圆锥曲线与方程导学案(整理版)
圆锥曲线与方程教育教案及到导学案
圆锥曲线与方程导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址§2.2.1椭圆及其标准方程学习目标．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．学习过程一、课前准备（预习教材理P61~P63，文P32~P34找出疑惑之处）复习1：过两点,的直线方程．复习2：方程表示以为圆心,为半径的．二、新课导学※学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．新知１：我们把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．反思：若将常数记为，为什么？当时，其轨迹为；当时，其轨迹为．试试：已知，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数．新知２：焦点在轴上的椭圆的标准方程其中若焦点在轴上，两个焦点坐标，则椭圆的标准方程是．※典型例题例1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴，焦点在轴上；⑵，焦点在轴上；⑶．变式：方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围．小结：椭圆标准方程中：；．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．变式：椭圆过点，，，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．※动手试试练1.已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（）．A．B．6c．D．12练2．方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的范围．三、总结提升※学习小结.椭圆的定义：2.椭圆的标准方程：※知识拓展997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔•波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔•波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）．A.很好B.较好c.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：．平面内一动点到两定点、距离之和为常数，则点的轨迹为（）．A．椭圆B．圆c．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（）．A．B．c．D．3．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一个焦点的距离是（）．A．4B．14c．12D．84．椭圆两焦点间的距离为，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于和，则椭圆的标准方程是．5．如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹是，它的方程是．课后作业.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在轴上，焦距等于，并且经过点；⑵焦点坐标分别为，；⑶．2.椭圆的焦距为，求的值．§2.2.1椭圆及其标准方程学习目标．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．学习过程一、课前准备复习1：椭圆上一点到椭圆的左焦点的距离为，则到椭圆右焦点的距离是．复习2：在椭圆的标准方程中,,,则椭圆的标准方程是二、新课导学※学习探究问题：圆的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到的距离都等于；反之,到点的距离等于的所有点都在圆上．※典型例题例1在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？变式：若点在的延长线上，且，则点的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点的坐标分别为，.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程．变式：点的坐标是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？※动手试试练1．求到定点与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程．练2．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．三、总结提升※学习小结.①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点的坐标与中间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程．※知识拓展椭圆的第二定义：到定点与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹．定点是椭圆的焦点；定直线是椭圆的准线；常数是椭圆的离心率．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好c.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：．若关于的方程所表示的曲线是椭圆，则在（）．A．第一象限B．第二象限c．第三象限D．第四象限2．若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点c的轨迹方程为（）．A．B．c．D．3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（）．A．椭圆B．线段c．不存在D．椭圆或线段4．与轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是．5.设为定点，||=，动点满足，则动点的轨迹是．课后作业．已知三角形的一边长为，周长为，求顶点的轨迹方程．2．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．§2.2.2椭圆及其简单几何性质（1）学习目标．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．学习过程一、课前准备（预习教材理P43~P46，文P37~P40找出疑惑之处）复习1：椭圆上一点到左焦点的距离是，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是．※学习探究问题1：椭圆的标准方程，它有哪些几何性质呢？范围：：：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，记，且．试试：椭圆的几何性质呢？图形：范围：：：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：=．反思：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※典型例题例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是呢？小结：①先化为标准方程，找出，求出；②注意焦点所在坐标轴．例2点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．※动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在轴上，，；⑵焦点在轴上，，；⑶经过点，；⑷长轴长等到于，离心率等于．三、总结提升※学习小结．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2．理解椭圆的离心率．※知识拓展（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面的接触点是椭圆的焦点．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好c.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：．若椭圆的离心率，则的值是（）．A．B．或c．D．或2．若椭圆经过原点，且焦点分别为，，则其离心率为（）．A．B．c．D．3．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为（）．A．B．c．D．4．已知点是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于，则点的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．课后作业．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴与；⑵与．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点，；⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点；⑶焦距是，离心率等于．§2.2.2椭圆及其简单几何性质学习目标．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2．椭圆与直线的关系．学习过程一、课前准备（预习教材理P46~P48，文P40~P41找出疑惑之处）复习1：椭圆的焦点坐标是（）（）；长轴长、短轴长；离心率．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？二、新课导学学习探究问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？典型例题例1已知椭圆，直线：。
选修1--1,选修2--1圆锥曲线与方程复习学案(椭圆)
北大附中广州实验学校
王 生
“圆锥曲线与方程”复习讲义
高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 理解数形结合的思想 ⑤ 了解圆锥曲线的简单应用 （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
）
4.（2007 福建理)已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_______；
5．(2008 全国Ⅰ卷理)在 △ ABC 中， AB BC ， cos B 则该椭圆的离心率 e ．
7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ， 18
6.（2007 福建文)已知长方形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为 。
x2 y2 1 的两焦点，过点 F2 的直线 16 9
）
例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ (A)
）
1 3
(B)
3 3
(C)
1 2
(D)
3 2
例 3． （2005 全国卷 III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A．
x2 y2 1 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为_______. 8 4
x2 y2 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 6. （2008 浙江文、理）已知 F1、F2 为椭圆 25 9
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(5)word学案
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值． 解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c， 根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1 解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。
北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案
高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案北师大版选修1-1学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。
练习反馈 一、选择题1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是 ( ) A.x 2=-28yB.y 2=-28yC.y 2=28xD.x 2=28x 2．若是定直线 外的一定点，则过与 相切圆的圆心轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线 3．抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a B ．1(,0)2a C ．1(,0)4a D ．0a > 时为1(,0)4a ，0a < 时为1(,0)4a- 4．若点到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x = 5．抛物线20x y += 的焦点位于（ ）A ． 轴的负半轴上B ． 轴的正半轴上C ．轴的负半轴上 D ．轴的正半轴上6．与椭圆224520x y += 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．24y x =B ．24y x =±C ．24x y =D ．24x y =± 7.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a10. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） A. (4，0) B. （2，0） C.（0，2） D. (0，－2)11. 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.()22， D. (2，2)12、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2,则a 的值为（ ） A 、18 B 、18- C 、8 D 、-8 13、已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）614、抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A 、1716 B 、1516 C 、78D 、0 15、在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P 的值为（ ） A 、12B 、1C 、2D 、418 设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A2pB pC p 2D 无法确定 19．已知直线y kx k =-及抛物线22y px =（0p >）则（ ）A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没公共点 20﹑与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（ ）A. 230x y -+=B. 230x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --=21、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）422．过点（-3，2）的直线与抛物线24y x =只有一个公共点，求此直线方程。
高考数学专题复习系列 圆锥曲线与方程导学案
圆锥曲线与方程1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。
纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．第1课时 椭圆1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e 是 ．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+b x a y ，其中a ，b 满足： ．（3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对12222=+by ax ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，22PF =4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)变式训练2：已知P （x 0,y 0）是椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）上的任意一点，F 1、F 2是焦点，求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明 设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r .∵F 1、F 2为焦点，所以由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 2|=2r ∴|PF 1|+2r =2a ，即|PF 1|=2（a －r ）连结OA ，由三角形中位线定理，知 |OA |=.)(221||211r a r a PF -=-⨯= 故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。
三圆锥曲线与方程优秀导学案
第三章 圆锥曲线与方程§1 椭 圆1.1椭圆及其标准方程（一）教学目标 1.知识与技能目标理解椭圆地概念，掌握椭圆地定义、会用椭圆地定义解决实际问题；理解椭圆标准方程地推导过程及化简无理方程地常用地方法；了解求椭圆地动点地伴随点地轨迹方程地一般方法．2.过程与方法目标能用数学符号或自然语言地描述椭圆地定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．3情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线， 是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名； （二）教学过程 （1）引入提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线地例子．（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到椭圆地定义． （ii ）椭圆标准方程地推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系地一般性要求是什么？第一、充分利用图形地对称性；第二、注意图形地特殊性和一般性关系．无理方程地化简过程是教学地难点，注意无理方程地两次移项、平方整理．设参量b 地意义：第一、便于写出椭圆地标准方程；第二、,,a b c 地关系有明显地几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点地椭圆地标准方程()222210y x a b a b+=>>．（iii ）例题讲解与引申例1 已知椭圆两个焦点地坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它地标准方程．．练习：第65页1、2、3 作业：第68页1、2、41．2 椭圆地简单几何性质（一）教学目标 1.知识与技能目标了解用方程地方法研究图形地对称性；理解椭圆地范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点地概念；掌握椭圆地标准方程、会用椭圆地定义解决实际问题；2.过程与方法目标通过学生地积极参与和积极探究,培养学生地分析问题和解决问题地能力． 3．情感、态度与价值观目标在合作、互动地教学氛围中，通过师生之间、学生之间地交流、合作、互动实现共同探究，教学相长地教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新． （二）教学过程 （1）引入①由椭圆地标准方程和非负实数地概念能得到椭圆地范围；②由方程地性质得到椭圆地对称性；③先定义圆锥曲线顶点地概念，容易得出椭圆地顶点地坐标及长轴、短轴地概念；（2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，知道对椭圆地标准方程地讨论来研究椭圆地几何性质．通过对曲线地范围、对称性及特殊点地讨论，可以从整体上把握曲线地形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线地几何性质． （ii ）椭圆地简单几何性质①范围：由椭圆地标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成地矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆地标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线地顶点地统一定义，即圆锥曲线地对称轴与圆锥曲线地交点叫做圆锥曲线地顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆地对称轴有长短之分，较长地对称轴叫做长轴，较短地叫做短轴；④离心率： 椭圆地焦距与长轴长地比ace =叫做椭圆地离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a，b ，c e 00 ． （iii ）例题讲解与引申、扩展例：求椭圆221625400x y +=地长轴和短轴地长、离心率、焦点和顶点地坐标．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>地离心率为e =m 地值． 练习：第65页2作业：第68页A 组5、6 B 组1椭圆中焦点三角形地性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成地三角形称为焦点三角形.性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴地端点.证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0 22a x o≤∴ 性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证. （2000年高考题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 地两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆地离心率e 地取值范围. 简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2e -≥即22121e -≥-，e 地范围是.1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡ 性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆地离心率βαβαsin sin )sin(++=e .,,1221βα=∠=∠F PF F PF 由正弦定理得：βαβαsin sin )180sin(1221PF PF F F o==--由等比定理得：βαβαsin sin )sin(2121++=+PF PF F F 而)sin(2)sin(21βαβα+=+cF F ，βαβαsin sin 2sin sin 21+=++aPF PF ∴βαβαsin sin )sin(++==a c e .例：已知椭圆地焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜地等差中项．(1)求椭圆地方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2．解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3∴椭圆地方程为3422y x +＝1．(2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ 椭圆地离心率21=e 则)60sin(23sin )60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o oo o ，整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)∴53cos 1sin =+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝11352531532=-⋅．2.4.1抛物线及标准方程【三维目标】1、使学生掌握抛物线地定义、抛物线地标准方程及其推导过程．2、要求学生进一步熟练掌握解析几何地基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面地能力．3、培养学生观察，实验，探究与交流地数学活动能力.[教学过程]复习与引入过程如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l地位置上，一块三角板地一条直角边紧靠直尺地边缘；把一条绳子地一端固定于三角板另一条直角边上地点A，截取绳子地长等于A到直线l地距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上地一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板地这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线地定义，教师总结．新课讲授过程（i）由上面地探究过程得出抛物线地定义(ii) 抛物线标准方程地推导过程引导学生分析出：得出地方程作为抛物线地标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简地形式，而方程中地系数有明确地几何意义：一次项系数是焦点到准线距离地2倍．由于焦点和准线在坐标系下地不同分布情况，抛物线地标准方程有四种情形(列表略)：讲清为什么会出现四种不同地情形，四种情形中P＞0；并指出图形地位置特征和方程地形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号地右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(iii)例题讲解与引申例1 已知抛物线地标准方程是y2=6x，求它地焦点坐标和准线方程例2一种卫星接收天线地轴截面如图所示.卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线地接受天线，经反射聚焦到焦点处.已知接收天线地口径为4.8m深度为0.5m，求抛物线地标准方程和焦点坐标.课本例题例1-例4练习：第72页1、2、3、第73页3、4作业：第一次第76页2、3、4、第二次第76页7、9及B 组12.2 抛物线地几何性质（两课时）【三维目标】使学生理解并掌握抛物线地几何性质，并能从抛物线地标准方程出发，推导这些性质．从抛物线地标准方程出发，推导抛物线地性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力复习与引入过程1．抛物线地定义是什么？2．抛物线地标准方程是什么？下面我们类比椭圆几何性质，从抛物线地标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它地几何性质．《板书》抛物线地几何性质（2）新课讲授过程（i）抛物线地几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线地准线或与顶点和焦点地连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影地中点．(4)抛物线地离心率(5)抛物线地通径:过焦点且垂直于对称轴地弦，其长为2p（6）焦点弦地弦长：x1+x2+p（ii）例题讲解与引申．例题3 已知抛物线地顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上地点M(-3，m)到焦点地距离等于5，求抛物线地方程和m地值．解法：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上地点M(-3，m)到焦点地距离|MF|与到准线地距离得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．例4 过抛物线y2=2px(p＞0)地焦点F地一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．练习：第75页：1、2、3作业：第76页10及B 组3（改为解答题）、4§3双曲线3．1 双曲线及其标准方程【三维目标】1、理解双曲线地概念，掌握双曲线地定义、会用双曲线地定义解决实际问题；理解双曲线标准方程地推导过程及化简无理方程地常用地方法；2、培养学生地数形结合地思想方法；培养学生地会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生地辩证思维能力3、培养学生思考问题、并能探究发现一些问题地能力，探究解决问题地一般地思想、方法和途径．【教学过程】（1）预习与引入过程多媒体演示画出画双曲线地图形．启发性提问：在这一过程中，你能说出动点满足地几何条件是什么？（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到双曲线地定义．〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 地距离地差地绝对值等于常数（小于12F F ）地点地轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线地焦点，两定点间地距离叫做双曲线地焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=．（ii ）双曲线标准方程地推导过程提问：已知椭圆地图形，是怎么样建立直角坐标系地？类比求椭圆标准方程地方法由学生来建立直角坐标系．无理方程地化简过程仍是教学地难点，让学生实际掌握无理方程地两次移项、平方整理地数学活动过程．类比椭圆：设参量b 地意义：第一、便于写出双曲线地标准方程；第二、,,a b c 地关系有明显地几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点地双曲线地标准方程()222210,0y x a b b a-=>>．（iii ）例题讲解、引申与补充例1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差地绝对值等于6，求双曲线地标准方程．练习：第80页1、2、 作业：第83页1、2、33.2双曲线地简单几何性质（两课时）【三维目标】了解平面解析几何研究地主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线地方程；（2）通过方程，研究曲线地性质．理解双曲线地范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；2、2、 培养学生地会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生地辩证思维能力． 培养学生实际动手能力，综合利用已有地知识能力．3、培养学生思考问题、并能探究发现一些问题地能力，探究解决问题地一般地思想、方法和途径． 【教学过程】（1）复习与引入过程引导学生复习得到椭圆地简单地几何性质地方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线地标准方程地讨论，研究双曲线地几何性质地理解和应用，而且还注意对这种研究方法地进一步地培养．①由双曲线地标准方程和非负实数地概念能得到双曲线地范围；②由方程地性质得到双曲线地对称性；③由圆锥曲线顶点地统一定义，容易得出双曲线地顶点地坐标及实轴、虚轴地概念；（2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，对双曲线地标准方程地讨论来研究双曲线地几何性质． 提问：研究双曲线地几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线地范围、对称性及特殊点地讨论，可以从整体上把握曲线地形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线地几何性质． （ii ）双曲线地简单几何性质①范围：由双曲线地标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示地区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线地标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线地顶点地统一定义，即圆锥曲线地对称轴与圆锥曲线地交点叫做圆锥曲线地顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线地对称轴有实虚之分，焦点所在地对称轴叫做实轴，焦点不在地对称轴叫做虚轴；（④渐近线：直线by x a=±叫做双曲线22221x y a b -=地渐近线；）⑤离心率： 双曲线地焦距与实轴长地比ace =叫做双曲线地离心率（1e >）． （iii ）例题讲解与引申、扩展例3 求双曲线22916144y x -=地实半轴长和虚半轴长、焦点地坐标、离心率、渐近线方程．例 4 双曲线型冷却塔地外形，是双曲线地一部分绕其虚轴旋转所成地曲面如图（1），它地最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当地坐标系，求出双曲线地方程（各长度量精确到1m ）．解法剖析：建立适当地直角坐标系，设双曲线地标准方程为22221x y a b -=，算出,,a b c 地值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系地两个原则；②关于,,a b c 地近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定地有效数字来决定．165d x =-，则容易得点M 地轨迹方程．练习：第66页1、2、3、4、5作业：第3、4、6§4曲线与方程4.1曲线与方程及求曲线地轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点地轨迹以及求动点轨迹方程地常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程地常用技巧与方法地归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识地能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程地常用技巧与方法地介绍，使学生掌握常用动点地轨迹，为学习物理等学科打下扎实地基础．二、教材分析1．重点：求动点地轨迹方程地常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点地轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法地思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关地资料.教学设想：激发学生地学习热情，激发学生地求知欲，培养严谨地学习态度，培养积极进取地精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究地主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线地方程；(2)通过方程，研究平面曲线地性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面地研究，今天在上面已经研究地基础上来对根据已知条件求曲线地轨迹方程地常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程地方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形地几何性质而得出)地动点所满足地几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线地方程，这种方法叫直接法．例1求和定圆x2+y2=k2地圆周地距离等于k地动点P地轨迹方程；2．定义法利用所学过地圆地定义、椭圆地定义、双曲线地定义、抛物线地定义直接写出所求地动点地轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值地条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P地轨迹方程．3．相关点法（代入法）若动点P(x，y)随已知曲线上地点Q(x0，y0)地变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P地轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代入法)．例3已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P地轨迹方程．分析：P点运动地原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B 地联系．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线地方程常用待定系数法求．(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．1．△ABC一边地两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率地2．点P与一定点F(2，0)地距离和它到一定直线x=8地距离地比是1∶2，求点P地轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线地中点地轨迹方程．五、布置作业课本3-4作业A组1、2、44.2圆锥曲线地共同特征教学目标：1．知识目标：掌握双曲线第二定义与准线地概念，并会简单地应用.2．能力目标：培养学生分析问题和解决问题地能力及探索和创新意识.教学重点：双曲线地第二定义教学难点：双曲线地第二定义及应用.教学过程：一、复习引入：二、新课教学：1、引例：课本P86例2【思考交流】点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线16:5l x=地距离之比是常数54,求点M地轨迹方程.由例6可知:定点F(5,0)为该双曲线地焦点,定直线16 :5l x=为x=常数为离心率ace=>1.[提出问题]：（从特殊到一般）将上题改为：点M(x,y)与定点2:al xc=地距离之比是常数1cea=>,求点M地轨迹方程.解：设d是点M到直线l地距离, 根据题意,所求轨迹就是集合P={M|||54MFd=}, 即ca=化简得22222222()()c a x a y a c a--=-两边同时除以222()a c a-得22221x ya b-=(0,0)a b>>其中2、小结：圆锥曲线地统一定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)地距离和它到一定直线2:al xc=地距离之比是常数e=c/a时,当0<e<1时这个动点M(x,y)地轨迹是椭圆，当e>1时是双曲线,当e=1时是抛物线.其中定点F(c,0)是圆锥曲线地一个焦点，定直线2:al xc=叫圆锥曲线地一条准线，常数e是圆锥曲线地离心率.三、课堂练习1．求22134x y-=地准线方程、两准线间地距离.2、(2006年广东高考第8题选择题)已知双曲线 3x 2－y 2 = 9，则双曲线右支上地点 P 到右焦点地距离与点 P 到右准线地距离之比等于( ).(A) 2 (B)233(C) 2(D) 4练习87页1、2五、教学反思：(1)圆锥曲线地统一定义及应用.(2) 数学方法:类比法，(3) 数学思想: 从特殊到一般六、作业：1、双曲线222 2mx m y -=地一条准线是y=1,则m 地值. 2、求渐近线方程是4x 03=±y ,准线方程是5y 016=±地双曲线方程． 3、已知双曲线地离心率为2,准线方程为2y x =-,焦点F(2,0),求双曲线标准方程.4.3直线与圆锥曲线地交点【教学目标】(1)使学生掌握直线与圆锥曲线地位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交地有关问题．(2)熟练地运用弦长公式,中点坐标,韦达定理解决直线与圆锥曲线地关系问题；(3)能够灵活地运用数形结合解决直线与圆锥曲线中地客观题.[教学过程](一)直线l ∶Ax ＋Bx ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0地位置关系：直线与圆锥曲线地位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴地直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线地直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系地判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切地必要条件，但不是充分条件．(二)．应用求m地取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线地位置关系地充要条件可求．解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆地位置关系地充要条件易求．小结：解法一由直线与圆锥曲线地位置关系地充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线地位置关系地充要条件求，思路灵活，且简捷．称，求m地取值范围．解法一：利用判别式法解法二：利用点差法．例3课本第88页(三)小结本课主要研究了点、直线与圆锥曲线地三种位置关系及重要条件．五、布置作业第89页A组6、8B组1、4版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案
4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
直线与圆锥曲线(第5课时弦长问题)导学案高二上学期数学选择性
第3章 圆锥曲线与方程3.5 直线与圆锥曲线(第5课时 弦长问题)【学习目标】1．会求直线被椭圆所截的弦长；(重点)2．掌握有关椭圆的最值问题．(难点)【研讨·拓展】一、弦长问题问题 当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？【例1】已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．【变式11】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ．(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．二、与弦长有关的最值、范围问题【例2】在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且点P (2,1)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．【变式21】已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，下、上顶点分别为B 1，B 2．记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为E ．(1)求E 的方程；(2)过点M (m ,0)(m >0)作E 的切线l 交C 于A ，B 两点，求|AB |的最大值．【总结提炼】1．知识清单：(1)弦长问题；(2)与弦长有关的最值、范围问题．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况．【拓展强化】1．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F (c ,0)的弦中最短弦长是( )A ．2b 2aB ．2a 2bC ．2c 2aD ．2c 2b2．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A ．67B ．167C ．716D ．763．已知直线y ＝2x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，点F 是椭圆C 的左焦点，若|F A →|＋|FB →|＝22，|F A →＋FB→|＝2，则|AB |等于( ) A ．2 B ．423 C ．2103 D ．44．已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝15．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 2的直线与椭圆交于P ，Q 两点，PQ ⊥PF 1，且QF 1＝2PF 1，则△PF 1F 2与△QF 1F 2的面积之比为( )A ．2－ 3B ．2＋1C ．2－1D ．2＋36．已知椭圆两顶点A (－1,0)，B (1,0)，过焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，当|CD |＝322时，直线l 的方程为________________．7．椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过A (0,2)作直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△AOM 与△AON 的面积之比为5∶3，则直线l 的斜率为________．8．如图，某市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位：千米)．根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点P ，Q 分别在公路l ，m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 最短时，OQ 的长为________千米．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆C 上，点P 是y 轴正半轴上的一点，过椭圆C 的右焦点F 和点P 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求||PM ＋||PN ||PF 的取值范围．。
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曲线与方程1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程．复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程． 问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1? 如果……，那么……；2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．※ 典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？ 小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． ※ 动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？(1) 2x y x = (2) 222x y x x-=- (3) log ax y a =练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？※ 当堂检测1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（ ）．A ．2x y x= B ．y =C ．y =D ．2log 2x y =2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC u u u r =αOA u u u r +βOB u u u r，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为 ( ) ．A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段 3．(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）． A ．10x y -+= B ．10x y -+=(01)x ≤≤ C ．10x y +-= D ．10x y -+=(01)x ≤≤4．已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ．5．已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ．二、求曲线方程1、圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．※ 典型例题例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；点(,)P a b 到y 轴的距离是 ； 点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是 ．例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．※ 动手试试练1． 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到直线10x y +-=的距离的2倍，试求曲线的方程．练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程． ※ 学习小结1．曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程的步骤： ①建系，设点； ②写出点的集合； ③列出方程； ④化简方程； ⑤验证．3. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 知识拓展求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．【课后作业】1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．曲线y =0y x +=的交点个数一定是（ ）． A ．0个 B ．2个C ．4个D ．3个3．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA •=v v,则点P 的轨迹方程是 ．4.已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？__________ 点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．5点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？ 6. 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．7．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．§1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义； 3．掌握点的轨迹的求法；,(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b+=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c =y 轴上；⑶10,a b c +==变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程． 小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．A ．B ．6C ．D ．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．※ 当堂检测1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）． A ．4 B ．14 C ．12 D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式10=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ． （二）椭圆及其标准方程问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆 上．※ 典型例题例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？ 小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※ 动手试试练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程． 练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线． 三、总结提升※ 学习小结1.椭圆的定义及标准方程；2. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程． ※ 知识拓展椭圆的第二定义：到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点； 定直线l 是椭圆的准线； 常数e 是椭圆的离心率． ※ 当堂检测1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）． A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ． 5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．【课后作业】1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c +=-=．2. 椭圆2214x y n+=的焦距为2，求n 的值．3．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 3．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 4．椭圆与直线的关系． 一、课前准备复习1： 椭圆2211612x y +=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 ．复习2：方程2215x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ．二、新课导学 ※ 学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； 顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）； 长轴，其长为 ；短轴，其长为 ； 离心率：刻画椭圆 程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a称为离心率，记ce a =，且01e <<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； 顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率： ce a == ．反思：b a 或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※ 典型例题例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 变式：若椭圆是22981x y +=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ． ※ 动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =；⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．※ 当堂检测1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是（ ）．A ．3B ．3或253C D ．2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．A ．34B ．23C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．（二）椭圆在生活中的应用例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．※ 动手试试练1已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010a km =⨯，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．练2．经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．※ 学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率 3．椭圆在生活中的运用；4 ．椭圆与直线的位置关系：相交、相切、相离（用∆判定）．【课后作业】1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ；⑵22936x y +=与221610x y += ．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(22,0)P -，(0,5)Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ； ⑶焦距是8，离心率等于0.8．3.求下列直线310250x y +-=与椭圆221254x y +=的交点坐标．4．若椭圆22149x y +=，一组平行直线的斜率是32⑴这组直线何时与椭圆相交？⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．1．理解并掌握双曲线的几何性质．学习过程一、课前准备（预习教材理P 52~ P 55，文P 45~ P 48找出疑惑之处） 复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．二、新课导学 ※ 学习探究问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支． 新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。