17、图形与证明专题训练

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图形证明题训练

图形证明题训练1.已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在边BC 、AC 上，且DF ∥AB ，过点A 平行于BC 的直线与DF 的延长线交于点E ，连结CE 、BF ．（1）求证：△ABF ≌△ACE ；（2）若D 是BC 的中点，判断△DCE 的形状，并说明理由．2.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF=EC 。

求证：△CDE ≌△EAF3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，G 、H 分别是对角线BD 、AC 的中点．（1）求证：四边形EGFH 是菱形；（2）若AB ＝1，则当∠ABC ＋∠DCB ＝90°时，求四边形EGFH的面积．4.如图，已知点E ，C 在线段BF 上，BE EC CF ==，AB DE ∥，ACB F ∠=∠．（1）求证：ABC DEF △≌△；（2）试判断：四边形AECD 的形状，并证明你的结论．FE DCBA5.已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在边BC 、AC 上，且DF ∥AB ，过点A 平行于BC 的直线与DF 的延长线交于点E ，连结CE 、BF ．（1）求证：△ABF ≌△ACE ；（2）若D 是BC 的中点，判断△DCE 的形状，并说明理由．FEDCBAAB CDEF G HFEDCBA6.如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，将△ADC 沿AC 边翻折得到△AEC ，连接DE ．（1）证明△ADE 是等边三角形；（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，证明四边形AFCE 是矩形．7.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ．点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，CD 上，AE ＝GF ＝GC ．（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；（2）当∠FGC ＝2∠EFB 时，求证：四边形AEFG 是矩形．EF DABCABCFD E G。

图形与证明(二)复习(1)练习1

BC九年级数学作业1、已知：菱形ABCD 中，对角线AC = 16 cm ，BE ⊥BC 于点E ，则BE 的长.为。

2、直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形，其中一个是边长为4的等边三角形，那么梯形的中位线长为。

3、如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 和AD 边上的AF 重合，则四边形ABEF 就是一个最大的正方形，他的判定方法是。

4、下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有（）（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ） 6个5、如图，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD.有下列四个结论：①∠PBC ＝15°;②AD ∥BC ；③直线PC 与AB 垂直；④四边形ABCD 是轴对称图形.其中正确的结论的个数为（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=12，BD=9，则该梯形两腰中点的连线EF 长是（） A 、10 B 、221 C 、215 D 、127、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC=45º。

翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E 。

若AD=2，BC=8，求：（1）BE 的长。

（2）CD ：DE 的值。

CFBEADCB ADPDBCAEF CDBA EF8、如图是规格为8×8的正方形网格,请在所给网格中．．．．．．按下列要求操作：⑴请在网格中建立平面直角坐标系, 使A点坐标为(－2，4)，B点坐标为(－４，2)；⑵在第二象限内的格点上．．．．．．．．．．画一点C, 使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形, 且腰长是无理数, 则C点坐标是，△ABC的周长是(结果保留根号)；⑶画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C, 连结AB′和A′B, 试说出四边形ABA′B′是何特殊四边形, 并说明理由.△与R t ABD△中，90=，，ABC BAD∠=∠= ，AD BC AC BD 相交于点G，过点A作AE D B∥交D A的∥交C B的延长线于点E，过点B作B F C A延长线于点F AE BF，，相交于点H．（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明四边形A H B G是菱形；（3）若使四边形A H B G是正方形，还需在R t ABC△的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）ＥＦ。

图形与证明(二)复习(1)练习2

DCBAD九年级数学作业1、如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE 上AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ：BE 等于（） A ．2:1 B ．1:2 C ．3:2 D ．2:32、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（）A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm3、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于。

4、矩形ABCD 中，22=AB ，将角D 与角C 分别沿过A 和B 的直线AE 、BF 向内折叠，使点D 、C 重合于点G ，且AGB EGF ∠=∠，则=AD ．5、已知平行四边形A B C D ，AD a AB b ABC α===，，∠．点F 为线段B C 上一点（端点B C ，除外），连结A F A C ，，连结D F ，并延长D F 交A B 的延长线于点E ，连结C E ．（1）当F 为B C 的中点时，求证E F C △与A B F △的面积相等；（2）当F 为B C 上任意一点时，E F C △与A B F △的面积还相等吗？说明理由．左右左右第二次折叠第一次折叠图1图26、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？7、如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。

专题117多边形的角的计算与证明大题专练30题-2021-2022学年八年级数学上(原卷版【人教版】

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题11.7多边形的角的计算与证明大题专练30题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2020秋•花都区期末）已知，四边形ABCD 中，∠C +∠D ＝200°，∠B ＝3∠A ，求∠A 和∠B 的度数．2．（2021春•海陵区校级月考）一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2018°，求这个外角的度数和它的边数．3．（2021春•大丰区月考）一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为100°，求这个多边形内角和的度数和边数．4．（2021春•鼓楼区校级月考）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比与它相邻外角的3倍还大20°，求这个多边形的边数以及它的内角和．5．（2020秋•临河区期末）在各个内角都相等的多边形中，一个内角是一个外角的4倍，则这个多边形是几边形？这个多边形的内角和是多少度？6．（2021春•浦东新区期中）若一个多边形的内角和的14比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？7．（2021春•娄底月考）一个多边形的内角和与外角和的度数总和为1260°，求多边形的边数．8．（2020秋•和平区期末）如图，五角星的顶点为A 、B 、C 、D 、E ，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数？9．（2020秋•阜平县期中）已知n 边形的内角和θ＝（n ﹣2）×180°．（1）当θ＝900°时，求出边数n ；（2）小明说，θ能取800°，这种说法对吗？若对，求出边数n ；若不对，说明理由．10．（2020秋•江岸区校级月考）求出下列图形中x 的值．11．（2021春•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，F、H是BC上的点，FG⊥AC，HD⊥AC，垂足分别为G、D，在AB上取一点E，使∠BED+∠B＝180°，求四边形BEDH各内角的度数．12．（2020秋•襄城区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC＝20°，求∠EBD的度数．13．（2021春•邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．14．（2021春•新吴区月考）（1）如图①，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律；（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A 与∠1、∠2之间存在什么样的关系？（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）15．（2021春•徐州期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝度；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为．16．（2020秋•沂水县期末）（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？17．（2020秋•丛台区校级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？18．（2021春•雨花区校级月考）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝∠BAD．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥EB交BA的延长线于点F，∠F＝50°，求∠BCD的度数．19．（2020秋•即墨区期末）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）20．（2020秋•齐齐哈尔期末）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．21．（2020秋•巴南区期中）已知边数为n的多边形的一个外角是m°，内角和是x°，外角和是y°．（1）当x＝2y时，求n的值；（2）若x+y+m＝2380，求m的值．22．（2020秋•中山市校级期中）回答下列问题：（1）如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，∠A＝40°，∠P的度数＝（直接写出答案）．（2）如图②，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角，如图②，若α+β＞180°，求∠P的度数（用α，β的代数式表示，写出详细过程）．23．（2020秋•江岸区校级月考）在四边形ABCD中，O在其内部，满足∠ABO=1n∠ABC，∠DCO=1n∠DCB．（1）如图1，当n＝2时，如果∠A+∠D＝260°，直接写出∠O的度数；（2）当n＝3时，M、N分别在AB、DC的延长线上，BC下方一点P，满足∠CBP＝2∠PBM，∠BCP ＝2∠PCN，①如图2，判断∠O与∠P之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，延长线段BO、PC交于点Q，△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出∠A+∠D的度数为．24．（2020秋•袁州区校级期中）（1）如图1我们称之为“8”字形，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝度；（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．25．（2020秋•袁州区校级期中）四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．（1）若点O在四边形ABCD的内部，①如图1，若AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DOE＝°；②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．26．（2019秋•天心区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．（1）若∠ABC＝76°，求∠AEB的大小；（2）求证：BE∥DF．27．（2020秋•青秀区校级期中）已知某正多边形的一个内角都比它相邻外角的3倍还多20°．（1）求这个正多边形一个内角的度数；（2）求这个正多边形的内角和．28．（2020秋•温岭市期中）已知一个n边形的每个内角是135°．（1）求n；（2）求这个n边形的内角和．29．（2020秋•蜀山区校级期中）在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝（直接写出结果）．（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为（直接写出结果）．②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．30．（2020春•福山区期中）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！【问题探究】（1）如图1，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）将图1变形为图2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程；（3）将图1变形为图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程．【变式拓展】（4）将图3变形为图4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．。

初二数学图形与证明试题

初二数学图形与证明试题1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，AC 在直线l 上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2=2＋；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=3＋；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2014为止，则P 1P 2014=（）．A ．2012＋671B ．2013＋671C ．2014＋671D ．2015＋671【答案】B ．【解析】从整个运动过程分析，可以判断该旋转变换在做以3为周期的周期运动，此为解题的关键性结论；由＝，，…可以发现线段（n 为大于1的自然数）的长存在等差关系，运用此规律即可解决问题，而2012=670×3+2，所以=．故选：B ．【考点】旋转的性质；图形的变化规律类问题．2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，CD=2，则点D 到AB 的距离等于．【答案】2．【解析】∵∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，CD=2，∴点D 到AB 的距离等于2，根据角分线上的点到角的两边距离相等．【考点】角平分线性质定理的运用．3. 如图，已知平行四边形ABCD 的面积是32，点0是平行四边形ABCD 对角线的交点，OE ∥AD 交CD 于点E, OF ∥AB 于点F ，那么△EOF 的面积是______________．【答案】4．【解析】∵平行四边形的对角线互相平分，∴OB=OD,∴S △BOC =S △DOC ,∵OE ∥AD,OA=OC,∴CE=DE,∴S △OCE =S △DOE ,同理CF=BF,S △BOF =S △COF ,∴S △OEF =S 四边形OFCE =S △BCD ,∵平行四边形ABCD 的面积是32,∴△BCD 的面积是16，∴S △OEF =S △BCD =×16=4．【考点】1．平行四边形性质；2．三角形中位线定理；3．三角形面积计算．4. （10分）如图，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD ，BC于点E，F，垂足为点O．（1）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形。

上海市2019年中考数学真题与模拟题分类专题17 图形的变化之解答题(1)(50道题)(解析版)

专题17 图形的变化之解答题（1）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•上海）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．【答案】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（4570）厘米．答：点D′到BC的距离为（4570）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．2．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．【答案】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．3．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【答案】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD∠BAC，同理∠ABD∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE（∠ABC+∠BAC）＝90°∠C，∴∠E＝90°﹣（90°∠C）∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E∠C，∴∠ABC＝∠E∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时2．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时2．综上所述，∠ABC＝30°或45°，2或2．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．4．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【答案】解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF，∵tan∠DBF，∴DF，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD，∴AD＝5，则．【点睛】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．5．（2019•嘉定区二模）如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，△EBC沿直线EC翻折，使B点落在矩形ABCD内部的点P处，联结AP并延长AP交CD于点F，联结BP交CE于点Q．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如果P A＝PE，求证：△APB≌△EPC．【答案】证明：（1）由折叠得到EC垂直平分BP，设EC与BP交于Q，∴BQ＝EQ∵E为AB的中点，∴AE＝EB，∴EQ为△ABP的中位线，∴AF∥EC，∵AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）∵AF∥EC，∴∠APB＝∠EQB＝90°，由翻折性质∠EPC＝∠EBC＝90°，∠PEC＝∠BEC，∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP＝EP，∴△AEP为等边三角形，∠BAP＝∠AEP＝60°，∠CEP＝∠CEB60°，在△ABP和△EPC中，∠∠，∴△ABP≌△EPC（AAS）．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．6．（2019•宝山区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，联结AP并延长AP交CD于F点，（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）如果P A＝PE，联结BP，求证：△APB≌△EPC．【答案】证明：（1）由折叠得到EC垂直平分BP，设EC与BP交于Q，∴BQ＝EQ∵E为AB的中点，∴AE＝EB，∴EQ为△ABP的中位线，∴AF∥EC，∵AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）∵AF∥EC，∴∠APB＝∠EQB＝90°，由翻折性质∠EPC＝∠EBC＝90°，∠PEC＝∠BEC∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP＝EP，∴△AEP为等边三角形，∠BAP＝∠AEP＝60°，∠∠∠∠在△ABP和△EPC中，∴△ABP≌△EPC（AAS）【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7．（2019•崇明区二模）如图，已知△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，tan∠．（1）求边AC的长；（2）将△ABC沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值．【答案】解：（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，如图1所示：∵AB＝6，∠B＝30°，AH⊥BC，∴AH＝3，∵tan∠ACB，∴CH＝2，∴AC；（2）由翻折得：BD AB＝3，AE＝BE，∠BDE＝90°，∵cos B，∴，∴BE＝2，∴AE＝2，∴EH，∴EC＝CH+EH＝2，∴46．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．8．（2019•青浦区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，CE与AF相交于点G．（1）求证：∠FGC＝∠B；（2）延长CE与DA的延长线交于点H，求证：BE•CH＝AF•AC．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，而AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，在△ABF和△CAE中，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴∠BAF＝∠ACE，∵∠FGC＝∠GAC+∠ACG＝∠GAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴∠FGC＝∠B；（2）如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BCE＝∠H，∴△BCE∽△DHC，∴，∵△ABF≌△CAE，∴CE＝AF∵CA＝CB＝CD，∴，∴BE•CH＝AF•AC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了菱形的性质．9．（2019•浦东新区二模）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝AD，AM⊥BD，垂足为点M，连接CM并延长，交线段AB于点N．求证：（1）∠ABD＝∠BCM；（2）BC•BN＝CN•DM．【答案】证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠MBC，∴∠ABD＝∠MBC，∵AB＝AD，AM⊥BD，∴BM＝DM，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴CM＝BM＝DM，∴∠MBC＝∠BCM，∴∠ABD＝∠BCM；（2）∵∠BNM＝∠CNB，∠NBM＝∠NCB，∴△NBM∽△NCB，∴BN：CN＝BM：BC，而BM＝DM，∴BN：CN＝DM：BC，∴BC•BN＝CN•DM．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．10．（2019•静安区二模）已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）如果CD2＝BF•BC，求∠BAF的度数．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵点M为AC的中点，∴AM＝CM．在△AME与△CMF中∠∠∴△AME≌△CMF（ASA），∴ME＝MF．∴四边形AECF为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF为菱形；（2）解：∵CD2＝BF•BC，∴，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∴又∵∠ABF＝∠CBA，∴△ABF∽△CBA，∴∠2＝∠3，∵四边形AECF为菱形，∴∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠1+∠3+∠4＝90°，∴即∠1＝30°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了菱形的判定与性质和矩形的性质．11．（2019•虹口区二模）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC 于点F，点F为BC的中点．（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC．【答案】证明：（1）∵BE∥AC，∴△COF∽△BFE∴∵点F为BC的中点，∴CF＝BF，∴OC＝BE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO∴AO＝BE∵BE∥AC，∴四边形AOEB是平行四边形（2）∵四边形AOEB是平行四边形，∴∠BAO＝∠E∵∠OBC＝∠E，∴∠BAO＝∠OBC∵∠ACB＝∠BCO，∴△COB∽△CBA∴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC∵点F为BC的中点，∴BC＝2FC∴即BO•OC＝AB•FC【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答．12．（2019•普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，点E在AD的延长线上，∠ACE＝∠BCD，EC2＝ED•EA．（1）求证：四边形ABCD为梯形；（2）如果，求证AB2＝ED•BC．【答案】（1）证明：∵EC2＝ED•EA∴而∠E＝∠E∴△ECA∽△EDC∴∠EAC＝∠ECD又∵∠ACE＝∠BCD∴∠ACE﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠ACD即∠ECD＝∠BCA∴∠EAC＝∠BCA∴AE∥BC，∵AD＜BC，故四边形ABCD是梯形．（2）证明：由（1）可知△ECA∽△EDC∴即得而由已知可得∴CD＝AB，即梯形ABCD是等腰梯形∴∠B＝∠BCD而∠BCD＝∠EDC∴∠B＝∠EDC由（1）知∠BCA＝∠ECD∴△ABC∽△EDC∴而AB＝CD∴AB2＝ED•BC故AB2＝ED•BC得证．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，以及等腰梯形的判定与性质，通过比例式得出对应线段相等也是证明线段相等的一种方法．13．（2019•长宁区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC＝90°，AE2＝EB•EC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）延长DB、AE交于点F，若AF＝AC，求证：AE＝BF．【答案】证明：（1）∵AE2＝EB•EC∴又∵∠AEB＝∠CEA∴△AEB∽△CEA∴∠EBA＝∠EAC而∠EAC＝90°∴∠EBA＝∠EAC＝90°又∵∠EBA+∠CBA＝180°∴∠CBA＝90°而四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形即得证．（2）∵△AEB∽△CEA∴即，∠EAB＝∠ECA∵四边形ABCD是矩形∴OB＝OC∴∠OBC＝∠ECA∴∠EBF＝∠OBC＝∠ECA＝∠EAB即∠EBF＝∠EAB又∵∠F＝∠F∴△EBF∽△BAF∴而AF＝AC∴BF＝AE即AE＝BF得证．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及矩形的性质，利用三角形的相似进行边与角的转化是解决本题的关键．14．（2019•张店区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（1）求证：△ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．【答案】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DAF＝∠B，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠CAD＝∠ACB，∴∠DEC＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADF，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF．（2）∵AC•FC＝AE•EC，AC＝AB，∴AB•FC＝AE•EC，∵∠B＝∠FCE，∠BAE＝∠FEC，∴△BAE∽△CEF，∴，∴，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠B，∴∠B＝∠FEC，∴AB∥DE，∵AD∥BE，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD＝BE．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（2019•普陀区二模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，，△ADE 的面积等于3．（1）求△ABC的面积；（2）如果BC＝9，且cot B，求∠AED的正切值．【答案】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2，∵S△ADE＝3，∴S△ABC＝27．（2）如图，作AH⊥BC于H．∵S△ABC BC×AH＝27，∴AH＝6，∵cot B，∴BH＝4，CH＝9﹣4＝5，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∴tan∠AED＝tan∠C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．16．（2019•闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin∠，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE ∥QC，求的值．【答案】（1）证明：∵PB⊥AM，PC⊥AN，∴∠PBA＝∠PCA＝90°，∵∠BAC+∠PCA+∠BPC+∠PBA＝360°，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠MAN＝∠BPD；（2）解：∵BE⊥AP，∠D＝90°，BE＝BD，∴∠BPD＝∠BPE．∴∠BPE＝∠BAC，在Rt△ABP中，由∠ABP＝90°，BE⊥AP，∴∠APB＝∠ABE，∴∠BAC＝∠ABE，∴sin∠BAC＝sin∠ABE，∵AB＝2，∴AE＝6，∴BE2，∴BD＝BE＝2；（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，设BD＝2a，PC＝2b，∵∠BPD＝∠MAN＝45°，∴DP＝BD＝2a，∴CD＝2a+2b，在Rt△ABG和Rt△BDP中，∠BAC＝∠BPD＝45°，∴BG＝AG，DP＝BD，∵QH∥BD，点Q为BP的中点，∴PH PD＝a．QH BD＝a，∴CH＝PH+PC＝a+2b，∵BD∥AC，CD⊥AC，BG⊥AC，∴BG＝DC＝2a+2b．∴AC＝4a+2b，∵BE∥QC，BE⊥AP，∴∠CFP＝∠BEP＝90°，又∠ACP＝90°，∴∠QCH＝∠P AC，∴△ACP∽△QCH，∴，即，解得，a＝b，∴CH＝3a．由勾股定理得，CQ a，∵∠QHC＝∠PFC＝90°，∠QCH＝∠PCF，∴△QCH∽△PFC，∴，即，解得，FC a，∴QF＝QC﹣FC a，∵BE∥QC，Q是PB的中点，∴PE＝EF，∴△PQF与△CEF面积之比等于高之比，∴．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．（2019•闵行区二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AC．过点A作AE⊥CD，垂足为点E，AE与BD相交于点F．过点C作CG⊥AC，与AE的延长线相交于点G．求证：（1）△ACG≌△DOA；（2）DF•BD＝2DE•AG．【答案】证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD＝CD，AC⊥BD，OB＝OD，∴∠DAC＝∠DCA，∠AOD＝90°，∵AE⊥CD，CG⊥AC，∴∠DCA+∠GCE＝90°，∠G+∠GCE＝90°，∴∠G＝∠DCA，∴∠G＝∠DAC，∵BD＝2AC，BD＝2OD，∴AC＝OD，在△ACG和△DOA中，∠∠∴△ACG≌△DOA（AAS）；（2）∵AE⊥CD，BD⊥AC，∴∠DOC＝∠DEF＝90°，又∵∠CDO＝∠FDE，∴△CDO∽△FDE，∴，即得OD•DF＝DE•CD，∵△ACG≌△DOA，∴AG＝AD＝CD，又∵OD BD，∴DF•BD＝2DE•AG．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．18．（2019•崇明区二模）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．过点D作DE⊥BC，交AC于点F．（1）联结OE，若，求证：OE∥CD；（2）若AD＝CD且BD⊥CD，求证：．【答案】证明：（1）∵∠ABD＝90°，DE⊥BC，∴AB∥DE，∴，∵，∴，∴OE∥CD；（2）∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED为平行四边形又∵∠ABD＝90°，∴四边形ABED为矩形，∴AD＝BE，∠ADE＝90°，又∵BD⊥CD，∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，∴∠CDE＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，在△ADO和△CDF中∠∠∴△ADO≌△CDF（ASA），∴OD＝DF，∵AB∥DE，∴，∵AD∥BC，∴，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角梯形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．19．（2019•黄浦区二模）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，DO＝BO，过点C作CE⊥AC，交BD的延长线于点E，交AD的延长线于点F，且满足∠DCE＝∠ACB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求证：．【答案】解：（1）证明∵AD∥BC，∴，∵DO＝BO，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AC，∴∠ACD+∠DCE＝90°，∵∠DCE＝∠ACB，∴∠ACB+∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∠ADC＝90°，∵AD∥BC，∴，∴∴，∵∠ADC＝∠ACF＝90°，∴∠，∴．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，成比例的线段性质的理解和掌握，此题难度不大．20．（2019•黄浦区二模）已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠C，点E是射线AD上一点，点F是射线DC上一点，且满足∠BEF＝∠A．（1）如图1，当点E在线段AD上时，若AB＝AD，在线段AB上截取AG＝AE，联结GE．求证：GE＝DF；（2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，若AB＝3，AD＝4，cos A，设AE＝x，DF＝y，求y 关于x的函数关系式及其定义域；（3）记BE与CD交于点M，在（2）的条件下，若△EMF与△ABE相似，求线段AE的长．【答案】解：（1）∵AG＝AE，∴∠．∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝2∠C，∴∠，∴∠AGE＝∠C，∵AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°，又∠BGE+∠AGE＝180°，∴∠BGE＝∠D，∵∠BEF+∠FED＝∠A+∠GBE，∵∠BEF＝∠A，∴∠FED＝∠GBE，又AB＝AD，AG＝AE，∴BG＝ED，∴△GBE≌△DEF（ASA），∴GE＝DF；（2）在射线AB上截取AH＝AE，联结EH，∵∠HBE＝∠A+∠AEB，∠DEF＝∠BEF+∠AEB，又∠BEF＝∠A，∴∠HBE＝∠DEF．∵AD∥BC，∴∠EDC＝∠C，∠A+∠ABC＝180°．∵AH＝AE，∴∠，又∠ABC＝2∠C，∴∠H＝∠C，∴∠H＝∠EDC，∴△BHE∽△EDF，∴．过点H作HP⊥AE，垂足为点P．∵，AE＝AH＝x，∴，，，∴，∵AB＝3，AD＝4，AE＝x，DF＝y，∴，∴＞；（3）记EH与BC相交于点N．∵△EMF∽△ABE，∠BEF＝∠A，∴∠AEB＝∠EMF，或∠AEB＝∠EFM，若∠AEB＝∠EMF，又∠AEB＜∠EMF，矛盾，∴此情况不存在，若∠AEB＝∠EFM，∵△BHE∽△EDF，∴∠BEH＝∠EFM，∴∠AEB＝∠BEH，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠BEH＝∠EBC，∴BN＝EN＝BH＝x﹣3，∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴线段AE的长为．【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．21．（2019•黄浦区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD＝∠B，点E在边AB上，联结CE 交AD于点H，点F在CE上，且满足CF•CE＝CD•BC．（1）求证：△ACF∽△ECA；（2）当CE平分∠ACB时，求证：．【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠BCA，∠CAD＝∠B，∴△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝CD•BC，∵CF•CE＝CD•BC，∴AC2＝CF•CE，∴，∵∠ACF＝∠ECA，∴△ACF∽△ECA；（2）证明：∵CF•CE＝CD•BC，∴，∵∠DCF＝∠ECB，∴△CFD∽△CBE，∴∠CFD＝∠B，∵∠CAD＝∠B，∴∠CFD＝∠CAD，∴A，F，D，C四点共圆，∴∠AFC＝∠ADC，∵△ACF∽△ECA，∴∠CAE＝∠AFC，∴∠CAE＝∠ADC，∵当CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCH，∴△ACE∽△DCH，∴（）2，∵AC2＝CD•BC，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（2019•长宁区一模）已知锐角∠MBN的余弦值为，点C在射线BN上，BC＝25，点A在∠MBN的内部，且∠BAC＝90°，∠BCA＝∠MBN．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F 在线段BE上（点F不与点B重合），且∠EAF＝∠MBN．（1）如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴cos∠BCA＝cos∠MBN，∴∴AC＝15∴AB20∵S△ABC AB×AC BC×AF，∴AF12，∵AF⊥BC∴cos∠EAF＝cos∠MBN∴AE＝20∴EF16（2）如图，过点A作AH⊥BC于点H，由（1）可知：AB＝20，AH＝12，AC＝15，∴BH16，∵BF＝x，∴FH＝16﹣x，CF＝25﹣x，∴AF2＝AH2+FH2＝144+（16﹣x）2＝x2﹣32x+400，∵∠EAF＝∠MBN，∠BCA＝∠MBN∴∠EAF＝∠BCA，且∠AFC＝∠AFC，∴△F AE∽△FCA∴，∠AEF＝∠F AC，∴AF2＝FC×EF∴x2﹣32x+400＝（25﹣x）×EF，∴EF∴BE＝BF+EF∵∠MBN＝∠ACB，∠AEF＝∠F AC，∴△BDE∽△CF A∴∴∴y（0＜x）（3）如图，若△ADF∽△CEA，∵△△ADF∽△CEA，∴∠ADF＝∠AEC，∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，∴∠DAF+∠MBN＝180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠ADF＝∠AEC＝∠ABF，∴AB＝AE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，且∠ABF＝∠AEC，∠ACB＝∠MBN＝∠EAF，∴∠AEC+∠EAF＝90°，∠AEC+∠MBN＝90°，∴∠BDE＝90°＝∠AFC，∵S△ABC AB×AC BC×AF，∴AF12，∴BF16，∵AB＝AE，∠AFC＝90°，∴BE＝2BF＝32，∴cos∠MBN，∴BE，如图，若△ADF∽△CAE，∵△ADF∽△CAE，∴∠ADF＝∠CAE，∠AFD＝∠AEC，∴AC∥DF∴∠DFB＝∠ACB，且∠ACB＝∠MBN，∴∠MBN＝∠DFB，∴DF＝BD，∵∠EAF＝∠MBN，∠EAF+∠DAF＝180°，∴∠DAF+∠MBN＝180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABF，∴∠CAE＝∠ABF，且∠AEC＝∠AEC，∴△ABE∽△CAE∴设CE＝3k，AE＝4k，（k≠0）∴BE k，∵BC＝BE﹣CE＝25∴k∴AE，CE，BE∵∠ACB＝∠F AE，∠AFC＝∠AFE，∴△AFC∽△EF A，∴，设AF＝7a，EF＝20a，∴CF a，∵CE＝EF﹣CF a，∴a，∴EF，∵AC∥DF，∴，∴，∴DF，综上所述：当BD为或时，△ADF与△ACE相似【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．23．（2019•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE•CD＝AD•CE；（2）设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．【答案】证明：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDE＝90°．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DCE．又∵∠AED＝∠DEC＝90°，∴△AED∽△DEC，∴，∴DE•CD＝AD•CE；（2）∵AB＝AC，∴BD＝CD BC．∵F为DE的中点，∴DE＝2DF．∵DE•CD＝AD•CE，∴2DF•BC＝AD•CE，∴．又∵∠BCE＝∠ADF，∴△BCE∽△ADF，∴，∴AF•BC＝AD•BE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理证出△AED∽△DEC；（2）利用相似三角形的判定定理证出△BCE∽△ADF．24．（2019•浦东新区一模）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、BC上，此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G．已知∠A＝∠CDE＝30°，AB＝12．（1）求小三角尺的直角边CD的长；（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2），求点B、E 之间的距离；（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求∠BAE的正弦值．【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝AB cos30°＝6，BC＝6，由重心的性质得：，则CD＝4，DE＝8；（2）连接BE，过点C作CH⊥AB交于点H，BH BC＝3，CH＝BC sin60°＝3，AH＝9，HD，AD＝AH﹣HD＝9，∵∠ACD＝∠ECB，，∴△ADC∽△BEC，∴，即：AD BE，∴BE（9）＝3；（3）①如图，当DE在AC下方时，∵△ADC∽△BEC，∴∠BEC＝∠ADC＝∠AEB+∠CED＝∠DCE+∠DEC＝90°+∠CED，即：∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，设：BE＝x，则AD x，AB＝12，AE＝AD+DE x+8，即：（x+8）2+x2＝122，解得：x＝42，②当DE在AC上方时，求得：x＝42；sin∠BAE．【点睛】本题是三角形相似综合题，核心是确定图象旋转后的位置，利用相似确定边角关系，此类题目难度在于作图的准确性．25．（2019•普陀区一模）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．【答案】解：（1）如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH⊥AB，∴∠AHC＝∠BHC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∵∠ACH+∠A＝90°，∴∠BCH＝∠A，∴△ACH∽△CBH，∴，∵OC＝2，∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OH OC＝1，CH，∴，整理得：2a2﹣a﹣4＝0，解得a或（舍弃）．经检验a是分式方程的解．∴a．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH，CH x．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴（3a）2＝（x）2+（2a x）2，整理得：x2+ax﹣5a2＝0，解得x＝（1）a或（1）a（舍弃），∴OC＝（1）a，（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．∵∠AOC＝∠∠AOQ+∠QOC＝∠ABC+∠OCB，∠QOC＝∠ABC，∴∠AOQ＝∠KCO，∵AQ∥BK，∴∠Q＝∠K，∴△QOA∽△KCO，∴，∴，∵∠K＝∠K，∠KOB＝∠AOQ＝∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴，∴【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．26．（2019•宝山区一模）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于点F．（1）若AP，求DE的长；（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．【答案】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，∴四边形AHCB是矩形，∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，∴DH＝CH﹣CD＝2，∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，∴∠HAD＝∠HDA＝45°∴HD＝AH＝2，AE＝AP，根据勾股定理得，HE3，则ED＝1；（2）连接CP，设AP＝x．∵AB∥CD，∴∠EP A＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，∴△APE∽△PEC，∴，即：PE2＝AE•CE，而EC＝2PB＝2（5﹣x），即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，解得：x（不合题意值已舍去），即：AP；（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．设∠F＝α，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣α，则：∠EAP＝180°﹣2∠APE＝2α，∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝∠F＝α，由∠DAB＝45°，可得3α＝45°，2α＝30°，在Rt△ADH中，AH＝DH＝2，在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2α＝30°，∠HAE＝60°，∴HE＝AH•tan∠HAE＝2，∴DE＝HE﹣HD＝22，EC＝HC﹣HE＝5﹣2，∵△ADE∽△FGE，∴∠ADC＝∠EGF＝135°，则∠CEG＝45°，∴EG EC＝52，∴，即：，解得：FG＝31．【点睛】本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）中，利用三角形相似，确定α的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．27．（2019•黄浦区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点O是AB的中点，点D是边AC 上一点，DE⊥BD，交BC的延长线于点E，OD⊥DF，交BC边于点F，过点E作EG⊥AB，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H．（1）求证：；（2）设CD＝x，NE＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长．【答案】（1）证明：如图1中，∵OD⊥DF，BD⊥DE，∴∠ODF＝∠BDE＝90°，∴∠ODB＝∠NDE，∵EG⊥AB，∴∠BGM＝∠MDE＝90°，∵∠BMG＝∠EMD，∴OBD＝∠DEN，∴△OBD∽△NED，∴．（2）解：如图1中，∵∠BCD＝∠BDE＝90°，∴tan∠DBC，∵，∴，在Rt△ABC中，AB5，∴OB＝OA＝2.5，∴，∴y x（0＜x＜2）．（3）解：①如图2﹣1中，当DE＝DF时，作OK⊥AC于K．∵∠OKD＝∠DCF＝∠ODF＝90°，∴∠ODK+∠KOD＝90°，∠ODK+∠CDF＝90°，∴∠DOK＝∠CDF，∴△OKD∽△DCF，∴，∴，∴CF x（2﹣x），∵DF＝DE，DC⊥EF，∴∠CDE＝∠CDF，∵∠CDE+∠CDB＝90°，∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠∠CDE＝∠CBD＝∠CDF，∵∠DCF＝∠DCB＝90°，∴△DCF∽△BCD，∴，∴CD2＝CF•CB，∴x2＝x（2﹣x），解得x或0（舍弃）∴CD．如图2﹣2中，当DE＝EF时，∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD，∴∠EDC+∠CDF＝∠DBC+∠BDF，∵∠EDC＝∠DBC，∴∠CDF＝∠BDF，∵∠CDF+∠ADO＝90°，∠BDF+∠BDO＝90°，∴∠ADO＝∠BDO，∵AO＝OB，易知DA＝DB，设DA＝DB＝4﹣x，在Rt△BCD中，∵BD2＝CD2+BC2，∴（4﹣x）2＝x2+32，∴x，∴CD．综上所述，CD的长为或．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．28．（2019•徐汇区一模）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．【答案】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE AB BC，∴，∴BC2＝2DF•BF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．29．（2019•奉贤区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E 是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，联结AF并延长，与射线DC交于点G．（1）当点G与点C重合时，求CE：BE的值；（2）当点G在边CD上时，设CE＝m，求△DFG的面积；（用含m的代数式表示）（3）当△AFD∽△ADG时，求∠DAG的余弦值．【答案】解：（1）如图，∵DC∥EF，DF∥CE∴四边形DCEF是平行四边形∴CD＝EF，∵AB＝2CD＝6，∴AB＝2EF，∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AB，∴△CFE∽△CAB∴∴BC＝2CE，∴BE＝CE∴EC：BE＝1：1＝1（2）如图，延长AG，BC交为于点M，过点C作CN⊥AB于点N，交EF于点H∵AD⊥CD，CN⊥CD∴AD∥CN，且CD∥AB∴四边形ADCN是平行四边形，又∵∠DAB＝90°∴四边形ADCN是矩形，∴AD＝CN＝4，CD＝AN＝3，∴BN＝AB﹣AN＝3，在Rt△BCN中，BC5∴BE＝BC﹣CE＝5﹣m，∵EF∥AB∴，即∴ME＝BE＝5﹣m，∴MC＝ME﹣CE＝5﹣2m，∵EF∥AB∴∴HC m，∵CG∥EF∴即∴GC∴DG＝CD﹣GC＝3∴S△DFG DG×CH（3）过点C作CN⊥AB于点N，∵AB∥CD，∠DAB＝90°，∴∠DAB＝∠ADG＝90°，若△AFD∽△ADG，∴∠AFD＝∠ADG＝90°∴DF⊥AG又∵DF∥BC∴AG⊥BC。

专题17 三次函数的图像与性质(解析版)

专题17 三次函数的图像与性质一、例题选讲题型一运用三次函数的图像研究零点问题遇到函数零点个数问题,通常转化为两个函数图象交点问题,进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题,通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题,故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高,后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.例1,(2017某某,某某,某某,某某三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,则实数a 的取值X 围是．【答案】3(2)2-，【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点,即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根,亦即方程(Ⅰ)20x ax ax ≥⎧⎨-=⎩和(Ⅱ)3260x a x x ax <⎧⎨--=⎩共有2个不相等的根. 首先(Ⅰ)中20x ax -=,即(2)0a x -=,若2a =,则2x ≥都是方程20x ax -=的根,不符合题意,所以2a ≠,因此(Ⅰ)中由20x ax -=解得0x =,下面分情况讨论(1)若0x =是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a ≥,即0a ≤,此时方程(Ⅱ)必须再有唯一的一个根,即30260x a x x ax <≤⎧⎨--=⎩有唯一根,因为0x ≠,由3260x x ax --=,得226x a =+必须有满足0x a <≤的唯一根,首先60a +>,其次解得的负根需满足0a <≤,从而解得302a -<≤,(2)若0x =不是方程(Ⅰ)的唯一根,则必须满足0a <,即0a >,此时方程(Ⅱ)必须有两个不相等的根,即30260a x ax x ax ⎧>⎪<⎨⎪--=⎩有两个不相等的根,由3260x x ax --=,得0x a =<适合,另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根,首先60a +>,a≥,从而解得02a <≤,但前面已经指出2a ≠,故02a <<,综合(1),(2),得实数a 的取值X 围为3(,2)2-.例2,(2017某某学情调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x3，x ≤0，－2x ，x ＞0.)当x ∈(－∞,m ]时,f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),则实数m 的取值X 围是________．【答案】 [－2,8]【解析】思路分析由于f (x )的解析式是已知的,因此,可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质,然后根据f (x )的取值X 围为[－16,＋∞),求出它的值等于－16时的x 的值,借助于函数f (x )的图像来对m 的取值X 围进行确定．当x ≤0时,f (x )＝12x －x 3,所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0,则x ＝－2(正值舍去),所以当x ∈(－∞,－2)时,f ′(x )＜0,此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时,f ′(x )＞0,此时f (x )单调递增,故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时,f (x )＝－2x 单调递减,f (0)＝0,f (8)＝－16,因此,根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]．解后反思根据函数的解析式来得到函数的相关性质,然后由此画出函数的图像,借助于函数的图像可以有效地进行解题,这就是数形结合的魅力．题型二三次函数的单调性问题研究三次函数的单调性,往往通过导数进行研究.要特别注意含参的讨论.例3,已知函数32()3f x x x ax =-+()a ∈R ,()|()|g x f x =．(1)求以(2,(2))P f 为切点的切线方程,并证明此切线恒过一个定点；(2)若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立,求k 的最小值()h a 的表达式；(3)设0a >,求()y g x =的单调增区间．解析 (1)2()36f x x x a '=-+,(2)f a '=,过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-,即4y ax =-,它恒过点(0,- 4)；(2)()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤．当0x =时,上式恒成立；当(0,2]x ∈时,即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立,设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+, ①当94a ≥时,2max |3|x x a -+在0x =时取得,∴()h a a =；②当94a <时,2max 99(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤；由①②,得9(),8()99()48a a g a a a ⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤； (3)32()3f x x x ax =-+,22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-,令()0f x =,得0x =或230x x a -+=,当94a <时,由230x x a -+=,解得132x =232x =令()0f x '=,得23(1)30x a -+-=,当3a <时,由23(1)30x a -+-=,解得31x =41x =+1)当3a ≥时,()y g x =的单调增区间为(0,)+∞；2)当934a <≤时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞；3)当904a <<时,()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞．例4,(2018某某期末) 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1,2]上单调递增,则实数a 的取值X 围是________．【答案】 (－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析由于条件中函数的解析式比较复杂,可以先通过代数变形,将其化为熟悉的形式,进而利用导数研究函数的性质及图像,再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|.令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a,则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)．令g ′(x)＝0得x 1＝－1,x 2＝2a －13.①当2a －13<－1,即a<－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<2a －13或x>－1；令g ′(x)<0,解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13,(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,a),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1,满足条件,故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1,即a ＝－1时,f(x)＝|(x ＋1)3|,函数f(x)图像如图2,则f(x)的单调增区间是(－1,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),满足条件,故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1,即a>－1时,令g ′(x)>0,即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0,解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0,解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞,单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0,所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13,(a,＋∞),单调减区间是(－∞,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ,要使f(x)在[－1,2]上单调递增,必须满足2≤2a －13,即a ≥72,又因为a>－1,故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上,实数a 的取值X 围是(－∞,－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.,图3)例5,(2018某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ，x ≥0，其中常数a ∈R .(1) 当a ＝2时,求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0,＋∞)上有实数解,某某数a 的取值X 围；规X 解答 (1) 当a ＝2时,f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ，x ≥0.①当x<0时,f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立,所以f(x)在(－∞,0)上递减；(2分)②当x ≥0时,f ′(x)＝e x －2,可得f(x)在[0,ln 2]上递减,在[ln 2,＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0,所以f(x)的单调递减区间是(－∞,0)和[0,ln 2],单调递增区间是[ln 2,＋∞)．(5分)(2) 当x>0时,f(x)＝e x －ax,此时－x<0,f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2.所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0,＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2＋x ＋3x ,x ∈(0,＋∞),则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,且g(1)＝5,当x →＋∞时,g(x)→＋∞.(9分)所以g(x)的值域是[5,＋∞),即实数a 的取值X 围是[5,＋∞)．(10分)题型三三次函数的极值与最值问题①利用导数刻画函数的单调性,确定函数的极值；② 通过分类讨论,结合图象,实现函数的极值与零点问题的转化.函数,方程和不等式的综合题,常以研究函数的零点,方程的根,不等式的解集的形式出现,大多数情况下会用到等价转化,数形结合的数学思想解决问题,而这里的解法是通过严谨的等价转化,运用纯代数的手段来解决问题的,对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高,此题也可通过数形结合的思想来解决问题,可以一试.例6,(2018苏锡常镇调研)已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示)；② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在,试求出a 的值；若不存在,请说明理由；规X 解答 (1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-,令()0f x '=,解得3ax =或a x -=.由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->，,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<，,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>，,)(x f 单调递增,因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-. ② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<,即332715a a <->或.不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<,则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ①3222222()10f x x ax a x =+-+=, ②3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=,又1322x x x +=,所以23ax =-.所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件.例7,(2017⋅某某)已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域；(2)证明：33b a >；(3)若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-,求a 的取值X 围．解析(1)2'()32f x x ax b =++有零点,24120a b ∆=->,即23a b >,又''()620f x x a =+=,解得3a x =-,根据题意,()03a f -=,即3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,化简得2239b a a =+,又203a a b >⎧⎨>⎩,所以3a >,即223(3)9b a a a =+>；(2)设2433224591()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-=-+=--,而3a >,故()0g a >,即23b a >；(3)设12,x x 为()f x 的两个极值点,令'()0f x =得12122,33b ax x x x =+=-, 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3324242232()202732739a ab a a a a =-+=-++=．记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ,12()()0f x f x +=,2'()33a a f b -=-, 则221237()()()'()3392a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥, 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7(6)2S =-,故36a <≤．法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a af --中心对称,233232()1()()()1333327a a a ab a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+23()()()()3333a a a ax b x f =++-++-,所以()()2()0333a a a f x f x f --+-+=-=,所以12()()0f x f x +=,下同法一．例8,(2018某某学情调研)已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3,求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0,＋∞),f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立,求a 的取值X 围；(3) 若a ＞1,设函数f (x )在区间[1,2]上的最大值,最小值分别为M (a ),m (a ),记h (a )＝M (a )－m (a ),求h (a )的最小值．思路分析第(3)问,欲求函数f(x)在区间[1,2]上的最值M(a),m(a),可从函数f(x)在区间[1,2]上的单调性入手,由于f ′(x)＝6(x －1)(x －a),且a ＞1,故只需分为两大类：a ≥2,1＜a ＜2.当1＜a ＜2时,函数f(x)在区间[1,2]上先减后增,进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值,由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.规X 解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a,所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝6a,所以6a ＝3,所以a ＝12.(2分)(2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x对任意x ∈(0,＋∞)恒成立,所以－(a ＋1)≥2lnxx2.(4分)令g(x)＝2lnx x2,x ＞0,则g ′(x)＝2（1－2lnx ）x3.令g ′(x)＝0,解得x ＝ e.当x ∈(0,e)时,g ′(x)＞0,所以g(x)在(0,e)上单调递增；当x ∈(e,＋∞)时,g ′(x)＜0,所以g(x)在(e,＋∞)上单调递减．所以g(x)max ＝g(e)＝1e,(6分)所以－(a ＋1)≥1e ,即a ≤－1－1e,所以a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1－1e .(8分)(3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax,所以f ′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a),令f ′(x)＝0,则x ＝1或x ＝a.(10分)f(1)＝3a －1,f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝53.①当1＜a ≤53时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2),所以M(a)＝f(2)＝4,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0,所以h(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53上单调递减,所以当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53时,h(a)的最小值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(12分)②当53＜a ＜2时,当x ∈(1,a)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,a)上单调递减；当x ∈(a,2)时,f ′(x)＞0,所以f(x)在(a,2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2),所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1.因为h ′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2上单调递增,所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2时,h(a)＞h ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝827.(14分)③当a ≥2时,当x ∈(1,2)时,f ′(x)＜0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,所以M(a)＝f(1)＝3a －1,m(a)＝f(2)＝4,所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5,所以h(a)在[2,＋∞)上的最小值为h(2)＝1.综上,h(a)的最小值为827.(16分)二、达标训练1,(2017某某暑假测试) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，x3，－1≤x ≤1，)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则实数k 的取值X 围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【解析】思路分析方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数,因此,在同一个坐标系中作出它们的图像,由图像来观察它们的交点的个数．在同一个直角坐标系中,分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像,则函数f (x )max ＝f (1)＝1,设A (1,1),B (－1,0),函数y ＝k (x ＋1)过点B ,则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根,则0＜k ＜k AB ＝12.2,(2017苏北四市期末) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinx ，x ＜1，x3－9x2＋25x ＋a ，x ≥1，)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个不同的公共点,则实数a 的取值集合为________．【答案】 {－20,－16}【解析】当x ＜1时,f(x)＝sin x,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sinx ，y ＝x ，得x －sin x ＝0,令u(x)＝x －sin x(x ＜1),则u ′(x)＝1－cos x ≥0,所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数,且u(0)＝0,所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x＝0,这表明当x ＜1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点,从而当x ≥1时,函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时,f(x)＝x 3－9x 2＋25x ＋a,联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x3－9x2＋25x ＋a ，y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x,令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1),则h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)．令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4,列表如下：32数a ＝－20或a ＝－16.综上所述,实数a 的取值集合为{－20,－16}．3,(2019某某,某某二模)已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+0,3120,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1,且函数y ＝f(x)－g(x)的图像经过四个象限,则实数k 的取值X 围为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－9，13【解析】解法1 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋3|－（kx ＋1），x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2，x>0，若其图像经过四个象限．①当x>0时,y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2,当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第一象限和第四象限,则存在x>0,使y＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0,则k ＋12>x 2＋2x ,即k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0),h ′(x)＝2x －2x2＝2（x3－1）x2,当x>1时,h ′(x)>0,h(x)在(1,＋∞)上递增；当0<x<1时,h ′(x)<0,h(x)在(0,1)上递减,当x ＝1时取得极小值,也是最小值,h(x)min ＝h(1)＝3,所以k ＋12>3,即k>－9.②当x ≤0时,y ＝|x ＋3|－(kx ＋1),当x ＝0时,y ＝2>0,故它要经过第二象限和第三象限,则存在x<0,使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0,则k<|x ＋3|－1x,即k<⎝⎛⎭⎪⎫|x ＋3|－1x max .令φ(x)＝|x ＋3|－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ，－3<x<0，易知φ(x)在(－∞,－3]上单调递增,在(－3,0)上单调递减,当x ＝－3时取得极大值,也是最大值,φ(x)max ＝φ(－3)＝13,故k<13.综上,由①②得实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.解法2 可根据函数解析式画出函数图像,当x>0时,f(x)＝x 3－12x ＋3,f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2),可知f(x)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,＋∞)上单调递增,且 f(2)＝－13<0,当x ≤0时,f(x)＝|x ＋3|.g(x)＝kx ＋1恒过(0,1),若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限,由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞,0)和(0,＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3,0)和切点)．①当k>0时,在(0,＋∞)必有交点,在(－∞,0)区间内,需满足0<k<13.②当k<0时,在(－∞,0)必有交点,在(0,＋∞)内,只需求过定点(0,1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可,设切点为(x 0,x30－12x 0＋3),由k ＝3x20－12＝x30－12x 0＋3－1x 0,解得x 0＝1,切线斜率k ＝－9,所以k∈(－9,0)．③当k ＝0也符合题意．综上可知实数k 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－9，13.4,(2018苏中三市,苏北四市三调)已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤⎧⎪=⎨-+->⎪⎩，，，的图象恰好经过三个象限,则实数a 的取值X 围是 ▲ ．【答案】a ＜0或a ＞2【解析】当a ＜0时,10y ax x =-，≤的图象经过两个象限,3|2|0y x ax x =-+->在 (0,+∞)恒成立,所以图象仅在第一象限,所以a ＜0时显然满足题意；当a ≥0时,10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限,由题意 3|2|0y x ax x x =-+->，的图象需经过第一,二象限．【解法1】(图像法)3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公共点(且不相切)．如图,3|2|y x x =+-=332,022,2x xx x xx,设切点坐标为3000(,2)x x x ,231yx,则有32000231x x x x ,解得01x ,所以临界直线l 的斜率为2,所以a ＞2时,符合．综上,a ＜0或a ＞2．【解法2】(函数最值法)由三次函数的性质知,函数图象过第一象限,则存()g x 在0x,使得3|2|0,yxax x即2|2|x a xx 设函数22221,02|2|()21,2x x x x g x x xx x x,当02x,322222()2x g x xx x()g x 在(0,1)单调递减,在(1,2)单调递增,又2x时,函数为增函数,所以函数的最小值为2,所以a ＞2,则实数a 的取值X 围为a ＜0或a ＞2．5,(2019某某期末)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a,b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时,求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求b a的值；(3) 当a ＝0时,若f (x )<ln x 的解集为(m ,n ),且(m ,n )中有且仅有一个整数,某某数b 的取值X 围．解后反思在第(2)题中,也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外,由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点,可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开,得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4,所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t2＝0，－st2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时,f(x)＝x 3＋x 2－4,f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分)令f ′(x)>0,解得x>0或x<－23,所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23和(0,＋∞)．(4分)(2)法一：f ′(x)＝3ax 2＋2bx,令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝－2b3a,(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点,所以f(0)＝0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0.当f(0)＝0时,得a ＝0,不合题意,舍去；(8分)当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＝0时,代入得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2－4a ＝0,即－827⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3＋49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 3－4＝0,所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0,所以f(0)≠0,由f(x)＝0得,b a ＝4－x3x2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x2－x,h ′(x)＝－8x3－1,令h ′(x)＝0,得x ＝－2, 当x ∈(－∞,－2)时,h ′(x)<0,h(x)递减；当x ∈(－2,0)时,h ′(x)>0,h(x)递增,当x ∈(0,＋∞)时,h ′(x)>0,h(x)单调递增,当x>0时,h(x)的值域为R ,故不论b a取何值,方程b a＝4－x3x2＝4x2－x 恰有一个根－2,此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)(3)当a ＝0时,因为f (x )<ln x ,所以bx 2<ln x ,设g (x )＝ln x －bx 2,则g ′(x )＝1x－2bx ＝1－2bx2x(x >0),当b ≤0时,因为g ′(x )>0,所以g (x )在(0,＋∞)上递增,且g (1)＝－b ≥0,所以在(1,＋∞)上,g (x )＝ln x －bx 2≥0,不合题意；(11分)当b >0时,令g ′(x )＝1－2bx2x＝0,得x ＝12b,所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12b 递增,在⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ，＋∞递减, 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12b ＝ln12b －12,要使g (x )>0有解,首先要满足ln12b －12>0,解得b <12e. ①(13分)又因为g (1)＝－b <0,g (e 12)＝12－b e>0,要使f (x )<ln x 的解集(m ,n )中只有一个整数,则⎩⎪⎨⎪⎧g （2）>0，g （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln2－4b>0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b <ln24. ②(15分)设h (x )＝lnx x,则h ′(x )＝1－lnx x2,当x ∈(0,e)时,h ′(x )>0,h (x )递增；当x ∈(e,＋∞)时,h ′(x )<0,h (x )递减．所以h (x )max ＝h (e)＝1e>h (2)＝ln22,所以12e >ln24,所以由①和②得,ln39≤b ＜ln24.(16分)(注：用数形结合方法做只给2分)6,(2019某某,某某一模)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )．(1) 若函数f (x )在(0,1)上无极值点,求t 的取值X 围；(2) 求证：对任意实数t ,函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行；(3) 当t ＝3时,函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4,求满足此条件的平行线共有几组．规X 解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1,得f ′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0,得x ＝0,或x ＝23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t ≤0或23t ≥1,解得t ≤0或t ≥32.(4分)(2)令f ′(x)＝3x 2－2tx ＝p,即3x 2－2tx －p ＝0,Δ＝4t 2＋12p.当p ＞－t23时,Δ＞0,此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1,x 2.(8分)设这两条切线方程为分别为y ＝(3x21－2tx 1)x －2x31＋tx21＋1和y ＝(3x22－2tx 2)x －2x32＋tx22＋1.若两切线重合,则－2x31＋tx21＋1＝－2x32＋tx22＋1,即2(x21＋x 1x 2＋x22)＝t(x 1＋x 2),即2＝t(x 1＋x 2)．而x 1＋x 2＝2t 3,化简得x 1·x 2＝t29,此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4t29－4t29＝0,与x 1≠x 2矛盾,所以,这两条切线不重合．综上,对任意实数t,函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分)(3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1,f ′(x)＝3x 2－6x.由(2)知x 1＋x 2＝2时,两切线平行．设A(x 1,x31－3x21＋1),B(x 2,x32－3x22＋1),不妨设x 1＞x 2,则x 1＞1.过点A 的切线方程为y ＝(3x21－6x 1)x －2x31＋3x21＋1.(11分)所以,两条平行线间的距离 d ＝|2x32－2x31－3（x22－x21）|1＋9（x21－2x 1）2＝|（x2－x1）|1＋9（x21－2x 1）2＝4,化简得(x 1－1)6＝1＋92,(13分)令(x 1－1)2＝λ(λ＞0),则λ3－1＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2,即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0.显然λ＝1为一解,λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根,所以这样的λ有3解．因为x 1－1＞0,所以x 1有3解,所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分)7,(2018某某,某某一调)已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a,b ∈R )有极值,且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点,其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时,若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a ),证明：M (a )<－73.思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1,则g ′(－a －1)＝0且g ′(x)＝0有两个不等的实数解,解之得b 与a 的关系．(2) 求导得F ′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3),解方程F ′(x)＝0时,无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0,构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,证得h(x)>0,所以－a －1为极小值点,而且得出M(a),利用导数法证明即可．规X 解答 (1) 因为f ′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ,令f ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,f(x)取得极小值．(2分)因为g ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b,由题意可知g ′(－a －1)＝0,且Δ＝4a 2－12b>0,所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0,化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0,得a ≠－32.所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx),所以F ′(x)＝f ′(x)－g ′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3,则h ′(x)＝e x －3,令h ′(x)＝0,解得x ＝ln 3.列表如下：所以x ＝ln 3时,h(x)取得极小值,也是最小值,此时,h(ln 3)＝e ln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a＝3ln e23＋a>a>0.(10分)所以h(x)＝e x －3x ＋a ＋3≥h(ln 3)>0,令F ′(x)＝0,解得x ＝－a －1.列表如下：所以x ＝－a －1时,F(x)取得极小值,也是最小值．所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1,则t<－1,记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2,t<－1,则m ′(t)＝－e t ＋3t 2－2t,t<－1.因为－e －1<－e t <0,3t 2－2t>5,所以m ′(t)>0,所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －1－2<－13－2＝－73,即M(a)<－73.(16分)。

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图形与证明专题训练
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）
１、命题“互余的两个角一定是锐角”是＿＿＿＿命题（填“真”或“假”
）。

２、命题：“相等的角是对顶角”的题设是＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿＿＿＿。

３、“等腰三角形的底角相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

４、用反证法证明：“直角三角形的两个锐角互余”时，应先假设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

５、在△ABC 中，a ＝3，b ＝4，c ＝5，则∠C ＝＿＿＿＿。

６、等腰三角形的两边长分别是 3cm 和 7cm ，则其周长为＿＿＿＿。

７、如图，已知AD ∥BC ，∠1＝∠2，且∠1＝50°，则∠B ＝＿＿＿＿。

８、在□ ABCD 中，∠A ＋∠C ＝200°，则∠B ＝＿＿＿＿。

９、矩形的面积为
48cm 2
，其中一边长为 6cm ，则对角线长为＿＿＿＿。

10、梯形中位线长 10，一对角线把它分成
2∶3，则梯形较长的底边为
＿＿＿＿。

11、如图，已知
AB ∥CD ，则∠α＝＿＿＿＿。

12、如图，已知∠1＝∠2，若再加一个条件就能使结论“
AB ·DE ＝
FE ·BC ”成立，则这个条件可以是＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、若∠1 和∠2 是同旁内角，是
∠1＝30°，则∠2 为（）
A 、30°
B 、150°
C 、30°或 150°
D 、无法确定
２、下列命题中，是其命题的有（
）
A 、两锐角之和是锐角
B 、钝角减去锐角得锐角
C 、钝角大于它的补角
D 、锐角小于它的余角
３、下列判断正确的是（
）
A 、对角线相等的四边形是矩形
B 、四边都相等的四边形是正方形
C 、对角线互相垂直的四边形是菱形
D 、对角线互相平分的四边形是平行四边形
４、直角三角形中，两条直角边长分别是
5 和 12，则斜边上的中线长是（
）
A 、26
B 、6.5
C 、8.5
D 、13 ５、一个菱形的两条对角线长分别是
6cm 、8cm ，则它的面积是（
）A 、48cm
2
B 、38cm
2
C 、24cm
2
D 、12cm
2
６、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为
8cm ，则它的高为（）
A 、4cm
B 、82cm
C 、42cm
D 、8cm
三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）
１、已知：AB ∥CD ，∠A ＝∠1，∠C ＝100°，求：∠2的度数。

（（
A
F
2 1 B
C D
E
（（
（
25°120°
αA B E
C
D
A D B
C
1
2 ）
）A
B
C
D E F 1 2 ）
）
２、如图，已知：EF 平分∠BEG ，GF 平分∠EGD ，且EF ⊥FG ，求证：AB ∥CD 。

３、已知：AB ∥CD ，BF ∥ED ，是AE ＝CF ，求证：△ABF ≌△CDE 。

４、求证：在一个三角形中，至多有两个内角大于 60°。

５、已知：□ ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，CF ⊥AD 于F ，求证：AF ＝CE 。

６、在矩形ABCD 中，F 是DC 边上一点，且
AB ＝AF ，BE ⊥AF 于E 。

求证：BE ＝AD 。

E
F
B
D
C
A G
┌
┘
A
F
D
C
E B
└
A
B
C
D F E
四、（10分）如图，DE 是□ ABCD 的∠ADC 的平分线，EF ∥AD ，
交DC 于F ，求证：四边形
AEFD 是菱形。

五、（12分）已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
①若AD ＝5，BC ＝11，梯形的高是 4，求梯形的周长。

②若AD ＝3，BC ＝7，BD ＝52，求证：AC ⊥BD 。

六、（12分）已知：□ ABCD 中，E 是对角线AC 上一点。

①在AC 上找出一点 F ，当满足条件＿＿＿＿时，△ABE ≌△CDF
②请加以证明。

C
A
E D F
B
D C
A
B
E
图形与证明专题训练答案：
一、1、真2、两个角相等这两个角是对顶角3、两个角相等的三角形是等腰三角形4、两个锐角之和不等于90°5、90°6、170cm 7、50°8、80°9、10cm 10、12 11、85°12、∠A＝∠F 二、
1、D
2、C
3、D
4、B
5、C
6、D
三、1、∵∠A＝∠1 ∴AB∥EF 又∵AB∥CD ∴EF∥CD ∴∠2＋∠C＝180°∴∠2＝80° 2、略
3、∵AB∥CD ∴∠A＝∠C ∵BF∥ED ∴∠BFA＝∠DEC 又∵AF＝CE ∴△ABF≌△CDE
4、已知：△ABC 求证：∠A、∠B、∠C中至多有两个角大于60°证明：设∠A＞60°，∠B＞60°，∠C ＞60°，则：∠A＋∠B＋∠C＞180°与内角和定理矛盾∴假设错误∴至多有两个角大于60°
5、证：△ABE≌△CDF 可得：BE＝DF ∴AF＝CE
6、证△ADF≌△BEA 可得：BE＝AD
四、共证□ ADFE，再证AD＝AE
五、解：①作AE⊥BC，DF⊥BC，则BE＝CF＝11－5
2
＝3 又∵AE＝4 ∴AB＝5 ∴周长＝26
②过D作DH∥AC交BC的延长线于H，则：在△BDH中，BD＝52，DH＝AC－52，BH＝7＋3＝10
由勾股定理逆定理可得AC⊥BD。

六、略。