奥数专题：分类枚举

分类枚举
小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。

她想数数有多少钱。

小朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。

所以很快就数好了。

小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。

这是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。

下面就让我们一起来看看它的本领吧！
典型例题
例[1]下图中有多少个三角形？
分析我们可以根据图形特征将它分成3类：
第一类：有6个；
第2类：有6个；
第3有3个；
解 6+6+3=15（个）
图中有15个三角形。

例[2]下图中有多少个正方形？
分析根据正方形边长的大小，我们将它们分成4类。

第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个；
第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个；
第3类：由9个小正方形组成的正方形有 4个；
第4类：由16个小正方形组成的正方形有1个。

解24+13+4+1=42。

图中有42个正方形。

例[3]在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数：
分别是哪几个数？
分析根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类：
第1类：两粒珠子都在上档，可以组成505，550；
第2类：两粒珠子都在下档，可以组成101，110，200；
第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以组成510，501，150，105，600。

解可以表示101，105，110，150，200，501，505，510，550，600共10个三位数。

例[4] 用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？
分析根据百位上数字的不同，我们可以将它们分成三类：第1类：百位上的数字为7，有789，798；
第2类：百位上的数字为8，有879，897；
第3类：百位上的数字为9，有978，987。

解可以组成789，798，879，897，978，987共6个三位数。

例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。

问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？
分析我们可以根据列车的往与反把它们分成两大类（注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪）：在第一大类中，我们又可以根据乘客乘车时所在起点站的不同分成4类。

第1类：从宁出发：宁常，宁锡，宁苏，宁沪，4种；
第2类：从常出发：常锡，常苏，常沪，3种；
第3类：从锡出发：锡苏，锡沪，2种；
第4类：从苏出发：苏沪，1种。

我们同样可用刚才的方法将回来的车票分类，聪明的小朋友可能已经想到了，它的种数与第一大类完全相同。

解（4+3+2=1）×2=20（种）
铁路部门要准备20种车票。

小结分类枚举的关键是正确分类，为此，必须注意两点：
一、分类要全、枚举要清。

分类不全，就会造成遗漏。

如上面例1
中，如果一不小心，把第3类丢了，就会造成差错。

当分类确定之后，要把每一类中每一个符合条件的对象都列举出来。

二、分类要清。

因为如果分不清，使第1类中有第2类，第2类中
有第3类，互相包含，那么就会有重复。

这样结果也就很难正确了。