高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件4 新人教A版选修1-1.ppt
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高中数学第2章圆锥曲线与方程211椭圆及其标准方程课件新人教A版选修1
解：设 P 点的坐标为(x，y)，M 点的坐标为(x0，y0)， ∵点 M 在椭圆上， ∴3x620 ＋y920＝1. ∵M 是线段 PP′的中点，
x0＝x， ∴y0＝2y，
代入3x620 ＋y920＝1，得3x62 ＋3y62 ＝1，
即 x2＋y2＝36. ∴P 点的轨迹方程为 x2＋y2＝36.
题型四 与椭圆有关的轨迹问题
平面内一动点到直线 x＝3 的距离与它到点 A(1,0)
的距离之比为 3，则动点的轨迹方程为( )
A.x32＋y22＝1
B．x32－y22＝1
C.x＋312＋y22＝1
D．x22＋y32＝1
【思路探索】 设动点坐标为(x，y)，利用条件建立 x，y
的关系式，可求出轨迹方程．
复习课件
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修 1
2021/4/17
高中数学第2章圆锥曲线与方程211椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修1
第二章 圆锥曲线与方程
2．1 椭 圆 2．1.1 椭圆及其标准方程
自主学习导航
梳理知识 夯实基础
目标导学
1．了解椭圆的实际背景、体验从具体情境中抽象出椭圆的 过程．
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
【解析】 若方程xm2＋2－y2m＝1 表示椭圆，
则m2－>0m，>0， m≠2－m，
∴0<m<1 或 1<m<2，
∴“0<m<2”是“方程xm2＋2－y2m＝1 表示椭圆”的必要不充分
条件，故选 C.
【答案】 C
[名 师 点 拨]
方程xm2＋yn2＝1
(2)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况求解，也可利用椭圆的一般方程求解．
《椭圆及其标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2课时)
PF1 PF2 16(2 3),
S
F1PF2
1 2
PF1
PF2 sin30 8 4
3.
巩固练习
例3:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的轨迹方程. 解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示的直角坐标系,则B､C两点的坐标分
别为(-4,0)､(4,0).
|PA|,由于圆P与圆C相内切, ∴|PC|=r-|PA|, 即|PA|+|PC|=r=6. 因此,动点P到两定点A(0,2)､C(0,-2)的距离之和为6, ∴P的轨迹是以A､C为焦点的椭圆,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,∴b2=5.
∴所求动圆圆心P的轨迹方程为 x2 y2 1. 59
巩固练习
例3.如图，已知点A（-5，0），B（5，0）.直线AM，BM交于点M,且它们的斜率之积是- 4/9，求 点M的轨迹方程.
y M
直译法
A
O
B
x
巩固练习
练习：已知x轴上一定点A 1, 0, Q为椭圆 x2 y2 1
4 上任一点, 求AQ的中点M的轨迹方程.
[解]设中点M的坐标为x, y,点Q的坐标为x0, y0 ,
人教版高中数学选修2-1
第2章 圆锥曲线与方程
2.2.1椭圆及其标准方程第二课时
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-1
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
课前导入
定义
图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件新人教B版选修11
焦距.
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于(děngyú)|F1F2|时,动点的轨迹是线段
F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
第三页，共18页。
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的
轨迹是(
)
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上答案(dá àn)都不正确
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
第十四页，共18页。
题型一
题型二
题型三
反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:
①不要忽略定义中的条件(tiáojiàn)2a>|F1F2|;
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
第七页，共18页。
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
2
2
+
2
2
2
0)可化为
2
+
=1,即
=1.
只有当 A,B,C 同号,且 A≠B 时,方程表示椭圆.当 > 时,椭圆的
焦点在 x
2
的标准方程为 2
+
2
2
= 1(a>b>0),焦点为 F1(0,-c),F2(0,c),
且 a,b,c 满足 a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于(děngyú)|F1F2|时,动点的轨迹是线段
F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
第三页，共18页。
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的
轨迹是(
)
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.以上答案(dá àn)都不正确
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
第十四页，共18页。
题型一
题型二
题型三
反思求解椭圆的标准方程及相关问题时,需要注意:
①不要忽略定义中的条件(tiáojiàn)2a>|F1F2|;
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
第七页，共18页。
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
2
2
+
2
2
2
0)可化为
2
+
=1,即
=1.
只有当 A,B,C 同号,且 A≠B 时,方程表示椭圆.当 > 时,椭圆的
焦点在 x
2
的标准方程为 2
+
2
2
= 1(a>b>0),焦点为 F1(0,-c),F2(0,c),
且 a,b,c 满足 a2=c2+b2(当且仅当椭圆的两个焦点都在坐标轴上,
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1
合作探究 课堂互动
由方程确定椭圆的性质
•
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
• (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
• (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路点拨] (1) 化为标准方程 → 求出a，b，c → 焦点位置 → 得其几何性质
(2) 将方程变形 → 列表 → 描点 → 得出图形
__ay_22＋__bx_22＝__1_(a_>_b_>_0_) ____
图形
范围 ___－__a_≤__x_≤__a_，__－__b_≤__y_≤__b____ －__b_≤__x≤__b_，__－_a_≤__y≤__a_
顶点
___(_±__a_,0_)_，__(0_，__±__b_)___
____(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,_0_) __
焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短
轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
• (2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画 图过程，保证图形的准确性．
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m
的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)． 由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x， y)，列表如下：
x0123 y 2 1.9 1.5 0 先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图象，再利用椭圆 的对称性画出整个椭圆．
•
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
类型一：椭圆定义
【典例1】(1)椭圆 x2 y2 1 上一点M到一个焦点距离为4，则M到另 25 16
一个焦点距离为 ( )
A.4
B.6
C.8
D.2
(2)已知定点A(0，-1)，点B在圆F：x2+(y-1)2=16上运动，F为圆心，
线段AB垂直平分线交BF于P.则点P轨迹是__________.
20/62
2.对椭圆标准方程两点说明 (1)标准含义: 所谓“标准”,就是椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上. (2)用待定系数法求标准方程时注意点: 应从“定位”与“定量”两个方面去考虑,首先要“定位”,即确定焦 点所在坐标轴,从而确定椭圆方程类型;其次是“定量”,即利用条件 确定方程中a,b值.
21/62
所以所求椭圆标准方程为 y2 x2 ＝1． 169 144
19/62
【归纳总结】 1.对椭圆定义了解 椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件,即对椭圆上任一点M有 |MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|;不然,若2a=|F1F2|,则轨迹是线段F1F2;若 2a<|F1F2|,则轨迹不存在.
得|MF2|=10-|MF1|=10-4=6.
(2)由题意得|PA|=|PB|.
所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2，
所以动点P轨迹是以A，F为焦点椭圆.
答案：以A，F为焦点椭圆
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【规律总结】椭圆定义双向利用 (1)判断：符合定义中到两定点距离之和为常数(大于两定点距离)这 一条件点轨迹为椭圆. (2)求值：椭圆上点一定满足定义中条件即到两定点距离之和为2a. 提醒：在判断点轨迹时，易出现只注意到距离之和为常数，而忽略此 常数要大于两定点距离条件作犯错误判断.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程-1公开课PPT课件
(0，－c)，(0，c)
a，b，c 的关系
b2＝________
【答案】 ax22＋by22＝1(a>b>0) ay22＋bx22＝1(a>b>0) a2－c2
求椭圆的标准方程
[小组合作型]
写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＝4，c＝3，焦点在 y 轴上； (2)a＋b＝8，c＝4； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1).
25＝100－3|PF1||PF2|.
∴|PF1||PF2|＝25.
∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin
60°＝12×25×
23＝254
3 .
1．椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形， 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义．
2．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用 S＝12absin C，把 |PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及 余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
[再练一题] 1．求适合下列条件的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)； (2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和 为 26.
【解】 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22＋by22＝ 1(a>b>0)．
[再练一题] 2.已知椭圆的方程为x42＋y32＝1，椭圆上有一点 P 满足∠PF1F2＝90°(如图 2-1-1)．求△PF1F2 的面积．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件3 新人教A版选修1-1.ppt
x b
2 2
＝1
表示焦点在y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就
大．
17
【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
x2 A.
y2
1
36 20
x2 y2 C. 1
36 16
x2 B.
y2
1
20 36
x2 y2 D. 1
16 36
【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
13
➡根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程：
1.焦点在x轴上：_xa_22___by_22__1__(a>b>0). 2.焦点在y轴上：__ay_22 __xb_22___1_(a>b>0).
14
【合作探究】 1.在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|=2c，常数为2a？为何令a2c2=b2？ 提示：在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐 标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆.
8
【过关小练】 1.已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中 a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9
【解析】选B.若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0，为常 数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a>0，为常数)， 当2a>|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段AB；当 2a<|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲 是乙的必要不充分条件.
2.1.1椭圆及其标准方程课件人教新课标2
[分析] (1)由焦点坐标知椭圆的焦点在 x 轴上，且可知 c 的值，由 P 到两焦点距离和可求出 a，进而可求出 b2.
(2)由两焦点坐标可知 c 值及焦点在 y 轴上，结合 a2＝b2＋ c2 可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点( 3，－ 5)，可 确定 a、b 的值．
[解析] (1)椭圆的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为ax22＋by22 ＝1(a>b>0)．
[解析] (1)由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，且 c＝4,2a＝ 10，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
(2)解法一：∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴可设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ＝ 4－02＋3 2＋22 ＋ 4－02＋3 2－22＝12， 所以 a＝6. 又 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝32. ∴椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
第二章
2.1 椭圆
椭圆及其标准方程
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中 抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与 化简过程．
• 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形， 会用待定系数法求椭圆的标准方程.
①
因为点( 3，－ 5)在椭圆上，
所以－a252＋ b322＝1，即a52＋b32＝1.
将①式代入②，得b2＋5 16＋b32＝1， 解得 b2＝4(b2＝－12 舍去)． 由①得 a2＝4＋16＝20. 因此，所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
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9 1=1＋, 4 b2 1 b2
所以椭圆的标准方程为 x 2 ＋ =y 21. 43
24
【延伸探究】将典例2(1)改为两个焦点坐标分别是 (5,0),(-5,0),其他条件不变,求椭圆的标准方程.
25
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方 程为 x 2 =y 2 1(a>b>0),
14
探究点2 椭圆的标准方程 1.在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 提示:不一定,只要a>b,a>c即可,b,c大小关系不定. 2.根据椭圆方程,如何确定焦点位置? 提示:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就 在相应的轴上.
15
【归纳总结】 对椭圆标准方程的两点认识 (1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点 在x轴或y轴上. (2)标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是关于 x
x2 C.
y2
1
x2 D.
y2
1
10 15
100 225
18
2.根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到 两焦点的距离和为26.
(2)经过点 P ( 1 ，3 ) ， 两焦点间的距离为2,焦点在x轴上. 2
19
【解题探究】1.典例1中已知椭圆的焦点在哪个轴上? 提示:椭圆的焦点在x轴上,因为已知方程中x2项的分母 较大.
11
2.确定椭圆的标准方程需要知道哪些量? 提示:a,b的值及焦点所在的位置.
12
【归纳总结】 对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件 不能忽视. (2)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
13
(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是 椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.
20
2.典例2(1)中焦点在y轴上的椭圆标准方程是怎样的?
典例2(2)中焦点在x轴上的椭圆标准方程是怎样的?
提示:(1)
y2 a2
x2 b2
=1(a>b>0).
(2) x 2 a2
y2 b2
=1(a>b>0).
21
【解析】1.选A.由方程 x 2 =y 21可知,其焦点的坐标 94
为(± ,50),即c= . 5
27
特别提醒:若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴 上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆方程为mx2+ny2 =1(m≠n,m>0,n>0).
28
【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,且a=4,c=2. (2)经过点A(0,2)和 B ( 1 ， 3 )．
2
29
因为2a=26,所以a=13,又c=5.
所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆方程为 y 2 ＋ =x 21.
169 144
23
(2)设椭圆的标准方程为
x2 a2
=y 21(a>b>0), b2
因为焦点在x轴上,2c=2,所以a2=b2+1,
又椭圆经过点 P (1 ，3所) ，以 2
解得b2=3,所以a2=4.
7
2.椭圆25x2+16y2=400的焦点坐标为________________, 焦距为________________.
8
【解析】把方程化为标准形式为 x 2 =y 21,可知焦点 16 25
在y轴上,则a2=25,b2=16,所以c2=25-16=9, 则c=3,所以焦点为(0,±3),焦距为2c=6. 答案:(0,±3) 6
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭 圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
1
【自主预习】 1.椭圆的定义 (1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹. (2)焦点:两个定点F1,F2.
2
(3)焦距:两焦点间的距离|F1F2|. (4)几何表示:|MF1|+|MF2|=_2_a_(常数)且2a_>_|F1F2|.
a 与 y 的平方和,并且分母为不相等的正值.
b
16
特别提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也 不同.
17
类型一 求椭圆的标准方程
【典例】1.(2016·武汉高二检测)过点(-3,2)且与 x 2 y 2 =1有相同焦点的椭圆的方程是 ( ) 94Biblioteka A.x2 y2 1 15 10
B. x2 y2 1 225 100
________ a2=b2+c2
5
【即时小测】 1.椭圆 x 2 y 2 =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭
94 圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________________.
6
【解析】由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=6, 所以|PF2|=6-|PF1|=6-4=2. 答案:2
a2 b2 因为2a=26,所以a=13,又c=5. 所以b2=a2-c2=144. 所以所求椭圆方程为 x 2 =y 12 .
169 144
26
【方法技巧】求椭圆标准方程的方法 利用待定系数法求椭圆的标准方程: (1)先确定焦点位置.(2)设出方程.(3)寻求a,b,c的等 量关系.(4)求a,b的值,代入所设方程.
3
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程 _xa_22___by_22__1__a__b__0__ _ay_22__xb_22__1__a__b___0_
图形
4
焦点坐标
a,b,c的 关系
焦点在x轴上 _(_-_c_,_0_)_,_(_c_,_0_)_
焦点在y轴上 _(_0_,_-_c_)_,_(_0_,_c_)_
9
【知识探究】 探究点1 椭圆的定义 1.平面内动点M到两定点F1,F2的距离之和等于常数(2a) 且2a>|F1F2|,若2a=|F1F2|,则M的轨迹是什么?若2a< |F1F2|,则M的轨迹是什么?
10
提示:当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.
设所求椭圆方程为
x a
2 2
=by 221(a>b>0),因为过点(-3,2),
代入方程得
9 a2
a =2－4 15(a>b>0),
解得a2=15(a2=3舍去).
故方程为 x 2 =y 21. 15 10
22
2.(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为
y2 a2
=x 21(a>b>0). b2