2.2 数据分布及检验
分布 统计学
分布统计学
分布（Distribution）在统计学中是指将数据按照一定的规则进行
分组或分类，并计算每个分组或类别的频率或概率的过程。
通过分布，可以了解数据的集中趋势、离散程度、形状等特征。
以下是一些常见的分布类型及其特点：
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：数据在某一区间内均匀分布，每个取值的概率相等。
2. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，数据呈
钟形曲线，均值为中心，两边逐渐减小，是许多自然现象和社会现象
的常见分布。
3. 指数分布（Exponential Distribution）：用于描述事件发生的时间间隔，如放射性衰变、电子元件的寿命等。
4. 泊松分布（Poisson Distribution）：用于描述在一定时间或空
间范围内事件发生的次数，如单位时间内电话通话次数、车站的乘客
到达人数等。
5. 二项分布（Binomial Distribution）：用于描述一系列独立重复
的二项实验中成功的次数，如掷硬币、掷骰子等。
6. 几何分布（Geometric Distribution）：用于描述在独立重复的
实验中，直到首次成功所需的试验次数。
7. 超几何分布（Hypergeometric Distribution）：用于描述从有限总体中进行有放回抽样时，抽到特定类别的样本个数的概率分布。
这些分布类型在不同的应用场景中具有重要的作用，通过了解和分析数据的分布特征，可以更好地理解数据的性质和规律，并进行统计推断和预测。
MATLAB数据分析方法第2章数据描述性分析
MATLAB数据分析⽅法第2章数据描述性分析2.1 基本统计量与数据可视化1.均值、中位数、分位数、三均值均值、中位数：mean(A)、media(A)分位数：prctile(A,P)，P∈[0,100]prctile(A,[25,50,75]) %求A的下、中、上分位数三均值：w=[0.25,0.5,0.75];SM=w*prctile(A,[25,50,75])%例：计算安徽16省市森林资源统计量A=xlsread('senlin.xls','sheet1')M=mean(A); %均值,MD=median(A); %中位数SM=[0.25,0.5,0.25]*prctile(A,[25,50,75]); %三均值[M;MD;SM]2.⽅差、标准误、变异系数⽅差：var(A,flag),flag默认0表⽰修正的⽅差，取1为未修正标准差：std(A,flag),同上变异系数：v=std(A)./abs(mean(A))k阶原点矩、中⼼距：ak=mean(A.^k)bk=mean((A-mean(A)).^k)%中⼼距系统命令bk=moment(A,k)3.极差、四分位极差(上、下分位数之差)R=rangr(A)R1=iqr(A)4.异常点判别（截断点）XJ=parctile(A,[25])-1.5*R1SJ=parctile(A,[75])+1.5*R15.偏度、峰度偏度：sk=skewness(A,flag),默认1，取0为样本数据修正的偏度峰度：ku=kurtosis(A,flg)-3,同上2.1.2 多维样本数据协⽅差：cov(A)相关系数：corr(A)标准化：zscore(A)2.1.3 样本数据可视化1.条形图bar(x)%样本数据x的条形图，横坐标为1：length(x)bar(x,y)%先把x和y⼀⼀对应，然后将x从⼩到⼤排序画图2.直⽅图hist(x,n)%数据x的直⽅图，n为组数，确省时n=10[h,stats]=cdfplot(x)%x的经验分布函数图，stats给出数据最⼤最⼩值、中位数、均值、标准差直⽅图基础上附加正态密度曲线histfit(x)histfit(x,nbins)%nbins指定bar个数，缺省时为x中数据个数的平⽅根3.盒图，五个数值点组成：最⼩值、下四分位数、中位数、上四分位数、最⼤值。
二项分布概念与图表和查表方法
二项分布概念与图表二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：二项分布公式二项分布公式P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布。
其中P称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)期望：Eξ=np；方差：Dξ=npq；其中q=1-p证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。
因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。
设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).因X(k)相互独立，所以期望：方差：证毕。
如果1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；2．每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。
在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。
二项分布可二项分布，即x变量具有μ =np，的正态分布。
式中n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q=1- p。
由于n很大时二项分布逼近正态分布，其平均数，标准差是根据理论推导而来的，故用μ和σ而不用X和S表示。
它们的含意是指在二项试验中，成功的次数的平均数μ =np，成功次数的分散程。
复杂数据模型下瑞利及广义瑞利分布的拟合检验与统计推断
复杂数据模型下瑞利及广义瑞利分布的拟合检验与统计推断关键词：瑞利分布；广义瑞利分布；数据模型；拟合检验；统计推断1.引言随着科学技术的进步，数据的规模和复杂性不息增长。
在大数据时代，探究数据分布模型是分外重要的，并且对模型的拟合检验和统计推断也变得尤其关键。
瑞利分布及广义瑞利分布是常见的概率分布模型，其在信号处理、天文学、物理学等领域都有广泛的应用。
因此，对这两种概率分布模型的拟合检验和统计推断具有重要的探究价值。
2.瑞利分布及广义瑞利分布2.1瑞利分布瑞利分布是一种常见的概率分布模型，常用来描述射线、波和信号在随机震动的介质中传输的衰减状况，其概率密度函数为：$$f(x;\sigma)=\frac{x}{\sigma^2}\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2}),x\geq0$$其中，$\sigma$是瑞利分布的标准参数，它是随机过程振幅的方均值的平方根，也称为瑞利参数。
2.2广义瑞利分布广义瑞利分布是瑞利分布的推广形式，其概率密度函数为：$$f(x;k,\sigma)=\frac{2x}{\sigma^2}\left(\frac{x^2}{\sig ma^2}\right)^{\frac{k}{2}-1}\exp(-\frac{x^k}{\sigma^k}),x\geq0,k>0,$$其中，$\sigma$是广义瑞利分布的标准参数，$k$是广义瑞利分布的外形参数。
3.数据模型和预估方法在现实生活中，瑞利分布及广义瑞利分布往往作为复杂数据模型的子模型出现。
针对这种状况，本文介绍了最大似然预估法、贝叶斯预估法和矩预估法等统计方法，并详尽谈论了在复杂数据模型下的参数预估方法。
4.拟合检验为了验证瑞利分布及广义瑞利分布在复杂数据模型下的适用性，本文提出了适用于大样本的渐进理论检验方法和适用于小样本的Bootstrap检验方法。
通过这两种方法的试验结果，本文验证了瑞利分布及广义瑞利分布在复杂数据模型下的优越性。
常用中文数据库
引言概述：中文数据库是在处理和存储中文数据时使用的专用数据库系统。
本文将介绍一些常用的中文数据库系统，以帮助读者了解其中的优势和使用场景。
正文内容：1.数据库系统1.1关系型数据库系统1.1.1Oracle数据库1.1.2MySQL数据库1.1.3SQLServer数据库1.2非关系型数据库系统1.2.1MongoDB1.2.2Redis1.2.3Cassandra1.3中文数据库系统的优势1.3.1中文字符处理能力1.3.2中文语义搜索支持1.3.3分词和索引优化2.中文全文检索2.1查询语法2.2分词技术2.2.1正向最大匹配2.2.2逆向最大匹配2.2.3双向最大匹配2.3查询优化2.3.1索引优化2.3.2查询性能优化2.4数据分布和负载均衡3.中文数据挖掘3.1挖掘方法3.1.1分类3.1.2聚类3.1.3关联规则3.2特征选择3.2.1信息增益3.2.2卡方检验3.2.3互信息3.3模型选择3.3.1决策树3.3.2支持向量机3.3.3朴素贝叶斯3.4数据预处理3.4.1去噪3.4.2缺失值处理3.4.3标准化4.中文数据库安全性4.1身份验证4.1.1角色分配4.1.2强密码策略4.1.3双因素认证4.2数据加密4.2.1数据传输加密4.2.2数据存储加密4.2.3数据控制保护4.3数据备份和恢复4.3.1定期备份4.3.2增量备份4.3.3容灾方案5.中文数据库的应用场景5.1文本分析5.1.1舆情分析5.1.2文本分类5.1.3实体识别5.2机器翻译5.2.1神经机器翻译5.2.2统计机器翻译5.2.3规则机器翻译5.3搜索引擎5.3.1关键词搜索5.3.2相似度搜索5.3.3排名算法总结：本文介绍了常用的中文数据库系统及其优势，包括关系型数据库和非关系型数据库，以及中文全文检索、中文数据挖掘、中文数据库安全性和中文数据库的应用场景。
在日益增长的中文数据需求下，选择适合的中文数据库系统和相应的技术将对数据处理和应用产生重大影响。
控制图使用操作规程
4内容4.1控制图的定义：控制图是对过程质量特性值进行测定、记录、评估，从而监察过程是否处于控制状态的一种用统计方法设计的图，图上有中心线CL 、上控制限UCL 、下控制限LCL 。
4.2常规控制图的原理4.2.1控制图的形成，将通常的正态分布图转个方向，是自变量增加的方向垂直向上，将σμσμμ3-3、、+分别标为CL 、UCL 、LCL ，这样就得到了一张控制图。
4.2.2控制图的第一种解释：若过程正常，即分布不变，则出现这种点子超过UCL 情况的概率只有1/1000左右；若过程异常，点子超过UCL 情况的概率可能为1/1000的几十乃至几百倍。
用数学语言来说，这就是小概率事件原理：小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，若发生即判断异常。
从图1可知点子在LCL 与UCL 之间的概率为99.73%.图14.2.3控制图的第二种解释：对质量产生的影响的因素按大小可分为：偶然因素、与异常因素。
偶因是过程固有的，始终存在，对质量的影响微小，但难以除去；异因则非过程固有，有时存在，有时不存在，对质量的影响大，但不难出去。
若通过控制手段消除异因后，就只剩下偶因，这是正常波动，根据正常波动，应用统计学原理设计出控制图相应的控制界限，当异常波动发生时，点子机会落在界外，因此点子频频出界就表明存在异常波动。
控制图上的控制界限就是区分偶然波动与异常波动的科学界限。
4.3常用术语n :子组大小，常用子组中观测值得个数。
k :子组数。
X :质量特性的观测值（可用,...,,321X X X 表示单个观测值）。
X ：子组平均值。
X ：子组平均值得平均值。
μ:过程平均值的真值。
Me :子组中位数，对于一组升序或降序排列的n 个子组观测值，当n 为奇数时，Me 为该组中间的那个数，当n 为偶数时，Me 为该组中间2个数的平均值。
Me :中位数的平均值。
R :子组极差，子组观测值中最大值与最小值之差(在单值图下，代表移动极差，即2个相邻的观测值差值的绝对值)。
统计学核心内容-概述说明以及解释
统计学核心内容-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分内容如下：统计学是一门研究数据分析和推断的学科，通过收集、整理、分析和解释数据来了解和揭示事物之间的关系和规律。
它是一门重要的学科，不仅在学术研究中发挥着重要的作用，也在现实生活中得到广泛应用。
在统计学中，我们通过收集大量的数据来对现象进行研究，然后通过统计分析方法来对数据进行整理、总结和解释。
通过统计学我们可以了解数据的特征、分布、相关性、趋势等等，从而更好地理解和解释现象。
通过统计学，我们可以从数据中发现关键信息，并作出相应的决策和推断。
统计学的核心内容包括统计学的基本概念、数据收集与整理的方法和技巧等等。
在本文中，我们将系统地介绍统计学的核心内容，以帮助读者深入了解统计学的基本原理和方法，并能够灵活运用统计学进行数据分析和推断。
在接下来的章节中，我们将首先介绍统计学的基本概念，例如总体和样本、参数和统计量等等。
然后，我们将详细讨论数据收集与整理的方法和技巧，包括数据的收集方法、数据的整理和清洗、数据的可视化等等。
通过学习这些内容，读者将掌握统计学的基本理论和实际操作技能。
最后，我们将总结统计学的核心内容，并强调应用统计学的重要性。
统计学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式和工具，在解决问题和做出决策时都能起到重要的辅助作用。
掌握统计学的核心内容，将有助于我们更好地理解和应用统计学，从而提高我们的数据分析和推断能力。
希望本文能够对读者在学习和应用统计学方面起到实质性的帮助和指导。
1.2 文章结构文章结构是指文章的组织架构和内容安排。
一个良好的文章结构可以使读者更容易理解和跟随文章的思路。
本文的结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们首先进行了概述，介绍了统计学的核心内容及其重要性。
接着，我们明确了文章的结构，让读者知道接下来将会介绍哪些内容。
最后，我们明确了文章的目的，即通过本文让读者了解统计学的核心内容并认识到应用统计学的重要性。
检验规范通用要求
一、关于检查通用规范的规定1、目的：1.1保证供应商供应的产品质量符合我公司以及国家标准规定的规定。
1.2我公司生产的产品满足客户规定并符合国家、国际及地区的法律法规；2、范围：2.1公司所有产品的采购、生产、转运、储存、包装、发货的通用规定。
2.2本公司的所有检查人员以及与产品质量有关的其别人员；3、通用检查规范3.1公司所有产品（原材料，半成品，成品）原则上均需执行抽样检查，合格品才干入库或出货3.2检查员以满足客户需求为宗旨，对每一批来料入库或出货执行下述项目之检查：3.2.1包装、标签、数量、型号等项目的核对3.2.2产品规格（外观、结构、装配、电气性能、安全规定）做选择性或必要性之检查。
（1）若客户有特殊规定，则按客户规定检查（2）若产品出货到有ROHS规定国家或地区，其来料产品或出货产品规定能满足ROHS规定3.3抽样计划3.3.1一般特性采用，均以GB2828-2023单次正常随机抽样一般检查水平Ⅱ；特殊特性采用，均以GB2828-2023单次正常随机抽样特殊S-2水准；AQL值：CR（致命缺陷）： 0 MA(重要缺陷)： 0.4 MI（次要缺陷）： 1.0定义：CR（致命缺陷）：指产品存在也许对生产者或使用者导致人身意外伤害或也许导致客户抱怨之财产损失、违反法律法规及环境规定。
（安全/绿色环保等）MA(重要缺陷)：产品某一特性为满足规定规定（结构或功能）或严重外观缺陷。
MI（次要缺陷）：产品存在一些不影响功能与使用性的缺陷（一般指外观小瑕疵）。
3.3.2检查项目大体可区分为：a.外观检查b.尺寸、结构性检查c.电气特性检查d.化学特性检查e.物理特性检查3.3.3检查方法大体可区分为：a.外观检查：一般用目视、手感、限度样本。
b.尺寸检查：如游标卡尺、量表。
c.结构性检查：如拉力计、扭力计。
d.特性检查：使用检测仪器或设备（如万用表、电容表、试剂、实验机等）。
3.3.4检查分类：产品（原材料，半成品，成品）因供料厂商的品质信赖度，公司生产纯熟度及物料的数量、单价、体积等区分为全检、抽检、免检。
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结果 X =-0.8637 0.0774 -1.2141 -1.1135 -0.0068 1.5326 -0.7697 0.3714 1.1174 -1.0891 0.0326 0.5525 1.1006 1.5442 0.0859 -1.4916 -1.0616 2.3505 -0.6156 0.7481 -0.1924 0.8886 -0.7648 -1.4023 0.4882 -0.1774 -0.1961 1.4193 0.2916 0.1978 1.5877 -0.8045 0.8351 -0.2437 0.2157 -1.1658 -1.1480 0.1049 0.7223 2.5855 -0.6669 0.1873 -0.0825 -1.9330 -0.4390 -1.7947
、中位数与标准差
例2 生成服从标准正态分布N(0,1)的50个样本点，作出样本
的经验分布函数图，并与理论分布函数比较.
解： 50个正态分布的样本点 X =[-0.8637 0.0774 -1.2141 -1.1135 ……0.1873]
figure; X=normrnd (0,1,50,1); [h,stats]=cdfplot(X);
x
x F 1 ( x), P{ X x } x
拟概率分 布函数
分布 函数
F ( x) f ( x)
f ( x)
密度 函数
f ( x)
面积F ( x)
面积 x
x
•2018/4/14
t
x F 1 ( x)
•8
例1 (1)生成服从标准正态分布N(0,1)的50个样本点;作出样
--经验分布函数
注意: Fn ( x) 右连续阶梯函数,对任一实数 x ,格里汶科(Glivenko) 1933 年证明:对任一实数 x , n 时, Fn ( x) 以概率 1 一致收敛于
F ( x) , P{lim sup | Fn ( x) F ( x) | 0} 1. 即 n 1 , F ( x) Fn ( x) .
name—常见分布名称，如norm指正态分布 X—样本数据 A,B,C---分布参数
如Y=pdf(norm,X ,mu,sigma)表示求均值mu,标准差sigma的正态分布随机变
量在X处的概率密度函数
•2018/4/14 •7
概率密度、分布函数、拟概率分布函数值
F ( x) P{ X x} f (t ) d t
等分时
a n a0 , a0 x(1) , an x( n ) m
3.计算频率
计算样本值落入每个区间的频数 ni 及频率 f i
•2018/4/14
ni n
•4
2.2.1一元数据分布检验
1.直方图—密度函数的拟合及检验
4.画直方图
以 x 轴各区间为底，频数 ni 或 hi f i / 为高做小矩形,得频数(频率)直方图
•2018/4/14 •5
MATLAB绘制频数直方图命令hist(histfit)，调用格式
① hist(X,n) 或 hist(X)
%绘制数据x频数直方图，n--分组个数，缺省n=10 附加有正态密度曲线的频数直方图命令histfit，格式
② histfit(X) 或histfit(X,nbins)
•2018/4/14 •13
0.7 频率直方图 正态分布密度曲线
0.6
0.5
0.4
f(x)
0.3
0.2
0.1
0 -3
-2
-1 0 1 [0,1] 正 态 分 布 随 机 数
2
3
频率直方图
注：长方形柱高为 hi 拟合曲线为密度曲线。
f i ni / n ,矩形面积为落入该区间的频率，
8 7 6 5
频数
-0.2256 -0.7423 -1.4224 0.6966
注:矩形柱高为样本落入该区间频数
频数直方图 密度曲线图
4 3 2 1 0 -4
-3
-2
•2018/4/14
-1 0 1 [0,1] 正 态 分 布 随 机 数
2
3
4
•10
(2)求N(0,1)在x=1,0.5,1,2处的密度函数、分布函数值，概 率P(-2<0<=2)，下侧0.90分位数。 x=[0,0.5,1,2]; %定义向量x y=normpdf(x,0,1) %求N(0,1)密度函数在x处值 F=normcdf(x,0,1) %求N(0,1)分布函数在x的值 P=normcdf(2,0,1)-normcdf(-2,0,1) %求概率P(-2<x<=2) u=norminv(0.90,0,1) % N(0,1)下侧0.90分位数
输出结果： ( x x ) 1 2s e y =0.3989 0.3521 0.2420 0.0540 f ( x) 2 F = 分布函数值F(x)=P{X<=x} 0.5000 0.6915 0.8413 0.9772 P =0.9545 概率P(-1<X<=2)=F(2)-F(-2) u =1.2816 下0.90分位数P(X<=u)=0.90
% X为样本数据向量，返回频数直方图和正态曲线； nbins指定bar的个数，缺省为X中数据个数平方根
绘制频率直方图命令ecdf(ecdfhist)，调用格式
③ [f,xc]=ecdf(X) ;
%调用ecdf函数，计算X顺序统计量xc处分布函数值f
ecdf(f,xc,nbins) % 绘制X频率直方图和正态曲线
•2018/4/14 •12
f =分布函数值 0 0.0200 0.0400 0.0600 0.0800 0.1000 0.1200 0.1400 0.1600 0.1800 0.2000 0.2200 0.2400 0.2600 0.2800 0.3000 0.3200 0.3400 0.3600 0.3800 0.4000 0.4200 0.4400 0.4600 0.4800 0.5000 0.5200 0.5400 0.5600 0.5800 0.6000 0.6200 0.6400 0.6600 0.6800 0.7000 0.7200 0.7400 0.7600 0.7800 0.8000 0.8200 0.8400 0.8600 0.8800 0.9000 0.9200 0.9400 0.9600 0.9800 1.0000 xc =X的顺序统计量值 -1.8359 -1.8359 -1.8054 -1.6989 -1.4694 -1.0570 -1.0360 -1.0257 -0.9087 -0.9047 -0.9047 -0.8759 -0.8608 -0.8223 -0.7841 -0.6045 -0.5700 -0.5583 -0.4677 -0.3158 -0.3114 -0.2883 -0.2841 -0.2339 -0.2099 -0.1249 -0.1178 -0.0942 -0.0867 0.1034 0.1136 0.1922 0.3086 0.3199 0.3232 0.3362 0.3501 0.4286 0.5632 0.6076 0.6992 0.7847 0.7873 0.8810 0.9407 0.9594 1.0360 1.4790 1.8586 1.8779 2.4245
%新建图形窗口 %生成服从N(0,1)的50个样本点 %作样本经验分布函数图，返回句柄h和
本频数直方图；(3)作理论分布密度曲线图,将二者绘制一起; (2)求N(0,1)在x=1,0.5,1,2处的密度函数、分布函数值，概 率P(-2<0<2)
解:（1）产生服随机数，做样本直方图、概率密度曲线 X = random('normal',0,1,[1, 50]); %产生服从标准正态分布随机数50个 format short %数据转为短格式,5位定点十进制数 X histfit(X,20) %做出样本频数直方图，拟合正态分布曲线 xlabel('[0,1]正态分布随机数'); %为X轴加标签 ylabel ('频数'); %为纵轴加标签 legend('频数直方图','密度曲线图') %为图形加标注框
第2章 数据描述性分析
直方图与QQ图能直观
描述数据的分布 •如何判定数据是否服从
正态分布?
第二章
•若不服从正态分布，可 能服从怎样的分布.
2.2数据分布
数据描述 性分析
一元数据分布检验 多维数据的特征与 分布检验
•2018/4/14
2.2.1 一元数据分布检验
1.直方图—密度函数的拟合 2.经验分布函数---分布函数的拟合 3.QQ图 4.总体分布的正态性检验
•2018/4/14 •6
概率密度 f ( x) ,分布函数 F ( x) ,拟概率分布函数 F 1 ( x) x Matlab 函数
密度函数
函数名 调用格式 Y=pdf(name,X ,A) 函数名
分布函数
调用格式 Y=cdf(name,X ,A) 函数名
拟概率分布函数 (下侧分位数）
调用格式 Y=nameinv(X,alpha,A)
Y=pdf(name,X ,A,B)
cdf
Y=cdf(name,X ,A,B)
icdf
Y=nameinv(X,alpha,A,B)
Y=pdf(name,X ,A,B,C)
Y=cdf(name,X ,A,B,C)
Y=icdf(name,X ,A,B,C)
2.2.1一元数据分布检验
1.直方图—密度函数的拟合及检验
1.样本值排序