高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1曲线与方程课件
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圆锥曲线PPT优秀课件
F1
.
F0 A2 x
其中 a2 b2 c2 , a 0,b c 0 ， F0 , F1, F2 是对应的焦点。 B1
（1）若三角形 F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
A1 A
B1B
，求
b a
的取值范围；
解：（1）∵F0（c，0）F1（0， b2 c2 ），F2（0， b2 c2 ）
①；
∵点 P1, P2 在双曲线上，∴点 P1, P2 的坐标适合方程①。
将 (3, 4
2
),
(
9 4
,
5)
分别代入方程①中，得方程组：
(4 2)2 a2
32 b2
25 a2
(
9)2 4 b2
1
1
将
1 a2
和
1 b2
1
看着整体，解得
a2 1
1 16
1
，
b2 9
∴
a 2 b2
16 即双曲线的标准方程为 y2
9
16
x2 9
1。
点评：本题只要解得 a2 ,b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a,b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
(4) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线， 9 16
且过点 (3,2 3) 。
解析：（4）设所求双曲线方程为 x2 y 2 ( 0) ，
3 m
5 n
1
定义，还要知道椭 圆中一些几何要素
所以，椭圆方程为 y2 x2 1 ． 与椭圆方程间的关
10 6
系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为
.
F0 A2 x
其中 a2 b2 c2 , a 0,b c 0 ， F0 , F1, F2 是对应的焦点。 B1
（1）若三角形 F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
A1 A
B1B
，求
b a
的取值范围；
解：（1）∵F0（c，0）F1（0， b2 c2 ），F2（0， b2 c2 ）
①；
∵点 P1, P2 在双曲线上，∴点 P1, P2 的坐标适合方程①。
将 (3, 4
2
),
(
9 4
,
5)
分别代入方程①中，得方程组：
(4 2)2 a2
32 b2
25 a2
(
9)2 4 b2
1
1
将
1 a2
和
1 b2
1
看着整体，解得
a2 1
1 16
1
，
b2 9
∴
a 2 b2
16 即双曲线的标准方程为 y2
9
16
x2 9
1。
点评：本题只要解得 a2 ,b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a,b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
(4) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线， 9 16
且过点 (3,2 3) 。
解析：（4）设所求双曲线方程为 x2 y 2 ( 0) ，
3 m
5 n
1
定义，还要知道椭 圆中一些几何要素
所以，椭圆方程为 y2 x2 1 ． 与椭圆方程间的关
10 6
系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为
湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 椭圆的简单几何性质
∵a-c≤|PF1|≤a+c,∴a-c≤ 3 ≤a+c,结合 0<e<1,可得3≤e<1.
故选 A.
规律方法
方法
求椭圆离心率的取值范围的两种方法
解读
适合题型
利用椭圆的几何性质,如:设P(x0,y0)为椭圆
几何法
x2
a2
+
y2
=1
b2
(a>b>0)上一点,则|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c
题设条件有明
+
2
=1
4
2
D.
6
2
C.
6
+
2
=1
36
+
2
=1
4
答案 A
+ = 10,
= 6,
解析 由题意可得 2 = 4√5, 解得 = 4,
= 2√5,
2 = 2 - 2 ,
2
因此,椭圆的标准方程为
36
故选 A.
+
2
16
=1.
2
4.已知椭圆 2
2
长与椭圆
21
.
答案
1
2
-
解析 由题意知直线 AB 的方程为 + =1,即 bx-ay+ab=0.
左焦点的坐标为 F(-c,0),则
|- + |
√ 2 + 2
=
√7
,
∴√7(a-c)=√2 + 2 ,∴7(a-c)2=a2+b2=a2+a2-c2=2a2-c2,
即 5a2-14ac+8c2=0,
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程
2
2
+
4 =1(x≠±1)
4
为
3
,则动点P的轨迹方程
.
分析 设出点P的坐标,将已知条件转化为斜率之积求解.
解析 因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为(1,-1).
设点 P 的坐标为(x,y),易知
化简得 x +3y
2
故动点 P
2
-1 +1 1
x≠±1,由题意得+1 ·-1 =-3,
线上.
规律方法 判断点与曲线位置关系的方法
如果曲线C的方程是f(x,y)=0,点P的坐标为(x0,y0).
点与曲线的位置关系
点的坐标特征
点P(x0,y0)在曲线C:f(x,y)=0上
f(x0,y0)=0
点P(x0,y0)不在曲线C:f(x,y)=0上
f(x0,y0)≠0
变式训练1
已知直线l:x+y+3=0,曲线C:(x-1)2+(y+3)2=4,若P(1,-1),则点P与l,C的关系
如果采用直接法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个参
数t,以此量作为参数(如涉及旋转时,常用角度作为参数;涉及两直线互相垂
直时,常用斜率作为参数等),分别建立点P的横、纵坐标x,y与该参数t的函
数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的标准方程F(x,y)=0.
变式训练5
[提醒]轨迹与轨迹方程的区别:
轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,求轨迹不但要求出轨迹方程,而且还要
说明方程的形状.
变式训练3
已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程
2
+
4 =1(x≠±1)
4
为
3
,则动点P的轨迹方程
.
分析 设出点P的坐标,将已知条件转化为斜率之积求解.
解析 因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为(1,-1).
设点 P 的坐标为(x,y),易知
化简得 x +3y
2
故动点 P
2
-1 +1 1
x≠±1,由题意得+1 ·-1 =-3,
线上.
规律方法 判断点与曲线位置关系的方法
如果曲线C的方程是f(x,y)=0,点P的坐标为(x0,y0).
点与曲线的位置关系
点的坐标特征
点P(x0,y0)在曲线C:f(x,y)=0上
f(x0,y0)=0
点P(x0,y0)不在曲线C:f(x,y)=0上
f(x0,y0)≠0
变式训练1
已知直线l:x+y+3=0,曲线C:(x-1)2+(y+3)2=4,若P(1,-1),则点P与l,C的关系
如果采用直接法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个参
数t,以此量作为参数(如涉及旋转时,常用角度作为参数;涉及两直线互相垂
直时,常用斜率作为参数等),分别建立点P的横、纵坐标x,y与该参数t的函
数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的标准方程F(x,y)=0.
变式训练5
[提醒]轨迹与轨迹方程的区别:
轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,求轨迹不但要求出轨迹方程,而且还要
说明方程的形状.
变式训练3
已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程
2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.3双曲线的方程与性质的应用课件新人教A版
则以定点B(1,1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝3(x－1)， 即为y＝3x－2． 代入双曲线的方程可得6x2－12x＋7＝0， 由Δ＝122－4×6×7＝－24＜0，得所求直线不存在， 以定点B(1,1)为中点的弦不存在．
1．求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标， 再利用两点间距离公式求弦长．
2)，分别与两条渐近线
y＝
3 3x
和
y＝－
3 3x
联立，求得
M(3，
3)，
N32，－ 23，所以|MN|＝ 3－322＋ 3＋ 232＝3．
角度 2 求双曲线的离心率 已知椭圆 C：x92＋y32＝1，双曲线 E：x92－by22＝1(b＞0)的左、
右顶点分别为 A，B，M 为椭圆 C 的上顶点，直线 AM 与双曲线 E 的右支 交于点 P，且|PB|＝2 21，则双曲线的离心率为________．
【答案】
15 3
【解析】椭圆 C：x92＋y32＝1 的上顶点 M(0， 3)，双曲线 E 的左、右
顶点分别为 A(－3,0)，B(3,0)，
则直线 AM：y＝ 33x＋ 3，过点 P 作 PC 垂直于 x 轴于点 C，如图，
点 P 在直线 AM 上，
故设
Px0 PC＝ 33x0＋ 3，BC＝x0－3，
此时，直线 l 方程为 y＝± 3x＋1； 当 3－k2≠0，即 k≠± 3，要使直线 l 与双曲线 E 有且仅有一个公共 点， 则 Δ＝(－2k)2－4(3－k2)(－4)＝0，解得 k＝±2， 此时，直线 l 的方程为 y＝±2x＋1． 综上所述，直线 l 的方程为 y＝± 3x＋1 或 y＝±2x＋1．
直线与双曲线位置关系的判断 一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0． (1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ab时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直 线与双曲线 C 相交于一点．
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 培优课 直线与椭圆的位置关系
↓
作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开
↓
整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解
变式训练3
已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,
3
2
则该椭圆的离心率为
解析
2
设椭圆方程为 2
.
2
+ 2 =1(a>b>0),
直线x+2y-8=0与椭圆交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),因为P(4,2)为线段AB
2
2
2
1 2
x1+x2=- 5 ,x1x2=5(m -1).
所以|AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 =
2
4 2 4
2 -1)
(
25 5
2
=5
2(1 -2 )2 =
2[(1 + 2 )2 -41 2 ] =
10-82 .
所以当m=0时,|AB|最大,即被椭圆截得的弦最长,此时直线的方程为y=x.
21
由题意知 4
2
+ 12 =1= 42
+
1 -2
2
2 ,则
-
1 +2 1
· + =-4=kAB·kOM=,
= 1,
∵Δ=22+12=16>0,∴直线与椭圆相交.
1 2 3 4 5
2.直线 x+2y=m
A.2 2
2
与椭圆 +y2=1
4
B.± 2
只有一个交点,则实数 m 的值为( C )
C.±2 2
作差——两式相减,再用平方差公式把上式展开
↓
整理——转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解
变式训练3
已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,
3
2
则该椭圆的离心率为
解析
2
设椭圆方程为 2
.
2
+ 2 =1(a>b>0),
直线x+2y-8=0与椭圆交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),因为P(4,2)为线段AB
2
2
2
1 2
x1+x2=- 5 ,x1x2=5(m -1).
所以|AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 =
2
4 2 4
2 -1)
(
25 5
2
=5
2(1 -2 )2 =
2[(1 + 2 )2 -41 2 ] =
10-82 .
所以当m=0时,|AB|最大,即被椭圆截得的弦最长,此时直线的方程为y=x.
21
由题意知 4
2
+ 12 =1= 42
+
1 -2
2
2 ,则
-
1 +2 1
· + =-4=kAB·kOM=,
= 1,
∵Δ=22+12=16>0,∴直线与椭圆相交.
1 2 3 4 5
2.直线 x+2y=m
A.2 2
2
与椭圆 +y2=1
4
B.± 2
只有一个交点,则实数 m 的值为( C )
C.±2 2
2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选择性
2
探究点三 利用抛物线的定义解决轨迹问题
【例3】 已知动点M(x,y)满足5 (-1)2 + 2=|3x-4y+2|,则动点M的轨迹是
(
)
A.椭圆 B.双曲线
C.直线 D.抛物线
答案 D
2
解析 方程 5 (-1) +
2
(-1) +
2 表示点
2 =|3x-4y+2|可化为
2
(-1) +
规律方法 定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以
及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后
结合有关曲线的定义作出判定.
变式训练2
一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是
.
答案 y2=8
解析 设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和
离之和最小,最小值为|AF|= √5 .
图①
(2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等.
如图②所示,
过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物
线于点P1.
由题意知|P1Q|=|P1F|,
所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
图②
规律方法 求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有
面宽为 2√6 米.
本节要点归纳
2
1
p=6;
若抛物线的标准方程为 x =-2py(p>0),则由(-3) =-2p×(-1),解得
探究点三 利用抛物线的定义解决轨迹问题
【例3】 已知动点M(x,y)满足5 (-1)2 + 2=|3x-4y+2|,则动点M的轨迹是
(
)
A.椭圆 B.双曲线
C.直线 D.抛物线
答案 D
2
解析 方程 5 (-1) +
2
(-1) +
2 表示点
2 =|3x-4y+2|可化为
2
(-1) +
规律方法 定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以
及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后
结合有关曲线的定义作出判定.
变式训练2
一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是
.
答案 y2=8
解析 设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和
离之和最小,最小值为|AF|= √5 .
图①
(2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等.
如图②所示,
过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物
线于点P1.
由题意知|P1Q|=|P1F|,
所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
图②
规律方法 求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有
面宽为 2√6 米.
本节要点归纳
2
1
p=6;
若抛物线的标准方程为 x =-2py(p>0),则由(-3) =-2p×(-1),解得
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆的标准方程
变式训练1
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a+c=10,a-c=4;
(2)焦点在x轴上,焦距为4,且椭圆过点(0,2);
(3)经过(-2,0),( √2 ,-1)两点.
解 (1)∵a+c=10,a-c=4,
∴a=7,c=3,
∴b2=a2-c2=72-32=40.
2
∴所求椭圆的标准方程为
49
2
+ =1
40
2
或
49
2
+ =1.
40
(2)根据题意,要求椭圆的焦点在 x 轴上,焦距为 4,则 c=2.
又椭圆过点(0,2),∴b=2,则有 a =b +c
2
2
2
=8,故椭圆的标准方程为
8
2
(3)设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n),
4 = 1,
由
解得
2 + = 1,
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,
∴b2=a2-c2=25-9=16.
2
故动圆圆心的轨迹方程为
25
2
+ =1.
16
变式探究
本例题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程.
圆的条件是 m>n>0,其表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 n>m>0.
(2)若给出椭圆方程 Ax2+By2=C,则应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形
数学北师大选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 习题课1
A.1������62 + ���9���2=1 B.1������62 + ���1���22=1
C.���4���2 + ���3���2=1
D.���3���2
+
������2 4
=1
解析:因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
反思感悟解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即 将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式Δ的符号决定位置关系.同 时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐 标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.
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直线与椭圆的位置关系问题 【例2】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 思维点拨:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建 立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式, 通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.
圆方程
������2 ������2
+
������������22=1
(a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二
次方程,记该方程的判别式为Δ.那么:若Δ>0,则直线与椭圆相交;若
Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
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的方程．
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
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练课后演练提升
[强化拓展] (1)定义中两个条件是轨迹的性质的体现．条件“曲 线上点的坐标都是这个方程的解”，它的含义是曲 线上没有坐标不适合方程的点，也就是说曲线上 所有的点都适合这个条件而毫无例外，这通常称 之为轨迹的纯粹性；而条件“以这个方程的解为坐 标的点都在曲线上”，它的含义是符合条件的点都 在曲线上而毫无遗漏，这通常称之为轨迹的完备 性．二者缺一不可．
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
曲线与方程的概念问题 下列命题正确的是( ) A．方程y－x 2＝1 表示斜率为 1，在 y 轴截距为 2 的直线；
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
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练课后演练提升
B．△ABC三个顶点的坐标A(0,3)，B(－2,0)， C(2,0)；BC边上的中线方程为x＝0 C．到x轴距离等于5的点的轨迹方程是y＝5 D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点的充要条件 是m＝0
端挂起的缆线自然下垂近似成拋物线形．缆线两 端各离地面100 m，两端间的水平距离为400 m．现某人乘坐的空中客运缆车行走100 m处的 高度为70 m，那么，缆线的中点(即拋物线顶点) 最低处距地面的高度是多少呢？
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
[提示] 以缆线所在平面内地面上水平线为 x 轴，过 缆线中点的铅直线为 y 轴，建立直角坐标系，设缆线 中点高度为 h(m)，设缆线所在的拋物线方程为 x2＝ 2p(y－h)(－200≤x≤200)． 因为点 A(200,100)、B(100,70)在拋物线上，代入方程 得21000022＝ ＝22pp17000－－hh，， 解方程组，得 h＝60(m)．故 缆线中点(即拋物线顶点)最低处高度为 60 m.
数学 选修2-1
第三章 圆锥曲线与方程
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
方程的曲线与曲线的方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种 条件的点的集合或轨迹)上的点与一个__二__元__方__程___ 的实数解建立了如下的关系： (1)__曲__线__上__点__的__坐__标____都是这个方程的解； (2)__以__这__个__方__程__的__解__为__坐__标___的点都在曲线上． 那么这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线
[思路导引] 可从两个方面来判断，一方面以方程 的解为坐标的点是否都在曲线上，另一方面曲线 上点的坐标是否都是方程的解．
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第三章 圆锥曲线与方程
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[边听边记] 在A的方程中要求y≠2，因此漏掉 (0,2)；在B中BC边上的中线是线段x＝0(0≤y≤3)而 不是直线x＝0；在C中满足条件轨迹为y＝5或y＝ －5；对于D，当曲线过原点时，一定有m＝0，若 m＝0，则方程一定过原点，故选D. 答案： D
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(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲 线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0. (3)求曲线的方程的一般步骤 ①建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示 曲线上任意一点M的坐标； ②分析：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}； ③翻译：用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0； ④化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式； ⑤证明：说明以化简后的解为坐标的点都在曲线上．
数学
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4．已知线段 AB，|AB|＝2，动点 M 满足||MMAB||＝2，
建立适当的直角坐标系，求动点 M 所满足的方程． 解析： 以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为坐
标原点建立直角坐标系．
∴A(－1,0)，B(1,0)，设 M(x，y)，
∵||MMAB||＝2，∴ xx＋ －1122＋ ＋yy22＝2.
整理得 x2＋y2－130x＋1＝0.
∴动点 M 满足的方程为 x2＋y2－130x＋1＝0.
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1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A．y2＝x 与 y＝ x B．y＝lg x2 与 y＝2lg x C.xy＋－12＝1 与 lg(y＋1)＝lg(x－2) D．x2＋y2＝1 与|y|＝ 1－x2
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第三章 圆锥曲线与方程
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解析： 考察每一组曲线方程中x和y的取值范围， 不难发现A、B、C中各对曲线的x与y的取值范围不 一致，故选D. 答案： D
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2．方程x2＋xy－x＝0表示的曲线是( )
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第三章 圆锥曲线与方程
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
解析： 方程化为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－
1＝0，故方程表示两条直线．
答案： C
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3．到两个坐标轴距离相等的点所满足的方程是 ________． 解析： 设点的坐标为(x，y)，则|y|＝|x|. 答案： |y|＝|x|
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§4 曲线与方程 4．1 曲线与方程
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某森林公园修建连接东、西两座高山的索道，两
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[强化拓展] (1)定义中两个条件是轨迹的性质的体现．条件“曲 线上点的坐标都是这个方程的解”，它的含义是曲 线上没有坐标不适合方程的点，也就是说曲线上 所有的点都适合这个条件而毫无例外，这通常称 之为轨迹的纯粹性；而条件“以这个方程的解为坐 标的点都在曲线上”，它的含义是符合条件的点都 在曲线上而毫无遗漏，这通常称之为轨迹的完备 性．二者缺一不可．
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曲线与方程的概念问题 下列命题正确的是( ) A．方程y－x 2＝1 表示斜率为 1，在 y 轴截距为 2 的直线；
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B．△ABC三个顶点的坐标A(0,3)，B(－2,0)， C(2,0)；BC边上的中线方程为x＝0 C．到x轴距离等于5的点的轨迹方程是y＝5 D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点的充要条件 是m＝0
端挂起的缆线自然下垂近似成拋物线形．缆线两 端各离地面100 m，两端间的水平距离为400 m．现某人乘坐的空中客运缆车行走100 m处的 高度为70 m，那么，缆线的中点(即拋物线顶点) 最低处距地面的高度是多少呢？
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[提示] 以缆线所在平面内地面上水平线为 x 轴，过 缆线中点的铅直线为 y 轴，建立直角坐标系，设缆线 中点高度为 h(m)，设缆线所在的拋物线方程为 x2＝ 2p(y－h)(－200≤x≤200)． 因为点 A(200,100)、B(100,70)在拋物线上，代入方程 得21000022＝ ＝22pp17000－－hh，， 解方程组，得 h＝60(m)．故 缆线中点(即拋物线顶点)最低处高度为 60 m.
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方程的曲线与曲线的方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种 条件的点的集合或轨迹)上的点与一个__二__元__方__程___ 的实数解建立了如下的关系： (1)__曲__线__上__点__的__坐__标____都是这个方程的解； (2)__以__这__个__方__程__的__解__为__坐__标___的点都在曲线上． 那么这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线
[思路导引] 可从两个方面来判断，一方面以方程 的解为坐标的点是否都在曲线上，另一方面曲线 上点的坐标是否都是方程的解．
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[边听边记] 在A的方程中要求y≠2，因此漏掉 (0,2)；在B中BC边上的中线是线段x＝0(0≤y≤3)而 不是直线x＝0；在C中满足条件轨迹为y＝5或y＝ －5；对于D，当曲线过原点时，一定有m＝0，若 m＝0，则方程一定过原点，故选D. 答案： D
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(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲 线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0. (3)求曲线的方程的一般步骤 ①建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示 曲线上任意一点M的坐标； ②分析：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}； ③翻译：用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0； ④化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式； ⑤证明：说明以化简后的解为坐标的点都在曲线上．
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4．已知线段 AB，|AB|＝2，动点 M 满足||MMAB||＝2，
建立适当的直角坐标系，求动点 M 所满足的方程． 解析： 以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为坐
标原点建立直角坐标系．
∴A(－1,0)，B(1,0)，设 M(x，y)，
∵||MMAB||＝2，∴ xx＋ －1122＋ ＋yy22＝2.
整理得 x2＋y2－130x＋1＝0.
∴动点 M 满足的方程为 x2＋y2－130x＋1＝0.
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1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A．y2＝x 与 y＝ x B．y＝lg x2 与 y＝2lg x C.xy＋－12＝1 与 lg(y＋1)＝lg(x－2) D．x2＋y2＝1 与|y|＝ 1－x2
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解析： 考察每一组曲线方程中x和y的取值范围， 不难发现A、B、C中各对曲线的x与y的取值范围不 一致，故选D. 答案： D
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2．方程x2＋xy－x＝0表示的曲线是( )
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A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
解析： 方程化为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－
1＝0，故方程表示两条直线．
答案： C
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3．到两个坐标轴距离相等的点所满足的方程是 ________． 解析： 设点的坐标为(x，y)，则|y|＝|x|. 答案： |y|＝|x|
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§4 曲线与方程 4．1 曲线与方程
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某森林公园修建连接东、西两座高山的索道，两