08届高三数学抛物线2
一道意境幽远的高考数学试题的剖析
试题分析十‘?截'7(2008#-g8期高中版)39一道意境幽远的高考数学试题的剖析310030浙江省杭州师范大学附属中学苏立标1问题的呈现(2008年江西省高考试题)已知抛物线Y =菇2和三个点M (髫。
，Y o)、P(0，Y o)、J 『、r(一名。
，Y o)(Y o ≠石：，Y o>0)，过点肘的一条直线交抛物线于A 、B 两点，A P 、曰P 的延长线分别交曲线C 于E 、F证明：E 、F 、Ⅳ三点共线；证明设A (戈。
，茗：)、B (菇：，茗；)，E(戈E 、Y E)、B(石，，Y ，)则直线A B 的方程。
)+X 21，2——L 茗lJ +，善l 一算2即Y =(茹l +髫2)石一互l 互2，Y埝7P／‘＼§：jD—JY o=(石l +茗2)zo 一菇l 石2……Q )又直线A P 方程，，：X 錾1Y o+％一y27+％由L xl 茗-。
Yox+…甜一半2一。
，【石22Y ．‘所％饥=等2‰=一iYO m =暑，同理晰2一iYo ，)，，=虿Yo所以肝的方程y=一(x 髫j 而+x2)％并一蔫，令聋=一‰，得Y =兰[(石1+石2)算。
一Yo]．丑l 再2将①代入上式得Y =Y o ，即J7、r 点在直线EF 上，所以E ，F ，Ⅳ三点共线．点评这是一道设计新颖别致、赏心悦目的题目，从整个图形的形状特点上看，和谐优美，酷似一只美丽的蝴蝶，所以有人形象地把它称为“蝴蝶定理”．从方法上看，渗透了解析几何的最朴素的思想，没有高深的技巧，但对解析几何的思想方法考查得淋漓尽致，所以这是一道不得不让人折服的题目．2问题的拓展该高考试题所刻划的背景是抛物线中所蕴涵的“蝴蝶定理”，那么对圆锥曲线中的椭圆或双曲线是否有相似的结论呢?答案是肯定的．引申1已知椭圆与口+旨=1a>b>o)和三个U点肘(‰，％)、p(o ，Y o)、N(一量。
，Y o)，过点肘的一条yF 厂≥六一尸八＼∥1wI ．…≥受少)＼j E 丝B直线交椭圆于A 、曰两点，A P 、即的延长线分别交椭圆于E 、F证明：E ，，，Ⅳ三点共线；分析要证明这个结论，我们不妨先证明下面的引理．引理直线A E ：Y =kl 聋+％交椭圆与+告=l(口>b>0)于A (x 。
2008年高考全国卷2理科数学(含解析)
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，【答案】B【解析】{}1,0,1,2--=M ，{}3,2,1,0,1-=N ，∴{}1,0,1-=N M【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别。
【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题，都超简单。
其实集合问题是可以出难题的，但高考中的集合问题比较简单。
需要注意的是：很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点，我认为这是不妥当的，高中的集合问题涉及到的集合知识并不多（就是一种表达方式），其难度主要体现在知识的综合性上，学生应当先学习其他知识，再在集合中综合。
建议把“数学的基本运算”作为高考数学复习的起点，学生花1个月的时间温习、强化初等数学的基本运算是必要的，重要的，也是值得的。
数学的基本运算具体包括的内容可以参考本人编写的《高考数学复习专用教材》 2．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =【答案】A【解析】i b b a ab a i b ab bi a a bi a )3()3(33)(322332233-+-=--+=+，因是实数且0b ≠，所以2232303a b b b a =⇒=-【高考考点】复数的基本概念、基本运算，立方和公式（基本运算）【评注】很多学生没有学习过立方和公式，不会用立方和公式一步到位地展开，有人按32()()()a bi a bi a bi +=++进行展开，也有人按3()()()()a bi a bi a bi a bi +=+++进行展开，还有人用二项式定理进行展开，这都是可行的思路。
2008年高中数学二次函数试题
二、二次函数（命题人：华师附中郭键）1. （人教A 版第27页A 组第6题）解析式、待定系数法2若 f x ]=x bx c ，且 f 1V-0，f 3产0，求 f -1 的值._o变式1:若二次函数f x 二ax bx c 的图像的顶点坐标为 2,-1，与y 轴的交点坐标为 （0,11），贝yA . a=1,b--4,c--11B . a=3,b=12,c = 11C . a =3,b = -6,c =11D . a = 3, b =-12, c = 11变式 2:若 f x = -x :: j ：b 2 x 3,^ [b,c]的图像 x=1 对称，则 c= 变式3:若二次函数f x = ax 2 bx c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 A x 1,0、B X 2,0，且xj • X 22二26，试问该二次函数的图像由9单位得到？2. （北师大版第52页例2）图像特征将函数f x 二-3x 2 -6X V 配方，确定其对称轴, 或最小值，并画出它的图像.4ac -b 2 D .4a变式2:函数f x = x 2 px q 对任意的x 均有 f 1 x 二 f 1 — x ，那么 f 0、f -1、f 1的大小关系是A . f 1 < f -1 < f 0 变式3:已知函数f x = ax 2 bx c 的图像如右图所示, 请至少写出三个与系数 a 、b 、c 有关的正确命题 3. （人教A 版第43页B 组第1题）单调性_ 2 2变式1 :已知二次函数2f x 二 ax bx c ,如果f X 1二f X 2 （其中x^ - x 2 ）,则2f x =-3 x-1的图像向上平移几个顶点坐标，求出它的单调区间及最大值bA .2aC . f 1 f 0 :: f -1D . f -1 :: f 0 ：： f 1O 一已知函数f x = x -2x, g x = x -2xx ［2,4］.（1）求f X , g x的单调区间；（2）求f x , g x的最小值.变式1:已知函数f x = x2 4ax 2在区间-：：,6内单调递减，则a的取值范围是A. a _3B. a^3C. a ：：：—3 D . a 二一3变式2:已知函数f x =x^ a -1 x 5在区间（2 ,1）上为增函数，那么f 2的取值范围是_________ .・kx在［2,4］上是单调函数，求实数k的取值范围.变式3:已知函数f X = -x24. （人教A版第43页B组第1题）最值2 2已知函数f X 二x -2x, g x 二 x -2x x ［2,4］.（1）求f X , g x的单调区间；（2）求f x , g x的最小值.c 2变式1:已知函数f X =x-2x • 3在区间［0,m］上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是A. 1, ：：B.〔0,21C. 1,21D. - ,2变式2:若函数y =3j-X2+4的最大值为M，最小值为m,贝y M + m的值等于__________________ .变式3:已知函数f x = 4x2 -4ax a^2a 2在区间［0,2］上的最小值为3,求a的值.5. （人教A版第43页A组第6题）奇偶性已知函数f X是定义在R上的奇函数，当X > 0时，f x］=x 1 X .画出函数f X的图像，并求出函数的解析式.变式1:若函数f x =mTx2，m2-1x，1是偶函数，则在区间一兀',0丨上f x是A •增函数B •减函数C.常数 D •可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数f x = ax2 bx 3b a「1岂x空2 a是偶函数，则点a,b的坐标是变式3：设a为实数，函数f (x) = x2• | x - a | • 1, x • R •(I) 讨论f (x)的奇偶性；(II)求f (x)的最小值.6. (北师大版第64页A组第9题)图像变换厂 2x +4x+3,-3ExcO 已知f(x)=<—3x+3, 0 兰xc1・—x2 +6x —5,1 兰x 乞6(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；⑶求函数的最大值和最小值.变式1:指出函数y = —X2+2X+3的单调区间.变式2：已知函数f (x) x2-2ax b |(x R).给下列命题：①f (x)必是偶函数；②当f (0) = f(2)时，f (x)的图像必关于直线x=1对称；③若a2- b - 0，则f (x)在区间［a,+s )上是增函数；④ f (x)有最大值|a2 -b| .其中正确的序号是__________ .③变式3:设函数f(x)=x|x|，bx c,给出下列4个命题:①当c=0时，y = f(x)是奇函数;②当b=0, c>0时，方程f(x) =0只有一个实根;③y = f (x)的图象关于点(0, c)对称；④方程f(x) =0至多有两个实根.上述命题中正确的序号为____________________ .7. (北师大版第54页A组第6题)值域求二次函数f(x)=-2X2・6X在下列定义域上的值域:(1)定义域为・ Z0空x乞3?；(2)定义域为［-2,11.变式1：函数f (x)二-2x2 6x：；：「2 ：：：x 2的值域是B. -20,4变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是____________ .变式3:已知二次函数f(x) = ax 2+ bx (a、b为常数，且a工0),满足条件f (1 + x) = f (1 —x),且方程f (x) = x有等根.(1)求f (x)的解析式；⑵是否存在实数m、n (m < n),使f (x)的定义域和值域分别为［m,n］和［3m,3n］，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.8. (北师大版第54页B组第5题)恒成立问题当a,b,c具有什么关系时，二次函数 f x A ax2• bx c的函数值恒大于零？恒小于零?变式1:已知函数f (x) = lg (a x 2+ 2x + 1).(I) 若函数f (x)的定义域为R,求实数a的取值范围；(II) 若函数f (x)的值域为R,求实数a的取值范围.变式2:已知函数f (x) = x2• ax • 3-a，若x 1-2,21时，有f (x) _2恒成立，求a的取值范围.变式3:若f (x) = x 2+ bx + c,不论〉、：为何实数，恒有f (sin : ) > 0, f (2 + cos：) < 0.⑴求证：b + c = —1;(II) 求证：c> 3;(III) 若函数f (sin :)的最大值为8，求b、c的值.9 (北师大版第54页B组第1题)根与系数关系右图是二次函数 f x =ax bx c的图像，它与x轴交于点x-i,0和X2,0 ，试确定a, b,c以及X1X2,音+X2的符号. y变式1：二次函数y =ax2 - b与一次函数y = ax • b(a . b)在同一个直角坐标系的图像为变式2:直线y 二mx - 3与抛物线G : y = x2 5mx - 4m, C2：y = x2 (2m - 1) x m2 - 3,2 __C3: y = x - 3mx -2m -3中至少有一条相交，则m的取值范围是.变式3:对于函数f (x),若存在X o • R，使f (x o) = x o成立，则称x o为f (x)的不动点.如果函数f(x) = ax 2+ bx + 1 (a > 0)有两个相异的不动点x i、x?.1⑴若X1 < 1 < X2，且f(X)的图象关于直线x = m对称，求证m > -；(II)若I X1 | < 2且I X1- X2 | = 2，求b的取值范围.10.（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料•根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶•在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线f x - -x2• ax与x轴所围成图形的内接矩形（一边在x轴上）中（如图），求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数.变式2:某民营企业生产A, B两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；yA Dx O B C(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A, B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元(精确到1万元)？变式3：设a为实数，记函数f(x) =a-.. 1 -x2• ... 1 • x • 1 - x的最大值为g(a) (I)求g(a); (n )试求满足g(a)=g』)的所有实数a.a二次函数答案1.(人教A 版第27页A 组第6题)解析式、待定系数法变式2:b 十20十c解：由题意可知1，解得b=0 ,•1，解得c=2 .2 2变式3: 解：由题意可设所求二次函数的解析式为f (x ) = -3(x -1) + k ,展开得f X i=—3x 2・6x-3・k ,亠 c3_k ••• X 1 X 2 =2公低2 ：32 丄 2..226 2(3 —k ) 26 . 4• X 1 ■ X2 h]X 1 • X 2 -2X 1X 2，即 4 ，解得 k .9393所以，该二次函数的图像是由 2f x = -3 x-1的图像向上平移43单位得到的，它的解析，口2 , 4 2 1 5式疋f x = -3 x ~1，即 f x 二-3x 6x -32.(北师大版第52页例2) 图像特征变式1:解：根据题意可知x 1+x 2_ b • jt+x?]4ac— b 2，故选 D .2 2a ， 2 4a变式1: 解：由题意可知4ac -b 24a c =11a =3 I =_1，解得 ^ = -12，故选D .^=11变式2:解：•/ f 1 x ju f 1 -x ,•••抛物线f x = x2px q的对称轴是x = 1 , p ‘1 即p =-2 ,22f x =x -2x q ,••• f 0 =q、f -1 = 3 q、f1=-1q,故有f -1 f 0 f 1，选C.变式3:解：观察函数图像可得：① a>0（开口方向）：②c=1（和y轴的交点）；③ 4a • 2b • 1 = 0（和x 轴的交点）：④ a b ^：： 0 （f 1 ：：•；：■ 0）；b2⑤b -4a 0（判别式）：⑥ 仁:：2（对称轴）.3. （人教A版第43页B 组第1题）单调性O 变式1:解：函数f x =x2 4ax 2图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x = -2 a ,由已知函数在区间内单调递减可知区间［.-匚：',6应在直线x =-2a的左侧，• -2a _6，解得a _ -3，故选D.21变式2:解：函数f x =x- a-1 x 5在区间（2 ,1）上为增函数，由于其图像（抛物线）开a _1 1 1 a _ 11口向上，所以其对称轴x 或与直线x 重合或位于直线x 的左侧，即应有2 2 2 2 2 解得a乞2，f 2 =4 - a -1 2 5 _7，即卩f 2 _ 7 .变式3:解：2函数f X = -x kx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是k•••已知函数在［2, 4］上是单调函数，• 区间［2, 4］应在直线x 的左侧或右侧,2k k即有2或一—4，解得k乞4或k -8 .2 24. （人教A版第43页B组第1题）最值I y 变式1:解：作出函数f x i=x2-2x・3的图像,开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1, 2)，和y轴的交点是(0, 3),••• m的取值范围是1 _ m _ 2，故选C.变式2:解：函数有意义，应有-X2• 4 _ 0 ,解得-2乞X乞2 ,2 I 2 t2••• 0 一_X 4 乞4 = o ——X 4 乞2 = 0 < 3 - -X 4 乞6,M=6, m=0，故M + m=6.变式3:解：函数f X的表达式可化为f x =4 x_a? 12_2a .a①当0 2，即0空a乞4时，f X有最小值2 - 2a，依题意应有2 - 2a = 3，解得1 、a ，这个值与0 _a _4相矛盾.2a 2 2②当0，即a :: 0时，f 0 = a…2a ' 2是最小值，依题意应有a…2a ■ 2 = 3，解得a=1「2 ，又••• a c0,「. a=1 — J2为所求.a 2③当-2，即a 4时，f 2 =16-8a a -2a 2是最小值，依题意应有16 -8a ■ a2-2a • 2 = 3，解得a = 5 二、一10，又T a 4 , • a = 5 •10 为所求.综上所述，a = 1 - 2 或a = 5「10 .5. (人教A版第43页A组第6题)奇偶性2 2 2变式1: 解：函数fx=m-1x m -1X1是偶函数=• m -1 = 0 = m= 1 ,当m =1时，f X = 1是常数；当m - -1时，f x二-2X2 1,在区间［一匚?,0 1上f X是增函数，故选D.1变式2：解：根据题意可知应有a-1 + 2a = 0且b = 0, 即卩a=-且b = 0 ,•点(a, b)的坐3标是0 LG丿变式3：解：(I)当a = 0 时，函数f(_x) =(-x)2• |-x「1 二f (X)，此时，f(x)为偶函数;x当 a = 0时，f (a)二a 2 1, f (_a)二a 2 2 |a | 1 ,f(a) = f(-a), f(a) = -f(-a)，此时f (x)既不是奇函数，也不是偶函数.2— x a 1 =(x —丄)2 a -,24f (x)在(-:=,a ］上单调递减，从而函数 f (x)在(」：，a ］上的最小值 为 f (a)二 a 2 1.为 f (a)二 a 21.1 . a 时，函数f(x)的最小值为2213a 时，函数f (x)的最小值为a6. (北师大版第64页A 组第9题)图像变换 变式1:解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间.只2 2当 x 亠0 时，y = —x 2 2x 3 = —x —14 ,2 2当 XC0 时，y=_x _2x+3 = —(x+1 ) +4 . 作出函数图像，由图像可得单调区间.在-:：，-1和0,11上，函数是增函数；在 〔-1,0 1和1,匸：上，函数是减函数. 变式2:解：若a =1,b =1,则f (x) =|x 2 -2x • 1|=x 2 -2x • 1，显然不是偶函数，所以①是不(II ) (i )当，则函数，则函数(ii )当 x _a 时,— 1 3f(x)在(-⑺a ］上的最小值为f (2)= ；'21 23函数 f (x) = x x - a 1 = (x ) -a2 4 1 1a ，且 f (2)乞 f(a). 1 1右a ,则函数f (x)在(- ：：,a ］上的最小值为f () 芒 1 右a则函数f(x)在［aj ：J 上单调递增，从而函数3 1 严，且y (a ),f (x)在［a,：：)上的最小值综上，当3时，函数f (x)的最小值为4 - a ；a 2 1 ；正确的;若a - _1,b - 一4,则f (x) =|x 2 2x-4|，满足f (0^ f (2)，但f (x)的图像不关于直线 x=1对称，所以②是不正确的；若a 2-b _0，则f(x) =| x 2-2ax • b |=x 2「2ax • b ，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x =a ,••• f (x)在区间［a,+s )上是增函数，即③是正确的;2显然函数f(x) =|x -2ax b| R 没有最大值，所以④是不正确的.变式3:解：f (x):2x +bx + c,x3 0^x | x| bx c =2,「x bx c, x ：： 0(1)当c=0时，f(x)=xx+bx ，满足f(—x) = —f(x )，是奇函数，所以①是正确的;2l x + c,x K 0 ⑵当 b=0, c>0 时，f(x)=xx+c = < 2-x + c, x v 0f 2f 2x + c = 0 —x + c = 0l显然方程彳无解；方程彳的唯一解是x = _妊，所以② 是正确的;>0l x <0而该点关于(0, c )对称的点是：；：-x 0,2c -y 0，代入检验2c 「y ° =-X 。
08届高三年级数学第二次联考试题
5 208届高三年级数学第二次联考试题第I 巻选择题共50 分）、选择题（本题共 10小题，每小题5 分, 是符合题目要求的）共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项C . {X |1 _ X _ 3}D . {X | 0 ：： X _ 1}2y =3x」（—1 _ X :: 0）的反函数是______ 1y = .1 log 3x （「：xE1）3______ 1y = 1 log 3 x （x 一 -）3______ 1y - -. 1 log 3 x (- < x 乞 1)3______ 1y - - 1 Iog 3 x(x __) 31.集合 A ={x | log 2 x ::1, x R},集合 B 二｛x||x-2|：：：1,x R ｝,那么 A 一 （C R B ）等于2. △ ABC 中，“ A>30 ° ”是 A .充分不必要 C .充要条件 3"x + y 兰 6 已知」 x M y j >1 A . 11 （理） 已知数列｛＜于A . 48 ，则函数 3. 4. 曰B •必要不充分D .既不充分也不必要条件=2x y 的最大值是C . 5, 若 S 3=18 , S 4- a 1= — 9, S n 为它的前n 项和, 则n m s n 等（B . 32C . 16D .（文）在各项都为正数的等比数列 ｛a n ｝中，首项a 1=3，前三项和为21,则a 3+a 4+a 5等于（ A . 33B . 72C .84 D . 1896.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为 的个数不小于该盒子的编号，则不同的放法有A . 10 种B . 20 种C . 30 种1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球 ( D . 52 种7•定义在R 上的偶函数y = f （x ）满足f （x 1^-f （x ）,且当x ，（0,1］时单调递增，则1 5ff(—5) ：：f(-)1 5B . fq< f (2)< f(—5)3 2A . {x | x _1}5.函数C .5 2515D . d ： f （3）：： f （2）1 3 1 — 2」-&已知|a|=2|b 卜0，且关于x 的函数f （x ） x 3 • — |a|x 2 • a bx 在R 上有极值,3 2则a 与b 的夹角范围为A. [°,6)B.(訂]2 x9.如果以原点为圆心的圆经过双曲线2 a 2=1（a - 0,b ■ 0）的焦点，而且被该双曲线bD . 、2|PA| PB| = 2,|PA-PB |=2-5 ,PA PC PBPC , I 为线段PC 上一点，且有Bl =BA ■( |PB| 则BUBA 的值为 |BA|C .5二、填空题（本题共 6小题，每小题4分，共24分，将答案写在题中横线上）（文）某校有老师 200人，男学生1200 ,女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有 老师中抽取一个容量的 n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为 80人，贝U n=值是14 .已知'2），且切-,tn :是方程x 2 ■ 3 3x 4=0的两个根，则：二2小 兀15 .过抛物线y 2二X 的焦点F 的直线I 的倾斜角 ,l 交抛物线于A , B 两点，且A 点4在x 轴上方，则|AF|的取值范围是的右准线分成弧长为 2:1的两段圆弧, 那么该双曲线的离心离e 等于 10.已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足11.（理）复数3的虚部为-1 3iC .A . .5|PA|丝舉)(• .0),|AC| |AP|12.（2x-于）9的展开式中，常数项为 13. 设点（m , n ）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则log 2 m log 2 n 的最大的通项公式;⑺设b n=o12 a ng,T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，求使得T n <2 an 1m 2016.(理)数列｛a n ｝, ｛b n ｝( n =1,23 )由下列条件所确定：(i)a , ：：： 0，d • O ；(ii )k _ 2时,a k 与b k 满足如下条件：当a kj - b kj _ 0时，a k =a k 」，b k =色“ 也，当2时，用a i , b i 表示｛b k ｝的通项公式b k = ___________ (k=2 , 3,…，n )a +?(文)数列｛a n ｝满足递推式a n =3a n 二-3n -1(n _ 2),又a i = 5,则使得｛」—｝为 3等差数列的实数丸= ______________ 三、解答题(本大题共 6小题，满分76分) 17. (本小题满分12分)厂1已知函数f (x) = (. 3sin 「x - cos x) cos x .(「- 0)的最小正周期为 4 .(1 )求f (x)的单调递增区间；(2)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别是 a , b , c 满足(2a -c)cosB = bcosC ,求函数f(A)的取值范围•18. (本小题满分12分)(理)一个小正方体的六个面，三个面上标以数字0.两个面上标以数字1，一个面上标以数字2, (1)甲、乙两人各抛掷一次，谁的点数大谁就胜，求甲获胜的概率； (2)将这个小正方体抛掷两次， 用变量E 表示向上点数之积，求随机变量E 的概率分布列及数学期望E E .23(文)甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为-,3 4求：(1)甲恰好投中2次的概率；(2)乙至少投中2次的概率；(3)甲、乙两人共投中 5次的概率.19. (本小题满分12分)已知数列｛a n ｝, S n 是其前n 项和，且a n =7S n 4 2(n - 2), a 1 = 2 , (1)求数列｛a n ｝a ki -b k j ::: 0时,ak 」+bk 二,ak,那么，当a i =-5,bi =5时,｛a n ｝的通项公式a nf-5, n = 1_22；当…八皿2)对所有n • N *都成立的最小正整数 m.20. (本小题满分12分)ax(理)已知函数f(x)二二 ，在x=1处取得极值2, (1)求函数f (x)的解析式；(2)x +bm 满足什么条件时，区间(m , 2m+1)为函数f (x)的单调增区间；(3)若P(X o ,y °)为axf(x)二飞图象上的任意一点，直线I 与f (x)的图象切于P 点，求直线I 的倾斜角x +b的取范围•32(文)已知函数 f(x)=2x -6x ，求曲线y 二f(x)的平行于直线18x-y=3的切线 方程；(2)若函数y = f(x) m 在区间［—2, 2］上有最大值3,求常数m 的值及此函 数的最小值.已知椭圆C 的方程是 笃-爲=1(a b 0),a b乂为，％),B(X 2,y 2)两点•(1)若椭圆的离心率e=^，直线I 过点M (b , 0)，且2OA OB =32cor AOB ，求椭圆的方程；(2)直线I 过椭圆的右焦点F ,设向量521. (本小题满分14分)斜率为1的直线l 与椭圆C 交于已知函数 f (x)二a(x -1)2 1bx c -b(a,b,c，N)的图象按e = (-1,0)平移后得到的图0P二■ (0A • 0B)( ■0)，若点P在椭圆C上，求’的取值范围•22.(本小题满分14分)象关于原点对称，f （2） =2, f （3） ::: 3.(1) 求a, b, c 的值；(2)设0 ：：：| x |：：： 1,0 ：：：| t 1< 1,求证:| t • x | • 11 -x| ：：：| f (tx - 1) |;（理科学生）（3）设x是正实数，求证：f n（x T） - f （x n• 1） _2n -2.参考答案（理）1(文)192 12. 6722 二 1 _^2n11——13.—2 14. 15. ( ,1 ]23 4 216 .（理）n 1 \ k」；a「（D -aj（2）(文)~~217 . (1) f (x)=3sin xcos x cos2 1 二x sin(2g............ 2分1. D2. B3. A4.(理)C (文)C5. B6. A7. B8. C9. D 10. D••• T 2 二4 二1 1 二匸f（x）Yi%x石）……4分4 下2*Tf（x）的单调递增区间为［企盲*肓（「）(2)T (2a -c)cosB = bcosC••• 2sin AcosB-sinCcosB=sin BcosC ................... 8 分1 n2sin AcosB =sin(B C)=sin A cosB B ……10 分2 31 兀2兀兀 A 兀兀f(A)二sin(—A ) 0 ：： A ：：-2 63 6 2 6 21f(A) (?,1) .......... 12 分1 1 118.（理）（1）面上是数字0的概率为一，数字为1的概率为一，数字为2的概率 ---------- 2分2 3 6165 当甲掷出的数字为2，乙掷出的数字为0或1时，甲获胜的概率为丄3611•••甲获胜的概率为 .............. 6分36(2) E的取值为0、1、2、44•- E E = ........................... 12 分9(文)(1)甲恰好投中2次的概率为C：(?)2丄...................... 3分3 3 93 1 3 27(2)乙至少投中2次的概率为Cf (-)2 - C^3)^27……7分4 4 4 32(3)设甲、乙两人共投中5次为事件A，甲恰投中3次且乙恰投中2次的事件B1, 甲恰投中2次且乙恰投中3次为事件B2,则A=B J+B2, B1、B2为互斥事件.32 3 .2 32 11_ 2 2 2_ 1 3 23 P(B1) = C3 ( ) C3 ()J P(B2)= C3 ()C2()…11分3 4 4334165• P(A) =P(B1) P(B2)：16 ................ 12分19. (1 )••• n _2时a n二7S nJ1 2■an 1 -7Sn ' 2,-an 1 _ a n~7an• a n 1 =8a n(n 一2) ............ 2 分又a1=2 • a2 =7a1 2=16= 9a1a n彳=8a n (n N*) ...... 4分•- {a n}是一个以2为首项，8为公比的等比数列当甲掷出的数字为1，乙掷出的数字为0时，甲获胜的概率为• a n =2 8n_l =2心 ...................6 分(2)bn ______ 1 _____ _ 1log 2 a n log 2 a n 1 (3n -2)(3n 1)13n 14(1. 1111 10分m 1 ------ —• m_2°•最小正整数m=72二3312分20.(理)(1 )已知函数f(x)二axx2b(x)二-ax2ab(x2b)2y min = f ( 一2) m = m - 40 一37 12分y min = f ( 一2) m = m - 40 一3712分则其斜率为 k =6x 2 -12x 0 =18r x 0 =3或x 0 二-1 当X 。
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)(理科)
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）（理科） 测试题 2019.91,已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．2,已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．（1）证明三点共线；（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．3,不等式的解集为 ．4,已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．5,连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、之间距离的最大值为 ．6,如图，正六边形中，有下列四个命题：4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+>()y f x =()y f x =1y =a 2y x =00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ≠>M A B AP BP 、C E F 、E F N 、、A B M N 0y AB A B 0y AB 224122xx +-≤22221(0,0)x y a b a b -=>>y x =AB CD 、ABCDEFA ．B ．C ．D ．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 7,在复平面内，复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8,定义集合运算:设,,则集合的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．69,若函数的值域是，则函数的值域是 A ． B ． C ． D ．10,A ．B ．C ．D ．不存在测试题答案1, 解：（1）因为 令得由时，在根的左右的符号如下表所示2AC AF BC +=22AD AB AF =+AC ADAD AB ⋅=⋅()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅sin 2cos2z i =+{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈{}1,2A ={}0,2B =A B *()y f x =1[,3]21()()()F x f x f x =+1[,3]210[2,]3510[,]2310[3,]3x →=12012-322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+-()0f x '=1232,0,x a x x a =-==0a >()f x '()0f x '=所以的递增区间为的递减区间为 （2）由（1）得到，要使的图像与直线恰有两个交点，只要或，即.2, （1）证明：设，则直线的方程：即：因在上，所以①又直线方程：由得：所以同理，所以直线的方程：令得()f x (2,0)(,)a a -+∞与()f x (2)(0)a a -∞-，与，45()(2)3f x f a a =-=-极小值47()()12f x f a a ==极小值4()(0)f x f a ==极大值()f x 1y =44571312a a -<<41a <a >01a ≤<221122(,)(,)A x xB x x 、(,)(,)E E F F E x y B x y 、AB ()222121112x x y x x x x x -=-+-1212()y x x x x x =+-00(,)M x y AB 012012()y x x x x x =+-AP 21001x y y x y x -=+210012x y y x y x x y⎧-=+⎪⎨⎪=⎩2210010x y x x y x ---=22100012111,E E E x y y y x x x y x x x -+=⇒=-=200222,F F y y x y x x =-=EF 201201212()y x x y y x x x x x +=--0x x =-0120012[()]yy x x x y x x =+-将①代入上式得，即点在直线上 所以三点共线（2）解：由已知共线，所以以为直径的圆的方程：由得所以（舍去），要使圆与抛物线有异于的交点，则所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点 则，所以交点到的距离为3, 依题意4,5, 易求得、到球心的距离分别为3、2，类比平面内圆的情形可知当、与球心共线时，取最大值5。
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(11解析几何初步)
A． k ( 2，2) B． k (∞， 2) ( 2，∞)
C． k ( 3，3)
D． k (∞， 3) ( 3，∞)
6．(2008 全国Ⅱ卷文)原点到直线 x 2 y 5 0 的距离为（ D ）
A．1
B． 3
C．2
D． 5
7．(2008 全国Ⅱ卷理) 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x y 2 0 与 x 7 y 4 0 ，
y k(x 4) ，其中 k ≤ 1 ． 2
圆 C 的圆心为 C(4， 2) ，半径 r 2 ．
圆心 C 到直线 l 的距离
d 2 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 1 k2
所以所求直线的斜率为 k=1. 故所求直线的方程是 y-0=1(x+1),即 x-y+1=0.
2．(2008 湖南文) 将圆 x 2 y 2 1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C，则圆 C 的方程是
(x 1)2 y2 1_,若过点（3，0）的直线 l 和圆 C 相切，则直线 l 的斜率为___
6．(2008 天津文)已知圆 C 的圆心与点 P(2，1) 关于直线 y x 1对称．直线 3x 4 y 11 0 与圆 C 相
交于 A，B 两点，且 AB 6 ，则圆 C 的方程为
x2 ( y 1)2 18
．
7．（2008 浙江理）已知 a >0，若平面内三点 A（1，- a ），B（2， a 2 ）， C（3， a3 ）共线，则 a =1 2 。
2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-081圆锥曲线选择题
2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编08圆锥曲线一、选择题1、(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.0.5B.1C. 2D. 4 答案：C2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于A ．53 B ．54 C ．135 D ．1312 答案：B3、(江苏省启东中学高三综合测试四)设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 （ ） A ．4 B ．6 C ．22 D ．24答案：B4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为 （ ）Ａ．钝角； Ｂ．直角； Ｃ．锐角； Ｄ．都有可能； 答案：C5、(江西省五校2008届高三开学联考)从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是A ．]23,35[ B ．]22,33[C ．]22,35[D ．]23,33[答案：A6、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知点A, F 分别是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BA BF ⋅=0，则椭圆的离心率e 为（ ▲ ）A.21(5－1) B.21(3－1) C.25 D.22 答案：A7、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( )A.23 C.49答案：B8、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为 A ． 2B ． 3C ．233D ．2 2答案：B9、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则||||OH FA 的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1答案：C10、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)直线l 过抛物线x y =2的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角4πθ…,则|FA |的取值范围是（ ）（A ）)23,41[ （B ）13(,442+（C ）]23,41( （D ）]221,41(+答案：D11、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为( ) A ． 1312522=-y x B ．1351222=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 答案：B12、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ）A.3-B. 13- C. 3D.13答案：B13、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)设,x y R ∈，且2y 是1x +和1x -的等比中项，则动点(),x y 的轨迹为除去x 轴上点的（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．双曲线的一支D ．一个椭圆答案：D 14、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)已知P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（ ） A 8 B 219 C 10 D 221答案：B15、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知21,F F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是 （ ）A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线 答案：B16、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)已知定点A （3，4），点P 为抛物线y 2=4x 上一动点，点P 到直线x =－1的距离为d ，则|PA|+d 的最小值为（ ）A ．4B ．52C ．6D ．328-答案：B17、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)椭圆的长轴为A 1A 2，B 为短轴一端点，若︒=∠12021BA A ，则椭圆的离心率为A ．33B ．63C ．32D ．12答案：B18、(东北三校2008年高三第一次联考)设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A ．16322=-y xB ．132322=-y xC ．1964822=-y x D ．1241222=-y x 答案：A19、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知椭圆15922=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：（ ）A ．12B ．13C ．23D ．14答案：B20、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)已知AB 是椭圆92522y x +=1的长轴，若把线段AB 五等份，过每个分点作AB 的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C 、D 、E 、G 四点，设F 是椭圆的左焦点，则FG FE FD FC +++的值是（ ） A ．15B ．16C ．18D ．20答案：D21、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 答案：B22、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)若抛物线1262222=+=y x px y 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．4 答案：D23、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线与抛物线x y 42=的交点到抛物线焦点的距离为( )A.21B.21C.6D.4答案：D24、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于1122(,), (,)P x y Q x y 两点，若126x x +=，则||PQ =A.5B. 6C.8D.10 答案：C25、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，若120PF PF =，121tan 2PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．53答案：D26、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)如图2所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为（ ） A ．15- B ．15+C ．13-D ．3+1答案：D27、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）. A ．20 B ．18 C ．16 D ．以上均有可能 C.解析：由椭圆定义可知小球经过路程为4a ，所以最短路程为16，答案：C 28、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为A ．53B C ．54D解析：由已知得9,20,a b ab a b +==>∴5,4a b ==，c ∴=，c e a ∴==，选D 。
08年全国各地高考数学压轴题解析
08年全国高考压轴题1、（安徽理）（22）．（本小题满分13分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上22解 (1)由题意：2222222211c a bc a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩，解得224,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。
由题设知,,,AP PB AQ QB均不为零，记AP AQ PB QBλ==,则0λ>且1λ≠又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=于是 1241x x λλ-=-， 1211y y λλ-=-121x x x λλ+=+， 121y y y λλ+=+从而22212241x x x λλ-=-， （1） 2221221y y y λλ-=-， （2） 又点A 、B 在椭圆C 上，即221124,(3)x y += 222224,(4)x y +=（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB均不为零。
且 PA PB AQ QB=又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是1141,11x yx y λλλλ--==-- （1） 2241,11x yx y λλλλ++==++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224,x y +=整理得222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)(4)－(3) 得 8(22)0x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上2、（上海文）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记 112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1213264a a a a ++++= ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，…，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．21．解：（1）12312a a a a ++++1234(2)56(4)78(6)r r r r r =+++++++++++++++484r =+． ……2分∵48464r +=，∴4r =． ……4分 （2）用数学归纳法证明：当n Z +∈时，124n T n =-．①当1n =时，1213579114T a a a a a a =-+-+-=-，等式成立． ……6分 ②假设n k =时等式成立，即124k T k =-，那么当1n k =+时，12(1)121211231251271291211k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+- ……8分4(81)(8)(84)(85)(84)(88)k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+ 444(1)k k =--=-+，等式也成立．根据①和②可以断定：当当n Z +∈时，124n T n =-． ……10分 （3）124m T m =-（1m ≥）．当121n m =+，122m +时，41n T m =+； 当123n m =+，124m +时，41n T m r =-+-； 当125n m =+，126m +时，45n T m r =+-； 当127n m =+，128m +时，4n T m r =--； 当129n m =+，1210m +时，44n T m =+； 当1211n m =+，1212m +时，44n T m =--．∵41m +是奇数，41m r -+-，4m r --，44m --均为负数，∴这些项均不可能取得100． ……15分 ∴4544100m r m +-=+=，解得24m =，1r =，此时293294297298,,,T T T T 为100． ……18分 3、（重庆理）（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{a n }满足321122,(N*)n a a a a aa n ++==∈.（Ⅰ）若214a =，求a 3，a 4，并猜想a 2008的值（不需证明）；（Ⅱ）记12...(N*),n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.(22)(本小题12分)解：(Ⅰ)因2122,2,a a -==故3423123824232,2.a a a a a a ---====由此有0223(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为 1(2)*2(N ).n n a n --=∈（Ⅱ）令2log ,2.n Sn n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则 由题设知x 1=1且*123(N );2n n n x x x n ++=+∈ ①123(2).2n n S x x x n =+++≥≥ ② 因②式对n =2成立，有1213,12x x x ≤+=又得 21.2x ≥③ 下用反证法证明：2211..22x x ≤>假设由①得21211312()(2).22n n n n n n x x x x x x ++++++=+++因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为12的等比数列.故*121111()(N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④又由①知 211111311()2(),2222n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=--因此是112n n x x +-是首项为212x -，公比为-2的等比数列,所以1*1211()(2)(N ).22n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得1*221511(2)()(2)(N ).222n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得*2215111(2)(2)(2)()(N ).2232n n n x x x n ---=+---∈ ⑦由题设知21231,22k S x +≥>且由反证假设有21*22221*22221121152)(2)()(N ).22341211151()(2)(2)2(N ).23244k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈ （从而 即不等式22k +1＜22364112x x +--对k ∈N *恒成立.但这是不可能的，矛盾. 因此x 2≤12,结合③式知x 2=12,因此a 2=2*2将x 2=12代入⑦式得S n =2－112n -(n ∈N*),所以b n =2Sn =22－112n -(n ∈N*)4、（广东理）21．（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ． 21．解：（1）由求根公式，不妨设<αβ，得==αβ∴+==p αβ，==q αβ（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-得，+=⎧⎨=⎩s t p st q，消去t ，得20-+=s ps q ，∴s 是方程20x px q -+=的根，由题意可知，12,==s s αβ①当≠αβ时，此时方程组+=⎧⎨=⎩s t pst q 的解记为1212==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩s s t t ααββ或 112(),---∴-=-n n n n x x x x αβα112(),----=-n n n n x x x x βαβ即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列， 由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα221,=-= x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ22221()--∴-== n n n x x αββββ，22221()---== n n n x x βαααα1()-∴-=-n nn x βαβα，即1--∴=-nnn x βαβα，11++-∴=-n n n x βαβα ②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，240∴-=p q ， 即2()40+-=s t st ，得2()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知2121()---=-n n n x x x x ααβ，= αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以nα，得111--=+nn nn x x αα，即111---=nn nn x x αα∴数列{}n n xα是以1为公差的等差数列，12(1)111∴=+-⨯=+-=+n n x x n n n αααα∴=+n n n x n αα综上所述，11,(),()++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩n n nn n x n βααββααααβ（3）把1p =，14q =代入20x px q -+=，得2104-+=x x ，解得12==αβ 11()()22∴=+ n n n x n232311111111()()()...()()2()3()...()22222222n n n S n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23111111()()2()3()...()22222n n n ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭111111()2()()3(3)()2222n n n n n n -=-+--=-+5、（福建理）（22）（本小题满分14分） 已知函数f (x )=ln(1+x )-x （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）记f (x )在区间[]0,π（n ∈N*）上的最小值为b x 令a n =ln(1+n )-b x . （Ⅲ）如果对一切npc 的取值范围；（Ⅳ）求证：13132******** 1.n na a a a a a a a a a a a -+++-g g g g g g p g g g（22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一：（I ）因为f(x)=ln(1+x )-x ，所以函数定义域为（-1,+∞）,且f ′(x)=11x +-1=1x x-+. 由f ′(x )>0得-1<x <0，f (x )的单调递增区间为（-1，0）； 由f ′(x )<0得x >0，f (x )的单调递增区间为（0，+∞）. (II)因为f (x )在[0,n]上是减函数，所以b n =f (n )=ln(1+n )-n , 则a n =ln(1+n )-b n =ln(1+n )-ln(1+n )+n =n .(i)==>1.=又1x ==,因此c <1，即实数c 的取值范围是（-∞，1]. （II ）由（i< 因为[135(21)246(2)n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅ ]23222133557(21)(21)11,2121246(2)n n n n n ⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅⋅++＜L所以135(21)246(2)n n -g g g L g g g g L g＜1∈N *),则113135(21)224246(2)n n -+++g g g g L g L g g g g L g ＜131321122242 1.n n na a a a a a a a a a a a -+-=+++即＜L L L L1(n ∈N *）解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为f (x )在[]0,n 上是减函数，所以()ln(1),n b f n n n ==+- 则ln(1)ln(1)ln(1).n n a n b n n n n =+-=+-++= （i-pn ∈N*恒成立.p n ∈N*恒成立.则2c n +p n ∈N*恒成立.设()2g n n =+ n ∈N*，则c ＜g (n )对n ∈N*恒成立.考虑[)()21,.g x x x =+-∈+∞因为12211()1(2) (22)1121x g x x x x x -+=-++=--+′g p ＝0， 所以[)()1,g x +∞在内是减函数；则当n ∈N*时，g (n )随n 的增大而减小，又因为42lim ()lim(2x x x x g n n →∞→∞+=+==＝1.所以对一切*N ,() 1.n g n ∈>因此c ≤1,即实数c 的取值范围是(-∞，1]. (ⅱ) 由(ⅰ)<下面用数学归纳法证明不等式135(21)N ).246(2)n n n +-<∈g g g L g g g g L g①当n =1时，左边＝12，左边<右边.不等式成立. ②假设当n=k 时,不等式成立.即135(21)246(2)k k -<g g g L g g g g L g当n=k +1时，32122321222122212121)22(2642)12(12531++++=++=++++⋯+⋯∙∙∙∙∙∙k k k k k k k k k k k k k ＜）（）－（=,1)1(2132132148243824++=++++++∙k k k k k k k ＜即n ＝k ＋1时，不等式成立综合①、②得，不等式*)N (121)2(642)12(531∈+⋯-⋯∙∙∙∙∙∙∙∙n n n n ＜成立.所以1212)2(642)12(531--+⋯-⋯∙∙∙∙∙∙∙∙n n n n ＜)2(642)12(531423121n n ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙⋯-⋯⋯+＋＋.112123513-+=-⋯n n ＋＝－＋－＜ 即*)N (1212421231423121∈-⋯⋯⋯+++-n a a a a a a a a a a a a a n nn ＜＋. 6、（湖北理）21.(本小题满分14分) 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1=λ,a n+1=24,(1)(321),3n n n n a n b a n +-=--+其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a ＜b ,S n 为数列{b n }的前n 项和。
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g3.1082 抛物线
一、知识要点
1.抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线,定点不在定直线上.
2.开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点：
相同点:(１)原点在抛物线上;(２)对称轴为坐标轴;p 值的意义表示焦点到准线的距离;(3)p>0为常数;(4)p 值等于一次项系数绝对值的一半;(5)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４,即2p/4=p/2.
不同点:
1．已知点1(,0)4F -，直线l ：41=x ，点B 是直线l 上的动点，若过B 垂直于y 轴
的直线与线段B F 的垂直平分线交于点M ，则点M 所在曲线是
（ ） ()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线
()D 抛物线 2．设抛物线22y x =的焦点为F ，以9
(,0)2P 为圆心，P F 长为半径作一圆，与抛
物线在x 轴上方交于,M N ，则||||MF NF +的值为 （ ）
()A 8 ()B 18
()C 22
()D 4 3．过点(3,1)--的抛物线的标准方程是 ．焦点在10x y --=上
的抛物线的标准方程是 ．
4．抛物线28y x =的焦点为F ，(4,2)A -为一定点，在抛物线上找一点M ， 当||||MA MF +为最小时，则M 点的坐标 ，当||||MA MF -为
最大时，则M 点的坐标 ．
三、例题分析
例1．抛物线以y 轴为准线，且过点(,)(0)M a b a ≠，证明：不论M 点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．
例2．已知抛物线22(0)y px p =>，过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线
交于不同两点,A B ，||2AB p ≤，
（1）求a 取值范围； （2）若线段A B 垂直平分线交x 轴于点N ，求N A B ∆面积的最大值 例3． 已知抛物线24x y =与圆2232x y +=相交于,A B 两点，圆与y 轴正半轴交
于C 点，直线l 是圆的切线，交抛物线与,M N ，并且切点在 ACB 上．
（1）求,,A B C 三点的坐标．（2）当,M N 两点到抛物线焦点距离和最大时，
求直线l 的方程．
例4（05江西卷）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹 四、作业 同步练习 g3.1082 抛物线
1（05上海）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
2.（05江苏卷）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )
( A )
1617 ( B ) 1615 ( C ) 87 ( D ) 0
3方程22sin cos 1x y αα+=表示的曲线不可能是
（ ） ()A 直线 ()B 抛物线 ()C 圆 ()D 双曲线 4以抛物线22(0)y px p =>的焦半径||PF 为直径的圆与y 轴位置关系是（ ） ()A 相交 ()B 相切 ()C 相离 ()D 以上三种均有可能
5．抛物线20(0)m x ny m n +=⋅≠的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准
线方程是 ，离心率是 ，通径长 ．
6．过定点)2,0(P ，作直线l 与曲线x y 42=有且仅有１个公共点，则这样的直线l
共有 条；
7．设抛物线x y 42=的过焦点的弦的两个端点为Ａ、Ｂ，它们的坐标为
),(),,(2211y x B y x A ，若621=+x x ，那么=||AB 。
8．抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则弦AB 的中点M 到y 轴的最
小距离为 。
9．抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，C 上动点P 到直线
01243:=-+y x l 的最短距离为1，求抛物线C 的方程。
10,A B是抛物线22(0)
⊥，
=>上的两点，且O A O B
y px p
（1）求,A B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2）求证：直线A B过定点；
（3）求弦A B中点P的轨迹方程；
（4）求A O B
∆面积的最小值；
（5）O在A B上的射影M轨迹方程。
11.过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求（1）MN与x轴交点的坐标;(2)求MN中点的轨迹方程
12．（江西卷）如图，设抛物线2
C=的焦点为F，
:x
y Array动点P在直线0
l上运动，过P作抛物线C
-y
x
-
:=
2
的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B
两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.。