2013广州调研数学理试题及答案含解析

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广州市2013届高三年级调研测试-数学(理科)答案详解

222N广州市2013届高三年级调研测试数学（理科）试题解析 2013-1-9一、选择题1. A分析：2i(23i)=2i3i2i332i，其对应的点为(3,2)，位于第一象限2. D分析：{0,1,2,3,4}A=，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A∴==∈=，{0,2,4}A B∴=3. B分析：22211log log2244f-⎛⎫===-⎪⎝⎭，()2112349f f f-⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析：当//a b时，有24(1)(1)0x x，解得3x=±；所以3//x a b=⇒，但//3a b x=，故“3x=”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将sin2y x=的图象向左平移6π个单位即得()y f x=的图象，即()sin2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x xππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析：三棱锥如图所示，3PM=，142PDCS∆=⨯=，12332PBC PAD S S ∆∆==⨯⨯=，14362PAB S ∆=⨯⨯= 7. B分析：方程22221x y a b表示焦点在x 轴且离心率小于3的椭圆时，有222232a b c a b e a a ⎧>⎪⎨-==<⎪⎩，即22224a b a b⎧>⎨<⎩，化简得2a b a b >⎧⎨<⎩，又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影8. C分析：由题意得()()(1)x a x x a x ，故不等式()2x a x a 化为()(1)2x a x a ，化简得2(1)220x a x a -+++，故原题等价于2(1)220x a x a -+++在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩ 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩，解得3a 或 37a <，综上可得7a二、填空题 9.28分析：方法一、（基本量法）由34512a a a 得11123412a d a d a d ，即13912a d += ，化简得134a d，故7117677(3)73282S a d a d方法二、等差数列中由173542a a a a a 可将34512a a a 化为173()122a a ，即178a a ，故1777()282a a S10.1分析：299183991C ()(1)C rr rr r rrax a x x，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a ，即38484a =，解得1a =11.e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x xx x''==+=+得0ln 1k x =+，故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故em =-503(1592009)503(59132013)=-+++++++++50315032013=-++ 12. 4分析：圆方程2224150x y x y +++-=化为标准式为22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =，由点到直线的距离公式得圆心到直线20x y -=的距离d ==，由右图所示，圆上到直线20x y -=413.3018 分析：由题意11cos112a π=⨯+=，222cos112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=，444cos152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos 152a π=⨯+=-，777cos112a π=⨯+=，888cos 192a π=⨯+=，…20091a =， 20102009a =-， 20111a =，20122013a =；以上共503行，输出的122012S a a a =+++3018=14.分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以P 是弦CD 中点，由相交弦定理知2PA PB PC =，即28PC =，故PC =分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d ==故圆C 截直线l 所得的弦长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1A sin =,解得A sin =4. …………… 3分 (2)解:∵a b <， ∴02A B π<<<. …………… 4分∴A cos ==…………… 5分∴228A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=, ∴23C A π=-. …………… 8分 ∴4223C A cos cos π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分442233A A cos cos sin sin ππ=+ …………… 10分1528=-⨯-⨯=-…………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为5011002=. ∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C 250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C 215+C 220+C 210+C 25=350. (6)分∴()3501225P M ==27. 答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， (8)分()0 Pξ==210225CC960=，()1Pξ==111510225C CC=12，()2Pξ==215225CC720=. (11)分∴ξ的分布列为：EMNDCBAPNAP…………… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是PB 的中点,∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ，P∵点M 是CD 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分 ∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,∴MN PE //. …………… 3分∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD . …………… 4分证法3：取AB 的中点E ，连接NE ME ,，∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，∴ME //面PAD . …………… 1分∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，∴NE //面PAD . …………… 2分 ∵MENE E =，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ，∴平面MEN//面PAD. …………… 3分∵MN 平面MEN，∴MN//面PAD. …………… 4分（2）解法1：∵NE PA //，PA 面ABCD ，∴NE面ABCD . …………… 5分∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥. …………… 6分过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ， ∵NEEF E =，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF . …………… 7分∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥. …………… 8分∴NFE ∠是二面角N AM B 的平面角. (9)分在Rt △NEM 中，5MN,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △MEA 中，32AE，得AM ==355AE ME EF AM . …………… 11分在Rt △NEF 中，5NF ==， …………… 12分 389cos 89EF NFE NF . …………… 13分∴二面角NAM B的余弦值为89. …………… 14分解法2：∵NE PA //，PA 面ABCD ，∴NE面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN ,3ME AD ==，得4NE ==， (5)分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴()004EN ,,=，3302AM ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分cos ,n EN ==n ENn EN. …………… 13分∴二面角N AM B . …………… 14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,， ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为==⋅ (9)S OA OB分=== (11)分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， (12)分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k =. …………… 2分∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC的面积为S OA OB ==⋅…………… 9分=…………… 10分≥…………… 11分2=. …………… 12分当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ① …………… 1分2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅=, …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅22n +=.…………… 4分∵0n A >,∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴n S =(41⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分解法2: 设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q ++=,即12n q +=. …………… 1分依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ (2)分()()212311n n b q++++++=⋅ (3)分()()122n n q ++= (4)分222n +=. (5)分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴n S =(41⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分∵()()()11111n nn n n ntan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N *. ……………11分∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. (14)分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”；设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数，不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=，故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分（2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-，所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分而121(21)n n x x n +-≤+， ∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分 ∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++-,……… 11分∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-. …………… 12分∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n+-≤-+-++-+-11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ (13)分14<. …………… 14分友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

【解析版】2013年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)

2013年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2013•广州二模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（）
•|=|||| +|=|丨（•）（••=||2
解：∵=||||cos|||||
|+||+||，只有当，
∵（是向量，其方向与向量相同，（）与向量
=||||cos0=
22
的距离为=0
3．（5分）（2013•广州二模）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，
根据根与系数的关系可得，解得
4．（5分）（2013•广州二模）已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f'（x）的图象可能是（）
．．D
5．（5分）（2013•广州二模）若函数的一个对称中心是，则
ω×）+，
解：∵函数的一个对称中心是
ω×++=k+
6．（5分）（2013•广州二模）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为．
．D
小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，，
截面的面积为
7．（5分）（2013•广州二模）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即
费用
=15+1.5n++=0.15n
年平均费用：=0.15n++1.652+1.65=2。

最新广东省广州市届高三年级调研测试理科数学试题详细解析

广东省广州市2013届高三年级调研测试理科数学试题详细解析广东省广州市2013届高三年级调研测试理科数学试题详细解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知«Skip Record If...»为虚数单位，则复数«Skip Record If...»对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合«Skip Record If...»，集合«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»3．已知函数«Skip Record If...», 则«Skip Record If...»的值是A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»4.设向量«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»，则“«Skip Record If...»”是“«Skip Record If...»//«Skip Record If...»”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数«Skip Record If...»的图象向右平移«Skip Record If...»单位后与函数«Skip Record If...»的图象重合，则«Skip Record If...»的解析式是A ．«Skip Record If...»«Skip Record If...»B ．«Skip Record If...»«Skip Record If...»C ．«Skip Record If...»«Skip Record If...»D ．«Skip Record If...»«Skip Record If...»6．已知四棱锥«Skip Record If...»的三视图如图1所示，则四棱锥«Skip Record If...»的四个侧面中面积最大的是A ．«Skip Record If...»B ．«Skip Record If...»C ．«Skip Record If...» D ．7．在区间«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别取一个数,记为«Skip Record If...»,则方程«Skip Record If...»表示焦点在«Skip Record If...»轴上且离心率小于«Skip Record If...»的椭圆的概率为A ．«Skip Record If...»B ．«Skip Record If...»C ．«Skip Record If...»D ．«Skip Record If...»8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意«Skip Record If...»，不等式«Skip Record If...»都成立，则实数«Skip Record If...»的取值范围是 A ．«Skip Record If...» B ．«Skip Record If...» C ．«Skip Record If...»D ．«Skip Record If...»二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）俯视图侧视图正视图433图19. 已知等差数列«Skip Record If...»的前«Skip Record If...»项和为«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为 . 10.若«Skip Record If...»的展开式的常数项为84，则«Skip Record If...»的值为 .11.若直线«Skip Record If...»是曲线«Skip Record If...»的切线，则实数«Skip Record If...»的值为 . 12.圆«Skip Record If...»上到直线«Skip Record If...»的距离为«Skip Record If...»的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出«Skip Record If...»的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的一条弦，点«Skip Record If...»为«Skip Record If...»上一点，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»交⊙«Skip Record If...»于«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的长是15．（坐标系与参数方程选讲选做题）图3P CBAO已知圆«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»为参数), 以原点为极点,«Skip Record If...»轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线«Skip Record If...»的极坐标方程为«Skip Record If...», 则直线«Skip Record If...»截圆«Skip Record If...»所得的弦长是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知«Skip Record If...»的内角«Skip Record If...»的对边分别是«Skip Record If...»,且«Skip Record If...».(1) 求«Skip Record If...»的值；(2) 求«Skip Record If...»的值.17.（本小题满分12分）某市«Skip Record If...»四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.（1）问«Skip Record If...»四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的«Skip Record If...»名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的«Skip Record If...»名学生中，从来自«Skip Record If...»两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用«Skip Record If...»表示抽得«Skip Record If...»中学的学生人数，求«Skip Record If...»的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥«Skip Record If...»，底面«Skip Record If...»是正方形，«Skip Record If...»面«Skip Record If...»，点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的中点，点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的中点,连接«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...».(1) 求证：«Skip Record If...»面«Skip Record If...»；（2）若«Skip Record If...»,«Skip Record If...»，求二面角«Skip Record If...»的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线«Skip Record If...»，直线物线«Skip Record If...»交于图4M NBCDAP«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»交于点«Skip Record If...».(1)求点«Skip Record If...»的轨迹方程；(2)求四边形«Skip Record If...»的面积的最小值.图520.（本小题满分14分）在数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»之间插入«Skip Record If...»个实数,使得这«Skip Record If...»个数构成递增的等比数列,将这«Skip Record If...»个数的乘积记为«Skip Record If...»,令«Skip Record If...»,«Skip Record If...»N«Skip Record If...».(1)求数列«Skip Record If...»的前«Skip Record If...»项和«Skip Record If...»；(2)求«Skip Record If...».21.（本小题满分14分）若函数«Skip Record If...»对任意的实数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，均有«Skip Record If...»，则称函数«Skip Record If...»是区间«Skip Record If...»上的“平缓函数”.222N(1) 判断«Skip Record If...»和«Skip Record If...»是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；(2) 若数列«Skip Record If...»对所有的正整数«Skip Record If...»都有«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»,求证：«Skip Record If...».【参考答案】1.A【解析】«Skip Record If...»，其对应的点为«Skip Record If...»，位于第一象限.2.D【解析】«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».3.B【解析】«Skip Record If...»，«Skip Record If...»4.A【解析】当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»；所以«Skip Record If...»，但«Skip RecordIf...»，故“«Skip Record If...»”是“«Skip RecordIf...»”的充分不必要条件5.B【解析】逆推法，将«Skip Record If...»的图象向左平移«Skip Record If...»个单位即得«Skip Record If...»的图象，即«Skip Record If...»6.C【解析】三棱锥如图所示，«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»7.B【解析】方程«Skip Record If...»表示焦点在«Skip Record If...»轴且离心率小于«Skip Record If...»的椭圆时，有«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，化简得«Skip Record If...»，又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»8.C【解析】由题意得«Skip Record If...»，故不等式«Skip Record If...»化为«Skip Record If...»，化简得«Skip Record If...»，故原题等价于«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上恒成立，由二次函数«Skip Record If...»图象，其对称轴为«Skip Record If...»，讨论得«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，解得«Skip RecordIf...»或«Skip Record If...»，综上可得«Skip Record If...»二、填空题9.«Skip Record If...»【解析】方法一、（基本量法）由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，化简得«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»方法二、等差数列中由«Skip Record If...»可将«Skip Record If...»化为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»10.«Skip Record If...»【解析】«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，得其常数项为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»11.«Skip Record If...»【解析】设切点为«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，故切线方程为«Skip Record If...»，整理得«Skip Record If...»，与«Skip Record If...»比较得«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»12.«Skip Record If...»【解析】圆方程«Skip Record If...»化为标准式为«Skip Record If...»，其圆心坐标«Skip Record If...»，半径«Skip Record If...»，由点到直线的距离公式得圆心到直线«Skip Record If...»的距离«Skip Record If...»，由图所示，圆上到直线«Skip Record If...»的距离为«Skip Record If...»的点有4个．13.«Skip Record If...»【解析】由题意«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…P OCB AD«Skip Record If...»， «Skip Record If...»， «Skip Record If...»， «Skip Record If...»；以上共«Skip Record If...»行，输出 «Skip Record If...»14.«Skip Record If...»如图，因为«Skip Record If...» ，所以«Skip Record If...»是弦«Skip Record If...»中点，由相交弦定理知«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，故«Skip Record If...».15.«Skip Record If...»圆«Skip Record If...»的参数方程化为平面直角坐标方程为«Skip Record If...»，直线«Skip Record If...»的极坐标方程化为平面直角坐标方程为«Skip Record If...»，如图所示，圆心到直线的距离«Skip Record If...»，故圆«Skip Record If...»截直线«Skip Record If...»所得的弦长为«Skip Record If...»三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）【解析】本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力.（1）解:∵«Skip Record If...»,依据正弦定理得:«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»,解得«Skip Record If...»«Skip Record If...».(2)解:∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»,∴«Skip Record If...»,«Skip Record If...».∵«Skip Record If...»,∴«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...». 17．（本小题满分12分）【解析】本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想.（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为«Skip Record If...».∴应从«Skip Record If...»四所中学抽取的学生人数分别为«Skip Record If...».（2）解：设“从参加问卷调查的«Skip Record If...»名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件«Skip Record If...»，从参加问卷调查的«Skip Record If...»名学生中随机抽取两名学生的取法共有C «Skip Record If...»«Skip Record If...»种，这两名学生来自同一所中学的取法共有C «Skip Record If...»C «Skip Record If...»C «Skip Record If...»C «Skip Record If...»«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»«Skip Record If...».答：从参加问卷调查的«Skip Record If...»名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为«Skip Record If...».(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的«Skip Record If...»名学生中，来自«Skip Record If...»两所中学的学生人数分别为«Skip Record If...».依题意得，«Skip Record If...»的可能取值为«Skip Record If...»，EMNDCBAP«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«SkipRecord If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»的分布列为：18．（本小题满分14分）【解析】本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法. （1）证法1：取«Skip Record If...»的中点«Skip Record If...»，连接«Skip Record If...»，∵点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的中点, ∴«Skip Record If...».∵点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的中点，底面«SkipRecord If...»是正方形， ∴«Skip Record If...».∴«Skip Record If...».∴四边形«Skip Record If...»是平行四边形. ∴«Skip Record If...».EMND CB AP∵«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»平面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»面«Skip Record If...».证法2：连接«Skip Record If...»并延长交«Skip Record If...»的延长线于点«Skip Record If...»，连接«Skip Record If...»，∵点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的中点，∴«Skip Record If...»,∴点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的中点.∵点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的中点,∴«Skip Record If...».∵«Skip Record If...»面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»面«Skip Record If...».证法3：取«Skip Record If...»的中点«Skip Record If...»，连接«SkipRecord If...»，∵点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的中点，点«SkipRecord If...»是«Skip Record If...»的中点,∴«Skip Record If...»，«Skip Record If...».∵«Skip Record If...»面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»面«Skip Record If...».FEMNDCBAP ∵«Skip Record If...»面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»面«Skip Record If...».∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»平面«Skip RecordIf...»，«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，∴平面«Skip Record If...»面«Skip Record If...». ∵«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»， ∴«Skip Record If...»面«Skip Record If...».（2）解法1：∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»面«Skip Record If...». ∵«Skip Record If...»面«Skip Record If...»， ∴«Skip Record If...».过«Skip Record If...»作«Skip Record If...»，垂足为«Skip Record If...»，连接«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»面«Skip Record If...»， ∴«Skip Record If...»面«Skip Record If...». ∵«Skip Record If...»面«Skip Record If...»， ∴«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»是二面角«Skip Record If...»的平面角.在«Skip Record If...»«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»,«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»«Skip Record If...»中，«Skip RecordIf...»，得«Skip Record If...»， «Skip Record If...».在Rt △«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»， «Skip Record If...».∴二面角«Skip Record If...»的余弦值为«Skip Record If...».解法2：∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»面«Skip Record If...».在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»,«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，以点«Skip Record If...»为原点，«Skip Record If...»所在直线为«Skip Record If...»轴，«Skip Record If...»所在直线为«Skip Record If...»轴，«Skip Record If...»所在直线为«Skip Record If...»轴，建立空间直角坐标系«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»，«Skip Record If...».设平面«Skip Record If...»的法向量为«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»， «Skip Record If...»，得«Skip Record If...»令«Skip Record If...»，得.If...»∴是平面«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»的一个法向量，又«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip«Skip Record If...».Record If...»∴二面角«Skip Record If...»的余弦值为.«Skip Record If...»19. （本小题满分14分）【解析】本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识.解法一:，（1）解：设«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»是线段«Skip Record If...»的中点.，①∴«Skip Record If...». ②«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»..∴«Skip Record If...»依题意知，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...». ③把②、③代入①得：«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».∴点«Skip Record If...»的轨迹方程为«Skip Record If...».(2)解：依题意得四边形«Skip Record If...»是矩形， ∴四边形«Skip Record If...»的面积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».∵«Skip Record If...»，当且仅当«Skip Record If...»时，等号成立，∴«Skip Record If...».∴四边形«Skip Record If...»的面积的最小值为«Skip Record If...».解法二:(1)解:依题意,知直线«Skip Record If...»的斜率存在,设直线«Skip Record If...»的斜率为«Skip Record If...»,由于«Skip Record If...»,则直线«Skip Record If...»的斜率为«Skip RecordIf...». 故直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»,直线«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...». 由«Skip Record If...»消去«Skip Record If...»,得«Skip Record If...».解得«Skip Record If...»或«Skip Record If...».∴点«Skip Record If...»的坐标为«Skip Record If...».同理得点«Skip Record If...»的坐标为«Skip Record If...».∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»是线段«Skip Record If...»的中点.设点«Skip Record If...»的坐标为«Skip Record If...», 则«Skip RecordIf...»,消去«Skip Record If...»,得«Skip Record If...».∴点«Skip Record If...»的轨迹方程为«Skip Record If...».(2)解：依题意得四边形«Skip Record If...»是矩形，∴四边形«Skip Record If...»的面积为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».当且仅当«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»时,等号成立.∴四边形«Skip Record If...»的面积的最小值为«Skip Record If...». 20. （本小题满分14分）【解析】本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前«Skip Record If...»项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力.(1)解法1:设«Skip Record If...»构成等比数列,其中«Skip Record If...»,依题意,«Skip Record If...», ①«Skip Record If...», ②由于«Skip Record If...»,①«Skip Record If...»②得«Skip Record If...».«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»,∴«Skip Record If...».,∵«Skip Record If...»是首项为«Skip Record If...»,公比为«Skip ∴数列«Skip Record If...»Record If...»的等比数列..∴«Skip Record If...»«Skip Record If...»解法2: 设«Skip Record If...»构成等比数列,其中«Skip Record If...»,公比为«Skip Record If...»,,即«Skip Record If...». 依题意,得则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».«Skip Record If...»«Skip Record If...»,∵«Skip Record If...»是首项为«Skip Record If...»,公比为«Skip ∴数列«Skip Record If...»Record If...»的等比数列..∴«Skip Record If...»«Skip Record If...»(3)解: 由(1)得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»21.(本小题满分14分)【解析】本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识.(1)解：«Skip Record If...»是R上的“平缓函数”，但«Skip RecordIf...»不是区间R的“平缓函数”；设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»是实数集R上的增函数，不妨设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，则«Skip Record If...». ①又«Skip Record If...»也是R上的增函数，则«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，②由①、②得«Skip Record If...».，对«Skip Record If...»都成立.因此,«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时，同理有成立«Skip Record If...»又当«Skip Record If...»时，不等式，«Skip Record If...»故对任意的实数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»R,均有«Skip.Record If...»因此«Skip Record If...»是R上的“平缓函数”.由于«Skip Record If...»，取«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»因此，«Skip Record If...»不是区间R的“平缓函数”. （2）证明:由（1）得：«Skip Record If...»是R上的“平缓函数”，则«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»,而«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...».∵«Skip Record If...»,∴«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...».。

2013广东高考数学(理科)试题及详解

2013广东高考数学（理科）试题及详解参考公式:台体的体积公式()1213VS S h =,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}2|20,Mx x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A .{}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N = {}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( A . 4B ．3 C ．2 D ．1【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A .()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 23P35 310110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143 C ．163D ．6【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V=⨯=,,故选B ． 6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ． 7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x -=B ．22145x y -=C ．22125x y -= D．2212x -= 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n = .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立正视图俯视图侧视图第5题图若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B；特殊值法,不妨令2,3,x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题) 9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.【解析】20；依题意12910a d +=,所以()5711133464a a a d a d a +=+++= 或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线. 【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为1 7 92 0 1 53 0第17题图2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若 6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆ ,所以AB BCCD DE =,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=. 18．（本小题满分14分）C D OBE'AH如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CDB '--的平面角的余弦值. 【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2A H '==所以cos OH A HO A H '∠==',所以二面角A CDB '--向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D - 所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ ,即3020y x y ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,5n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；.CO BDEA CDO B'A图1 图2(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< . 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF⋅的最小值.【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=结合0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =.(Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x ,所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --=所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解.所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,Px y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x =当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞.(Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k hk k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。

2013年高考真题理科数学(广东卷)试卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式11221()3V S S S S h =++，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合2{|20,}M x x x x =+=∈R ，2{|20,}N x x x x =-=∈R ，则M N =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-2. 定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A ．(2,4)B ．(2,4)-C ．(4,2)-D ．(4,2)4. 已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P35310 110则X 的数学期望()E X = 35图1 正视图俯视图侧视图2 2 1 11i n ≤是图2输出s 结束否输入n开始 1,1i s ==1i i =+(1)s s i =+-DACO E5. 某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是 A ．4 B ．143C ．错误！未找到引用源。

2013年广东高考数学理及答案(解析版)

⎛ ⎝
3 4 ⎛ 3π ⎞ ,θ ∈ ⎜ , 2π ⎟ ,所以 sin θ = − , 5 5 ⎝ 2 ⎠
24 7 2 2 , cos 2θ = cos θ − sin θ = − 25 25 π⎞ 7 ⎛ 24 ⎞ 17 ⎛ 所以 f ⎜ 2θ + ⎟ = cos 2θ − sin 2θ = − . −⎜− ⎟ = 3⎠ 25 ⎝ 25 ⎠ 25 ⎝
二、填空题：本题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 (9 ～13 题) (一)必做题必做题(9 (9～
9．不等式 x + x − 2 < 0 的解集为___________．【解析】 ( −2,1) ；易得不等式 x 2 + x − 2 < 0 的解集为 ( −2,1) . 10．若曲线 y = kx + ln x 在点 (1, k ) 处的切线平行于 x 轴,则 k = ______. 输入n
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解
:台体的体积公式 V = 参考公式参考公式:
积, h 表示台体的高.
1 下底面 S1 + S1S2 + S2 h ,其中 S1 , S2 分别是台体的上、 3
(
)
:本大题共 8 小题 ,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中 , 一、选择题选择题: 本大题共小题, 每小题在每小题给出的四个选项中, . 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.
z < x < y …③三个式子中恰有一个成立； z < w < x …④， w < x < z …⑤， x < z < w …⑥

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科) word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =++,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =U ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N =U {}2,0,2-,故选D ．2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4 B ．3 C ．2 D ．1 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2- D ．()4,2【解析】C ；2442iz i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ．4．已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310110则X 的数学期望EX = ( )A . 32B ．2C ．52 D ．3【解析】A ；33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) A . 4 B ．143C ．163D ．6 【解析】B ；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =⨯=,故选B ．6．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【解析】D ；ABC 是典型错误命题,选D ．正视图俯视图侧视图第5题图7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是( ) A . 214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -=D ．212x = 【解析】B ；依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ．8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =L .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( ) A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B .(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈【解析】B ；特殊值法,不妨令2,3,4x y z ===,1w =,则()(),,3,4,1y z w S =∈,()(),,2,3,1x y w S =∈,故选B ．如果利用直接法:因为(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈，所以x y z <<…①，y z x <<…②，z x y <<…③三个式子中恰有一个成立；z w x <<…④，w x z <<…⑤，x z w <<…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.综合上述四种情况，可得(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题) 9．不等式220x x +-<的解集为___________．【解析】()2,1-；易得不等式220x x +-<的解集为()2,1-.10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【解析】1-；求导得1y k x'=+,依题意10k +=,所以1k =-.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为【解析】7；第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____. 【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383220a a a a +=+=13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 5是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.【解析】6；画出可行域如图所示,其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1,取得最大值时的整点为()0,4,()1,3,()2,2,()3,1及()4,0共5个整点.故可确定516+=条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.【解析】sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；曲线C 的普通方程为222x y +=,其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=,对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=,即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若 6AB =,2ED =,则BC =_________.【解析】ABC CDE ∆∆:,所以AB BCCD DE=,又 BC CD =,所以212BC AB DE =⋅=,从而BC =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-,所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=-所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭.17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.CD OBE 'AH(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【解析】(Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.(Ⅲ) 设事件A :从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A =1148212C C C 1633=.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD === 连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD ==由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =I ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故OH =,从而A H '==所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD '-向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=u u u r ,(1,DA '=-u u u u r. C O BD E A C D OBE'A图1 图2设(),,n x y z =r为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u rr u u uu r ,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得y xz =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =-r 由(Ⅰ) 知,(OA '=u u u r为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'==='r u u u rr u u u r r u u u r ,即二面角A CD B '--.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L . 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n an n n=+-⨯=,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L .20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,0c >, 解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。

2013届广州市高三年级调研测试数学(理科)试题及参考答案详解

俯视图侧视图正视图图1广州市2013届高三年级调研测试数学（理科） 2013.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i )对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{ 3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 A ．9 B ．19 C ．9- D ．19- 4.设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-xC ．()f x =)62cos(π+xD ．()f x =)32cos(π+x6．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是A ．3 B．C ．6 D ．8 7．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x ya b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为图3A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 8．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是A ．17,⎡⎤-⎣⎦B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为 .10.若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为 . 11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 .12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .图2图4M NBCDAP三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值；(2) 求2C cos 的值.17.（本小题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线交于A B ,两点，OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uuu r+=，OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程；(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.20.（本小题满分14分）在数1和2之间插入n 个实数,使得这2n +的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N *.(1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅.21.（本小题满分14分）若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”. （苏元高考吧：）(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =, 求证： 1114n y y +-<.222N 2013届广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1. A分析：2i(23i)=2i3i2i 332i--=+=+，其对应的点为(3,2)，位于第一象限2. D分析：{0,1,2,3,4}A=，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A∴==∈=，{0,2,4}A B∴=3. B分析：22211log log2244f-⎛⎫===-⎪⎝⎭，()2112349f f f-⎛⎫⎛⎫=-==⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析：当//a b时，有24(1)(1)0x x?-+=，解得3x=±；所以3//x a b=⇒，但//3a b x=¿，故“3x=”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将sin2y x=的图象向左平移6π个单位即得()y f x=的图象，即()sin2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x xππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析：三棱锥如图所示，3PM=，142PDCS∆=⨯=，12332PBC PADS S∆∆==⨯⨯=，14362PABS∆=⨯⨯=7. B分析：方程22221x yab+=表示焦点在x轴且离心率小于222a bcea a⎧>⎪⎨==<⎪⎩，即22224a ba b⎧>⎨<⎩，化简得2a ba b>⎧⎨<⎩，又[1,5]a∈，[2,4]b∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影8. C分析：由题意得()()(1)x a xx a x -?--，故不等式()2x a x a -?…化为()(1)2x a x a --+…，化简得2(1)220x a x a -+++…，故原题等价于2(1)220x a x a -+++…在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得 122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩…… 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩…，解得3a … 或 37a <…，综上可得7a … 二、填空题 9.28分析：方法一、（基本量法）由34512a a a ++=得11123412a d a d a d +++++=，即13912a d += ，化简得134a d +=，故7117677(3)73282S a d a d ´=+=+=? 方法二、等差数列中由173542a a a a a +=+=可将34512a a a ++=化为173()122a a +=，即178a a +=，故1777()282a a S +== 10.1分析：299183991C ()(1)C rr rr r rr ax a x x---骣琪-=-琪桫，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a -=，即38484a =，解得1a =11.e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x xx x''==+=+得0ln 1k x =+，503(1592009)503(59132013)=-+++++++++50315032013=-++故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-，与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故e m =-12. 4分析：圆方程2224150x yx y +++-=化为标准式22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =，由点到直线的距离公式得圆心到直线2x y -的距离5d ==，由右图所示，圆上到直线20x y -=4个． 13.3018 分析：由题意11cos112a π=⨯+=，222cos112a π=⨯+=-，333cos 112a π=⨯+=，444cos 152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos152a π=⨯+=-，777cos 112a π=⨯+=，888cos 192a π=⨯+=， …20091a =， 20102009a =-， 20111a =，20122013a =；以上共503行，输出的122012S a a a =+++3018=分析：如图，因为PC OP ⊥ ，所以P 是弦CD 中点，由相交弦定理知2PA PB PC =，即28PC =，故PC =15.分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=，直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d == 故圆C 截直线l 所得的弦长为=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a bA Bsin sin =, …………… 1分即1A sin =,解得A sin =. …………… 3分 (2)解:∵a b<，∴02A B π<<<. …………… 4分∴4A cos ==. …………… 5分 ∴228A A A sin sin cos ==, …………… 6分 252128A A cos sin =-=. …………… 7分 ∵ABC π++=,∴23C Aπ=-. …………… 8分∴4223C Acos cosπ⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分442233A Acos cos sin sinππ=+…………… 10分152828=-⨯-⨯=-. …………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为501 1002=.∴应从,,,A B C D四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分（2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C215+C220+C210+C25=350. …………… 6分∴()350 1225P M==27.答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2，…………… 8分E MNDCBAPMNDCBAP()0P ξ==210225C C 960=， ()1P ξ==111510225C C C =12，()2P ξ==215225C C 720=. …………… 11分 ∴ξ的分布列为：…… 12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取PA 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是PB 的中点, ∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分 ∵点M 是CD 的中点，底面ABCD 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分 ∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形EDMN 是平行四边形.∴MN DE //. …………… 3分 ∵DE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN //面PAD . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交AD 的延长线于点E ，连接PE ， ∵点M 是CD 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分FEMNDCBAP∴点M 是BE 的中点. …………… 2分∵点N 是PB 的中点,∴MN PE //. …………… 3分 ∵PE ⊂面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN //面PAD . …………… 4分证法3：取AB 的中点E ，连接NE ME ,， ∵点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面PAD ，ME ⊄平面PAD ，∴ME //面PAD . …………… 1分 ∵PA ⊂面PAD ，NE ⊄平面PAD ，∴NE //面PAD . …………… 2分 ∵MENE E =，NE ⊂平面MEN ，ME ⊂平面MEN ， ∴平面MEN //面PAD . …………… 3分∵MN ⊂平面MEN ，∴MN //面PAD . …………… 4分（2）解法1：∵NE PA //，PA ^面ABCD ，∴NE ^面ABCD . …………… 5分 ∵AM ⊂面ABCD ，∴NE AM ⊥. …………… 6分过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接NF ， ∵NEEF E =，NE ⊂面NEF ，EF ⊂面NEF ，∴AM ⊥面NEF . …………… 7分∵NF ⊂面NEF ，∴AM NF ⊥. …………… 8分 ∴NFE ∠是二面角N AM B --的平面角. …………… 9分在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △MEA 中，32AE =，得2AM ==，AE ME EF AM ==g . …………… 11分在Rt △NEF 中，5NF ==， …………… 12分cos 89EF NFENF ?=. …………… 13分∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分解法2：∵NE PA //，PA ^面ABCD ， ∴NE ^面ABCD .在Rt △NEM 中，5MN =,3ME AD ==，得4NE ==，…………… 5分以点A 为原点，AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()004EN ,,=，3302AM ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面AMN 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅=，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，34z =. ∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AMN 的一个法向量. …………… 11分又()004EN ,,=是平面AMB 的一个法向量， …………… 12分cos ,n EN ==n EN nEN89. …………… 13分 ∴二面角N AM B --的余弦值为89. …………… 14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,， ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分 ∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分 ∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422y x +=，即()2112y x =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅…………… 9分===…………… 11分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， …………… 12分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-. …………… 1分故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=. 解得0x =或21x k=. …………… 2分 ∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分 ∵OA OB OC +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分设点M 的坐标为()x y ,,则221212k kx k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分 ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形AOBC 是矩形， ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅ ……………9分=…………… 10分≥…………… 11分 2=. …………… 12分当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立. …………… 13分 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ① …………… 1分2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅, ② …………… 2分由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅=, …………… 3分①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b b b b b ++++=⋅⋅⋅⋅22n +=.…………… 4分∵0n A >, ∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分解法2: 设1232n b b b b ,,,,+构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q++=,即12n q+=. …………… 1分依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ …………… 2分()()212311n n b q++++++=⋅ …………… 3分()()122n n q ++= …………… 4分222n +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =,的等比数列. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分 ∵()()()11111n nn n n n tan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N *. ……………11分 ∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. …………… 14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”；设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数，不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=，故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分（2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-，所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分而121(21)n n x x n +-≤+， ∴ 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++. …………… 10分∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++-,……… 11分∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-. …………… 12分∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n+-≤-+-++-+-11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………… 13分14<. …………… 14分。

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试卷类型：A广州市2013届高三年级调研测试数学（理科） 2013.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i)对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{3．已知函数()2030xx x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19C ．9-D ．19-4.设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()fx =)32cos(π-x B ．()fx =)62cos(π-xC ．()fx =)62cos(π+x D ．()fx =)32cos(π+x6．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图1所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是 A ．3 B ．25 C ．6 D ．87．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y ab+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为A ．12B ．1532C ．1732D ．31328．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是 A ．17,⎡⎤-⎣⎦ B ．(3,⎤-∞⎦ C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34512a a a ++=，则7S 的值为 .10.若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为 .11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为 . 12.圆2224150x y x y +++-=上到直线20x y -=的距离为5的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是P C BAO开始10i S ,==12i i a i cosπ=+iS S a =+2012i <输出S结束1i i =+图2是否 222俯视图侧视图正视图433图1215．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=,则直线l截圆C 所得的弦长是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值；(2) 求2C cos 的值. 17.（本小题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，PA ^面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点,连接AM ,AN MN ,. (1) 求证：MN //面PAD ；（2）若5MN =,3AD =，求二面角N AM B --的余弦值.中学 A B C D 人数30402010M NBCDAP19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点， OA OB ^，OA OB OC uu r uu u r uu u r+=，OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程；(2) 求四边形AOBC 的面积的最小值.图520.（本小题满分14分）在数1和2之间插入n 个实数,使得这2n +个数构成递增的等比数列,将这2n +个数的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N *.(1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅ .21.（本小题满分14分）若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =,求证： 1114n y y +-<.yxOMCBA广州市2013届高三年级调研测试数学（理科）试题解析 2013-1-9一、选择题1. A分析：，其对应的点为，位于第一象限2. D分析：，，3. B分析：，4. A分析：当时，有，解得；所以，但，故“”是“”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将的图象向左平移个单位即得的图象，即6. C分析：三棱锥如图所示，，，，7. B分析：方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，有，即，化简得，又，，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故8. C分析：由题意得，故不等式化为，化简得，故原题等价于在上恒成立，由二次函数图象，其对称轴为，讨论得或，解得或，综上可得二、填空题9.分析：方法一、（基本量法）由得，即，化简得，故方法二、等差数列中由可将化为，即，故10.分析：，令，得其常数项为，即，解得11.分析：设切点为，由得，故切线方程为，整理得，与比较得，解得，故12.分析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标，半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，由右图所示，圆上到直线的距离为的点有4个．13.分析：由题意，，，，，，，，…，，，；以上共503行，输出的14.分析：如图，因为，所以是弦中点，由相交弦定理知，即，故15.分析：圆的参数方程化为平面直角坐标方程为，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为，如右图所示，圆心到直线的距离，故圆截直线所得的弦长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解:∵,依据正弦定理得:, ……………1分即,解得. ……………3分(2)解:∵，∴. ……………4分∴. ……………5分∴, ……………6分. ……………7分∵,∴. ……………8分∴……………9分……………10分. ……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为.∴应从四所中学抽取的学生人数分别为. ……………4分（2）解：设“从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生的取法共有C种，…5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C C C C. ……………6分∴.答：从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为. ……………7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的名学生中，来自两所中学的学生人数分别为.依题意得，的可能取值为，……………8分，，.……………11分∴的分布列为：……………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）（1）证法1：取的中点，连接，∵点是的中点,∴. ……………1分∵点是的中点，底面是正方形，∴. ……………2分∴.∴四边形是平行四边形.∴. ……………3分∵平面，平面，∴面. ……………4分证法2：连接并延长交的延长线于点，连接，∵点是的中点，∴, ……………1分∴点是的中点. ……………2分∵点是的中点,∴. ……………3分∵面，平面，∴面. ……………4分证法3：取的中点，连接，∵点是的中点，点是的中点,∴，.∵面，平面，∴面. ……………1分∵面，平面，∴面. ……………2分∵，平面，平面，∴平面面. ……………3分∵平面，∴面. ……………4分（2）解法1：∵，面，∴面. ……………5分∵面，∴. ……………6分过作，垂足为，连接，∵，面，面，∴面. ……………7分∵面，∴. ……………8分∴是二面角的平面角. ……………9分在Rt△中，,，得，……………10分在Rt△中，，得，. ……………11分在Rt△中，，……………12分. ……………13分∴二面角的余弦值为. ……………14分解法2：∵，面，∴面.在Rt△中，,，得，……………5分以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，……………6分则.∴，，. ……………8分设平面的法向量为，由，，得令，得，.∴是平面的一个法向量. ……………11分又是平面的一个法向量，……………12分. ……………13分∴二面角的余弦值为. ……………14分19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）解法一:（1）解：设，∵，∴是线段的中点. …………… 2分∴，①…………… 3分. ②…………… 4分∵，∴.∴. …………… 5分依题意知，∴. ③…………… 6分把②、③代入①得：，即. …………… 7分∴点的轨迹方程为. …………… 8分 (2)解：依题意得四边形是矩形，∴四边形的面积为…………… 9分. …………… 11分∵，当且仅当时，等号成立，…………… 12分∴. …………… 13分∴四边形的面积的最小值为. ……………14分解法二:(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为,由于,则直线的斜率为. …………… 1分故直线的方程为,直线的方程为.由消去,得.解得或. …………… 2分∴点的坐标为. …………… 3分同理得点的坐标为. …………… 4分∵，∴是线段的中点. …………… 5分设点的坐标为,则…………… 6分消去,得. …………… 7分∴点的轨迹方程为. …………… 8分(2)解：依题意得四边形是矩形，∴四边形的面积为…………… 9分 (10)分…………… 11分. …………… 12分当且仅当,即时,等号成立. …………… 13分∴四边形的面积的最小值为. ……………14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）(1)解法1:设构成等比数列,其中,依题意,, ①……………1分, ②……………2分由于, ……………3分①②得.……………4分∵,∴. ……………5分∵, ……………6分∴数列是首项为,公比为的等比数列.……………7分∴. ……………8分解法2: 设构成等比数列,其中,公比为, 则,即. ……………1分依题意,得……………2分……………3分……………4分. ……………5分∵, ……………6分∴数列是首项为,公比为的等比数列.……………7分∴. ……………8分(2)解:由(1)得, ……………9分∵, ……………10分∴,N. ……………11分∴. ……………14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：是R上的“平缓函数”，但不是区间R的“平缓函数”；设，则,则是实数集R上的增函数，不妨设，则，即，则. ①……………1分又也是R上的增函数，则，即，②……………2分由①、②得.因此,，对都成立.……………3分当时，同理有成立又当时，不等式，故对任意的实数，R,均有.因此是R上的“平缓函数”.……………5分由于……………6分取，，则，……………7分因此，不是区间R的“平缓函数”.……………8分（2）证明:由（1）得：是R上的“平缓函数”，则，所以. ……………9分而，∴. ……………10分∵,………11分∴. ……………12分∴……………13分. ……………14分。