2016-2017学年高中数学人教A必修5章末综合测评2 Word版含解析

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，12，13，14，…B ．－1,2，－3,4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1, 2， 3，…，n【解析】 A 为递减数列，B 为摆动数列，D 为有穷数列．【答案】 C2．已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则公比q 等于( )A.12 B ．－1 C ．－2 D ．2【解析】 由已知，2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，所以q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，因为q ≠1，所以q ＝－1.【答案】 B3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }． 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2. ∴a n －1＝1·2n －1 ，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65.【答案】 B4．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．【答案】 C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【解析】 ∵S n ＝a n －1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．【答案】 C6．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190【解析】 设公差为d ，∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∵d ≠0，∴d ＝2，从而S 10＝100.【答案】 B7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．7【解析】 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3.【答案】 B8．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D.52【解析】 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52【解析】 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，∴a 101＝2＋12(101－1)＝52.【答案】 D10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：图1则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30【解析】 法一 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28.法二 由图可知第n 个三角形数为n (n ＋1)2，∴a 7＝7×82＝28.【答案】 B11．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12 D.12【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－12.【答案】 C12．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，∴a 11＋a 10>0.S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192·2a 10<0. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．【解析】 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.【答案】 10 00014．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________. 【导学号：05920082】【解析】 由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15.【答案】 1515．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．【解析】 设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 16．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.【解析】 设{a n }的公差为d ，则d ≠0.由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2，S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30.【答案】 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【解】 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n 2.18．(本小题满分12分)(2016·唐山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列．【解】(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)·S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)，②①－②得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2，∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2.∴S n＋2＝2(S n－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0.∴S n－1＋2≠0，∴S n＋2S n－1＋2＝2.即{S n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．19．(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知等差数列{a n}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以a n＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2得n ＝63，所以b 6与数列{a n }的第63项相等．20．(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. 【导学号：05920083】(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0， b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1， 3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n . 相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1(n≥2)，即a n＝2a n－1(n≥2)，所以q＝2.从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n＝2n.(2)由(1)得1a n＝12n，所以T n＝12＋122＋…＋12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝1－12n.由|T n－1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n－1<11 000，即2n>1 000.因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10.于是使|T n－1|<11 000成立的n的最小值为10.22．(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n(n＋1)2，记T n＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)n b n，求T n.【解】(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)由题意知b n＝a n(n＋1)2＝n(n＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时， T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n 2(4＋2n )2＝n (n ＋2)2， 当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝(n －1)(n ＋1)2－n (n ＋1)＝－(n ＋1)22. 所以T n ＝⎩⎨⎧ －(n ＋1)22，n 为奇数，n (n ＋2)2，n 为偶数.。