安边中学高二级导学案1.2.4曲线的两种方程的互化
精品导学案(收藏)： 曲线与方程
课题：曲线与方程考纲要求：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.教材复习1.曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下关系：()1曲线上的点的坐标都是这个方程的 ；()2以这个方程的解为坐标的点都是 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）.2.两曲线的交点设曲线1C 的方程为()1,0F x y =，曲线2C 的方程为()2,0F x y =，则曲线12,C C 的交点坐标即为方程组 的实数解，若此方程组无解，则两曲线12,C C . 3.求动点轨迹方程的一般步骤①建系：建立适当的坐标系；②设点：设轨迹上的任一点(),P x y ；③列式：列出动点P 所满足的关系式；④代换：依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为,x y 的方程式，并化简；⑤证明：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.4.求轨迹方程常用方法()1直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(),0F x y =；()2定义法：先根据定义得出动点的轨迹的类别，再由待定系数法求出动点的轨迹方程. ()3待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线的方程.先根据所求曲线类型设出相应曲线的方程，再由条件确定其待定系数；()4代入法（相关点法）：动点(),P x y 依赖于另一动点()00,Q x y 的变化而变化，并且()00,Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 带入已知曲线得要求的轨迹方程.()5参数法：当动点(),P x y 的坐标,x y 之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.5.对于中点弦问题，常用“点差法”：其步骤为：设点，代入，作差，整理. 基本知识方法1.掌握“方程与曲线”的充要关系；2.求轨迹方程的常用方法：轨迹法、定义法、代入法、参数法、待定系数法、直接法和交轨法、向量法. 要注意“查漏补缺，剔除多余”.典例分析：考点一 曲线与方程问题1．()1(06武汉调研)如果命题“坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上” 是不正确的，那么下列命题正确的是.A 坐标满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上；.B 曲线C 上的点不都满足方程(,)0f x y =；.C 坐标满足方程(,)0f x y =的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上；.D 至少有一个点不在曲线C 上，其坐标满足方程(,)0f x y =.()2如果曲线C 上的点满足方程(,)0f x y =，则以下说法正确的是：.A 曲线C 的方程是(,)0f x y =；.B 方程(,)0f x y =的曲线是C ；.C 坐标满足方程(,)0f x y =的点在曲线C 上；.D 坐标不满足方程(,)0f x y =的点不在曲线C 上；()3判断下列结论的正误，并说明理由：① 过点()3,0A 且垂直于x 轴的直线的方程为3x =；②到x 轴距离为2的点的直线的方程为2y =-；③到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为1xy =；④ABC △的顶点()0,3A -，()1,0B ，()1,0C -，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为0x =.()4作出方程y =所表示的曲线.()5（2011北京）曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数 2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积大于212a . 其中，所有正确结论的序号是考点二 直接法求轨迹方程问题2．（2011全国新课标）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A -，B 点在直线3y =- 上，M 点满足//MB OA uuu r uu r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）略.考点三 定义法求轨迹方程问题3．已知ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为,,a b c ，且a c b >> 成等差数列，2AB =，求顶点C 的轨迹方程.考点四 代入法（相关点法）求轨迹方程问题4．（2011陕西）如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且4||||5MD PD =． ()1当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；()2求过点()3,0且斜率为45的直线l 被C 所截线段的长度．课后作业：1.方程()()2222440x y -+-=表的图形是 .A 两个点.B 四个点.C 两条直线.D 四条直线2.设曲线C 是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么C 的方程是.A 0x y -=.B 0=.C ||||0x y -=.D ||y x =和||x y =3.已知221x y +=点(1,0)A ，ABC △内接于圆，且60BAC ∠=，当,B C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是.A 2212x y += .B 2214x y += .C 2211()22x y x +=< .D 2211()44x y x +=<4.若两直线50x y a ++=与0x y a --=交点在曲线2y x a =+上，则a =5.若曲线220y xy x k -++=通过点(,)()a a a R -∈，则k 的取值范围是6.画出方程()2240x y +-=所表示的图形：7.A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知||4BC =，A 到l 的距离为3，求ABC △的外心的轨迹方程.8.设x R ∈，求两直线1l ：60x my ++=与2l ：()2320m x y m -++=的交点P 的轨迹方程.9.已知抛物线24y px =()0p >，O 为顶点，,A B 为抛物线上的两动点，且OA OB ⊥，如果 OM AB ⊥于M ，求点M 的轨迹方程.走向高考：10.（01广东）设圆M 的方程为2)2()3(22=-+-y x ，直线l 的方程为03=-+y x 的点P 的坐标为)1,2(，那么.A 点P 在直线l 上，但不在圆M 上 .B 点P 在圆M 上，但不在直线l 上.C 点P 既在圆M 上，也在直线l 上， .D 点P 既不在圆M 上，也不在直线l 上11.(04辽宁)已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是 .A 圆 .B 椭圆 .C 双曲线 .D 抛物线12.(2012四川)如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2M B A M A B ∠=∠，设动点M 的轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）略.。
高中数学第2讲参数方程一曲线的参数方程第2课时参数方程和普通方程的互化a44a高二44数学
(1)一般地，将参数方程中的参数消去就会得到普通方程，常 采用消去法或代入法进行消参．
(2)普通方程化为参数方程 一般找出变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，如：x＝f(t)， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)， 那么xy＝ ＝fgtt， 就是所求的曲线的参数方程．
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课堂(kètáng)基础达标
即学即练 稳操胜券(wén cāo shèng quàn)
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1．(2019·天津市和平区模拟)圆心在点(1，－3)，周长为 4π 的圆的参数方程为( )
A．yx＝＝－1－3＋4co4ssiθn，θ (θ 为参数) B．yx＝＝－1－3＋2co2ssiθn，θ (θ 为参数) C．yx＝＝－1＋3＋4co4ssiθn，θ (θ 为参数) 1D2/12．/2021 yx＝＝－1＋3＋2co2ssiθn，θ (θ 为参数)
x＝ft， __y_＝__g_(_t)__，那么_____y_＝__g__t__就是曲线的参数方程．在参数方 程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的_取__值__范__围__(fà_n保wéi)持一致．
12/12/2021
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重点难点突破(tūpò)
解剖(jiěpōu)难点 探究提高
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解析：因为圆的周长为 4π，所以圆的半径为 2，又因为圆心 在点(1，－3)，所以所求圆的参数方程为yx＝＝－1＋3＋2co2ssiθn，θ (θ 为参 数)，故选 D．
答案：D
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2．(2019·宁夏石嘴山月考)参数方程xy＝ ＝1－t＋21，t (t 为参数)
双曲线及其标准方程导学案
双曲线及其标准方程导学案
一、要点阐述
1、双曲线的定义及焦点、焦距、
2、双曲线的标准方程及其特点；求简单的双曲线的标准方程
教学过程：一、自主学习
完成《学海导航》P29的一层练习
二、演示实验：用拉链画双曲线并与讲解，对答案。
根据所学完成下列所学定义M不图形同点标准方程焦点方程
MyF2OF1F2某F1某相a、b、c的关系同焦点位置的判断点
二、课前训练
1、写下列双曲线焦点的坐标。
某2y21（2）y2某21（3）4y29某236（1）42某2y21表示双曲线，则k的范围是2、若
k1k1
某2y23、若双曲线221的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线
ab的离心率是
某2y24、如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴
42的距离是某2y21上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是5.
已知点P在双曲线
169P到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是
_________
三、典型例题
9例1、已知双曲线的焦点在y轴上且双曲线上的两点P1（3，-42），P2（，5）
4求双曲线的标准方程？解：
某2y21有共同的焦点，且过P（15，4）例2、已知双曲线与椭圆，
求双曲
2736线的方程。
解：
例 3.双曲线的中心为原点O，焦点在某轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右
AB、OB成等焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已
知OA、差数列，且BF与FA同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：。
【导学案】参数方程导学案
二、曲线的参数方程导学案1、参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数② ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组②所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么方程②就叫做这条曲线的 ，联系变数y x ,的变数t 叫做 ，简称 。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 。
例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x （t 为参数）. (1)判断点)1,0(1M ，)4,5(2M 与曲线C 的位置关系；(2)已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值；(3)将参数方程化为普通方程，并判断曲线C 表示什么图形。
2、参数方程和普通方程的互化：（1）参数方程通过消元法消去参数化为普通方程例2 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）1)1x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数 （2）cos +sin ()1+sin 2x y θθθθ=⎧⎨=⎩为参数 练习：将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧==θθ2cos sin y x (θ为参数) （2）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2211t t y t t x （t 为参数） （2）普通方程化为参数方程需要引入参数练习：曲线y =x 2的一种参数方程是（ ）3、圆的参数方程圆心为原点半径为r 的圆的参数方程：2224sin A B C sin x t x t x t x y t y t y t y t ==⎧⎧=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨⎨⎨====⎪⎪⎩⎩⎩⎩、、、、圆心为),(b a 原点半径为r 的圆的参数方程:例3如图所示，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.例4 已知P （x,y ）圆C ：x 2+y 2－6x －4y+12=0上的点。
人教A版高中数学选修第二讲参数方程曲线的参数方程和与普通方程的互化课件
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是 不等价的.
小结
1、曲线的参数方程；
2、圆的参数方程； x =a+rcosθ y =b+rsinθ
(θ为参数)
3、曲线的参数方程与普通方程的互化：
普通方程
引入参数 消去参数
参数方程
第二讲 参 数 方 程
二、圆锥曲线的参数方程
y
g (t)
叫做曲线的参数方程 ，t为参数。
（2） 相对于参数方程来说，直接给出点的坐标关 系的方程叫做曲线的普通方程。
例1、已知曲线C的参数方程是xy32tt2
(t为参数） 1
（1）判断点M1(0， 1),M（ 2 5,4）与曲线C的位置关系；
（2）已知点M（ 3 6，a)在曲线上，求a的值。
练习 1 .化下列参数方程为普通 （ 1） x t 1
y 1 2 t
x sin t
(3
)
y
sin
2t
(
5
)
x
t
1 t
y 2
方程
x t
(2)
y
t2
(
4
)
x y
1 2 1 2
(e t (e t
e t) e t)
2、曲线y=x2的一种参数方程是（D）.
A 、 x y tt2 4
发生了变化因而与普通方程参数方程引入参数消去参数brsin为参数圆的参数方程sincossincos为参数5cos参数方程是的椭圆的中心在椭圆的参数方程
第二讲 参 数 方 程
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
（1）在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x 、y都是某个变数t的函数，即
河北省安平中学高中数学人教A版选修4-4教案：2.1.3参数方程与普通方程互化
课题：参数方程与普通方程互化教学目标: 1. 掌握参数方程化为普通方程几种基本方法2. 选取适当的参数化普通方程为参数方程教学重点：参数方程与普通方程的互化教学过程： 一、复习引入：椭圆12222=+by a x 参数方程是 二、建构数学：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（2）三角法：利用三角恒等式消去参数（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程 为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围， 确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。
三、典型例题例1.将下列参数方程化为普通方程，并指出它表示的曲线：（1）t t y t x (1253⎩⎨⎧+-=-=为参数)；（2）⎩⎨⎧==pty pt x 222 （t 为参数p ,为正常数)．例2.将下列参数方程化为普通方程，并指出它表示的曲线：（1）t t t b y t t a x ()1(2),1(2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=为参数，b a 、为正常数)；（2）)2,0[cos sin 2πθθθ∈⎩⎨⎧==y x例3.如图，已知直线过点),(000y x P ,且倾斜角为α,写出直线的普通方程，并选择适当的参数将它化为参数方程.例4.选择适当的参数，将圆的方程222)()(r b y a x =-+-化为参数方程。
变式训练：已知曲线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=bt y a t x θθsin cos b a ,(为常数） (1)若θ为参数，则此参数方程表示什么曲线?(2)若t 为参数，则此参数方程表示什么曲线?四、小结：常见曲线的参数方程（1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程 （t 为参数）（2）圆222r y x =+参数方程是 θ为参数）（3）圆222)()(r b y a x =-+-参数方程是： （θ为参数）（4）椭圆12222=+by a x 参数方程是 （θ为参数） （5）椭圆12222=+bx a y 参数方程是 （θ为参数） （6）双曲线12222=-b y a x 参数方程 ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数） （7）抛物线px y 22=参数方程⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数）审核人：。
高中高二数学教案曲线和方程
高中高二数学教案：曲线和方程1. 引言高中数学中，曲线和方程是一门重要的基础课程，需要在高二阶段进行系统学习。
学生在学习过程中，需要掌握如何利用各种不同的方程式，来求解数学问题。
本文将介绍高中高二数学教案中，曲线和方程的相关知识。
2. 曲线的概念在高中数学中，曲线是一个非常重要的概念。
它是指在平面直角坐标系中的图形，可以是由数学函数表达的折线或曲线，也可以是由多个点的连线形成的图形。
曲线在数学中有着广泛的应用，例如用于工程计算、物理学、统计学等领域。
3. 方程的概念方程是在数学中非常常见的概念，它是包含了一个或多个变量的等式。
我们可以利用方程来求解各种数学问题，例如在平面直角坐标系中，可以利用方程来表示一个图形的几何特征。
在高中数学中，方程的学习是非常重要的一环，学生需要掌握各种不同类型的方程式，并且清楚它们的求解方法。
4. 曲线和方程的关系在数学中，对于同一个曲线来说，可以有多种不同的方程式来表示。
例如对于直线 y = 3x + 5 来说，它可以看作是关于 x 和 y 的一次方程，而当我们观察这条直线的斜率和截距时，它们又可以转化为更简单的表达形式。
因此，学生需要掌握如何通过曲线的特征，来构造出对应的方程式。
5. 一元二次方程在高中数学中，我们需要学习一元二次方程。
它是被广泛利用的一个方程式，可以应用在多个领域中，例如物理、工程、经济等。
学生需要掌握一元二次方程的求解方法，并且理解它产生的原因和应用。
6. 一元二次方程根的求法在学习一元二次方程时，学生需要掌握如何求解方程的两个根。
有多种不同的求解方法，例如公式法、配方法、图像法等，学生需要理解它们的原理和优缺点。
对于不同类型的二次方程，可能需要采用不同的求解方法，因此学生需要进行分类讨论和实践练习。
7. 一元二次方程的应用在高中数学教学中，很多问题可以利用一元二次方程进行求解。
例如在物理学中，我们可以利用抛物线运动的轨迹，来求解各种物理问题。
高中数学北师大版选修4-4+2.4曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化教案
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
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太阳每天都是新的，你是否每天都在努力？
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安边中学 高二 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 课时
备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间 2周
集体备课
一、课题：1.2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
二、学习目标
1.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．
2.通过学习掌握两种方程互化的一般方法
重难点：掌握两种方程的互化
三、教学过程
【自主预习】
1.点的直角坐标与极坐标互化关系如下：
(1)点M的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式： x＝ ，y＝ ；
(2)点M的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式： ρ2＝ ，tanθ＝ x≠0.
【做一做2－1】极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( )．
A．余弦曲线 B．两条相交直线
C．一条射线 D．两条射线
【做一做2－2】直角坐标方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为__________．
【做一做3】把极坐标方程ρ＝42－cos θ化为直角坐标方程．
2.将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程的基本步骤：
1.将方程转化成含cos,sin,2的式子；
2.将cos,sin,2分别换成xyyx,,22;
3.整理、化简。
【合作探究】
一、极坐标方程化为直角坐标方程
（1）cos5； （2）03sin5cos2；
（3）0sincot6 （4）cos216 （5）52sin42
太阳每天都是新的，你是否每天都在努力？
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二、直角坐标方程化为极坐标方程
（1）5x （2）axy （3）0222yyx
（4）192522yx （5）xy82 （6）222ayx
【检测训练】
1.【2012高考安徽理13】在极坐标系中，圆4sin的圆心到直线()6R的距
离是_____
2. 【2012高考陕西理15】（坐标系与参数方程）直线2cos1与圆2cos相交的
弦长为
3. 【2012高考江西理15】曲线C的直角坐标方程为x2＋y2-2x=0，以原点为极点，x轴的
正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________
反
思
栏