九年级下册数学(人教版) 反比例函数
新人教版九年数学下第二十六章-反比例函数知识点总结
新人教版九年数学下第二十六章 反比例函数知识点总结26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.3知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
26.4知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号0k > 0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 课件
注意： 两个
分支合起来 才是反比例 函数的图象.
y
6 5 4 3 2
1
－6－5－4－3－2－1O －1 －2 －3 －4 －5 －6
y 减y
12
小x
yx增6 大 x
1 2 3 4 5 6x
观察这两个函数图象， 回答问题：
(1) 每个函数图象分 别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何 变化？你能由它们的 解析式说明理由吗？
k 图象
反比例函数 y k (k≠0) x
k>0
k<0
图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限
性质 在每一个象限内，y 随 x 在每一个象限内，y 随x
的增大而减小
的增大而增大
1. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 y 1 的图象大致是 ( D ) x
y
y
y
y
O
x
O
x
O
Ox
x
A
函数图象画法：描点法
列 表
描 点
连 线
例1：画出反比例函数
y6与 x
y
12 x
的图象.
画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注 意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
温馨提示：学友主讲,师傅补充和纠正,其他师友进行答疑或点评
解：列表如下：
步骤一：列表
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
3
2 y6
1
x
y 12 x
步骤二：描点
描点：以表中各组对 应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描绘 出相应的点．
－6－5－4－3－2－1O 1 2 3 4 5 6 x
人教版九年级数学下册第26章反比例函数PPT
知识点 1 反比例函数的定义
知1－导
问题
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它 们的解析式有什么共同特点？ (1)京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的平均速度
v(单位： km/h)随此次列车的全程运行时间t (单位：h) 的变化而变化；
知1－导
(2) 某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪， 草坪的长y (单位：m)随宽x (单位：m)的变化而变化；
(4)还原：写出反比例函数的解析式．
知2－讲
2．由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数k， 因此求反比例函数的解析式只需一组对应值或一 个条件即可．
知2－讲
例2 已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值.
分析：因为y是x的反比例函数，所以设 y k .
5
①y＝2x－1；②y＝－ ；③y＝x2＋8x－2；
3
1x
a
④y＝ x2 ； ⑤y＝ 2x ； ⑥y＝ x .
导引：根据反比例函数的定义进行判断，看它是否满足反比例函数的三种
表现形式．①y＝2x－1是一次函数；②y＝－ 5 是反比例函数；③y
3
x
＝反＝比xa2＋例，8函x当－数a2≠关是0系时二；是次⑤反函y比数＝例；2函1④x数y是＝，反没x比2有例，此函y条与数件x，2成则可反不以比一写例定成，是y但反=y比与12x例x；不函⑥是y
(k≠0)的图象上，则k的值是( D )
A．10 B．5 C．－5 D．－10
3 若y与x－2成反比例，且当x＝－1时，y＝3，则y
与x之间的关系是( D )
A．正比例函数
人教版数学九年级下册第26章《反比例函数》复习课件
ab x
真题专练
(2015安徽21题12分)如图,已知反比例函数y
k1 与
x
一次函数y=k2x+b的图象交于A(1,8),B(-4,m).源自(1)求k1、k2、b的值;
(2)求△AOB的面积;
y= k
K>0
K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象的两 当k＜0时，函数图象的两
性 质
个分支分别在第一、三象 个分支分别在第二、四象
限，在每个象限内，y随x 限，在每个象限内，y随x
的增大而减小.
的增大而增大.
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
(1)求p与S之间的函数关系式;
用 (2)求当S＝0.5m2时物体承受的压强p ;
(3)求当p＝2500Pa时物体的受力面积S.
p（Pa）
4000 3000 2000
A(0.25，1000)
1000
O 0.1 0.2 0.3 0.4 S（m2）
【及时归纳】 求反比例函数解析式的步骤
（1）设出反比例函数解析式 y = k ； x
反比例函数的图象及性质(常考)
函数的图象经过点
A(1,-2),则k的值为
()
A. 1
2
B. 1 C. 2
2
D. -2
反比例函数解析式的确定(常考)
点P(1,a)在反比例函数的图象上,它关于y 轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上,求
此反比例函数的解析式.
人教版九年级下册数学知识点总结
人教版九年级下册数学知识点总结一、反比例函数的概念反比例函数是指函数y=k/x（k≠0）的形式，其中自变量x 的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数这一限制条件。
另外，反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
反比例函数的自变量不能为0，故函数图像与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
在作反比例函数的图像时，应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
三、反比例函数及其图像的性质1．函数解析式：y=k/x（k≠0）2．自变量的取值范围：x≠03．图像：1）图像的形状：双曲线，曲度越大。
2）图像的位置和性质：当k>0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。
3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
图像关于直线y=x和y=-x对称。
4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线y=k/x的一点，在双曲线的另一支上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)反比例函数k的几何意义 课件(17张ppt)
(3)若点(a,y)在该函数图象上,且a＞－2,求y的取值范围.
7.【例 4】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 y＝k(k＞0)的
x
图象经过点 A(2,m),过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,且△AOB 的面积
为 5. (1)求k和m的值; (2)当x≥8时,求函数值y的取值范围.
解:(1)∵A(2,m),
第二十六章 反比例函数 与反比例函数有关的面积问题
k 的几何意义及应用
函数
图象形状 图象位置 增减性 延伸性 对称性
y
函数图象的 在每一支
双曲线既
k＞0
两支分支分 曲线上,y 双曲线向 是轴对称
O x 别位于第一、都随x的增 四边无限 图形(对称
三象限
大而减小 延伸,与 轴:y=±x),
y 函数图象的 在每一支 坐标轴没 又是中心
自主归纳
y
P(m,n) B
oA
x
K与图形面积
S矩形OAPB OA• AP
m•n
k
反比例函数图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，
得到矩形的面积为 S矩形OAPB k
如图:连接OP，则
SOAP
1 • OA • AP 2
y
1 m•n
2
P(m,n) B
oA
x
1 k 2
反比例函数图像上任意一点向x轴或y轴作垂线，
5.若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，
过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接
OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别
为S1、S2、S3，则下列结论成立的是( D )
y A（1，4）A S1﹤S2 Nhomakorabea﹤ S3
人教版数学九年级下册第二十六章《反比例函数》知识总结及考点分析
第26章 反比例函数一、教学内容：反比例函数 教学目标：1. 理解反比例函数、图像及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图像，并利用它们解决简单的实际问题。
2. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。
二、重点、难点： 重点：1.能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图像，并利用它们解决简单的实际问题。
2、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像 难点：1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质 4.反比例函数的应用。
三、知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y=xk 〔k 为常数，k 不等于0〕的形式，那么称y 是x 的反比例函数.从y=xk中可知，x 作为分母，所以不能为零3、画反比例函数图像时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用“光滑的曲线〞，不能用折线 4、反比例函数的性质反比例函数 ()0≠=k xky k 的取值范围0>k 0<k图像性质①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y②函数图像的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小①x 的取值范围是0≠x ，y 的取值范围是0≠y②函数图像的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大注意：1〕反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2〕双曲线的两个分支都与x 轴、y 轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交； 3〕在利用图像性质比拟函数值的大小时，前提应是“在同一象限〞内。
26.1 第1课时 反比例函数的图象 课件(共21张PPT)数学人教版九年级下册
(1) 当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
k 的正负决定反比例函 数图象的位置和增减性
当堂练习
１．已知反比例函数 y m 2 的图象在第一、三
y
4 x
的图象.
解析：通过刚刚的学习可知画图象的三个步骤为
列表
描点
连线
需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0．
解：列表如下
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y
…2 3
0.8 1
4 3
2
4 -4 -2 － 4 -1
3
-0.8 － 2 …
3
y
y=
4 x
6
5 4 3
为(-1，3)，则它们的另一个交点坐标是
( C)
A. (1，3)
y
B. (3，1) C. (1，-3)
x O
D. (-1，3)
4.已知反比例函数y k 的图象经过点 A (2，3)． x
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 y k 的图象经过点 A(2，3)， x
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 3 k ， 2
例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点B(3，4)，C( 2 1 ， 4 4)，D(2，5)是否在这个
九年级下册数学知识点汇总(人教版)
九年级下册（人教版数学）知识点汇总目录反比例函数 (1)26.1反比例函数 (1)● 反比例函数的定义 (1)● 反比例函数的图像 (1)● 反比例函数图像的对称性 (1)● 反比例函数的性质 (2)● 反比例函数系数k的几何意义 (2)● 反比例函数图像上点的坐标特征 (2)● 待定系数法求反比例函数解析式 (2)● 反比例函数与一次函数的交点问题 (3)26.2实际问题与反比例函数 (3)● 根据实际问题列反比例函数关系式 (3)● 反比例函数的应用 (4)相似 (5)27.1图形的相似 (5)● 相似图形 (5)27.2相似三角形 (5)● 相似三角形的判定 (5)● 相似三角形的应用 (5)● 相似多边形的性质 (5)● 相似三角形的性质 (6)● 相似三角形的判定与性质 (6)● 作图--相似变换 (6)● 射影定理 (6)27.3位似 (7)● 位似变换 (7)● 作图-位似变换 (7)锐角三角函数 (8)28.1锐角三角函数 (8)● 锐角三角函数的定义 (8)● 锐角三角函数的增减性 (8)● 同角三角函数的关系 (8)● 互余两角三角函数的关系 (9)● 特殊角的三角函数值 (9)28.2解直角三角形及其应用 (9)● 解直角三角形 (9)● 解直角三角形的应用 (10)● 解直角三角形的应用--坡度坡角问题 (10)● 解直角三角形的应用--仰角俯角问题 (10)● 解直角三角形的应用--方向角问题 (10)投影与视图 (11)29.1投影 (11)● 平行投影 (11)● 中心投影 (11)● 视点、视角和盲区 (11)29.2三视图 (11)● 简单几何体的三视图 (11)● 简单组合体的三视图 (12)● 由三视图判定几何体 (12)● 作图--三视图 (12)29.3课题学习、制作立体模型 (12)● 课题学习制作立体模型 (12)反比例函数26.1反比例函数●反比例函数的定义【反比例函数的概念】形如的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．【反比例函数的判断】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或.●反比例函数的图像【反比例函数的图象】反比例函数的图象是由两条曲线组成的，这两条曲线通常称为双曲线当k>0时，两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，两个分支分别位于第二、四象限①k>0②K<0●反比例函数图像的对称性【反比例函数图象的对称性】1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x ；一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称；3、反比例函数与的图象关于x轴，y轴对称.●反比例函数的性质●反比例函数系数k的几何意义【反比例系数的几何意义】1.在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．●反比例函数图像上点的坐标特征【反比例函数图象上的点的坐标特征】1. 若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足反比例函数解析式2. 若点在反比例函数图象上，则也一定在反比例函数图象上3. 若点A（x,y）在反比例函数的图像上，则xy=k●待定系数法求反比例函数解析式【待定系数求反比例函数解析式的一般步骤】(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式；(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．●反比例函数与一次函数的交点问题【反比例函数与一次函数的交点】1.(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标时，先把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；(2)已知反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的坐标带入函数解析式可求得函数关系式或系数间的等量关系.2.判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：(1)当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；(2)当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．26.2实际问题与反比例函数●根据实际问题列反比例函数关系式【列反比例函数关系式的一般解题思路】根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式，或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．【根据实际问题列反比例函数的步骤】步骤1：审：审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。
人教版九年级数学下册：第1课时 反比例函数的图象和性质
1．教材P6练习第1，2题．
2．已知一次函数
y＝x－b与反比例函数
y＝
2 x
标是2，则b的值为__－__1__．
的图象有一个交点的纵坐
3．已知反比例函数 y＝x31k3－－9k2 的图象在其所在的象限内，y随x的增大而
减小，求k的值． 解：由题意，得31k3－－9k>2＝0，1，①②
由①，得k>3，由②，得k＝± 2 3 ，综合①②得k＝ 2 3 .
(1)我们知道，正比例函数y＝kx的图象是一条直线，那么反比例函数
y＝
k x
的图象是什么形状呢？你能用“描点”的方法画出反比例函数
y＝
6 x
和y＝
1x2的图象吗？
(2)观察y＝ 6 与y＝ 12的图象，图象在向下、向上延伸时，会与x轴、y
x
x
轴相交吗？为什么？
(3)教材P5思考．
2．教材P5探究 提出问题：
26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质
一、教学目标
1．进一步熟悉作函数图像的步骤，能够作出反比例函数的图象． 2．通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象和性质．
二、教学重难点
重点 反比例函数的图象及其性质．
难点 反比例函数图象与性质的灵活应用．
三、教学设计
活动1 新课导入 1．正比例函数y＝kx的图象是_一__条__直__线__，当 k＞0时，图象在_第__一__、__第__三_ 象限；当k<0时，图象在_第__二__、__第__四_象限． 2．请分别画出 y＝2x与 y＝－2x的图象． 3．如何用描点法画一个函数的图象．
活动2 探究新知 1．教材P4例2. 提出问题：