2枚举法中的字典排列
枚举法二-字典排列法与简单树形图
第四讲枚举法二（字典排列法与简单树形图）知识脉络：本讲属于计数专题，三年级暑期：枚举法一。
枚举法一：主要知识点让学生明白枚举的意思及精髓所在（有序思考）1.本讲要点：掌握枚举法中的字典排列法与简单树形图。
①字典排序法：中心思想（分类有序思考），从小到大或字母前后顺序。
易错点：分人与分堆的区别，例：10颗糖分给两个人，1，9和9,1算两种情况，分堆则算一种②树状图：前后存在关联性，更清晰直观的分析列举所有情况，步骤少，每个步骤选择少适用2. 做题步骤：①区别分堆与分人；②确定以什么为顺序来进行枚举；③多回头做到不重不漏，本讲例题【例1】汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？三人情况：先确定一人，剩余两人依次枚举，枚举时注意总数汤姆： 1 1 1 1 1 1 汤姆： 2 2 2 2 2 汤姆： 3 3 3 3杰瑞： 1 2 3 4 5 6 杰瑞： 1 2 3 4 5 杰瑞： 1 2 3 4得鲁比：6 5 4 3 2 1 得鲁比 5 4 3 2 1 得鲁比 4 3 2 1汤姆： 4 4 4 汤姆： 5 5 汤姆： 6杰瑞： 1 2 3 杰瑞： 1 2 杰瑞： 1得鲁比：3 2 1 得鲁比：2 1 得鲁比： 1总共有6+5+4+3+2+1=21种情况。
提示：三个人的情况：每人至少一颗共8颗：6+5+4+3+2+1；共10颗：8+7+6+5+4+3+2+1；共15颗：13+12+11+10+….+3+2+1；那么共30颗从几加?【例2】三名工人搬运20袋面粉，每人至少运6袋，那么三名工人可能分别搬运了多少袋？1.基本方法：三人情况：先确定一人，剩余两人依次枚举，枚举时注意总数工人一： 6 6 6 工人一： 7 7 工人一： 8工人二： 6 7 8 工人二： 6 7 工人二： 6工人三： 8 7 6 工人三： 7 6 工人三： 6共有3+2+1=6（种）搬运情况。
第2讲 枚举法中的字典排列
第2讲枚举法中的字典排知识精讲在之前我们学习了简单的枚举法——直接把所有情况一一列举出来。
如果问题较为复杂，直接枚举有可能产生重复或者遗漏，这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况。
本讲就主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法，今天我们来介绍字典排列法。
同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从a到z排列，首字母相同的单词都在一起。
在首字母相同的单词中，再按照第2个字母从a到z的顺序排列.然后是第3个字母，第4个字母……所谓“字典排列法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序一样排列出所有答案.例如：用1、2、3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法抆举时，每个位置都按从小到大排列，枚举的顺序是：123，132， 213，231，312，321.下面我们用字典排列法来解决几个问题。
例题精讲【例题1】卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物.三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物）（提示：每个人最少找到几件宝物，最多呢？）【练习一】老师准备了6本笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有多少种不同的奖励方法？【例题2】老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8.如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法.试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？（提示：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、 2、 5）、（2、 5、 1）和（5、 1、2）都算同一种写法。
）【练习二】三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数？用字典排列法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键.往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系.在求解计数问题时，审题非常关键，往往一字之差就会有天壤之别.枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗漏，这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举。
字典排序法
对于使用递归解决排列和组合的问题，俺看了很多篇参考资料，可惜的是有点难以理解别人的写法，跟MSDN一样，字都是中文，可是合起来就不知道是啥意思了，同样都是代码，每一句都能看明白，可就是不知道，他在这里为啥要写这一句，这一句在整个程序中的地位，还是脑子不好使，中学的时候数学没学好，这么些年又没好好的锻炼脑子，生锈了。
对于全排列来说，咱们还是从最简单的开始吧。
序列中只有一个元素：那么全排列就只有一种，{1}就是这个序列本身。
序列中有两个元素：那么全排列有两种方式，{1，2}，{2，1}。
序列中有三个元素：那么全排列有六种方式，{1，2，3}，{1，3，2}，{2，1，3}，{2，3，1}，{3，1，2}，{3，2，1}。
如果将排列的结果做成一个整数的话，那么对于三个元素的全排列结果应该是：{123}，{132}，{213}，{231}，{312}，{321}，这六个数有没有什么特点？当然有。
1.它们都是由1，2，3这几个字符组成的。
2.3>2>1。
3.123<132<213<231<312<321。
这个垃圾结论能替我们解决问题吗？当然能。
还记得我们怎么理解二进制的吗？还记得我们怎么理解八进制的吗？还记得我们怎么理解十六进制的吗？二进制中包含两个字符：0，1。
八进制中包含八个字符：0，1，2，3，4，5，6，7。
十六进制中包含十六个字符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F。
俺的乖乖，数字么呢？字母都来咧，那些个A呀，B呀，C呀，只是一些符号而已，它们在十六进制中代表的是10，11，12，13，14，15而已。
为嘛非得用ABCDEF呢？能不能用其他的字符呢？当然可以。
甚至于我们把ABCDEF可以改成“啊吧才的饿飞”，只有它依然代表的是10，11，12，13，14，15就行了。
为嘛会用的上ABCDEF呢？呵呵，简单了，因为咱们平常用的数字中没有一个单独的符号用来表达10，11，12，13，14，15而已，咱们为这些值找了个代表而已。
全排列的几种实现（含字典序排列算法分析）
全排列的⼏种实现（含字典序排列算法分析） 始于⼀个很简单的问题：⽣成｛0，1，2，3，...，n-1｝的n！种排列，即全排列问题。
下⾯介绍⼏种全排列的实现，以及探讨⼀下其解题思路。
基于枚举/递归的⽅法思路： 基于枚举的⽅法，也可以说是基于递归的⽅法，此⽅法的思路是先将全排列问题的约束进⾏放松，形成⼀个较容易解决的新问题，解新问题，再对新问题进⾏约束，解出当前问题。
以上全排列问题是⽣成｛0，1，2，...，n-1｝的n！个排列，隐含的⼀个约束是这个n个位置上的数必须是给出的集合中的数，不能重复使⽤。
当我们将此约束放松的时候，问题就变成了n个位置每个位置上有0~n-1种可能出现的数字，列出所有n n种数列，即在每⼀位上枚举所有的可能。
新问题的算法⾮常简单：private Integer[] perm;private void permut(int pos, int n) {if (pos == n) {for (int i = 0; i < perm.length; i++) {System.out.print(perm[i]);}System.out.println();return;}for (int i = 0; i < n; i++) {perm[pos] = i;permut(pos+1, n);}} ⽽我们实际的问题只要保证每⼀位上的数字在其他位置上没有使⽤过就⾏了。
private boolean[] used;private Integer[] perm;private void permut(int pos, int n) {if (pos == n) {for (int i = 0; i < perm.length; i++) {System.out.print(perm[i]);}System.out.println();return;} //针对perm的第pos个位置，究竟使⽤0~n-1中的哪⼀个进⾏循环for (int i = 0; i < n; i++) {if (used[i] == false) {perm[pos] = i;used[i] = true; //i已经被使⽤了，所以把标志位设置为Truepermut(pos+1, n);used[i] = false; //使⽤完之后要把标志复位}}} 或者完全按递归是思想，对｛0，1，2，...，n-1｝进⾏排列，分别将每个位置交换到最前⾯位，之后全排列剩下的位：private static void PermutationList(int fromIndex, int endIndex){if (fromIndex == endIndex)Output();else{for (int index = fromIndex; index <= endIndex; ++index){// 此处排序主要是为了⽣成字典序全排列，否则递归会打乱字典序Sort(fromIndex, endIndex);Swap(fromIndex, index);PermutationList(fromIndex + 1, endIndex);Swap(fromIndex, index);}}}基于字典序的⽅法 基于字典序的⽅法，⽣成给定全排列的下⼀个排列，所谓⼀个的下⼀个就是这⼀个与下⼀个之间没有其他的。
枚举算法举例范文
枚举算法举例范文枚举算法是一种简单直接的算法，它通过穷尽所有可能的情况来寻找问题的解。
下面，我将为您举例几种常见的枚举算法。
1.全排列：全排列是指将一组元素进行重新排列，使得每一种排列情况都列举出来。
简单来说，就是将给定的一组数字按照不同的顺序排列，得到所有可能的结果。
例如，给定数字1、2、3，其全排列为123、132、213、231、312、321共计6种。
2.子集枚举：子集枚举是指将给定的一组元素进行组合，列举出所有的可能子集。
例如，给定集合{A,B,C}，其可能的子集为{{},{A},{B},{C},{A,B},{A,C},{B,C},{A,B,C}}共计8种。
3.暴力法：暴力法是一种通过穷举所有可能的解来解决问题的算法。
这种算法通常用于问题规模较小、时间要求不高的情况。
例如，寻找一个字符串中的最长回文子串，可以通过穷举所有可能的子串，并判断每个子串是否为回文来找到最长的回文子串。
4.图的全局枚举：图的全局枚举是指对给定的图进行遍历，列举出所有可能的路径或者解。
例如，给定一个有向图，要求从图中选择一条路径，使得路径上的节点数量最多。
可以通过遍历图中的所有节点，依次尝试每个节点作为起点，然后遍历其它节点，找到最长的路径。
5.穷举：穷举是指使用穷举的方式问题的解。
例如，解决数独问题时，可以通过穷举法将每个空格填入1到9的数字，然后判断是否满足数独的规则，直到找到一个合法的解为止。
需要注意的是，枚举算法通常会遍历所有的可能情况，因此其时间复杂度可能较高。
在解决问题时，我们需要根据问题规模和时间要求选择适当的算法。
希望以上例子对您有所启发，更深入地理解枚举算法的使用方法和原理。
计数第02讲_字典排列(学生版)A4
二年级A 班专属讲义 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////---- 1 ----计数第02讲_字典排列(学生版)一．字典排列法 所谓字典排序法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．例如：用数字4、5、6可以组成多少个不同的三位数．用字典排列法枚举时，每个位置都按从小到大排列，枚举的顺序是：456、465、546、564、645、654．二．枚举中的至多、至少问题根据至多、至少的条件用字典排列法进行分类枚举．三．分类计数枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重复或者遗漏．这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举．在分类时，一定要注意类与类之间有没有重复和遗漏的情况．重难点：分类的基本原则：不重不漏；枚举时注意审题：判断题目“交换顺序算作两种”还是“交换顺序算作一种”．计数第02讲_字典排列---- 2 ---- 二年级A 班专属讲义////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////计数第02讲_字典排列(学生版)题模一：字典排列法例 1.1.1从1，2，3，4，5，6中任意选出三个不同的数字，使它们的和为偶数，一共有___________种不同的选法．例1.1.2有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于3．如果从中任取3张，那么能组成的钱数共有_______种．例1.1.3满足下面性质的数称为好数：它的个位比十位大，十位比百位大，百位比千位大，并且相邻两位数字的差不超过2．例如1346、3579为好数，而1456就不是好数，那么一共有________个四位数是好数．题模二：枚举中的至多、至少问题例1.2.1妈妈买来4个鸡蛋，每天至少吃1个，至多吃2个，吃完为止，如果天数不限，共有__________种不同的吃法．例1.2.2白雪公主要吃完10个相同的苹果，每天至少吃3个苹果，所吃天数不限，一共有__________种不同的吃法．例1.2.3张奶奶去超市买了12盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装10盒．张奶奶一共有__________种不同的装法．题模三：分类枚举例 1.3.1张阿姨要从苹果、梨、橘子、桃中挑2个水果来吃，每种水果都有很多个，共有__________种不同的挑法．例1.3.2王老师准备去打羽毛球，他拿了3个一模一样的球桶，每个球桶最多能装8个羽毛球．他数了一下，发现3个球桶里面一共有16个羽毛球．请问：3个球桶里面可能分别有几个羽毛球？随练1.1用1、2、3这三个数字可以组成___________个三位数．随练1.2一个口袋中有5枚面值1元的硬币和6枚面值5角的硬币，小明随意从口袋中摸出6枚，那么这6枚硬币的面值的和有__________种．随练1.3从1至9中选出3个不同的数字组成一组，并且三个数字的和大于18，求一共有多少种方法？随练1.4盘子里一共有20颗花生，小高和墨莫一起吃．每人一口吃2颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃一口）．请列举出他们吃花生数量的所有情况．二年级A 班专属讲义 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////---- 3 ---- 计数第02讲_字典排列(学生版) 随练1.5老师要求墨莫把一篇英语课文抄写4遍，每天至少写1遍．那么墨莫完成这些课文共有_______种不同的可能．随练 1.6有一次，著名的探险家大米得到了一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行小字：密码之和大于11的两个数字，而且这两个数字不能相同．不能考虑数字的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？随练1.7小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2元．他今天一共卖出了5个木偶．小李今天一共可能卖了多少钱？作业1从3个1，2个2，1个3中选出3个数字可以组成___________个不同的3位数．作业2刘老师在一个星期中要去3次健身馆，但是为了防止运动过量，不能连续两天都去．刘老师一共有多少种满足条件的时间安排？作业3有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有_______种不同的分法．作业4有16道题，每天至少做6题，做完为止，如果天数不限，共有__________种不同的做法．作业5在所有三位数中，各位数字之和不超过4的共有__________个．作业6如果只能用1元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有___________种不同的付款办法．（不考虑找钱的情况）作业7如图，一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点A 出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4个顶点再回到顶点A ．这只小蚂蚁一共有___________种不同的走法．12 3 45 6 78 9 DAB C。
枚举问题知识点总结
枚举问题知识点总结一、枚举问题的定义枚举问题是指通过遍历所有可能的情况，找出所需结果的一类数学问题。
通常来说，枚举问题可以分为两类：一是在已知条件下求解未知问题，例如排列组合、求解最优解等；二是在未知条件下求解已知问题，例如密码破解、密码学等。
二、枚举问题的性质1. 可计算性：枚举问题在理论上是可计算的，通过遍历所有可能的情况来寻找解决方案。
2. 时间复杂度：枚举问题通常会伴随着高时间复杂度，特别是在问题规模较大时，需要耗费较长时间来进行计算。
3. 空间复杂度：枚举问题在求解过程中会占用较大的空间，需要存储所有可能的情况，并进行比较和分析。
三、枚举问题的应用1. 组合数学：在组合数学中，枚举问题经常用于求解排列组合、子集问题等，例如有多少种不同的排列方式、有多少种不同的子集组合等。
2. 最优解问题：在求解最优解问题时，枚举方法是经常使用的一种解决方案，通过遍历所有可能的情况来寻找最优解。
3. 密码破解：在密码学中，枚举方法可以用于破解密码，通过遍历所有可能的密码组合来寻找正确的密码。
四、枚举问题的解题方法1. 遍历法：枚举问题的解题方法之一是遍历法，通过循环遍历所有可能的情况来寻找解决方案。
2. 递归法：递归法是枚举问题的另一种解题方法，通过递归的方式来遍历所有可能的情况并寻找解决方案。
3. 剪枝法：在解决枚举问题时，剪枝法是一种常用的优化方法，通过对可能情况进行排除和精简，减少计算量和提高效率。
五、枚举问题的实例1. 求解排列组合问题：例如求解 n 个元素的排列有多少种不同的方式，求解 n 个元素的组合有多少种不同的方式。
2. 求解最优解问题：例如求解 n 个元素的最大子序列和、求解 0-1 背包问题等。
3. 密码破解：例如通过暴力破解的方式来遍历所有可能的密码组合，寻找正确的密码。
六、总结枚举问题在数学中具有重要的地位，它涉及到多个领域的知识和技巧。
通过本文对枚举问题的定义、性质、应用以及解题方法的总结和讲解，希望读者能够对枚举问题有更深入的理解，并且在解答相关问题时能够更加得心应手。
排列问题中的字典排序法
字典排序法详解
排列问题中，有一种字典排序法，字典排序法的的规律就是：最右边的数，从右往左，遇到第一个比其小的数时，排列到这个数的前面，原来的数则排在此数后面。
然后最右边的数再从右往左，遇到第一个比其小的数时排列到这个数的前面，剩下的数排列顺序不变。
按此循环，最右边的数遇到第一个比其小的数时，就排列到其前面，剩下的数排列顺序不变，依此类推。
例：如何将排列1 2 3 4 5变成5 4 3 2 1 ？
排列1 2 3 4 5 ，最右边的一个数是5，然后从右往左数，遇到的第一个比5小的数是4，则把5排到4的前面，排列变成了1 2 3 5 4。
此时最右边的数变成了4，从右往左，遇到的第一个比4小的数是3，则把4排到3的前面，剩下的数排列次序不变，于是排列变成了1 2 4 3 5。
如此循环下去，将排列1 2 3 4 5变成5 4 3 2 1则需要进行一下步骤：
12345
12354
12435
12453
13245
13254
13425 13452 21345 21354 21435 21453 23145 23154 23415 23451 23541 24351 24531 32451 32541 34251 34521 35421 43521 45321 54321。
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第2次课枚举法中的字典排列
小热身
体会一下，“分给两个人”和“分成两堆”有什么区别呢？
(1)把5个苹果全部分给两个人，共有多少种不同的分法？
(2)把5个苹果分成两堆，共有多少种不同的分法？
例题1:卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了4件宝物，三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能？(可能有人没有发现宝物)
练习1:老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高、墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问:老师有多少种不同的奖励方法？
例题2:老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。
如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法。
试问:同学们最多能得出多少种不同的写法？
练习2:三个大于0的整数之和(数与数可以相同)等于10，共有多少组这样的三个数？
例题3:如下图所示，有7个按键，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7这七个数字。
请问:
(1)从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2，一共有多少种选法？
(2)从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9，一共有多少种选法？
练习3:有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下面有一行小字，密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同，不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？
例题4:如图，数一数图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个？
练习4:如图，数一数图中包含星星的正方形有多少个？
作业:
1、有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法？
2、有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于
3、如果从中任意取3张，那么能组成的钱数共有多少种？
3、从1、2、3、
4、
5、6这六个数字中选出2个数字，使它们的数字的差等于2，一共有多少种选法？
4、数一数，下图包含星星的长方形(包括正方形)有多少个？
5、在下图中，一共能找出多少个含“☆”的三角形。