2.1曲线与方程(三个课时)

【变式与拓展】 1．已知两定点 A(－2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|＝2|PB|， 求证：动点 P 的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4.
证 明 ： (1) 设 点 P 的 坐 标 是 (x ， y) ， 由 |PA| ＝ 2|PB| ， 得 x＋22＋y2＝2 x－12＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4.
3 ，n 解：∵M(m， 2)，N 2 在曲线 C 上， ∴m2(m2－1)＝2×1， 1 3 － × 4 ＝n2(n2－1)， 4 即 m4－m2－2＝0,16n4－16n2＋3＝0. 1 3 解得 m＝± 2，n＝± 或 n＝± . 2 2
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
答案
D
2．下列选项中方程表示图中曲线的是 (
)．
解析 对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B， x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线； 对于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0. 答案 C
3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是 ( )． A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线 解析 由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x ＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表 示两条直线．故选C. 答案 C
(1)点在曲线上，点的坐标就 是曲线方程的解，满足方程 ，
代入后，对参数讨论求解． (2)注意所给曲线方程中两个变量的范围以防所求参数不 正确．
【变式与拓展】
2． 方程 x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是 C， 若点 M(m， 2) 与点
N 3 ， n 在曲线 C 上，求 m，n 的值． 2
2 2 2
有什么关系？
y
0
满足关系：
· ·
M
x
（1）、如果M ( x0 , y0 )是圆上的点，那么
M ( x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
的解，那么以它为
（2）、如果M ( x0 , y0 )是方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 坐标的点一定在圆上。
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
3x 2 y 0(1≤ x ≤ 5)
五、当堂训练，巩固深化
1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的 解”是正确的，则下列命题为真命题的是( )． A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y) ＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线 D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
(2)设点 M(x0， y0)的坐标满足方程 (x－2)2＋y2＝4， 即(x0－2)2
2 2 2 2 ＋y2 0＝4，则(x0＋2) ＋y0＝4[(x 0－1) ＋y0]．
∴ x0＋22＋y2 0＝2
x0－12＋y2 0，即|MA|＝2|MB|.
由(1)(2)可知，动点 P 的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4.
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
( x a ) ( y b) r
2 2
2
（2）、方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 表示如图的圆 图像上的点M与此方程 ( x a) ( y b) r
4．(创新拓展)已知曲线C的方程为x＝ 4 y 2 ， 说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围 成的图形的面积． 解 由x＝ 4 y 2 ，得x2＋y2＝4. 又x≥0，∴方程x＝ 4 y 2 表示的曲线是以原点 为圆心，2为半径的右半圆， 从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆， 1 其面积S＝ π·4＝2π. 2 所以所求图形的面积为2π.
解:(1)不正确，不具备完备性，应为x=3, (2)不正确,不具备纯粹性，应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,不具备完备性,应为x=0(-3≤y≤0).
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明： (1)如图，设M ( x0 , y0 ) 是轨迹上的任意一点， 因为点M与x轴的距离为y0 , 与y轴的距离为x0 , 所以 x0 y0 k ,即( x0 , y0 ) 是方程xy k的解。
为_______________________.
( x a) ( y b) r
2 2
2
为什么?
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线
l
点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
y
x=y（或x- y=0）方程

l
0
x-y=0
x
含有关系：
（1）
l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
练习4:设圆M的方程为( x 3) ( y 2) 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
2 2
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上 练习5:已知方程 mx ny 4 0 的曲线经过 4 4 点 A(1,2), B(2,1) ,则 m =_____, n =______.
题型探析
题型1 曲线与方程的概念 例1：证明圆心为坐标原点，半径等于 2 的圆的方程是
x2＋y2＝4， 并判断点 M1(1，－2)， M2(－ 3，1)是否在这个圆上．
思维突破：(1)点的坐标满足曲线方程;(2)点在曲线上．
自主解答：(1)设 M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点 M 到
2 2 2 原点的距离等于 2，所以 x2 0＋y0＝2，也就是 x0＋y0＝4，即
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程 为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
y kx b
x-y=0 直线方程是______________
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
(x0，y0)是方程的解．
2 (2)设(x0，y0)是方程 x2＋y2＝4 的解，那么 x2 0＋y0＝4，两边 2 开方取算术根，得 x2 0＋y0＝2，即点 M(x0，y0)到原点的距离等
于 2，点 M(x0，y0)是这个圆上的点． 由(1)(2)可知， x2＋y2＝4 是圆心为坐标原点， 半径等 2 的圆 的方程． 把点 M1(1，－2)的坐标代入方程 x2＋y2＝4，左右两边不相 等，所以点 M1 不在这个圆上； 把点 M2(－ 3，1)的坐标代入方程 x2＋y2＝4，左右两边相 等，所以点 M2 在这个圆上．
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1
y
y
x
-2 -1 0 1 2
x
⑴
⑵
⑶
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
①
Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1
x - y =0
② |x|-|y|=0
Y
③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X
A
B
C
D
2 2
5
5
课外练习: 1. “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) =0 的解” 是“方程 f ( x, y) =0 是曲线 C 的方程”的（C ）条 件. (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分也非必要 2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(4, 3) ， B(2, 1) ， C (5,7) ， 则 AB 边上的中线的方程为___________.
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程叫做曲线的方程; f(x,y)=0 这条曲线叫做方程的曲线足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
o y
M
x
(2)设点M1的坐标( x1 , y1 )是方程xy k的解， 即x1 y1 k ,即 x1 y1 k
而 x1 , y1 正是点M 1到纵轴、横轴的距离， 因此点M 1到两条直线的距离的积 是常数k , 点M 1是曲线上的点。
由(1), (2)可知，xy k是与两条坐标轴的距离 。 的积为常数k (k 0)的点的轨迹方程。
①表示 B
②表示 C
③表示 D
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部
题型2 曲线和方程关系的应用
例2：若曲线 y2－xy＋2x＋k＝0 过点(a，－a)(a∈R)，求 k
的取值范围．
思维突破： 点a，－a在曲线上 → a，－a适合方程 → 分离参数 k → 求值域，得 k 的范围
自主解答：∵曲线 y2－xy＋2x＋k＝0 过点(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0. ∴k＝－2a2－2a 1 a＋ 2 1 ＝－2 2 ＋ . 2 1 ∴k≤ . 2 1 －∞， ∴k 的取值范围是 2.