高三数学一轮复习试题答案详解

第一章
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
(时间40分钟，满分80分)
一、选择题(6×5分＝30分)
1．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是
A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0
B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0
C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0
D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0
解析 写命题的否定需要注意“任意”和“存在”的互换，还要注意小于等于的否定是大于，根据上述分析，可知选C.
答案 C
2．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是
A ．所有不能被2整除的整数都是偶数
B ．所有能被2整除的整数都不是偶数
C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数
答案 D
3．下列命题中，真命题是
A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数
B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数
C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数
D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数
解析 m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx 是偶函数．故选A.
答案 A
4．下列4个命题：
p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x p 2：∃x ∈(0,1)，12log x ＞13
log x
p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞12
log x p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜13
log x 其中的真命题是
A ．p 1，p 3
B ．p 1，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
解析 p 1是假命题，p 2是真命题，
对于p 3，x ＝12时，1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ 12＝22＜1，12log 12＝1，∴p 3是假命题， 对于p 4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，而13log x ＞13log 13＝1， ∴是真命题，故选D.
答案 D
5．已知命题
p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，
p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，
则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∧p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是
A ．q 1，q 3
B ．q 2，q 3
C ．q 1，q 4
D ．q 2，q 4 解析 ∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 在R 上为减函数， ∴y ＝－2－x ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 在R 上为增函数， ∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．
y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．
∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D ，
q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：綈p 1是假命题，
(綈p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A.故选择C.
答案 C
6．下列命题的否定是真命题的有
①p：Δ＜0时方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根；
②p：存在一个整数b，使函数f(x)＝x2＋bx＋1在[0，＋∞)上不是单调函数；
③p：∃x∈R，使x2＋x＋1≥0不成立．
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
二、填空题(3×4分＝12分)
7．命题“存在向量a，b，使|a＋b|＝|a|＋|b|”的否定是________，它是________命题．
答案对任意向量a，b，|a＋b|≠|a|＋|b|.假．
8．已知命题：“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．解析当1≤x≤2时，8≥x2＋2x≥3，
如果“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题应有
－a≤8，所以a≥－8.
答案a≥－8
9．已知命题p：∃m∈R，m＋1＜0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析因为p∧q为假命题，所以p、q中至少有一个为假命题，而命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2，又命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m＜－1，故综上可知：m≤－2.
答案m≤－2
三、解答题(38分)
10．(12分)写出下列命题的“否定”，并判断其真假：
(1)p：∀x∈R，x2－x＋1
4≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
解析(1)綈p：∃x∈R，x2－x＋1
4＜0，这是假命题，
因为∀x∈R，x2－x＋1
4＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x－
1
2
2≥0恒成立．
(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题，这
是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1＞0成立．
(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题，
这是由于x ＝－1时，x 3＋1＝0.
11．(12分)设命题p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －32x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]的值域为[－1,3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．
解析 由0＜a －32＜1得32＜a ＜52.
∵f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，得2≤a ≤4.
∵p 且q 为假，p 或q 为真，得p 、q 中一真一假．
若p 真q 假得，32＜a ＜2，
若p 假q 真得，52≤a ≤4.
综上，32＜a ＜2或52≤a ≤4.
12．(14分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．
解析 由命题p 知：0＜c ＜1.
由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52，
要使x ＋1x ＞1c 恒成立，
则2＞1c ，即c ＞12.
又由p 或q 为真，p 且q 为假知，
p 、q 必有一真一假，
当p 为真，q 为假时，
c 的取值范围为0＜c ≤12.
当p 为假，q 为真时，c ≥1.
综上，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12或c ≥1.。