四随机变量的数字特征答案
四随机变量的数字特征-文档资料
考点与例题分析
考点一：数学期望和方差的计算 考点二：随机变量函数的数学期望与方差 考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性
考点一：数学期望和方差的计算
1.对分布已知的情形，按定义求； 2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布， 再按定义计算； 3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和 方差计算； 4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量, 特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.
例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各
部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各 部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部
件数,试求X的E(X)和D(X).
（二）方差 1.定义 D(X)=E{[X-E(X)]2}
均方差或标准差：(X)D (X)
2.计算 (1) 离散型： D (X ) [x k E (X )2p ]k.
(2)连续型： D (X )k [xE (X )]2f(x)d x.
(3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).
(5)(6) XY 1; (6)(7)XY 1 X与Y以概率1线性相关,即存在a,b
且a≠0,使 P (Y a X b ) 1 .
(8)
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
（四）矩与混合矩
3.随机变量函数的数学期望
（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.
离散型：E (Y)E [g(X )] g(xk)p k;
连续型：E (Y ) E [g (X )] k g (x )f(x )d x .
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
概率论与数理统计第三版课后习题答案
概率论与数理统计第三版课后习题答案概率论与数理统计是一门应用广泛的数学学科，它研究了随机事件的发生规律和数据的统计分析方法。
而《概率论与数理统计》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了概率论和数理统计的基本理论和方法。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面将为大家提供一些《概率论与数理统计》第三版课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一章概率论的基本概念1. 掷一颗骰子，问出现奇数的概率是多少？答：骰子一共有6个面，其中3个面是奇数（1、3、5），所以出现奇数的概率是3/6=1/2。
2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，问抽到红心的概率是多少？答：一副扑克牌有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心的概率是13/52=1/4。
第二章随机变量及其分布1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=kx，其中0<x<1，求k的值。
答：由概率密度函数的性质可知，对于0<x<1，有∫f(x)dx=∫kxdx=1，解得k=2。
2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=ce^(-x)，其中x>0，求c的值。
答：由概率密度函数的性质可知，对于x>0，有∫f(x)dx=∫ce^(-x)dx=1，解得c=1。
第三章多维随机变量及其分布1. 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(2πσ1σ2√(1-ρ^2))e^(-(1/(2(1-ρ^2)))(x^2/σ1^2-2ρxy/(σ1σ2)+y^2/σ2^2))，其中-∞<x,y<∞，求常数σ1、σ2和相关系数ρ之间的关系。
答：由二维正态分布的性质可知，对于-∞<x,y<∞，有∫∫f(x,y)dxdy=1，解得σ1σ2√(1-ρ^2)=1。
2. 设随机变量(X,Y)服从二维均匀分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(b-a)(d-c)，其中a<x<b，c<y<d，求常数a、b、c、d之间的关系。
概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答
习题4-11、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。
解：据题意知，X 的分布律为根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =⋅-+⋅=。
2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。
现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。
解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k =），则12k X X X X =+++。
因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。
所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n====，即i X 的分布律为1{},(1,2,,)i P X m m n n===， 所以11()(12)2i n E X n n+=+++=， 所以，1(1)()()2k k n E X E X X +=++=。
注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。
3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。
每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。
（设诸产品是否是次品是相互独立的。
）解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，00101191010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==⋅=。
注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。
即p 值。
4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。
保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。
第四章随机变量的数字特征
（2）若（X，Y）为连续型随机变量，且积分 收敛，则
证明略。
【例4-10】已知（X，Y）的分布律为 求:(1)E（2X+3Y）;(2)E（XY）. 解 （1）由数学期望定义知
【例4-11】设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求:(1)E(X+Y)；(2)E(XY)； (3)P{ X+Y≤1}. 解：
求E（X） 解 E（X）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2
【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数 分别记为X，Y，它们的分布律分别为
试比较他们成绩的好坏。 解 我们分别计算X和Y的数学期望： EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。 EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。 这意味着，如果进行多次射击，甲所得 分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均 值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。
（1） 0-1分布 设X的分布律为 其中0＜P＜1,则X的方差D(X)=P(1-P). 因为 而 故 （2）二项分布 设X～B(n,p) 则有DX=np（1-p） （3）泊松分布 设X～P （λ），则有DX= λ
（4）均匀分布 设X～U(a,b),则有
（5）指数分布 设
(6)正态分布 可以证明，若
下表是六种常见分布的期望和方差的结果. 要求大家熟记下面公式.
【例4-18】 若X～U(a,b)且EX＝3，DX=1/3， 求：a,b及X的概率密度f(x) 解：
【例4-19】已知随机变量X服从二项分布，且 E(X)=2.4，D(X)=1.44，求二项分布的参数n，p. 解：因为E(X)=np，D(X)=npq， 由已知E(X)=2.4，D(X)=1.44，np=2.4， npq=1.44， 得q=0.6，p=0.4，n=6 【例4-20】已知（X，Y）的分布律为
第四章随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征」、选择题1 .X 为随机变量，E(X) = —1,D(X)=3，则 ERxfao = ( D ) A. 18B.9C.30D. 322.设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为A. 0B.1/2C.2D. 13. ( X,Y )是二维随机向量，与C OV (X ,Y )=0不等价的是(D ).C. D (X _Y )= DX DYD. X 与 Y 独立4. X,Y 独立，且方差均存在，则D(2X -3Y) =( C ). A. 2DX -3DY B. 4DX -9DY C.5.若X,Y 独立，则(C ). A. D(X -3Y) = DX -9DY B. C. E {[ x-EX ][Y -EY ]} =0 D.6.若Cov(X,Y)=0,则下列结论中正确的是(C ). A. X,Y 独立 B. D(XY)=DX DYC. D(X Y)=DX DYD.D(X-Y) = DX-DY7. X,Y 为两个随机变量,且 E[(X -EX )(Y -EY)] =0,则 X,Y( D ).A.独立B. 不独立C. 相关D. 不相关8. 设D(X Y^DX DY,则以下结论正确的是(A ).A. X,Y 不相关B. X,Y 独立C.6y=1 D.•一 1f (x, y)e" y),0 :::x ：：： ：：,0 ：：：则 E(XY)=(D).A. E(XY)二 EX EYB.D(X Y)二 DX DY4DX 9DY D. 2DX 3DYD(XY) = DX DY P{Y 二 aX b} = 19. 下式中恒成立的是（C ）.C. Cov(X,aX b)=aDXD.10. 下式中错误的是(D ). A. D(X Y)二 DX DY 2Cov(X,Y) B. Cov(X,Y)二E(XY) — EX EY1C.Cov(X,Y) [D(X Y) - DX - DY]2D. D(2X -3Y)=4DX 9DY -6Cov(X,Y) 11.下式中错误的是（B ).A. EX 2 = DX (EX)2B. D(2X 3) =2DXC.E(3Y b) =3EY bD.D(EX) = 012.设X 服从二项分布，EX 二 2.4,DX二1.44,则二项分布的参数为（A ）.A.n = 6, p = 0.4 B. n = 6, p = 0.1C. n = 8, p 二 0.3D.n = 24, p = 0.113.设X 是一随机变量,EX ",DX 八2,二0,则对任何常数C,必有（D ）. A.E(X -c) = EX -C 2B. E(X _c)2 = E(X _ J )2C. E(X -c)2: DX D.E(X -c)2 一二 2M.XS,则鵲=(B )A. nB.1 - pC.pD.11 - pA. E(XY)二 EX EYB. D(X _Y)二 DX DY D(X 1) = DX 115.随机变量X 的概率分布律为P{X 二k} = 1 ,k =1,2,||(, n,则D(X) =n(B ).17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为 0,方差为1，贝U( X, Y )的概率密度为(A )18. X 服从［0,2］上的均匀分布,则DX=( B ). A.1B.1C.1D.12361219. X ~ N(0,1),Y = X 3,贝U EY=( C ).A. 2B. 3Vn C. 0D.〈n4320.若丫 =X1 X 2,X i ~N(0,1),i =1,2,则(A ).A. EY=0B. DY=2C. 丫〜N(0,1)D. 丫〜N(0,2) 21.设 xLb( n,p),Y_N(・点2)，则(B ). A. D(X Y)二 np(1-p)二2 B. E(X Y)二 np - J22.将n 只球放入到 M 只盒子中去，设每只球落在各个盒中是等 可能的，设X 表示有球的盒子数，则EX 值为(A ).A. 1?(n 2 1)B.卩2")1C. 12(n 1)2D. (n-1)21216. 随机变量X~f(x )」1：e0,4 A. - 1 B.104 10 14X 0,则 E(2X 1)=( C ).x _0C. 21D. 20A.1心2)f(x,y) 一 e 2B.2兀C. 1 严)2f (x,y F e D.f(x, y)(x 2 -y 2)1x 2 4y 2f(x,沪勿「丁C. E(X 2 Y 2) = n 2p 2D. D(XY) = np(1 - pF 2-21A. M[1-(1 -)n] B.MX 服从参数为23.已知 n 1、nn! B. M[1 一()] D. nMMM n■ '的泊松分布，且E[(X -1)(X -2)^1,则■).A. 124.设 X i1D. 丄24,X 2 , X 3相互独立，其中X 1服从［0,6］上的均匀分布，X 2B.-2C.服从正态分布N(0,22),X 3服从参数为3的泊松分布，记丫 = Xi -2X 2 3X 3,则 DY=( B ).A. 14B.46C.20D. 925.设X 服从参数为1的指数分布,则E(X e^X )=( D ). 1 D. 电 33为随机变量,EX ",DX = ；2,则P{| X 」|_3「}满足A. 1B.0C.26.设(A A. < 927.设).<1 3X,Y 独立同分布 B.1 1--D.一丄93，记U = X -Y,^ X Y,贝y U 与V 满足C.D. A. 28.EX i A. C. 29. ).不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D.相关系数为0设随机变量 X 1,x,|2ix 相互独立，且= 1,DX j =2(i =1,2,川,10)，则下列不等式正确的是(C ).10P{Z Xi -^4 >1-i=1 10P{5： X i —10 < 号 K 1 —20Ei =1B.利用正态分布有关结论10P{S X i -im ::} -1-10P{2； X i —10 CE }兰1 —20EiT」X -2)2(x 2 -4x 4)e2dx =(A ).30.设（X,Y ）服从区域D =｛（ x,y ）：0< x, y < a ｝上的均匀分布,则E|X -丫|的值为（C ）.32.某班有n 名同学，班长将领来的学生证随机地发给每个人「-1, X ：： 033.设X 服从区间［-1,2］上的均匀分布，丫二0, X=0,则DY=（1, X 0A. 2B. 1C.833934.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品，价值10元；疵点数大 于1不多于3的为二等品，价值8元;3个以上者为废品，则产品 的废品率为（B ）. A. -B.1 - § C. 1」 D. 3e3e 2e_5_ 2e35.接上题，任取一件产品，设其价值为X,则EX 为（A ）.A. 1B.0C.2D. -1 A. 0 B.C. D.31. 1a 4下列叙述中正确的是 (D ).A.D (JEX)=1DXB.貸 ~N(0,1)C. EX 2 =(EX)2D. EX 2 二 DX (EX)2A. 1设X 表示恰好领到自己学生证的人数，则EX 为（A ）. n （n 1） 2B.C.D.n -1 n).CD. 1A. 763eB.兰C.3e9D. 636.设X ~ f (x)=丿 '2x, 01x<J,以Y 表示对X 的三次独立重复观0, ■-其他察中“ X 兰1 ”出现的次数，则 DY=( A).A . 9 B.16 C. -D.41694337.设(X,Y)为连续型随机向量，其联合密度为f (x,y),两个边缘概率密度分别为f x (x)与f Y (y),则下式中错误的是(D ). *-be—-be -beA. EX xf X (x)dxB.EX xf(x, y)dxdy—o -be -be o—-be -beC. EY 2y f (x, y)dxdy D. E(XY)xyf X (x) f Y (y)dxdyJO-O0 --O0二、填空题2/e2 .已知离散型随机变量 X 可能取到的值为： -1 , 0, 1，且E(X) = 0.1,E X ) 0,贝U X 的概率密度是 ____________ . _______3. 设随机变量X~N(・/2)，则X 的概率密度f(x)二 __________________EX 二 ____ ； DX 二 若Y =-^^-，贝U Y 的概率密度 f(y)二EY = ______ ； DY 二4. 随机变量X 〜N(=4),且E(X 2)=5 ,则X 的概率密度函数 为5.若随机变量X 服从均值为3，方差为匚2的正态分布，且P(2 VX £4)=0.3 贝U P(X V2)=______6 .已知随机变量X 的分布律为：1 .随机变量X 服从参数为，的泊松分布，且 D(X) =2，贝U p 〈X =1/ =则E(x)= 7/4 _____ , D(X)=121/48, E(_2X 1)= -5/2 .7 .设DX =4,DY =9, P X Y =0.5,则D(2X —3Y)= ________________ .618. 抛掷n颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为35/12 . ___________9. 设随机变量X和Y独立，并分别服从正态分布N(2, 25)和N(3,49)，求随机变量Z =4X -3Y 5的概率密度函数为10. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则X2的数学期望E ( X2) = 18.4 .11. 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望 E (Z) = 4 .。
人教B版(2019)选修第二册突围者第四章第二节课时4随机变量的数字特征
人教B 版（2019）选修第二册突围者第四章第二节课时4随机变量的数字特征学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一个口袋中有5个大小相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中任取2个球，用X 表示取出球的较大号码，则EX 等于（ ） A ．4B ．5C ．3D ．4.52．随机变量X 的分布列如表，若E (X )=2，则D (X )=（ ）A ．65B ．43C ．54D ．323．小智参加投篮比赛，比赛规则为投中1次得1分，投不中扣1分．已知小智投篮的命中率为0.5，记小智投篮3次后的得分为ξ，则()D ξ=（ ） A ．0.375B ．0.75C ．1.5D ．34． “四书”是《大学》《中庸》《论语》《盂子》的合称，在中国思想史上产生过深远影响．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”诵读比赛活动，某班有4名同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4名同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的学生人数的数学期望为（ ） A ．12B ．1C ．23D ．25．设随机变量(),X B n p ，且X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则（ ）A ．4n =，0.6p =B ．6n =，0.4p =C ．8n =，0.3p =D ．24n =，0.1p =6．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ7．利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是A ．A 1B ．A 2C ．A 3D ．A 48．有甲、乙两名学生，经统计，他们在参加同一智力竞赛时，各自的成绩为80分、90分、100分的概率如下表所示：则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两名学生的成绩不相当，且甲的较稳定B ．甲、乙两名学生的成绩不相当，且乙的较稳定C ．甲、乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定D ．甲、乙两名学生的成绩相当，但乙的较稳定 9．若X 是离散型随机变量，()123P X x ==，()213P X x ==，且12x x <，若4()3E X =，2()9D X =，则12x x +的值为（ ） A ．53B ．73C ．3D ．11310．已知随机变量8ξη+=，若(10,0.4)B ξ，则()E η，()D η分别是( )A ．4和2.4B ．2和2.4C ．6和2.4D ．4和5.611．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i （其中2,3,4i =）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量i ξ（其中2,3,4i =），则有（ ）A ．()()()24323E E E ξξξ+<B ．()()()24323E E E ξξξ+>C ．()()()24323E E E ξξξ+<D ．()()()24323E E E ξξξ+>二、解答题12．已知在某公司年会上，甲、乙等6人分别要进行节目表演，若采用抽签的方式确定每个人的演出顺序（序号：为1，2，，6），求：（1）甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两人之间的演出节目的个数ξ的分布列、数学期望与方差．13．袋中有20个除标号不同外其他完全相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n 的有n （1n =，2，3，4）个．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号． （1）求ξ的分布列、数学期望和方差；（2）若a b ηξ=+，()1E η=，()11D η=，试求a ，b 的值．14．某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中男同学5名，女同学3名．为了活动的需要，要从这8名同学中随机选出3名去执行一项特殊任务，记其中男同学的人数为X ．（1）求去执行任务的同学中有男有女的概率； （2）求X 的分布列及数学期望和方差．15．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到奖券1张，每张奖券的中奖概率为12，且每张奖券是否中奖是相互独立的，若中奖，则商场返回顾客现金100元某顾客现购买单价为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张． （1）设4张奖券中中奖的张数为ξ，求ξ的分布列；（2）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（单位：元），用ξ表示η，并求η的数学期望和方差．16．已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a ，a ，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲，乙射击结果互不影响．记甲，乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ，η． （1）求ξ，η的分布列；．（2）求ξ，η的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术．17．某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，（1）求这两种方案检测次数相同的概率；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由. 18．1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府将8月1日作为中国工农红军成立纪念日．中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节．为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班班委设计了一个测试方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，根据答题情况确定参赛学生．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为23，A，B两名学生对每个问题回答的正确与否都是相互独立的．设学生A答对题数为X，学生B答对题数为Y，若让你投票选择参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．19．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望()E X.20．记A，B两个投资项目的利润率分别为1x和2x，根据市场分析，可知1x和2x的分布列分别为(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，1 y 和2y 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润（单位：万元），求()1D y ，()2 D y ． (2)将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，(100)x -万元投资B 项目()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求()f x 的最小值，并指出x 为何值时()f x 取得最小值．三、多选题21．已知随机变量X 的分布列为则下列结论正确的是（ ）A ．()13E X =-B ．()143E X +=-C ．()2327D X =D ．()315D X +=22．一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则（ ） A ．随机变量X 服从二项分布 B ．随机变量X 服从超几何分布 C ．()327P X ==D ．()85E X =23．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，则（ ）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ没有最值C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12四、双空题24． 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．X 表示在未来3天内日销售量不低于100个的天数，则E (X )＝________，方差D (X )＝________.五、填空题25．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为23，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X 为该毕业生得到面试机会的公司个数．若()1012P X ==，则()D X =______．参考答案1．A 【分析】由题意知随机变量为2，3，4，5，计算出相应的概率，运用公式计算结果即可. 【详解】解：由题意知随机变量为2，3，4，5， ()2511210P X C ===， ()1225213105C P X C ====，()13253410C P X C ===，()1425425105C P X C ====，故113223454105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望的计算，属于基础题. 2．D 【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数a ，b 的方程组，解出a ，b 的值, 再利用方差公式可求出()D X 的值. 【详解】由分布列的性质以及期望公式可得 1()242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 解得 14a b ==所以2221113()(12)(22)(42)2442D X =-+-+-=故选：D3．B 【分析】根据题意可得ξ的取值可能为3,3,1,1--，分别求出对应的概率，进而可得ξ的取值可能为1,3，分别求出对应的概率列出分布列，计算数学期望进而可得方差. 【详解】由题意得：ξ的可能取值是3,3,1,1--， 3(3)(3)0.50.125P P ξξ===-==，2333(1)(1)C 0.5300.375.5P P ξξ-⨯======，所以ξ的取值范围是1,3，()()()1110.37520.75P P P ξξξ===+=-=⨯=，()()()3330.12520.25P P P ξξξ===+=-=⨯=，ξ分布列为：故()10.7530.25 1.5E ξ=⨯+⨯=，()22(1 1.5)0.75(3 1.5)0.250.75D ξ=-⨯+-⨯=．故选：B. 4．B 【分析】由排列组合的知识结合古典概型概率公式可得X 取0，1，2，4时的概率，再由期望公式即可得解. 【详解】记抽到自己准备的书的学生人数为X ，则X 可能值为0，1，2，4，则1344C 33(0)A 8P X ⨯===，1444C 21(1)A 3P X ⨯===， 244411(2)4C P X A ⨯===，4411(4)24P X A ===，则3111()0124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：B ． 5．B 【分析】结合二项分布的期望和方差的公式得到方程组，解方程组即可求出结果. 【详解】由题意，得 2.4np =，(1) 1.44np p -=，∴10.6p -=，∴0.4p =，6n =． 故选：B. 6．A 【详解】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确． 7．C 【分析】根据表中的数据，求解各自的均值1234,,,A A A A ，比较大小，即可得到结论. 【详解】由题意A 1的均值为50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7. A 2的均值为70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5. A 3的均值为-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7. A 4的均值为98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6. ∵A 3的均值最大,∴选方案A 3. 【点睛】本题主要考查了数学期望（均值）的应用，其中明确数据的数学期望（均值）的计算公式和熟记的均值的含义是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力. 8．C 【分析】计算出()E X 、()D X 、()E Y 、()D Y 的值，比较()E X 与()E Y 、()D X 与()D Y 的大小，即可得出结论. 【详解】()800.2900.61000.290E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()22280900.290900.6100900.240D X =-⨯+-⨯+-⨯=，()800.4900.21000.490E Y =⨯+⨯+⨯=，()()()()22280900.490900.2100900.480D Y =-⨯+-⨯+-⨯=，()()E X E Y ∴=，()()D X D Y <，∴甲与乙成绩的均值一样，甲成绩的方差较小，因此甲．乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定． 故选：C. 9．C 【分析】根据离散型随机变量的期望和方差公式列出方程组，求解方程组即可得答案. 【详解】 解：12214()333E X x x =+=，∴2142x x =-， 又221242412()33339D X x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12x x <，∴11x =，22x =，∴123x x +=．故选：C. 10．A 【详解】100.4100.44100.40.6 2.4B E D ξξξ∴=⨯==⨯⨯=～（，），，， 8848 2.4E E D D ηξηξηξ=-∴=-==-=，（），（）故选A ． 11．B 【分析】分别求出2i =、3i =、4i =时()i E ξ，再一一判断即可； 【详解】解：当2i =时，2ξ的可能情况为0,3,5选择的情况共有：1234444415C C C C +++=种；()21515P ξ==，()22315P ξ==，()2121201151515P ξ==--= 所以()221121135015151515E ξ=⨯+⨯+⨯= 当3i =时，3ξ的可能情况为0,3,5选择的情况共有：1234444415C C C C +++=种；()31515P ξ==，()233363151515C P ξ==+=，()316801151515P ξ==--=所以()36182335015151515E ξ=⨯+⨯+⨯=当4i =时，4ξ的可能情况为3,5选择的情况共有：1234444415C C C C +++=种；()41515P ξ==，()4114311515P ξ==-=， 所以()41144753151515E ξ=⨯+⨯= 对于AB ：()()24114710522151515E E ξξ+=+⨯=，()32369331515E ξ=⨯=，所以()()()24323E E E ξξξ+>，故A 错误，B 正确；对于CD ： ()()2411476922151515E E ξξ+=⨯+=，()32369331515E ξ=⨯=，所以()()()24323E E E ξξξ+=，故CD 错误；故选：B12．（1）45 ；（2） 分布列见解析； 4()3E ξ=，14()9D ξ=．【分析】（1）设A 表示“甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲，乙两人的演出序号均为偶数”，再由()1()P A P A =-求解即可；（2）由题意ξ的取值范围为{}0,1,2,3,4，求出各个取值的概率，得到分布列，进而即可求出数学期望与方差 【详解】（1）设A 表示“甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲，乙两人的演出序号均为偶数”，故232614()1()1155A P A P A A =-=-=-=．（2）ξ的取值范围为{}0,1,2,3,4，则22265A 1(0)A 3P ξ===，22264A 4(1)A 15P ξ===，22263A 1(2)A 5P ξ===，22262A 2(3)A 15P ξ===，22261(4)15A P A ξ===所以ξ的分布列为所以141214()01234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222144414241414()0123433153531531539D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．13．（1）分布列见解析； 3()2E ξ=，11()4D ξ= ；（2） 22a b =⎧⎨=-⎩或24a b =-⎧⎨=⎩． 【分析】（1）求出ξ的可能取值，进而根据古典概型的概率公式求出对应的概率，即可得到相应的分布列，进而根据期望和方差的概念即可求出结果；（2）根据期望和方差的性质得到2()()D a D ηξ=和()()E aE b ηξ=+，进而解方程组即可求出结果. 【详解】（1）ξ的可能取值为0，1，2，3，4， 故101(0)202P ξ===,1(1)20P ξ==,21(2)2010P ξ===, 3(3)20P ξ==,41(4)205P ξ===, 故ξ的分布列为所以111313()01234220102052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222313131333111()0123422220210220254D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由2()()D a D ηξ=，得211114a ⨯=，即2a =±． 又()()E aE b ηξ=+，所以当2a =时，3122b =⨯+，得2b =-； 当2a =-时，由3122b =-⨯+，得4b =．所以22a b =⎧⎨=-⎩或24a b =-⎧⎨=⎩．14．（1） 4556；（2） 分布列见解析；期望为158；方差225()448D X =．【分析】（1）结合古典概型的概率公式以及概率的加法公式即可求出结果；（2）求出X 的可能取值，分别求出相应的概率，进而求出求X 的分布列及数学期望和方差. 【详解】（1）去执行任务的同学中有男有女的慨率为122153533388C C C C 151545(1)(2)C C 562856P X P X =+==+=+=．（2）X 的取值范围为{}0,1,2,3，035338C C 1(0)C 56P X ===，125338C C 15(1)C 56P X ===，21533815(2)28C C P X C ===，3053385(3)28C C P X C ===； 故X 的分布列为故X 的数学期望11515515()0123565628288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或3515()88E X ⨯==）， 方差222215115151515155225()0123856856828828448D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．15．（1）答案见解析 ；（2） 2300100ηξ=-， ()2100E η=，()10000D η=． 【分析】（1）由题意，ξ服从二项分布，从而可得ξ的分布列；（2）由二项分布的期望和方差公式可得()E ξ和()D ξ，又2300100ηξ=-，根据公式即可求解()E η和()D η． 【详解】解：（1）每张奖券是否中奖是相互独立的，∴14,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴441()C 2i P i ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭(0,1,2,3,4)i = ∴ξ的分布列为（2）14,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1()422E ξ=⨯=，11()4122D ξ=⨯⨯=．又由题意可知2300100ηξ=-，∴()(2300100)2300100()230010022100E E E ηξξ=-=-=-⨯=，2()100()10000D D ηξ==．16．（1）答案见解析 ；（2） ()9.2E ξ=，()8.7E η=，()0.96D ξ=，() 1.21D η=；甲比乙的射击技术好． 【分析】（1）由题意先求出a ，再由随机变量ξ，η的意义得到相应的分布列；（2）由（1）中的分布列，利用期望与方差的公式求出期望与方差，结合期望与方差的含义即可求解 【详解】（1）依题意，有0.530.11a a +++=，解得0.1a =． 乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，∴乙击中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2-++=， ∴ξ，η的分布列分别为（2）由（1）可得()100.590.380.170.19.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，()100.390.380.270.28.7E η=⨯+⨯+⨯+⨯=，2222()(109.2)0.5(99.2)0.3(89.2)0.1(79.2)0.10.96D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=， 2222()(108.7)0.3(98.7)0.3(88.7)0.2(78.7)0.2 1.21D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．由于()()E E ξη>，说明甲平均击中的环数比乙高， 又()()D D ξη<，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定，∴甲比乙的射击技术好．17．（1）16；（2）乙方案，理由见解析.【分析】设甲方案检测的次数{1,2,3,4,5}X ∈，记乙方案检测的次数{2,3}Y ∈，（1）记两种方案检测的次数相同为事件A ，根据独立事件的概率的乘法公式，即可求解；（2）分别求得随机变量X 和Y 的期望，结合期望的大小，即可求解. 【详解】由题意可设甲方案检测的次数是X ，则{1,2,3,4,5}X ∈，记乙方案检测的次数是Y ，则{2,3}Y ∈， （1）记两种方案检测的次数相同为事件A ，则()()()111212,23,363636P A P X Y P X Y ===+===⨯+⨯=，所以两种方案检测的次数相同的概率为16.（2）由11(1)(2)(3)(4),(5)63P X P X P X P X P X ==========，所以1111110()12345666633E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，122(2),(3)1333P Y P Y ====⨯=，则128()23333E Y =⨯+⨯=，因为()()E X E Y >，所以采用乙方案. 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 2、求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；4、若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 18．选择投票给学生A ；理由见解析． 【分析】根据古典概型运算公式求出随机变量X 的数学期望和方差，结合二项分布的定义求出随机Y 的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可. 【详解】选择A 学生理由如下： X 的取值范围为{}1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，3436C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=由题意知23,3YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2()323E Y =⨯=，212()3333D Y =⨯⨯=所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，由此可见，学生A 与学生B 的平均水平相当，但学生A 比学生B 的成绩更稳定，所以选择投票给学生A ． 19．（1）96625；（2）第一种方案；（3）详见解析 【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果. 【详解】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则()2011005P A == 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴恰好抽到2个礼品果的概率为：()22244196255625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为：()1342165488481618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯== ()20E ξ>∴从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个 现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为：0,1,2,3则()36310106C P X C ===；()2164310112C C P X C ===；()12643103210C C P X C ===；()343101330C P X C ===X ∴的分布列如下：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率.20．(1)()14D y =；()212D y = ；(2)()f x 的最小值3，此时=75x ． 【分析】(1)首先求出1y 和2y 的分布列，再求出每个分布列的数学期望，然后通过离散型随机变量的方差公式计算即可；(2)通过已知条件表示利用新的方差表示函数()f x ，然后结合(1)中答案和方差的性质，再利用二次函数性质，求解即可. 【详解】(1)由题意，可知1y 和2y 的分布列分别为∴()150.8100.26E y =⨯+⨯=，()220.280.5120.38E y =⨯+⨯+⨯=，∴()221(56)0.8(106)0.24D y =-⨯+-⨯=，()2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312D y =-⨯+-⨯+-⨯=．故答案为：()14D y =，()212D y =. (2)由题意可知，12100()100100x x f x D y D y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由(1)中所求方差以及方差的性质可知()()2212100()100100x x f x D y D y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(1675)3100x =-+， 故当75x =时，()f x 取得最小值3． 故答案为：()f x 取得最小值3，此时75x =. 21．AD 【分析】求出()E X 、()D X 的值，可判断AC 选项的正误，利用均值和方差的性质可判断BD 选项的正误. 【详解】()()11111012363E X =-⨯+⨯+⨯=-，()()11443E X E X +=+=，故A 正确，B 错误；()22211111151013233369D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()3195D X D X +==，故C 错误，D正确. 故选：AD. 22．BCD 【分析】由题意知随机变量X 服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可 【详解】由题意，知随机变量X 服从参数为10，4，4的超几何分布，即(10,4,4)X H ~，故A 错误，B 正确；随机变量X 的取值范围为{}0,1,2,3,4，464101(0)14C P X C ===，13464108(1)21C C P X C ===，2246410C C 3(2)C 7P X ===，3146410C C 4(3)C 35P X ===，444101(4)20C P X C ===，故18341812341421()7352105E X ，故C ，D 正确． 故选：BCD ． 23．AD 【分析】根据分布列的性质求得12b =，102a ≤≤，求出()E ξ关于a 的表达式，可判断AB 选项的正误；求出()D ξ关于a 的表达式，利用二次函数的基本性质可判断CD 选项的正误. 【详解】由题意知，21b a b a b -++==，即12b =，又0102a a ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，则102a ≤≤，所以()()113022,222E b a b a a ξ⎡⎤=⋅-++=+∈⎢⎥⎣⎦，A 对；()222211112024112221224222D a a a a a a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-++-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎛⎫⨯⨯⎭⎝ ⎝⎭⎪⎭211442a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，又102a ≤≤，所以当14a =时，()D ξ有最大值12，当0a =或12时，()D ξ有最小值14. 故选：AD.24．1.8 0.72 【详解】由题意知，日销售量不低于100个的频率为(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，且X ～B (3,0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8， 方差D (x )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 25．1318【分析】根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，求出乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率得出分布列及期望，从而求得方差． 【详解】答案第15页，共15页 由()1012P X ==，知211(1)312p ⨯-=，得12p =， 由题意知X 为该毕业生得到面试的公司个数，则X 的可能取值是0，1，2，3，221111(1)1132322P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111113223⎛⎫+⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 2112111115(2)1132232232212P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2(3)3P X ==⨯21126⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以11515()01231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以221515()0112333D X ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22551513231236318⎛⎫⎛⎫+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：1318。
(完整版)概率论第三章第四章习题及答案
第三章 多维随机变量及其分布
n
解:(1)P{X n} P{X n,Y m}
m0
n e14 (7.14)m (6.86)nm
m0
m!(n m)!
e14 n
n! (7.14)m (6.86)nm
n! m0 m!(n m)!
e14 (7.14 6.86)n 14n e14 , n 0,1,2,
返回主目录
第三章 多维随机变量及其分布
(3)P{Y m | X 20} C2m0 0.51m0.4920m , m 0,1,2, ,20.
P{Y m | X n} Cnm 0.51m0.49nm , m 0,1,2, , n
返回主目录
第三章 多维随机变量及其分布
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
0, FU (u) un ,
1,
u 0, 0 u 1,
u 1.
返回主目录
第四章 随机变量的数字特征
U 的密度函数为
nun1, x (0,1),
fU (u)
0,
其他.
0, FU (u) un ,
1,
u 0, 0 u 1,
u 1.
E(U )
ufU (u)du
e14 (7.14)m (6.86)nm m!(n m)!
e
1414n n!
Cnm
7.14 14
m
6.86 14
nm
Cnm 0.51m0.49nm , m 0,1,2, , n
P{X n,Y m} e14 (7.14)m (6.86)nm , m!(n m)!
m 0,1,2, , n; n 0,1,2, .
cxey ,0 x y ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征(一)一、选择题:1.设随机变量X ,且()E X 存在,则()E X 就是 [ B ] (A)X 的函数 (B)确定常数 (C)随机变量 (D)x 的函数2.设X 的概率密度为910()900xex f x x -⎧≥⎪=⎨⎪<⎩,则1()9E X -= [ C ] (A)919x x e dx +∞-∞⋅⎰ (B)919xx e dx +∞-∞-⋅⎰ (C)1- (D)13.设ξ就是随机变量,()E ξ存在,若23ξη-=,则()E η= [ D ](A)()E ξ (B)()3E ξ (C)()2E ξ- (D)()233E ξ- 二、填空题:1.设随机变量X 的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为0、6 , 0、3 , 、01,则()E X = 0、52.设X 为正态分布的随机变量,概率密度为2(1)8()x f x +-=,则2(21)E X -= 93.设随机变量X 的概率分布2(3)E X X += 116/154.设随机变量X 的密度函数为2,则)= 0 三、计算题:1.袋中有5个乒乓球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以X 表示取出的3个球中最大编号,求()E X 解:X 的可能取值为3,4,53511(3)10P X C ===, 23353(4)10C P X C === 24356(5)10C P X C ===133()345 4.510105E X =⨯+⨯+⨯= 2.设随机变量X 的密度函数为2(1)01()0x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它,求()E X解:11()2(1)3E X x x dx =⋅-=⎰3.设随机变量2~(,)X N μσ,求(||)E X μ- 解:222()22||||x y x y edy μσμ---∞∞--∞-∞-⎰22y ye dy ∞-==4.设随机变量X 的密度函数为0()0xe xf x x -⎧≥=⎨<⎩,试求下列随机变量的数学期望。
(1) 21XY e -= (2)2max{,2}Y X = (3)3min{,2}Y X =解:(1)2013x x E Y e e dx +∞--=⋅=⎰() (2)2202()2x x E Y e dx xe dx +∞--=+⎰⎰2222232ee e ---=-+=+(3)2302()2xx E Y xe dx e dx +∞--=+⎰⎰2221321ee e ---=-+=-概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征(二)一、选择题:1.已知()1,()3E X D X =-=,则2[3(2)]E X -= [ B ](A)9 (B)6 (C)30 (D)362.设~(,)X B n p ,则有 [ D ] (A)(21)2E X np -= (B)(21)4(1)1D X np p -=-+ (C)(21)41E X np +=+ (D)(21)4(1)D X np p -=-3.设ξ服从参数为λ的泊松分布,23ηξ=-,则 [ D ](A)()23()23E D ηληλ=-=- (B)()2()2E D ηληλ==(C)()23()43E D ηληλ=-=- (D)()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题:1.设随机变量X 的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为0、6 , 0、3 , 、01,则 ()D X = 0、452.设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞,则()D X = 2 3.随机变量X 服从区间[0,2]上的均匀分布,则2()[()]D X E X = 1/34.设正态分布Y2(3)y --,则()D X = 1/2三、计算题:1.设随机变量X 的可能取值为1,2,3,相应的概率分布为0、3 , 0、5 , 、02,求:21Y X =-的期望与方差;解:()10.320.530.2 1.9E X =⨯+⨯+⨯=222()()()10.340.590.2(1.9)0.49D X E X EX =-=⨯+⨯+⨯-=()2()1 2.8E Y E X =-= ()4() 1.96D Y D X ==2.设随机变量~(0,1)X N ,试求||E x 、||D X 、3()E X 与4()E X解:22||||x E X x dx -+∞-∞=⎰222x dx -+∞=⎰= 220|x -+∞==222||(||)(||)()D X E X E x E X =-=-2222()x E X dx -+∞-∞=⎰22x -+∞-∞=-⎰2222]x x xeedx --+∞+∞-∞-∞=-⎰ = 1所以 2||1D X =-π2332()xE X dx∞-=⎰= 02442()xE X dx∞-=⎰232x∞-=-⎰2223xdx∞-=⎰= 33.设随机变量X的分布密度为02()24ax xf x bx c x<<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它,已知3()2,(13)4E X P X=<<=,求:(1)常数A,B,C的值; (2)方差()D X; (3)随机变量XY e=的期望与方差。
解:(1)24022()()E X x axdx x bx c dx==⋅++⎰⎰323424022|||332a b cx x x=++856633a b c=++得8566233a b c++=3(13)4P X<<=得353224a b c++=()1f x dx+∞-∞=⎰得2621a b c++=所以解得11,, 1.44a b c==-=242220211(2)()(2)()(2)(1)(2)44D X x f x dx x x dx x x dx+∞-∞=-=-+--⎰⎰⎰23=242202111(3)()()(1)(1)444x x xE Y e f x dx xe dx x e dx e+∞-∞==+-=-⎰⎰⎰2222221()()(())()[(1)]4xD YE Y E Y e f x dx e+∞-∞=-=--⎰222242220211111142424244()|[()][()]x x x x e x e e e =-+---- 422221111164()[()]e e =--- 2221(1)4e e =- 概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征(三)一、选择题:1.对任意两个随机变量X 与Y ,若EY EX XY E ⋅=)(,则 [ B ] (A)()()()D XY D X D Y = (B)()()()D X Y D X D Y +=+ (C)X 与Y 相互独立 (D)X 与Y 不相互独立2.由()()()D X Y D X D Y +=+即可断定 [ A ] (A)X 与Y 不相关 (B)(,)()()X Y F x y F x F y =⋅ (C)X 与Y 相互独立 (D)相关系数1XY ρ=- 二、填空题:1.设维随机变量(,)X Y 服从(0,0,1,1,0)N ,则(32)D X Y -= 132.设X 与Y 独立,且6)(=X D ,3)(=Y D ,则(2)D X Y -= 27 三、计算题:1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如表: 试验证X 与Y 不相关,但X 与Y 不独立。
解:X的分布律为:X 1- 0 1P 0、375 0、25 0、375 Y 的分布律为:X 1- 0 1P 0、375 0、25 0、375103750025103750E X =-⨯+⨯+⨯=()()...103750025103750E Y =-⨯+⨯+⨯=()()...110125100125110125E XY =--⨯+-⨯⨯+-⨯⨯()()().().(). 01101250110125++⨯-⨯++⨯⨯().. = 00xy E XY E X E Y ρ=-=()()() 所以X 与Y 不相关。
110125P X Y =-=-=(,).≠1103750375P X P Y =-=-=⨯()().. 所以X 与Y 不相互独立。
2.设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,求:(),()D X Y D X Y +- 解:(,)xy Cov X Y ρ=0.45612=⨯⨯=()()2(,)()85D X Y D X Cov X Y D Y +=++=, ()()2(,)()37D X Y D X Cov X Y D Y -=-+=3.设~(0,4),~(0,4)X N Y U ,且X ,Y 相互独立,求:(),(),(23)E XY D X Y D X Y +-解:()0,()4E X D X ==, 40()22E Y +==,244()123D Y ==,0xy ρ= 0)(=XY E ,416()()()433D X Y D X D Y +=+=+=, (23)4()9()161228D X Y D X D Y -=+=+=4.设X ,Y 相互独立,其密度函数分别为21()0X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩0其它,(5)5()05y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩,求()E XY 解:3110022()2|33x E X x xdx =⋅==⎰ (5)555()(1)|6y y E Y y e dy e e y +∞---+∞=⋅=-+=⎰2()()()643E XY E X E Y ==⨯=5.(1)设随机变量23041605(),()(),(),(),.XY W aX Y E X E Y D X D Y =+====ρ=-。
求常数a 使()E W 为最小,并求()E W 的最小值。
(2)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且有22(),()XYD X D Y =σ=σ,证明当222X Ya σ=σ时,随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。
解:(1)22269W a X aXY Y =++2222226969()[]()()()E W E a X aXY Y a E X aE XY E Y =++=++ 22269[()(())]()[()(())]a D X E X aE XY D Y E Y =++++ 2424144a a =-+2246364327()[()]a a a =-+=-+ 当3a =时,()E W 最小,最小值为108。
(2)要使随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立,则0()()()E WV E W E V -= 由于 222222()()()()(())(())E WV E W E V E X a Y E X a E Y -=--- 2()()D X a D Y =-222X Y a =σ-σ0=所以 222X Ya σ=σ。