第四章控制系统根轨迹绘制

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总结:
开环零点对根轨迹的影响
1、改变了根轨迹在实轴上的分布； 2、改变了渐近线的条数、倾角和分离点； 3、若增加的开环零点和某个极点重合或距离很 近，构成开环偶极子，则两者相互抵消，因 此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能 的极点； 4、根轨迹曲线将向左移，有利于改善系统的动 态性能。
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离虚轴最近的闭环极点对系统动态过程的性能影响最大，起着决定性 的主导作用，故称它为主导极点。通常，若主导极点离虚轴的距离比 其他极点离虚轴距离的五分之一还小，而且附近又没有闭环零点存在， 则其他极点便可忽略；
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闭环零点的存在，可以削弱或抵消其附近的闭环极点的作用。当某零 点Zi与其极点Sj靠得很近时，它们便称为偶极子。它们靠得越近，则Zi 对Sj得抵消作用就越强。这时由Sj所对应得暂态分量很小，可以忽略； 单位反馈系统的开环零点和闭环零点是相同的，在设计时可以有 意识的在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利 极点，使系统的动态性能获得改善。
作出根轨迹图：
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根轨迹与虚轴的交点为 s1, 2 j 2 ，对应的kc＝6。 • 当K=3时，系统处于临界稳定状态（等幅振荡）； • 当K>3时，有两条根轨迹进入S右半平面，系统不稳定； • 当K<3时，三个闭环极点全在S平面左半部，系统稳定。
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cos60 0.5 n (0.33) 2 (0.58) 2 0.667
超调量：
系统在单位阶跃信号作 用下的性能指标为：
％＝e

1 2
e
0.5
1 0.5 2
16.3%
调整时间： 4 4 ts 12( s ) n 0.5 0.667
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开环极点对根轨迹的影响
1、改变了根轨迹在实轴上的分布； 2、改变了根轨迹的分支数； 3、改变了渐近线的条数、倾角和分离点； 4、根轨迹曲线将向右移，不利于改善系统的动 态性能。
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开环不稳定系统和条件稳定系统
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解: 该系统的特征方程式为： s(s 1)(Ts 1) k 0 等效变换得：
s 2 (Ts 1) s(Ts 1) k
写成标准形式为：
s 2 (Ts 1) 1 s(Ts 1) k
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通过改造根轨迹改善系统的品质
系统根轨迹的形状、位置决定于系统的开环传递函数的 零、极点。因此，可通过增加开环的零、极点来改造根轨迹， 从而改善系统的品质。
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例：已知某系统开环传递函数为 k G( s) H ( s) s( s 1) 若给此系统增设一个开环极点（p=-2），或增设一 个开环零点（z=-2）。试分别讨论对系统根轨迹和 系统动态性能的影响。 k 解：附加极点后： G ( s) H ( s) s( s 1)(s 2) 附加零点后： G( s) H ( s) k ( s 2)
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参数根轨迹和一般根轨迹一样，只能确定控制 系统闭环极点的分布。
例：已知某系统开环传递函数为 k G( s) H ( s) s(s 1)(Ts 1)
其中参数 k、T已确定，而参数 （时间常数）为待定。 试绘制以待定参数 为可变参数的参数根轨 迹。
注意：
后两步可能不存在；
在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。
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闭环零、极点的分布与系统的阶跃响应的关系

要求系统稳定，则系统的全部闭环极点均应为于S平面左半部； 要求系统快速性好，则闭环极点均应远离虚轴，以便阶跃响应中的每 个分量都衰减的快； 由二阶系统的分析可知，共轭复数极点位于 45°线上时，其对应的 阻尼比 2 cos45 0.707 为最佳阻尼比，这是系统的平稳性与快速性都比较理想。超过45°线， 则阻尼比减小，振荡加剧；
按照以前讲过的规则，绘制出根轨迹图
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从根轨迹图可知：
若使系统稳定，待定参 数 的取值范围是
T 0 kT 1
注意：根轨迹中将有一 个分支起始于无限极点
p3
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取＝0.02
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分析




当0≤K≤0.192（根轨迹的分离点对应的K值）时，闭环极点 均为负实数，系统阶跃响应为非周期过程，且由于最靠近虚 轴的实数闭环极点离开虚轴向左移动，所以系统的调整时间 ts逐渐减小。 当0.192＜K ＜3时，闭环极点有一对实部为负的共轭复数。 阶跃响应为衰减振荡过程。由于根轨迹移向虚轴，响应衰减 渐慢。 K＝3时，闭环极点有一对在虚轴上，阶跃响应为等幅振荡过 程。 K＞3时，两条根轨迹进入S平面右半部分，系统不稳定，阶 跃响应为发散振荡。

以上结论为我们利用根轨迹分析或设计系统提供了 主要的依据。
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利用主导极点估算系统的性能指标
由于主导极点在动态过程中起主要作用，因此， 计算性能指标时，在一定的条件下，就可以只考虑主 导极点所对应的暂态分量，忽略其余的暂态分量。将 高阶系统近似看作一阶或二阶系统，直接应用第三章 中计算性能指标的公式和曲线。
系统开环传递函数的极点有一个或一个 以上在S右半平面，系统开环是不稳定的。此 类系统闭环后是否稳定，这要看闭环特征根 的分布情况，根轨迹法可以解决这一问题。
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例：已知某系统开环传递函数为
k ( s 1) G( s) H ( s) s( s 1)(s 2 4s 16)
第四节 控制系统根轨迹分析
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前面学习了根轨迹的基本概念和绘制基本准则（性质）， 这里将手工绘制控制系统根轨迹的步骤罗列如下： 标注开环极点“ “ ”； ”和零点○ 确定实轴上的根迹区间； 画出n-m条渐进线。其与实轴的交点和倾角分别为：
(2k 1) ; , k 0,1,2,3... nm nm 计算极点处的出射角和零点处入射角： 出射角 (2k 1) （从其他极点到该极点的 矢量幅角 ）
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参数根轨迹
定义：前面所讲到的绘制根轨迹一般以开环 增益K作为参变量。其实，绘制根轨迹时，可 变参数可以是控制系统开环传递函数的任意 参数（如某一待定系数或校正元件的时间常 数等）。为了与以开环增益K作为可变参数的 根轨迹相区别，我们称非开环增益系数为可 变参数绘制的根轨迹为参数根轨迹。
绘制系统的根轨迹，并讨论系统的稳定性。 解： 开环有四个极点：
p1 0,p2 1,p3,4 2 j 2 3
P2位于S平面右半部，所以属于开环不稳定系统。
按照绘制根轨迹图的一般规则，绘制出该系统的根轨迹：
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从根轨迹图可知：
起始于开环极点P1（＝0）、 P2（＝1）的两条根轨迹分支 的大部分轨迹位于S平面的右 半部，只有当23.3<k<35.7时， 其根轨迹才在左S平面内。因 此该系统稳定工作的条件是 23.3<k<35.7，而当k<23.3或 k>35.7时，系统都是不稳定的。 具有这种性质的系统称为条件 稳定系统。
j i
p z
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（从各个零点到该极点的 矢量幅角 ） 入射角 (2k 1) （从各个极点到该零点的 （从其他零点到该零点的 矢量幅角 ）
矢量幅角 ）
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计算根轨迹和虚轴的交点)D(s)- N(s)D' (s) 0求解
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绘制参数根轨迹的规则与绘制一般根轨迹的规则完 全相同。只是在绘制参数根轨迹之前，需将控制系 统的特征方程进行等效变换，写成符合于以非开环 增义系数的待定参数k′为可变参数时的标准形式， 即： M (s) 1 k N (s) 其中M ( s ), N ( s )都是复变量s的多项式； k 是可变参数，而且它们必须满足方程： N ( s )＋k M ( s )＝1＋G ( s ) H ( s )＝0
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例：已知某系统开环传递函数为
K G( s) H ( s) s( s 1)(0.5s 1)
其中H(s)=1,试用根轨迹分析系统的稳定性，并计算 K＝0.525时的暂态性能指标。 解： K k
G( s) H ( s) s( s 1)(0.5s 1) s( s 1)(s 2)
s( s 1)
依据根轨迹的绘制规则，绘出根轨迹
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