最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第6讲_幂函数与二次函数
清华附中第二学期高三数学理科第二次统练试卷 新课标 人教版
清华附中第二学期高三数学理科第二次统练试卷 新课标 人教版本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1．15cot 15tan +的值是 ( )A ．2B ．32+C ．4D ．334 2．设数列{a n }是等比数列，2,51211==q a ，则a 4与a 10的等比中项为( ) A ．41 B ．81 C ．41± D ．81±3．过点(2，－2)且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是( )A ．12422=-y x B ．12422=-x y C ．14222=-y x D ．14222=-x y4．若不等式：)40(342≤≤-+>+m m x mx x 恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．31≤≤-xB ．1-≤xC ．3≥xD ．31>-<x x 或5．若数列{a n }是等差数列，首项0,0,02042032042031<⋅>+<a a a a a ，使前n 项和S n <0的最大自然数n 是( ) A ．405B ．406C ．407D ．4086．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且∠A=2∠B ，则BB 3sin sin 等于( ) A ．cb B ．bc C ．ab D ．ca 7．过椭圆的一个焦点F (－c ，0)，倾斜角为43arccos 的直线，交椭圆于A 、B 两点，若|AF |:|BF|=1:3，那么椭圆的离心率e = ( ) A ．31B ．32C ．33D ．328．已知直线l ：m x y +-=21与曲线C ：|4|2112x y -+=仅有三个交点，则m 的取值范围是( )A ．)12,12(+-B ．)2,1(C ．)21,1(+D ．)21,2(+二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9．在复平面内，复数1ii+对应的点位于第 象限． 10．若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是-80，则实数a 的值是 ．11．已知22,05302-+⎩⎨⎧≥+-≤-y x y x y x 则的最大值是 ．12．曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ． 13．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直． 其中真命题的个数是 ．14．)6,2(),817,1(N M ，点P 是曲线4422+-=x x y 上的动点，则|MP |+|NP |的最小值为 ．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题10分) 已知向量m = (1，1)，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m n ⋅= - 1． (1) 求向量；(2) 设向量))23(cos 2,(cos ),0,1(2xx -==π向量，其中320π<<x ，若0=⋅，试求||b n + 的取值范围．16．(本题满分10分) 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为53，且各次射击的结果互不影响．(1) 求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (2) 求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)； (3) 设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列． 17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．(I) 证明 ∥PA 平面EDB ； (II) 证明⊥PB 平面EFD ；(III) 求二面角D -PB -C 的大小．18．(本小题12分) 已知数列{a n }满足.81),2(12241=≥-+⋅=-a n a a n n n 且 (1) 求数列的前三项：a 1，a 2，a 3； (2) 是否存在一个实数λ，使得数列}2{nn a λ+为等差数列？ 若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由； (3) 求数列{a n }的前n 项和S n ． 附加题：(本小题14分)已知F 1、F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 是此椭圆的一动点，并且21PF PF ⋅ 的取值范围是].34,34[-(1) 求此椭圆的方程；(2) 点A 是椭圆的右顶点，直线y = x 与椭圆交于B 、C 两点(C 在第一象限内)，又P 、Q 是椭圆上两点，并且满足0||||21=⋅⎫⎛F F CQ CP ，求证：向量共线．[参考答案]1-5 C D D D A 6-8 A D D9、四 10、-2 11、 2 12 、43 13、3 14 83315、解：(1) 令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21),(22y x y x y x y x y x 或则π， )1,0()0,1(-=-=∴或 2分(2) )1,0(0),0,1(-=∴=⋅= 3分))32cos(,(cos )1)23(cos 2,(cos 2x x x x -=--=+ππ4分 2)234cos(122cos 1)32(cos cos ||222x x x x -+++=-+=+ππ 6分 )]23cos(2[cos 211)]234cos(2[cos 211x x x x --+=-++=ππ )32cos(211]2sin 232cos 212[cos 211π++=--+=x x x x 8分 35323320ππππ<+<⇒<<x x ， 45||2121)32cos(12<+≤⇒<+≤-∴x π 9分故25||22<+≤ 10分 16、 (1)63(注：第1、2次或第2、3次或三次均击中)；(2)162；(3)ξ 3 4 … k… P27125 162625…233123()()55k k C --…17、方法一：(1) 证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ． ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点， 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO，而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，所以，PA //平面EDB ． (2) 证明：∵PD⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ， ∴DC PD ⊥，∵PD=DC，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边 PC 的 中线，∴PC DE ⊥． ① 同样由PD⊥底面ABCD ，得PD⊥BC．∵底面ABCD 是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC ． 而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥． ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC ． 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB⊥平面EFD ．(3) 解：由(2)知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角． 由(2)知，DB PD EF DE ⊥⊥,．设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===，a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=，a PC DE 2221==．在PDB Rt ∆中，a aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=． 在EFD Rt ∆中，233622sin ===a a DF DE EFD ，∴3π=∠EFD ．所以，二面角C —PB —D 的大小为3π．方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC =． (1)证明：连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG ． 依题意得)2,2,0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A ． ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,2,2(aa， 且(,0,),(,0,)22a aPA a a EG =-=-．∴EG PA 2=，这表明PA//EG ．而⊂EG 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，∴PA//平面EDB ． (2)证明：依题意得)0,,(a a B ，),,(a a a PB -=．又(0,,)22a aDE =，故022022=-+=⋅a a ． ∴DE PB ⊥．由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD ． (3)解：设点F 的坐标为),,(000z y x ，λ=，则),,(),,(000a a a a z y x -=-λ．从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===．所以00011(,,)(,(),())2222a a FE x y z a a a λλλ=---=---． 由条件PB EF ⊥知，0=⋅PB FE ，即0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得31=λ∴点F 的坐标为)32,3,3(a a a ，且(,,)366a a a FE =--，2(,,)333a a aFD =---∴03233222=+--=⋅a a a ， 即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角． ∵691892222a a a a =+-=⋅，且 a a a a 6636369||222=++=，aa a a FD 369499||222=++=，∴2136666cos 2=⋅==a a a EFD ． ∴3π=∠EFD ．所以，二面角C —PB —D 的大小为3π．(或用法向量求)18、解：(1) 由3381122)2(12234341=⇒=-+=⇒≥-+=-a a a a a n n n同理可得 a 2 = 13， a 1 = 5. 3分 (2) 假设存在的实数λ符合题意，则nn n n n n n a a a a 2222111λλλ--=+-+--- nn n 211212λλ+-=--=必是与n 无关的常数，则.1021-=⇒=+λλn7分 故存在实数λ= -1，使得数列}21{n λ+为等差数列.(3) 由(2) 知数列}21{n n a -是公差d = 1的等差数列12)1(11)1(21211+⋅+=⇒+=⨯-+-=-∴nn nn n a n n a a 9分 S n = n +2×2 + 3×22+ 4×23+…+(n +1)·2n +12S n = 2n +2×22 + 3×22 +…+n ·2n + (n +1)·2n +1⇒相减整理得： S n = n (2n +1+1) 12分附加．解：(1) 设)0,(),0,(),,(2100c F c F y x P -， 其中),(),()0,(,0000122y c x y x c PF b a c ---=--=-=则，).,(),()0,(00002y x c y x c PF --=-=从而.),(),(2202020220000021c y x y c x y x c y c x PF PF -+=+-=--⋅---=⋅ 2分 由于222122220202,c a PF PF c b a y x b -≤⋅≤-≤+≤所以，即.222122b PF PF a b ≤⋅≤- 3分又已知343421≤⋅≤-PF PF ， 4分 所以⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.34,4,34,34222222b a b a b 从而椭圆的方程是.143422=+y x (2) 因为PCQ CQ CP F F CQ CP ∠+=⋅+||||,0||||(21的平分线平行，所以∠PCQ 的平分线垂直于x 轴.由).1,1(,1,1,,143422C y x x y y x ∴⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+解得 不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为-k ，因此PC 和QC 的方程分别为)1(,1)1(--=+-=x k y x k y ，其中⎪⎩⎪⎨⎧=++-=≠.1434,1)1(,022y x x k y k 由消去y 并整理得(*).0163)1(6)31(222=--+--+k k x k k x k 9分 ∵C (1，1) 在椭圆上，∴x = 1是方程(*) 的一个根.从而222231163,31163kk k x k k k x Q P +-+=+--=同理， 10分 从而直线PQ 的斜率为.313112231)13(22)(222=+--+-=--+=--=kk k k k k x x k x x k x x y y k Q P Q P Q P Q P PQ11分又知A (2，0) ，B (－1，－1) ， 所以,312101AB PQ AB k k k =∴=----=12分与向量∴共线。
2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2
题型三 函数的奇偶性与对称性
例3 (多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝ f(1＋x)，则下列结论一定正确的是 A.f(x＋2)＝f(x)
√B.函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称 √C.函数y＝f(x＋1)是偶函数
D.f(2－x)＝f(x－1)
对于A选项，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)， 则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，A错； 对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0， 即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0， 故函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，B对； 对于C选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，C对； 对于D选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即 f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D错.
√D.[－1,0]∪[1,3]
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
(1)
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
又当x∈[0,1]时，f(x)单调递增， ∴f(0)<f 12<f(1)， 即 f(6)<f 121<f(－7).
思维升华
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等， 常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知 解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解.
2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2
取特殊值，令 a＝4，b＝2，c＝14，
1
1
则ac＝44 ，bc＝24 ，
∴ac>bc，故A错误；
1
9
1
3
abc＝4× 24＝ 24，bac＝2× 4＝4 2，2
∴abc>bac，故B错误； logac＝log414＝－1，logbc＝log214＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误.
思维升华
求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、 对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用 指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相 同的情况.
跟踪训练2 (1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3
≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c
√B.b>a>c
C.b>c>a
D.c>b>a
c＝930＝360， a＝2100⇒lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1， b＝365⇒lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5， c＝930⇒lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626， 所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c.
思维升华
利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，12 ，1”对所比较的数进行 划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目 需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知 1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数， 从而便于比较.
高考数学(理)一轮复习人教A版-第六章 第3节
. . .第3节 等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q. 3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .[常用结论与微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n）1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修5P53AT1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.(2018·湖北省七市联考)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A.8B.9C.10D.11解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10. 答案 C4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 65.(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2， ∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 1考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q . 由⎩⎨⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q.【训练1】 (1)(2018·武昌调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A.－2 B.－1 C.12D.23(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.解析 (1)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)(必修5P68BT1(1))等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)(2018·云南11校调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析(1)由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10.(2)数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是首项为4，公比为2的等比数列，则S9－S6＝a7＋a8＋a9＝16，S12－S9＝a10＋a11＋a12＝32，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.答案(1)B(2)B规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练2】(1)(2018·西安八校联考)已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1·a6·a11＝－33，b1＋b6＋b11＝7π，则tan b3＋b91－a4·a8的值是()A.－ 3B.－1C.－33 D. 3(2)(一题多解)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S6S3＝3，则S9S6＝________.解析(1)依题意得，a36＝(－3)3，a6＝－3，3b6＝7π，b6＝7π3，b3＋b91－a4·a8＝2b61－a26＝－7π3，故tanb3＋b91－a4·a8＝tan⎝⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tanπ3＝－ 3.(2)法一由等比数列的性质S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，∴S6－S3S3＝S9－S6S6－S3，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴S9S6＝73.法二因为{a n}为等比数列，由S6S3＝3，设S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a，2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以S9S6＝7a 3a＝7 3.答案(1)A(2)7 3考点三等比数列的判定与证明【例3】(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n}的前n项和S n＝1＋λa n，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132，得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.规律方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练3】 (2017·安徽江南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列.(2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B.{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C.{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.(2018·太原模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A.2B.4C. 2D.2 2解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.答案 B3.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.答案 B4.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B.－18C.578D.558解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，则8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 A5.(2018·昆明诊断)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D. 2解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2. 答案 B 二、填空题6.(2018·河南百校联盟联考改编)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝40，且S 6＋3a 7＝S 8，则a 2等于________.解析 由S 6＋3a 7＝S 8，得2a 7＝a 8，则公比q 为2，所以a 2＝a 523＝4023＝5. 答案 57.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n .答案 12n8.(2018·成都诊断)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.解析 由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n ＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022.答案 1 022 三、解答题9.(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得 ⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）＝23[(－2)n －1]，则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n －2]＝43[(－2)n －1]＝2S n ， ∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.10.(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( ) A.(3n －1)2 B.12(9n －1) C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1， 故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n ）1－9＝12(9n－1).答案 B12.(2018·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________.解析 由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∵b n >0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92，∴b 1＝2，b 2＝322，∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝（n ＋1）22，∴a n ＝b n －1b n ＝n （n ＋1）2.最新人教版初中数学精品资料设计最新人教版初中数学精品资料设计 11 答案 a n ＝n （n ＋1）213.(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列.(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列. 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n, ②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q ，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. (2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾. 故数列{a n ＋1}不是等比数列.。
2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I
定义
当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) ， 那么就称函数f(x)在区间I上单
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么
就称函数f(x)在区间I上单调递减
调递增
知识梳理
图象 描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)
上为增函数.( × ) (4)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )
教材改编题
1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是
A.y＝x2－1
B.y＝x3
C.y＝2x
√D.y＝－x＋2
教材改编题
2.y＝xx－ －12在[3,4]上的最大值为
√A.2
3 B.2
5 C.2 D.4
y＝xx－ －12＝x－x－2＋2 1＝x－1 2＋1， ∵y＝x－1 2＋1值，最大值为3－1 2＋1＝2.
教材改编题
3.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f 13的x的取值范 围是___12_，__32_ _.
方法二 f′(x)＝ax′x－x1－－1a2xx－1′＝ax－x－11－2 ax＝－x－a12. 当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
思维升华
确定函数单调性的四种方法 (1)定义法； (2)导数法； (3)图象法； (4)性质法.
2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2
教材改编题
1.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于
A.不确定
B.0
√C.1
D.2
由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1， 由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.
教材改编题
2.计算：27－23＋－1 － 3 2 － 2＝__1___.
原式＝33－23
＋1－3－2＝3－2＋1－3－2＝1.
教材改编题
3.若指数 函数 f(x) ＝ax(a>0，且a≠1) 在 [ －1,1]上 的最 大值为 2 ，则a ＝ __2_或__12___.
若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2； 若 0<a<1，则 f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得 a＝12.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 指数幂的运算
例1 计算：
(1)(－1.8)0＋32－2·3
3382－
1＋ 0.01
93；
(－1.8)0＋32－2·3
3382－
1＋ 0.01
93
＝1＋
2 3
2
27 8
2
3
10
3
92
＝1＋232·322－10＋33 ＝1＋1－10＋27＝19.
3
(2)
1 4
1 2
4ab1 0.12 a3b3
1 2
3
1 4
1 2
4ab1 0.12 a3b3
最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第1讲_函数及其表示
第二篇函数与基本初等函数I第1讲函数及其表示A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各对函数中，是同一个函数的是( )．A．f(x)＝x2，g(x)＝3x3B．f(x)＝|x|x，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥0，－1，x<0C．f(x)＝2n＋1x2n＋1，g(x)＝(2n－1x)2n－1，n∈N*D．f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x x＋解析对于选项A，由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝3x3＝x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一个函数；对于选项B，由于函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以它们不是同一个函数；对于选项C，由于当n∈N*时，2n±1为奇数，所以f(x)＝2n＋1x2n＋1＝x，g(x)＝(2n－1x)2n－1＝x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一个函数；对于选项D，由于函数f(x)＝x·x＋1的定义域为[0，＋∞)，而g(x)＝x x＋的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数．2．(2012·江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为( )．A．y＝1sin xB．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin x x解析函数y＝13x的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝sin xx的定义域相同，故选D.答案 D3．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个解析由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．答案 C4．(2012·安徽)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )．A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x解析因为f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足f(2x)＝2f(x)，所以A，B，D满足条件；对于C，若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1≠2f(x)＝2x＋2.二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f[g(1)]的值为的值是________．解析∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1，由表格可以发现g(2)＝2，f(2)＝3，∴f(g(2))＝3，g(f(2))＝1.答案 1 26．函数y＝x＋1－x－1的值域为________．解析函数定义域为[1，＋∞)，∵y＝x＋1－x－1＝2x＋1＋x－1，当x≥1时是减函数，∴0<y＝2x＋1＋x－1≤22＝ 2.故函数的值域为(0，2]．答案(0，2]三、解答题(共25分)7．(12分)记f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合M，函数g(x)＝1－2x－1的定义域为集合N，求：(1)集合M，N；(2)集合M∩N，M∪N.解 (1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1－2x －1≥0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －3x －1≥0＝{x |x ≥3，或x <1}．(2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1或x >32. 8．(13分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围．解 (1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1>m ，对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min >m ，又因为g (x )在[－1,1]上递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m <－1.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )． A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ，∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图可知0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＝－lg b ，即lg a ＝lg 1b ⇒a ＝1b，∴ab ＝1,10<abc ＝c <12.故应选C. 答案 C2．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b 2，则函数f (x )＝2⊕xx ⊗－2的解析式为( )． A ．f (x )＝4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．f (x )＝－4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]解析 ∵2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝x －2＝|x －2|，∴f (x )＝4－x 2|x －2|－2.注意到定义域：⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x －2|≠2⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，x ≠0且x ≠4⇒x ∈[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝－4－x 2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．设f (x )＝1－x 21＋x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.解析 因为f (x )＝1－x 21＋x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－1－x 21＋x 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＝0. 答案 04．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)． 答案 (－1，2－1) 三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤x ≤2，x －1，2<x ≤3，g (x )＝f (x )－ax ，x ∈[1,3]，其中a ∈R ，记函数g (x )的最大值与最小值的差为h (a )． (1)求函数h (a )的解析式；(2)画出函数y ＝h (x )的图象并指出h (x )的最小值．解 (1)由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ax ，1≤x ≤2，－a x －1，2<x ≤3，当a <0时，函数g (x )是[1,3]上的增函数，此时g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，g (x )min ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝1－2a ；当a >1时，函数g (x )是[1,3]上的减函数，此时g (x )min ＝g (3)＝2－3a ，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，所以h (a )＝2a －1；当0≤a ≤1时，若x ∈[1,2]，则g (x )＝1－ax ，有g (2)≤g (x )≤g (1)； 若x ∈(2,3]，则g (x )＝(1－a )x －1，有g (2)<g (x )≤g (3)，因此g (x )min ＝g (2)＝1－2a ，而g (3)－g (1)＝(2－3a )－(1－a )＝1－2a ， 故当0≤a ≤12时，g (x )max ＝g (3)＝2－3a ，有h (a )＝1－a ；当12<a ≤1时，g (x )max ＝g (1)＝1－a ，有h (a )＝a . 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ，a <0，1－a ，0≤a ≤12，a ，12<a ≤1，2a －1，a >1.(2)画出y ＝h (x )的图象，如图所示，数形结合可得h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.6．(13分)(2012·江苏)设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数：①A ⊆P n ；②若x ∈A ，则2x ∉A ；③若x ∈∁P n A ，则2x ∉∁P n A . (1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．解 (1)当n ＝4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故f (4)＝4.(2)任取偶数x ∈P n ，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x ＝m ·2k ，其中m 为奇数，k ∈N *.由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数．于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设Q n 是P n 中所有奇数的集合，因此f (n )等于Q n 的子集个数．当n 为偶数(或奇数)时，P n 中奇数的个数是n2(或n ＋12)，所以f (n )＝⎩⎨⎧2n2，n 为偶数，2n ＋12，n 为奇数.。
最新高考数学(清华附中专用)专题训练数学人教A版(理)一轮复习：第二篇_第4讲_指数与指数函数
第4讲 指数与指数函数A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )． A ．0B.33C ．1 D. 3解析 由题意有3a＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tan π3＝ 3.答案 D2．(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析 a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a . 答案 A3．(2013·佛山模拟)不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x－a 2恒过定点，则这个定点的坐标是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12解析 y ＝(a －1)2x－a2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y＝(a －1)2x－a2恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 答案 C4．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x 的值域为( )． A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，2－x，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x <0，a －x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析 对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，146．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是________．解析 当x >0时，有f (x )<0；当x <0时，有f (x )>0.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2f x ，f x ，－2－f x ，f x＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2－x，x >0，－2－2x ，x <0.而当x >0时，－1<－2－x<0，则12<2－2－x <1.而当x <0时，－1<－2x<0，则－1<－2－2x<－12.则函数y ＝f (f (x ))的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求证f (x )在R 上为增函数．(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－x＋2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝x 1－2x 2x 1＋x 2＋，∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数．8．(13分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a .解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪t >1或t <－13. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )．A.12B.14C ．2D ．4解析 由题意知f (1)＋f (2)＝log a 2＋6，即a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 答案 C2．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的( )．解析 函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，且f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析 由已知得f (1)＝21＋1＝3，故 f (f (1))>3a 2⇔f (3)>3a 2⇔32＋6a >3a 2.解得－1<a <3. 答案 (－1,3)4．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________． 解析x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞三、解答题(共25分)5．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝14x －a2x (a∈R )．(1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)若f (x )是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]， f (－x )＝14－x －a2－x ＝4x －a ·2x ，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈[0,1]． 令t ＝2x，t ∈[1,2]，∴g (t )＝a ·t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24，当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1；当1<a2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上，当a ≤2时，f (x )的最大值为a －1；当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24；当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.(2)∵函数f (x )在[0,1]上是增函数，∴f ′(x )＝a ln 2×2x －ln 4×4x ＝2x ln 2·(a －2×2x )≥0，∴a －2×2x ≥0恒成立，∴a ≥2×2x .∵2x ∈[1,2]，∴a ≥4.6．(13分)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x <0时， f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)， ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
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第6讲 幂函数与二次函数A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·临州质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )．A ．y ＝1x(x ∈R ，且x ≠0)B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ∈R )C ．y ＝x (x ∈R )D ．y ＝－x 3(x ∈R )解析 对于f (x )＝－x 3，∵f (－x )＝－(－x )3＝－(－x 3)＝－f (x )，∴f (x )＝－x 3是奇函数，又∵y ＝x 3在R 上是增函数，∴y ＝－x 3在R 上是减函数． 答案 D2．(2013·怀远模拟)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )．A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析 因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确． 答案 B3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2. 答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )． A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a＝ －3. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若f (x )是幂函数，且满足ff ＝3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析 设f (x )＝x α，由f f＝3，得4α2α＝3，解得α＝log 23，故f (x )＝x log 23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13.答案136．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析由已知得⎩⎨⎧a >0，4ac －164a＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案 a >0，ac ＝4 三、解答题(共25分)7．(12分)设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3.令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )． 8．(13分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a ，fa ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·合肥八中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x >1， 则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ≤－2，则－a 2≥1，且－12a ≤14<1，则f (x )分别在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上为减函数，又函数在x ＝1处的值相同，故f (x )在R 上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，则a <0，且⎩⎨⎧－12a≤1，－a2≥1，得a ≤－2.故选C. 答案 C2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________．解析 函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，包含两个方面：函数g (x )＝x 2－ax ＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋∞)上的单调性．由于g (x )＝x 2－ax ＋2开口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，g ，a 2≤2，∴1<a ≤3.答案 (1,3]4．(2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________．解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，2m <－m ＋，2m <－4，－m ＋或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－m ＋m ，2m <1，－m ＋－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)． 答案 (－4，－2) 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数． 故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2. 又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2. (2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝q －24q≥0，∴g (x )max＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4. 解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．6．(13分)设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值； (2)设a >2，求函数f (x )的最小值． 解 (1)∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，①当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，＋∞时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；②当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1<x <a2时，f (x )单调递增，当x <1时，f (x )单调递减，则f (x )的最小值为f (1)＝a －1. 由于a 24－(a －1)＝a －24>0，故f (x )的最小值为a －1.。