第3章 随机变量的数字特征、概率生成函数、特征函数(硕士).
概率论随机变量的特征
Y X2 0
149
P(Y yi ) 0.25 0.40 0.25 0.10
EY 00.25 10.40 40.25 90.10 2.30
10
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特 征
EX Y
x
y
f
x,
y dxdy
xf x, ydxdy yf x, ydxdy =EX+ EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
16
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量的数字特
征
定理 若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
频率
12 5 40 40 40
66 40 40
该班的平均成绩为：
85
85 40 40
421
421 40 40 40
351 50 2 68 5 72 6 75 6 80 8 85 5 90 4 96 2 1001
35
1
50
2
68
5
72
6
75
6
40
80
8
85
5
90
4
96
X1
1234
pX1 xi 0.4 0.3 0.2 0.1
EX1 1 0.4 2 0.3 3 0.2 4 0.1 2
5
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概率论与数理统计
（2）设随机变量 X 2 是取球次数，则
论随机变量与随机变量的数字特征
论随机变量与随机变量的数字特征
随机变量是随机试验的结果，它可以取不同的取值，并且
每个取值都有相应的概率与之对应。
随机变量的数字特征
是对其分布进行度量和描述的统计量。
常见的随机变量的数字特征包括：
1. 期望值（均值）：用于表示随机变量平均取值的数字特征。
对于离散型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为每
个取值乘以其概率的加权平均值。
对于连续型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为函数f(x)乘以其概率密度函数的加权积分。
期望值可以理解为随机变量对应分布的中心位置。
2. 方差：用于表示随机变量取值的离散程度。
方差越大，
随机变量的取值波动越大。
方差的计算公式为Var(X) =
E((X - E(X))²)，其中E表示期望值。
3. 标准差：标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量取
值的波动程度。
标准差越大，随机变量的取值波动越大。
4. 偏度：偏度衡量随机变量的离散程度和分布的对称性。
正偏表示分布右尾比左尾重，负偏表示分布左尾比右尾重，偏度为0表示分布左右对称。
5. 峰度：峰度衡量随机变量分布的尖峰程度。
正态分布的峰度为3，大于3表示比正态分布尖峰，小于3表示比正态分布平坦。
这些数字特征可以帮助我们更好地理解和描述随机变量的分布特点，从而进行数据分析和统计推断。
三章随机变量的数字特征 67页PPT
令 tx
tet2 2d;t 2
三.随机变量函数的期望
EX1：设随机变量X的分布律为
X -1 0 1
Pk
1 3
1 3
1 3
求随机变量Y=X2的数学期望
解: Y 1 0
Pk
2 3
1 3
E(Y)12012 3 33
定理1 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X) 的期望E(g(X))为(p77)
刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间
解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则
10 X
Y
g(X)
3505
X X
70 X
0 X 10 10 X 30 30 X 55 55 X 60
fX
(x)
1 60
0x60
0 others
1 60
E(Y)600 g(x)dx
第三章 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数 大数定律 中心极限定理
3.1数学期望
一.数学期望的定义 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
E{X22X YY2} {E [(X)2]2[E(X)]E[(Y) ][E(Y)2]}
D(X)D(Y) 2E(XY )2E(X)E(Y) X与Y独立 E (X) Y E (X )E (Y )
D (X Y ) D (X ) D (Y )
n
n
若 X 1,.X .n独 . 立 D ( ， X i)则 D (X i)
随机变量的生成函数与特征函数
随机变量的生成函数与特征函数生成函数和特征函数是概率论中描述随机变量的重要工具。
它们可以帮助我们分析随机变量的性质和进行计算。
本文将介绍生成函数和特征函数的定义、性质以及它们的应用。
一、生成函数生成函数是描述离散型随机变量的一种函数。
假设X是一离散随机变量，它的概率质量函数为p(x)，那么X的生成函数定义为：G(t) = E(t^X) = ∑[x∈R] t^x * p(x)其中，E是数学期望运算符，R是X的所有可能取值的集合，t是定义域上的一个复数。
生成函数的主要作用是求解随机变量的各阶距，如一阶、二阶、三阶等矩或原点矩。
假设X的生成函数为G(t)，那么X的一阶矩、二阶矩、三阶矩分别为：E(X) = G'(1)E(X^2) = G''(1)E(X^3) = G'''(1)其中，G'表示G的一阶导数，G''表示G的二阶导数，G'''表示G的三阶导数。
数的性质进行计算。
常见的生成函数包括：普通生成函数、指数型生成函数、拉普拉斯型生成函数等。
二、特征函数特征函数是描述随机变量的一种函数。
对于一随机变量X，它的特征函数定义为：Φ(t) = E(e^(itX)) = ∫[-∞,∞] e^(itx) * p(x) dx其中，E是数学期望运算符，p(x)是X的概率密度函数，t是定义域上的一个实数。
特征函数的主要作用是求解随机变量的分布函数和矩。
通过特征函数，我们可以得到随机变量的概率密度函数为：p(x) = 1/(2π) * ∫[-∞,∞] e^(-itx) * Φ(t) dt其中，Φ(t)是X的特征函数。
特征函数还可以用于求解随机变量的矩。
假设X的特征函数为Φ(t)，那么X的一阶矩、二阶矩、三阶矩分别为：E(X) = Φ'(0) / iE(X^2) = Φ''(0) / i^2E(X^3) = Φ'''(0) / i^3其中，Φ'表示Φ的一阶导数，Φ''表示Φ的二阶导数，Φ'''表示Φ的三阶导数，i是虚数单位。
第三讲随机变量的函数与特征函数
如果X和Y之间不是单调关系，即 Y的取值y可能对应X的两个或更多的 值x1,x2,…, xn。
假定一个y值有两个x值与之对应，则有
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y )
' 1
'
一般地，如果y=g(x)有n个反函数 h1(y), h2(y),…, hn(y)，则
n 2 ( y m )T C 1 ( y m ) 2
C
12
e
2 三. 分布
1) 中心 2 分布 若n个互相独立的高斯变量X1, X2,…, Xn的数学期望都为零，方差为1，它们 n 的平方和 2
Y Xi
i 1
2 的分布是具有n个自由度的 分布。
其概率密度为
fY ( y )
21xxgy32随机变量的特征函数321特征函数的定义随机变量x的特征函数就是由x组成的随机变量x的特征函数就是由x组成的一个新的随机变量ejwx的数学期望即xjxee离散随机变量和连续随机变量的特征函数分别表示为??xxjjxxjj???dxxfeeexxpeeexxjxjxiixi随机变量x的第二特征函数定义为特征函数的对数即lnxx对二维随机变量可用类似的方法定义特征函数2121212211dxdxexxfxjxjxx????21xxfx21212221141dd?jjexxx?????第二特征函数定义为ln2121xx322特征函数的性质性质1
依概率收敛（p收敛，随机收敛）
分布收敛（d收敛，弱收敛）
四种收敛的关系
mi
i 1
2
称为非中心分布参量
n2 m x ( ) 2 I n ( x) m 0 m! ( n m 1)
第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解
第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解在概率论和统计学中，随机过程是指一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个参数（通常是时间）。
随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要概念。
1.数字特征：随机过程的数字特征是对其统计特性的度量，通常用于描述随机过程的平均值、方差、协方差等。
随机过程的数字特征可以通过计算随机变量的数学期望、方差等得到。
2.特征函数：特征函数是随机过程的一种表示方式，它是对随机过程的全面描述。
特征函数是随机变量的复数值函数，它对于每个时间点都定义了一个复数值，用来表示该时间点的随机变量的概率分布。
特征函数可以通过随机变量的概率密度函数计算得到。
特征函数的性质：-对称性：如果随机过程的数字特征对称，那么它的特征函数也对称。
-唯一性：特征函数能够唯一地表示一个随机过程的概率分布。
-独立性：随机过程的特征函数在不同时间点上是相互独立的。
-连续性：特征函数是连续函数，可以通过连续函数逼近定理来证明。
特征函数的应用：-用于推导随机过程的数字特征：通过特征函数可以推导出随机过程的数字特征，例如平均值、方差。
-用于计算随机过程的概率分布：通过特征函数可以计算随机过程的概率分布，例如计算随机过程在其中一时间点的概率。
-用于分析和处理随机过程的相关问题：通过特征函数可以进行随机过程的变换、滤波等操作，从而实现对随机过程的分析和处理。
总之，随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要工具，它们可以用来分析和处理随机过程相关的问题，推导随机过程的数字特征，并计算随机过程的概率分布。
随机变量的概率生成函数
随机变量的概率生成函数
随机变量的概率生成函数，是描述随机变量取值与概率之间关系的数学工具。
通过概率生成函数，我们可以更直观地理解随机变量的分布规律，从而进行更深入的概率统计分析。
让我们来看看概率生成函数的定义。
概率生成函数通常用符号G(t)表示，其中t是一个实数。
通过概率生成函数，我们可以计算随机变量的各阶矩（包括均值、方差等）以及其他重要统计量。
概率生成函数的形式各异，常见的有矩母函数、特征函数等。
概率生成函数在统计学和概率论中有着广泛的应用。
例如，在概率分布函数的推导过程中，我们经常会用到概率生成函数。
通过对概率生成函数的求导、反演等操作，可以得到随机变量的各种性质，从而更深入地研究其分布规律。
除了理论研究，概率生成函数在实际问题中也有着重要的应用。
例如，在金融领域中，我们可以利用概率生成函数来建立风险模型，评估不同投资组合的风险水平。
又如在工程领域，通过概率生成函数可以分析系统的可靠性，预测设备的寿命等。
总的来说，概率生成函数是描述随机变量与概率之间关系的重要工具，它不仅在理论研究中有着重要作用，也在实际问题中有着广泛的应用。
通过深入理解概率生成函数的原理和应用，我们可以更好地理解和分析各种随机现象，为决策提供更科学的依据。
希望通过
本文的介绍，读者能够对概率生成函数有一个初步的了解，进而在相关领域有更深入的研究和应用。
概率生成函数计算随机变量的概率生成函数
概率生成函数计算随机变量的概率生成函数概率生成函数是概率论中一个重要的工具，用于研究随机变量的特征。
它可以给出随机变量的所有阶矩，并且在计算各种统计量时非常方便。
本文将介绍概率生成函数的定义、性质和计算方法，并通过一个具体的例子来说明其应用。
一、概率生成函数的定义概率生成函数是描述随机变量的函数，它是一个复数函数。
对于离散型随机变量X，其概率生成函数定义为：G(t) = E(e^(tx))其中，E表示期望，t是一个复数变量。
对于连续型随机变量X，其概率生成函数定义为：G(t) = E(e^(tx))其中，E表示期望，t是一个复数变量。
二、概率生成函数的性质1. G(0) = 1，即概率生成函数在t=0处的值为1。
2. G'(0) = E(X)，即概率生成函数在t=0处的导数等于随机变量X的期望。
3. 对于离散型随机变量X，G(t)可以表示为G(t) = ΣP(X=x)e^(tx)，其中Σ表示求和符号，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
4. 对于连续型随机变量X，G(t)可以表示为G(t) = ∫f(x)e^(tx)dx，其中f(x)是随机变量X的概率密度函数。
5. 概率生成函数可以用于计算随机变量的各阶矩，其中k阶矩可以表示为G^(k)(0)，即概率生成函数在t=0处的k阶导数。
三、概率生成函数的计算方法对于简单的随机变量，可以通过定义直接计算概率生成函数。
对于复杂的随机变量，可以利用概率生成函数的性质进行计算。
1. 离散型随机变量的计算方法：假设随机变量X取值为x1, x2, ..., xn，它们的对应概率分别为p1, p2, ..., pn。
则离散型随机变量X的概率生成函数可以表示为：G(t) = p1e^(tx1) + p2e^(tx2) + ... + p_ne^(txn)2. 连续型随机变量的计算方法：假设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，则连续型随机变量X的概率生成函数可以表示为：G(t) = ∫f(x)e^(tx)dx四、概率生成函数的应用举例下面以一个具体的例子来说明概率生成函数的应用。
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Def 设连续型随机变量的概率密度为 fX (x)，若广义积分
x fX (x)dx收敛，则广义积分 x fX (x)dx的值称为随机变
量X的数学期望，记为E( X )，即E( X ) x fX (x)dx.
随机变量数学期望所反应的意义
随机变量数学期望E(X )反映了的随机变量X 所以可能 取值的平均，它是随机变量所有可能取值的最好代表。
F
(
x)
1
xex00源自x0N min( X1, X2 )的分布函数为
FN
(x)
1[1
F (x)]2
1
2x
e
0
x0 x0
于是，N的概率密度为
f
N
(
x)
2
e
2x
x0
0
x0
E(N
)
xf N
(x)dx
xf X
( x)dx
1 0
x
2xdx
2 3
E(Y
)
yfY
( y)dy
1 0
y
y 4
dy
13 6
随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况
设Y g( X )是随机变量 X的函数，
二、数学期望的定义
离散型随机变量
Def 设离散型随机变量的概率分布为
P(X xi ) pi i 1, 2,
如级数 xi pi收敛，则称级数 xi pi的值为随机变量X的
i 1
i 1
数学期望，记为E( X )，即有E(X ) xi pi.
i 1
连续型随机变量
2
即有 E( X )
例3.7 有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命Xk (k 1, 2)服从同一指数分布,其概率密度为
f
(
x)
1
x
e
x0
0 x 0
0
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小
时计) N 的数学期望.
解：X k (k 1, 2)的分布函数为
某7学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60， 则他们的平均成绩为
90 1 85 2 80 2 75 1 60 1
7
7
7
7
7
90 85 2 80 2 75 60 7
79.3
以频率为权重的加权平均 ，反映了这7位同学高数成 绩的平均状态。
kxy x [0,1] y [1,3]
f (x, y)
0
其它
(1) 求常数k的值；
(2) 随机变量X与Y的概率分布；
y
(3) 数学期望E( X ), E(Y ).
解：(1)由 f (x, y)dxdy 1
3
1
x
1
3
k xdx ydy 2k 1
y j pij
j
j
ji
(X,Y)为二维连续型随机变量
E(X )
x fX (x)dx
x f (x, y)dxdy
E(Y )
y fY ( y)dy
y f (x, y)dxdy
例3.8 设(X,Y)的联合密度为
概率论
第3章 随机变(向量)的数字特征、生成函数、特征函数
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的矩与中位数 随机变量偏度、峭度 随机变量条件期望与方差 随机变量间的协方差与相关系数 随机变量生成函数与特征函数
随机变量的数学期望
Mathematical Expectation 一、引例
解: X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
a xb
0 其它
X的数学期望为
b
E(X ) xf (x)dx
x
dx a b
a ba
2
即数学期望是区间[a, b]的中点.
例3.5已知随机变量 X ~ e() 。求数学期望E( X ).
解: X的概率密度为
f
例3.1已知随机变量X的分布律为
X
4
5
6
pi
1/4
1/2
1/4
求数学期望E(X ).
解：由数学期望的定义
E(X ) 4 1 5 1 6 1 5 424
例3.2已知随机变量X的分布律为 X 0 1
求数学期望E(X ).
pi q p
解：由数学期望的定义 E( X ) p
例3.3已知随机变量 X ~ P() 。求数学期望E( X ).
解: X的概率函数为
P{X k} k e k 0,1, 2, , 0
k!
X的数学期望为
E(X )
k e
k
e
k1 ee
k0 k !
k1 (k 1)!
即 E(X )
例3.4已知随机变量 X ~ U (a,b) 。求数学期望E( X ).
(
x)
e
0
x
x0 x0
X的数学期望为
0
E(X ) xf (x)dx xf (x)dx xf (x)dx
0
xexdx 1
0
例3.6已知随机变量 X ~ N (, 2 )。求数学期望E( X ).
解: X的概率密度为
0
2x
2x
e
dx
2
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E(X ,Y ) (E(X ), E(Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E(X ) xiP{X xi} xi pi.
xi pij
i
i
ij
E(Y ) y j P{Y y j} y j p. j
所以k 1
0
1
2
1
(2)随机变量X的概率密度为
2x
f X
(x)
f
(x,
y)dy
0
随机变量X的概率密度为
x [0,1] 其它
fY
( y)
f
(x,
y)dx
y
4
0
x [1,3] 其它
(3)随机变量X ,Y的数学期望为
E(X
)
f (x)
X的数学期望为
1
(x )2
e 2 2
2
xR
E( X ) xf (x)dx
1
xe
(
x )2 2 2
dx
2
令t (x )
1
t2
( t )e 2 dt
2
1
t2
e 2 dt