大学物理课件 机械振动2

⇒ x0 = Acosφ0 , v0 = −ωAsinφ0 ,
2 ∴A = x0 + (v0 / ω)2
v0 ) φ0 = arctg(− ωx0 问题： 在 -π ~ π 间，一个 x0值对于两个φ0值, 如何定之？
答： 可以通过 v0 = −ωAsinφ0 的正负性来取舍: v0 > 0,φ0 ∈(−π ,0); v0 < 0,φ0 ∈(0,π )
(3)相位和初相位 (3)相位和初相位 相位 (ωt +φ0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。 决定简谐运动状态的物理量。 初相位
φ0 ：t=0 时的相位。 时的相位。
通过相位可比较两个谐振动之间在步调上的差异。 通过相位可比较两个谐振动之间在步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动： 设有两个同频率的谐振动：
简谐振动的特征及其表达式
2π
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4π
演示： 位移、速度、加速度与时间的关系 演示： 位移、速度、
x
请看振动演示
ω
ω
t
v
t
a
t
简谐振动的特征及其表达式
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的确定： 常量 A 和 φ0 的确定： x = Acos(ωt +φ0 ) 由初始条件 (t = 0): x = x0 , v = v0
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2.振幅、周期、频率和相位 振幅、周期、 振幅
(1)振幅: 振幅:
2 A = x0 + (v0 / ω)2
由初始条件确定
(2)周期和频率 (2)周期和频率
周期： 周期： x = Acos(ωt + φ0 ) = Acos[ω(T + t ) + φ0 ]
ωT = 2π ⇒ T = 2π ω
运动学特征还包括: 运动学特征还包括:
运动学方程
由初始条件确定
dx 速度：v = = −ωAsin(ωt +φ0 ) dt dt d2 x 加速度：a = 2 = −ω2 Acos(ωt +φ0 ) dt
周期性： 周期性：
当 t = t0 + k ⋅
2π
ω
时，x = x0 , v = v0 , a = a0
简谐振动的能量
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能量平均值
1 T1 1 2 2 2 2 EK = ∫ mω A sin (ωt +φ0 )dt = kA T 0 2 4
1 T1 2 2 1 2 EP = ∫ kA cos (ωt +φ0 )dt = kA T 0 2 4
∴EK = EP = E 2
代入： 代入：t =T/4=0.5 s 可得
x = 0.12cos(0.5π −π 3)m = 0.104 m v = −0.12×π sin(0.5π −π 3)m⋅ s−1 = −0.18 m⋅ s−1 a = −0.12×π 2 cos(0.5π −π 3)m⋅ s−2 = −1.03 m⋅ s−2
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3. 简谐振动的 矢量图示法
r 旋转矢量:一长度等于振幅A的矢量 旋转矢量:一长度等于振幅 的矢量 A 在平面内
绕一端 沿逆时针方向旋转， 绕一端点O沿逆时针方向旋转，其旋转角速度相等于 沿逆时针方向旋转 简谐振动的角频率。则该矢量称为旋转矢量 旋转矢量。 简谐振动的角频率。则该矢量称为旋转矢量。
2
F = −kx
F k a= =− x m m d2 x a = 2 = −ω2 x dt
二阶常微分方程: 二阶常微分方程 :
dx 2 +ω x = 0 2 dt
2
简谐振动的特征及其表达式
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振动方程(位移)：x = Acos(ωt + φ0 ) ， 待定常数： A φ0
r A旋转的角速度 r A 旋转的方向
r A
O
M
ωt + φ 0
x
P
X
r A 与参考方向x 的夹角
振动相位
端点M在 轴上投影( 点 的运动规律 规律： 端点 在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x = Acos(ωt +φ0 )
hpying@ 一物体沿X轴作简谐振动 振幅A=0.12m, 周期 轴作简谐振动， 周期T=2s。当t=0 例1 一物体沿 轴作简谐振动，振幅 。 时, 物体的位移x=0.06m, 且向X轴正向运动。 物体的位移 且向 轴正向运动。 轴正向运动 简谐振动表达式; 时物体的位置、 求: (1) 简谐振动表达式 (2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度 时物体的位置 速度和加速度; (3) 某时刻该物体从 x=－0.06m向X轴负方向运动。当它再一次回 轴负方向运动。 － 向 轴负方向运动 到平衡位置所需时间？ 到平衡位置所需时间？
v0 < 0, 上半圆，< φ < π ； 0 v0 > 0, 下半圆， π < φ < 0； − v0 = 0 : x0 = A, φ = 0, x0 = − A, φ = π
−A
ω
O
x0 A
X
简谐振动的矢量图示法
r A的长度
简谐振动的矢量图示法
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ω
振幅A 振幅 振动角频率ω 逆时针方向
0.12cosφ0 = 0.06
简谐振动的矢量图示法
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由简谐振动表达式可计算得到: (2) 由简谐振动表达式可计算得到: dx v= = −0.12π sin(π t − π 3) (m⋅ s−1 ) dt dv a= = −0.12π 2 cos(π t − π 3) (m⋅ s−2 ) dt
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第一篇之2 机械振动和机械波
概述: 概述
一种典型的周期运动及其传播过程; 一种典型的周期运动及其传播过程; 振动与波涉及到物理学的各个领域， 振动与波涉及到物理学的各个领域，是一种 重要的运动形式； 重要的运动形式； 力学中有机械振动与机械波， 力学中有机械振动与机械波，电学中有电磁 振荡和电磁波, 振荡和电磁波, ••• •••。 。
合位移： x = x1 + x2 = Acos(ωt +φ0 ) 合位移：
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(φ20 −φ10 ) 1 1
上述结果也对任意简谐振动系统成立。 上述结果也对任意简谐振动系统成立。
简谐振动的能量
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谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: 谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:
E
EP
Ek
E=
1 2 kA 2
t
x = A cos ω t
x
t
§5-3 同方向简谐振动的合成
理解教材P89, 例5.1 理解教材
因此， 因此，从 x = -0.06m处后又一次回到平衡位置的间隔 处后又一次回到平衡位置的间隔
ω = 0.83s
d2 x F = −kx, ⇒ + ω2 x = 0 dt 2
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4. 常见的简谐振动之分析
例如： 例如：单摆
请看演示
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1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向(x轴 的两个独立 设一质点同时参与沿同一方向 轴)的两个独立 的同频率的简谐振动，两个振动位移为： 的同频率的简谐振动，两个振动位移为：
x1 = A cos(ωt + φ10 ) x2 = A cos(ωt + φ20 ) 1 2
简谐振动的矢量图示法
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时刻为t (3) 当x = -0.06m时，设时刻为 1, 时
cos(π t1 −π 3) = −1 2, π t1 −π 3 = (2π 3, −2π 3)
该时刻速度为负， 该时刻速度为负，故舍去 -2π/3
π t1 −π 3 = 2π 3, t1 = 1s
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弹簧振子为例) 5. 简谐振动的能量(弹簧振子为例) 动能 势能
1 2 1 EK = mv = mω2 A2 sin2 (ωt +φ0 ) 2 2 1 2 1 2 2 EP = kx = kA cos (ωt +φ0 ) 2 2
系统的机械能： 系统的机械能： 1 1 2 2 2 2 2 E = EK + EP = mω A sin (ωt +φ0 ) + kA cos (ωt +φ0 ) 2 2 1 2 2 ω 利用： = k / m ⇒ E = kA 2 表明: 简谐振动的机械能守恒。 表明: 简谐振动的机械能守恒。 机械能守恒
重物所受合外力矩： 重物所受合外力矩：
M = −mgl sinθ ≈ −mglθ
dθ M mglθ g = ≈− =− θ 2 2 dt J ml l
2
l
r T
令：ω = g l， T = 2π ω = 2π l g ⇒
2
r mg
d2θ 2 + ω θ = 0 ⇒ θ = θm cos(ωt +φ0 ) 2 dt
简谐振动的矢量图示法
取平衡位置为原点,谐振动方程写为： 解: (1)取平衡位置为原点,谐振动方程写为：
其中： A = 0.12 m, T = 2 s, ω = 2π / T = π (s-1 ) 初始条件： 初始条件：t = 0, x0=0.06 m, 可得
x = Acos(ωt + φ0 )
φ0 = ±π 3 据初始条件 v0 = −ωAsinφ0 > 0, 得 φ0 = −π 3 x = 0.12cos(π t −π 3) (m)
机械振动: 机械振动
宏观物体在某一平衡位置附近来回往复的运 宏观物体在某一平衡位置附近来回往复的运 平衡 动称为机械振动。 动称为机械振动。