安徽省天长中学高中数学人教B版选修4-5：21基本不等式(共21张PPT)
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人教版高中数学选修45基本不等式及其应用PPT课件(共21)
ab 2Leabharlann a2 b22 ab 2
ab 2
ab
2 11 ab
人教版高中数学选修45基本不等式及 其应用P PT课件 (共21 ） 人教版高中数学选修45基本不等式及 其应用P PT课件 (共21 ）
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ab 2
ab
2 11 ab
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人教数学选修4-5全册精品课件：第一讲一2.基本不等式第一课时
即：a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2.
(2)∵当 a>0，b>0 时 a＋b≥2 ab， bc ac ∴ ＋ ≥2 a b bc ac · ＝2c. a b bc ab · ＝2b. a c
bc ab 同理： ＋ ≥2 a c ac ab ＋ ≥2 b c
ac ab · ＝2a. b c
2．基本不等式
第一课时
学习目标
第 一 课 时
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.理解并掌握基本不等式的结构和成立的条
件，及它的几种变形形式和公式的逆运用；
2．利用基本不等式比较大小，证明不等式．
课前自主学案
1．对于任意实数a都有a2≥ __0；当且仅当a＝ __时等号成立； 0
2．对于任意实数a，b都有a2＋b2__2ab，当 ≥ 且仅当____时等号成立； a＝b
2
2
3 3
【错因】 审题出错，a，b，c不全相等与a， b，c各不相等混淆．三式相乘的条件不充 分．
【自我校正】 ∵a，b，c 是不全相等 的三个正数， ∴a2b＋b2a≥2 a3b3>0； a2c＋c2a≥2 a3c3>0； b2c＋c2b≥2 b3c3>0. 在以上三个不等式中至少有一个不取等 号． ∴将以上三个不等式相乘可得 (a2b＋b2a)(a2c＋c2a)(b2c＋c2b)>8a3b3c3.
课堂互动讲练
考点突破 利用基本不等式比较大小
例1 若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则 a＋
b，2 ab，2ab，a ＋b 中最大的是( A．a2＋b2 C．2ab B．2 ab D．a＋b
2
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
最新人教版高三数学选修4-5(全套)精品课件
引言
最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件Biblioteka 第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件
1.不等式的基本性质
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最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件目录
0002页 0092页 0130页 0209页 0266页 0326页 1168页 1201页 1230页 1301页 1399页
引言 一 不等式 2.基本不等式 二 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
新人教版高中数学《基本不等式》PPT课件1
立，D中最小值不是2. 答案：C
新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
总结归纳：
利用基本不等式求最值需要注意什么？
新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
总结归纳：
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：
新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1 新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
第三章 不等式
3.4 基本不等式： ab≤a＋ 2 b
（第 2 课时）
利用基本不等式求最值
新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
一、正数条件，即a、b都是正数；
二、定值条件，即和是定值或积是定值；
三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”
忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若有
条件不满足时，应该怎样处理呢？
新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
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探究利用基本不等式求最值问题的方法
y=x(1-2x)
的最大值.
分析: 2x+(1-2x) 不=1是为 常数.
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)= 12∙2x∙(1-2x)
≤
1 2
∙[
2x+(1-2x) 2
]2=
1 8
.
当且仅当
2x=(1-2x),
即 x=
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总结归纳：
利用基本不等式求最值需要注意什么？
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总结归纳：
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：
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第三章 不等式
3.4 基本不等式： ab≤a＋ 2 b
（第 2 课时）
利用基本不等式求最值
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一、正数条件，即a、b都是正数；
二、定值条件，即和是定值或积是定值；
三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等”
忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若有
条件不满足时，应该怎样处理呢？
新人教版高中数学《基本不等式》PPT 课件1
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探究利用基本不等式求最值问题的方法
y=x(1-2x)
的最大值.
分析: 2x+(1-2x) 不=1是为 常数.
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)= 12∙2x∙(1-2x)
≤
1 2
∙[
2x+(1-2x) 2
]2=
1 8
.
当且仅当
2x=(1-2x),
即 x=
高二数学人教b版选修4-5课件：第一章_1.1_1.1.1_不等式的基本性质
一分耕耘一分收获
(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结 论”的程序进行，即： 作差 → 变形 → 定号 → 结论 ，其中变形 是关键，定号是目的．
(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判 断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当 符号不确定时，需进行分类讨论．
一分耕耘一分收获
若 0＜a＜1＜b，则 0＜1b＜1， ∴loga1b＞0， logab＜0，条件③不可以．故应填②. 答案：②
一分耕耘一分收获
8．设 x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若 x>y，则实数 a，b 满足 的条件是________________． 解析：∵x>y，∴a2b2＋5－2ab＋a2＋4a ＝a2＋4a＋4＋a2b2－2ab＋1 ＝(a＋2)2＋(ab－1)2>0. ∴ab≠1 或 a≠－2. 答案：ab≠1 或 a≠－2.
一分耕耘一分收获
三、解答题 9．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的范围．
解：∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4， －π4＜β2≤π4. 因而两式相加得－π2＜α＋2 β<π2. 又∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.
一分耕耘一分收获
∴－π2≤α－2 β<π2. 又∵α＜β，∴α－2 β＜0.∴－π2≤α－2 β＜0. 即α＋2 β∈－π2，π2，α－2 β∈－π2，0. 10．已知 a，b∈{正实数}且 a≠b，比较ab2＋ba2与 a＋b 的大小． 解：∵ab2＋ba2－(a＋b)＝ab2－b＋ba2－a ＝a2－b b2＋b2－a a2＝(a2－b2)1b－1a
(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结 论”的程序进行，即： 作差 → 变形 → 定号 → 结论 ，其中变形 是关键，定号是目的．
(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判 断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当 符号不确定时，需进行分类讨论．
一分耕耘一分收获
若 0＜a＜1＜b，则 0＜1b＜1， ∴loga1b＞0， logab＜0，条件③不可以．故应填②. 答案：②
一分耕耘一分收获
8．设 x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若 x>y，则实数 a，b 满足 的条件是________________． 解析：∵x>y，∴a2b2＋5－2ab＋a2＋4a ＝a2＋4a＋4＋a2b2－2ab＋1 ＝(a＋2)2＋(ab－1)2>0. ∴ab≠1 或 a≠－2. 答案：ab≠1 或 a≠－2.
一分耕耘一分收获
三、解答题 9．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的范围．
解：∵－π2≤α<β≤π2， ∴－π4≤α2＜π4， －π4＜β2≤π4. 因而两式相加得－π2＜α＋2 β<π2. 又∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.
一分耕耘一分收获
∴－π2≤α－2 β<π2. 又∵α＜β，∴α－2 β＜0.∴－π2≤α－2 β＜0. 即α＋2 β∈－π2，π2，α－2 β∈－π2，0. 10．已知 a，b∈{正实数}且 a≠b，比较ab2＋ba2与 a＋b 的大小． 解：∵ab2＋ba2－(a＋b)＝ab2－b＋ba2－a ＝a2－b b2＋b2－a a2＝(a2－b2)1b－1a
人教版高中数学选修4-5《1.1.2基本不等式》
1.1.2基本不等式
选修4-5
教学目标
• 1、知识与能力目标：理解并掌握重要的基本不等式；利用基本不等式求最 值及证明不等式. • • 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体 会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题 反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.
复习导入
• 1. 不等式的基本性质： • 2. 比较两数大小的一般方法：
自主学习
1．定理1 如果 当且仅当 时, 等号成立. ab
a, b R , 那么
a b . 2ab
2 2
证明:
自主学习
2. 定理2(基本不等式)：如果a>0,b>0 那么 当且仅当 时, 等号成立.
讨论: 1. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?
1 1-������ ������+������ 本不等式可得三个“2”连乘, -1= = ������ ������ ������
≥
2 ������������ ,可由此入手. ������
(2)因为 a+b+c=1,所以
������+������+������ ������+������+������ = -1 -1 ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ = + + + . ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 又 + ≥2 · , + ≥2 ������ ������ ������ ������ ������ ������
选修4-5
教学目标
• 1、知识与能力目标：理解并掌握重要的基本不等式；利用基本不等式求最 值及证明不等式. • • 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体 会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题 反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.
复习导入
• 1. 不等式的基本性质： • 2. 比较两数大小的一般方法：
自主学习
1．定理1 如果 当且仅当 时, 等号成立. ab
a, b R , 那么
a b . 2ab
2 2
证明:
自主学习
2. 定理2(基本不等式)：如果a>0,b>0 那么 当且仅当 时, 等号成立.
讨论: 1. 比较定理1与定理2, 有哪些相同和不同?
1 1-������ ������+������ 本不等式可得三个“2”连乘, -1= = ������ ������ ������
≥
2 ������������ ,可由此入手. ������
(2)因为 a+b+c=1,所以
������+������+������ ������+������+������ = -1 -1 ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ = + + + . ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 又 + ≥2 · , + ≥2 ������ ������ ������ ������ ������ ������
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
由������
������
+
������=1,得������
������
������
+
������≥2
������
������ ������
·
������ ������
=
������ ,
������������
∴xy≥36.∴x+y≥2 ������������=12.
这显然是错误的,因为两个不等式中,不能同时取得“等号”,即不
剖析:应用基本不等式
������������
≤
������+������ ������
求最值的条件是“一正、二定、
三相”等,具体如下:
2. 基本不等式
一正:
a,b都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否则就会得出错误的答案.
例如,当x<0时,函数f(x)=x+������������≥2 ������ × ������������=2,所以函数f(x)的最小值是2.由于f(-2)=-2+−������������=-������������<2, 那么显然这是一个错误的答案.其原因是当x<0时,������<0,不符合基本不等式中a,b均为正数.
4. 例题学习
解析:∵a>0,b>0,a≠b,∴������+������
������
>
������������,
∵a2+b2>2ab,∴
������������+������������ ������
>
������������,
∴选项A,B,C中, ������������最小.
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10 2 16 18
变式1：
x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。
解法二：由题意得y 2x y 0 x 8 x8
则x y x 2x x8
x 2(x 8) 16 x8
(x 8) 16 10 x8
10 2 16 18
变式1：
x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求xy的最小值。
１、应用基本不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要 时作适当变形，
以满足上述前提，即“一正二定三相等”
２、基本不等式具有将“和式”转化为“ 积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩 功能
3、注意基本不等式中齐次的思想
2.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是
_______. [9,+∞)
解：ab=a+b+3 2 ab 3 ab 2 ab 3 0
ab 3或 ab 1(舍去)
ab 9
已知a，b为正数，
调和 平均 数
几何 平均 数
算术平 均数
平方 平均 数
去根号的 好方法
小结
由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键 就是如何构造这些“定和”或“定积”.
例1已知 例2 例3 求
求
的取值范围.
忌非正
的最小值.
忌不定
忌等号不成立
变式：
已知函数 f (x) x2 x 1(x 1) ，求函数的
最小值
x 1
注：形如二次式的最值问题，可将分式分离，转化为 一次式
一
次式
a 一次式
基本不等式
年级：高一年级 学校：安徽省天长中学
基本不等式： 如果a, b∈R+，那么
ab a b 2
当且仅当a=b 时，式中等号成立
问题1： 若ab为常数S，那么a+b的最小值是？ 若a＋b为常数P，那么ab的最大值是？
结论：两个正数，积为定值时，和有最小值（积定和小）； 和为定值时，积有最大值（和定积大）．
2
2y x
5x y
5
7
2
2y 5x xy
7 2 10பைடு நூலகம்
2y
当且仅当x
5x
y时取等号
变式1：
x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。
解法一：由题意得2x+8y=xy
x 0, y 0 2 8 1
yx
则x y (x y)( 2 8) yx
2x 8y 10 yx
(a为常数)的形式再利用基本不等式.
【典例解析】
题型一：利用不等式求最值
例1：已知 x 0, y 0 ，且 2 5 1 xy
求 x+y 的最小值.
取等条
2
误解：由 x
5 y
1
2
25 2 xy
10 xy
件不同
得 xy 2 10 而 x y 2 xy 4 10
正解：(x y) 1 (x y)( 2 5 ) xy
变式1：
x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。
解法二：由题意得y 2x y 0 x 8 x8
则x y x 2x x8
x 2(x 8) 16 x8
(x 8) 16 10 x8
10 2 16 18
变式1：
x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求xy的最小值。
１、应用基本不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要 时作适当变形，
以满足上述前提，即“一正二定三相等”
２、基本不等式具有将“和式”转化为“ 积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩 功能
3、注意基本不等式中齐次的思想
2.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是
_______. [9,+∞)
解：ab=a+b+3 2 ab 3 ab 2 ab 3 0
ab 3或 ab 1(舍去)
ab 9
已知a，b为正数，
调和 平均 数
几何 平均 数
算术平 均数
平方 平均 数
去根号的 好方法
小结
由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键 就是如何构造这些“定和”或“定积”.
例1已知 例2 例3 求
求
的取值范围.
忌非正
的最小值.
忌不定
忌等号不成立
变式：
已知函数 f (x) x2 x 1(x 1) ，求函数的
最小值
x 1
注：形如二次式的最值问题，可将分式分离，转化为 一次式
一
次式
a 一次式
基本不等式
年级：高一年级 学校：安徽省天长中学
基本不等式： 如果a, b∈R+，那么
ab a b 2
当且仅当a=b 时，式中等号成立
问题1： 若ab为常数S，那么a+b的最小值是？ 若a＋b为常数P，那么ab的最大值是？
结论：两个正数，积为定值时，和有最小值（积定和小）； 和为定值时，积有最大值（和定积大）．
2
2y x
5x y
5
7
2
2y 5x xy
7 2 10பைடு நூலகம்
2y
当且仅当x
5x
y时取等号
变式1：
x>0,y>0 且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。
解法一：由题意得2x+8y=xy
x 0, y 0 2 8 1
yx
则x y (x y)( 2 8) yx
2x 8y 10 yx
(a为常数)的形式再利用基本不等式.
【典例解析】
题型一：利用不等式求最值
例1：已知 x 0, y 0 ，且 2 5 1 xy
求 x+y 的最小值.
取等条
2
误解：由 x
5 y
1
2
25 2 xy
10 xy
件不同
得 xy 2 10 而 x y 2 xy 4 10
正解：(x y) 1 (x y)( 2 5 ) xy