高三数学一轮复习

高三数学一轮复习1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21++=+n n n a S S ， . ①283-=+a a ；②287-=S ；③2a ，4a ，5a 成等比数列；请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题： （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值并指明相应n 的值.解：（1）21++=+n n n a S S ，21=-∴+n n a a ∴数列{}n a 是公差2=d 的等差数列。

选①2-922-183=+∴=+d a a a 解得10-1=a 122-=∴n a n 选②287-=S 解得10-1=a 122-=∴n a n选③由2a ，4a ，5a 成等比数列得5224a a a =即())4)((31121d a d a d a ++=+解得10-1=a 122-=∴n a n （2）解法一：令⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 即⎩⎨⎧≥-≤-01020122n n 解得65≤≤n∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30-解法二：)11(-=n n s n∴当65==n n 或时，n s 取得最小值，且最小值为30-2.在①231a b b =+，②44a b =，③255-=s 中选择一个作为条件，补充在下列题目中，使得正整数k 的值存在，并求出正整数k 的值设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，{}n b 是等比数列，★_______，51a b =，32=b ，81-5=b 是否存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s解：32=b ，81-5=b 3-=∴q 151-==∴a b 274=∴b011 ++∴k k k a s s 0221 +++∴k k k a s s ，0-12 d a a k k =∴++若存在正整数k ，1+k k s s ，21++k k s s ，那么等差数列{}n a 的前n 项和为n s 必然为开口向上()0 d 的函数模型，在条件选择的时候，选择条件②2744==a b ，由151-==a b 显然公差()0 d ，由此产生矛盾，从而简化解答。

3.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列,其前n 项和为n S . (1)在①13222S S S +=+,②373S =,③2344a a a =,这三个条件中任选一个,补充到上述题干中,求数列{}n a 的通项公式,并判断此时数列{}n a 是否满足条件P:任意m,*n N ∈,m n a a 均为数列{}n a 中的项,说明理由;(2)设数列{}n b 满足11n n n n a b n a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,*n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T .注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）选①，因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2，又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1， 因此a n ＝1×2n －1＝2n －1． ……… 4分此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m －1·2n －1＝2m ＋n －2，由于m ＋n －1∈N *，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项， 因此数列{a n }满足条件P ． …7分选②，因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝73，又数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝13， 因此a n ＝13×2n －1．…………… 4分 此时a 1a 2＝29＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③， 因为a 2a 3＝4a 4， 又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4，因此a n ＝4×2n －1＝2n ＋1． …………………………………4分 此时任意m ，n ∈N *，a m a n ＝2m ＋1·2n ＋1＝2m ＋n ＋2，由于m ＋n ＋1∈N *，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 （2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＋1a n ＝2，因此b n ＝n ×2n －1． 所以T n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 则2T n ＝ 1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n，两式相减得－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ………………………10分＝1－2n1－2－n ×2n ＝(1－n )2n －1， 所以T n ＝(n －1)2n＋1． …………12分4. 阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①a n ＋1＝12a n ＋1，②a n ＋1＝a n ＋2，③S n ＝2a n －1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的★_______处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n s ，a1＝1，对任意的n ∈N*，都有★_______；等比数列{bn}中，对任意的n ∈N*，都有bn ＞0，2bn ＋2＝bn ＋1＋3bn ，且b1＝1，问：是否存在k ∈N*，使得：对任意的n ∈N*，都有anbk ≤akbn ？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 解 设等比数列{b n }的公比为q ．因为对任意的n ∈N *，都有2b n ＋2＝b n ＋1＋3b n ，所以2q 2＝q ＋3，解得q ＝－1或32． ………………………………………2分因为对任意的n ∈N *，都有b n ＞0，所以q ＞0，从而q ＝32．又b 1＝1，所以123-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b ……5分 显然，对任意的n ∈N *，b n ＞0．所以，存在k ∈N *，使得：对任意的n ∈N *，都有a n b k ≤a k b n ，即a n b n ≤a kb k ．记c n ＝a nb n ，n ∈N *．下面分别就选择①②③作为条件进行研究． ①因为对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝12a n ＋1，即a n ＋1－2＝12(a n －2)．又a 1＝1，即a 1－2＝－1≠0，所以a n －2≠0，从而a n ＋1－2a n －2＝12，所以数列{a n －2}是等比数列，公比为12，得a n －2＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1…8分 所以c n ＝a n b n ＝2n －13n －1，从而c n ＋1c n ＝2n ＋1－13(2n －1)．由2n ＋1－13(2n －1)≤1⇔2n ≥2⇔ n ≥1，得：c 1＝c 2，当n ≥1时，c n ＋1＜c n ，…………………10分 所以，当n ＝1或2时，c n 取得最大值，即a nb n 取得最大值． 所以对任意的n ∈N *，都有a n b n ≤a 2b 2＝a 1b 1，即a n b 1≤a 1b n ，a n b 2≤a 2b n ，所以存在k ＝1，2，使得：对任意的n ∈N *，都有a n b k ≤a k b n ．………………………12分 ②因为对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2， 所以数列{a n }是等差数列，公差为2．又a 1＝1，所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1． ………………………………………8分所以c n ＝a n b n ＝(2n －1)⎝⎛⎭⎫23n －1＞0，从而c n ＋1c n ＝2(2n ＋1)3(2n －1)．由2(2n ＋1)3(2n －1)≤1⇔2n ≥5⇔n ≥52，得：当n ≤2时，c n ＋1＞c n ；当n ≥3时，c n ＋1＜c n ，10分所以，当n ＝3时，c n 取得最大值，即a nb n 取得最大值． 所以对任意的n ∈N *，都有a n b n ≤a 3b 3，即a n b 3≤a 3b n ．所以存在k ＝3，使得：对任意的n ∈N *，都有a n b k ≤a k b n ．………………………12分 ③因为对任意的n ∈N *，都有S n ＝2a n －1，所以S n ＋1＝2a n ＋1－1， 从而a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－1－（2a n －1）＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ． 又a 1＝1＞0，所以a n ＞0，且a n ＋1a n ＝2，从而数列{a n }是等比数列，公比为2，得a n ＝2n －1．………………………………8分所以c n ＝a n b n ＝⎝⎛⎭⎫34n －1＞0，从而c n ＋1c n ＝34＜1，所以c n ＋1＜c n ，………………………10分 所以，当n ＝1时，c n 取得最大值，即a nb n 取得最大值． 所以对任意的n ∈N *，都有a n b n ≤a 1b 1，即a n b 1≤a 1b n ．所以存在k ＝1，使得：对任意的n ∈N *，都有a n b k ≤a k b n ．……………………12分5. 在①n n b na =；②2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；③()()21221log log n n n b a a ++=.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列{}n a 是等比数列，且11a =，其中1a ，21a +，31a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记________，求数列{}n b 的前2n项和2n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为1a ，21a +，31a +成等差数列，()213211a a a ∴+=++，又因为11a =，所以22(1)2q q +=+，即220q q -=，所以，2q或0q =（舍去），所以，12n na .（2）由（1）知12n n a ，选择条件①，则12n n b n -=⋅，01212122222n n T n -∴=⨯+⨯+⋯+⨯， 12222122222n n T n ∴=⨯+⨯+⋯+⨯，01212212121222n nn T n -∴-=⨯+⨯+⋯+⨯-⨯2221222(12)2112n n n n n -=-⨯=-⋅-- 22(21)21n n T n ∴=-⋅+.由（1）知12n na ，选择条件②，则12,1,n n nb n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所()()()022*********n n T n -=++++⋯++-()0222222(1321)n n -=++⋯++++⋯+-214(121)4114233-+-=+=+--n n n n n . 由（1）知12n na ，选择条件③，则1(1)nb n n ，211112232(21)n T n n ∴=++⋯+⨯⨯+111111223221n n =-+-+⋯+-+1212121n n n =-=++，2221n nT n ∴=+.6.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,________.给出下列三个条件:条件①:数列{}n a 为等比数列,数列1{}n S a +也为等比数列;条件②:点()1,n n S a +在直线1y x =+上;条件③:1121222n n n n a a a na -++++=.试在上面的三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,完成下列两问的解答: (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设221n n b log a =+,若{}n b 中去掉{}n a 的项后余下的项按原来的顺序组成数列{}n c , 求{}n c 的前30项和30T .解：选①：由数列1{}n S a +也为等比数列得()()1311212)(a s a s a s ++=+即()()123112122)(2a a a a a a a +++=+设等比数列公比为q,则()()22222q q q ++=+解得)(02舍或==q q 1112--==∴n n n q a a选②点()1,n n S a +在直线1y x =+上;11+=∴+n n s a 退位得()211-≥+=∴n s a n n ，两式相减有n n a a 21=+，又2112=+=s a 也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比为2的等比数列，1-n 2=∴n a 选③1211222+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n n n na a a a退位()n n n n a n a a a 1-2221-2211-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-变型()()n n n n a n a a a 1-222221-2211-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-相减有n n n a a a ）（1-n 2-21+=，整理得n n a a 21=+又2112=+=s a 也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比为2的等比数列，1-n 2=∴n a（2）n b n n 212log 122=+=-，120621)21(22)722(36)()(67323632130=---+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=a a a b b b b T7. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，其前n 项和为n s ，数列{}n b 为等比数列，其前n 项和为n T ，从①521,,a a a 成等比数列，n n b T -2=；②23-535=S S ；1-n 21-2⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T ③64321=a a a ③数列{}n b 为等比数列，101111021n n n a a =+=∑，11b a =，8543=b a 这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和n M ．解：（1）选择①521,,a a a 成等比数列，n n b T -2=，设等差数列{}n a 的公差为d ，由521,,a a a 成等比数列得()5122a a a =即()()d a a d a 41121+=+即()()d d 4112+=+解得20==d d 或又因为数列{}n a 是公差不为零，所以12-=n a n 。