，条理分明，简炼易懂。 特别适用于找出所有的情形或结果。
枚举法
4+3+2+1=10（种）
答：一共有10种分法。
• 3：张奶奶从超市里买了10包果冻，分别装在3个 塑料袋里，每袋至少一包，那么张奶奶一共有多 少种不同的装果冻的方法？
• 分析：先判断是否有序，没有说每袋分别分给谁， 1+2+7，2+1+7,7+1+2这三种算是同一种分法， 是无序的；再判断范围，每袋至少一包，所以最 小是1，最大是8
练习题
• 1、有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数 字之和为7，这样的3位数有多少个？
• 分析：先看有无次序之分，因为是一个三位数， 有个位、十位、百位之分，所以是有次序的，再 确定范围，各位数字都不为0，各位数字之后为7， 所以最小为1，最大为5，则应用字典排列法解题 如下。
• 解：当首位为1时，有以下5种情况 115,124,133,142,151 当首位为2时，有以下4种情况 214,223,232,241
汤姆有1颗，即首位为1，有以下6种情况 116,125,134,143, 152,161. 汤姆有2颗，即首位为2，有以下5种情况 215,224,233,242,251. 汤姆有3颗，即首位为3，有以下4种情况 314,323,332,341. 汤姆有4颗，3种情况 313,322,331 当首位为4时，有以下2种情况 411,421 当首位为5时，有以下1种情况 511 5+4+3+2+1=15（个） 答：这样的三位数共有15个
• 2、费叔叔买来6个苹果，分给小悦、东东、 阿奇三个人，每人至少一个，那么一共至 少有多少种分法。
• 分析：在3堆蚂蚁中，每堆至少有2只，一共有12只，因此 每堆蚂蚁至少有2只，至多有8只。同样为了方便解题，我 们先假设是有次序的，然后再去掉重复的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十三讲数学问题常用方法（二）——枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。
但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。
但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。
所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。
例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
【分析与解】：将两枚骰子的点数和分别为7 与8 的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b 表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b 的情况。
出现7 的情况共有6 种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8 的情况共有5 种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7 的情况有1＋6，2＋5，3＋4 三种，出现8 的情况有2＋6，3＋5，4＋4 也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
练习11.将6 拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？【分析与解】：10 种。
6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2 ＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。
2.小明有10 块糖，如果每天至少吃3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？【分析与解】：9 种。
一天吃完有1 种：（10）。
两天吃完有5 种：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）。
三天吃完有3 种：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。
共1+5+3=9（种）。
例2 数一数，右图中有多少个三角形。
【分析与解】：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。
为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3 部分组成的……再一类一类地列举出来。
单个的三角形有6 个：1 ，2，3，5，6，8。
由两部分组成的三角形有4 个：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。
由三部分组成的三角形有1 个：（5，7，8）。
由四部分组成的三角形有2 个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。
由八部分组成的三角形有1 个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。
总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。
练习21.数数右图中共有多少个三角形？【分析与解】：10 个。
由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。
由例1～2看出，当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举，分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。
分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。
例3 正方体的展开图共有几种？【分析与解】：练习31.有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。
那么共有多少种不同的展开图？【分析与解】：我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来分类，可以分为三类：最长一行有4 个正方形的有2 种，见图（1）（2）；最长一行有3 个正方形的有5 种，见图（3）～（7）；最长一行有2 个正方形的有1 种，见图（8）。
不同的展开图共有2＋5＋1＝8（种）。
例4 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。
如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？【分析与解】：本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差异即为不同的安排）。
这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。
但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的选择画出一个树枝状的图，非常直观地得到结果。
这样的图不妨称为“枚举树”。
由图可知，共有6 种不同的安排。
例5 一次数学课堂练习有3 道题，老师先写出一个，然后每隔5 分钟又写出一个。
规定：（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。
解完各题的不同顺序共有多少种可能？【分析与解】：与例5 类似，也是分步完成一项工作，每步有若干种可能，因此可以通过画枚举树的方法来求解。
但必须考虑到所有可能的情形。
（说明：必须正确理解图示顺序的实际过程。
如左上图的下一个过程，表示在第一个5 分钟内做完了第1 题，在第二个5 分钟内没做完第2 题，这时老师写出第3 题，只好转做第3 题，做完后再转做第2 题。
）练习41.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。
已知甲胜了第一盘，并最终获胜。
问：各盘的胜负情况有多少种可能？（6）2.经理有4 封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3 封信时第4 封信还未到，此时如果第2 封信还未打完，那么就应先打第2 封信而不能打第1 封信。
打字员打完这4 封信的先后顺序有多少种可能？（14）例6 是否存在自然数n，使得2n＋n＋2 能被3 整除？【分析与解】：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？我们将自然数按照除以3 的余数分类，有整除、余1 和余2 三类，这样只要按类一一枚举就可以了。
当n 能被3 整除时，因为2n，n 都能被3 整除，所以（2n＋n＋2）÷3 余2；当n 除以3 余1 时，因为2n，n 除以3 都余1，所以（2n＋n ＋2）÷3 余1；当n 除以3 余2 时，因为2n÷3 余1，n÷3 余2，所以（2n＋n＋2）÷3 余2。
因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（2n＋n＋2）都不能被3 整除。
例7 有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。
请将其中的质数都写出来。
【分析与解】：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数；任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是质数；三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是1+2+3=6，即它们都是3的倍数，所以都不是质数。
综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。
练习51. 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个5分硬币。
要拿出1角钱买1支铅笔，问可以有几种拿法？用算式表达出来。
【分析与解】：（1）只拿出一种硬币的方法：①全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）②全拿2分的：2+2+2+2+2=1（角）③全拿5分的：5+5=1（角）只拿出一种硬币，有3种方法。
（2）只拿两种硬币的方法：①拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）②拿6枚1分的，2枚2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）③拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）④拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1（角）⑤拿5枚1分的，1枚5分的：1+1+1+1+1+5=1（角）只拿出两种硬币，有5种方法。
（3）拿三种硬币的方法：①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：1+1+1+2+5=1（角）②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：1+2+2+5=1（角）拿出三种硬币，有2种方法。
共有：3+5+2=10（种）例8 在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站。
一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。
现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少？【分析与解】：将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。
（1）如果运到1号粮站，所用运费是:0.5×20×10+0.5×30×20+0.5×40×40=1200（元）。
（2）如果运到2号粮站，所用运费是:0.5×10×10+0.5×30×10+0.5×40×30=800（元）。
（3）如果运到3号粮站，所用运费是：0.5×10×20+0.5×20×10+0.5×40×20=600（元）。
（4）如果运到4号粮站，所用运费是：0.5×10×30+0.5×20×20+0.5×30×10+0.5×40×10=700（元）。
（5）如果运到5号粮站，所用费用是：0.5×10×40+0.5×20×30+0.5×30×20=800（元）。
故集中到第三号粮站所用运费最少。
练习61.一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有多少种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛？【分析与解】：第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛，若三场全胜，则只有一种出场方法。
若胜两场，则又分为三种情况：二、三两场全胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等马，只有这一种情况；二、四两场胜，此时有三种情况；三四两场胜，此时有七种情况；所以共1+1+3+7=12种方法。
例9 从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？【分析与解】：根据第一个数的大小，可以分为9类：第1类：1+10 一种。
第2类：2+10，2+9 两种。
第3类：3+10，3+9，3+8 三种。
第4类：4+10，4+9，4+8，4+7 四种。
第5类：5+10，5+9，5+8，5+7，5+6 五种。
第6类：6+10，6+9，6+8，6+7 四种。